LOI CAM ON
Bằng lịng biết on sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn Th.S Dao Thi Hoa
đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hồn thiện khĩa
luận tốt nghiệp này
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn, đặc biệt là các
thầy cơ trong tơ phương pháp, cùng các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện
thuận lợi cho em hồn thành khĩa luận tốt nghiệp này Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 12 thang 5 nam 2012 Sinh viên thực hiện
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài “Dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất trong chương trình tốn phổ thơng” do bản thân em nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Th.S Đào Thị Hoa, giảng viên khoa Tốn, trường ĐHSP Hà Nội 2 Đề tài khơng sao chép từ bất cứ luận văn cĩ sẵn nào khác Kết quả nghiên cứu
khơng trùng với kết quả của tác giả khác
Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Trang 4MỤC LỤC Mé dau Nội dung Chương 1: Nội dung dạy học một số yếu tơ của tổ hợp và xác suất 1.1.Ý nghĩa
1.2 Mục đích- yêu cầu của việc dạy một sỐ yếu tố của tổ hợp và xác suất
Trang 5MỞ ĐẦU I Lí do chọn đề tài:
Tốn học rất đa dạng, phong phú và kiến thức của tốn học được sử dụng rộng rãi trong khoa học và cuộc sống Trong đĩ phải kể đến mạch tốn ứng dụng Nội dung cơ bản của mạch tốn này được đưa vào dạy trong chương trình tốn phơ thơng đề học sinh cĩ thể giải quyết một số bài tốn trong thực tiễn
Phần kiến thức trọng tâm của mạch tốn này là “Tổ hợp và xác suất” được
trình bày khá chỉ tiết trong chương trình tốn Đại số và Giải tích lớp 11 nhằm
giúp học sinh giải quyết các bài tốn xác định số phần tử của một tập hợp hay bài tốn xét khả năng xảy ra của một biên cơ ngầu nhiên
Nội dung của “TỔ hợp và xác suất” được trình bày trong SGK gắn liền thực tiễn, tuy nhiên nĩ là phần kiến thức cịn rất mới đối với học sinh Do vậy,
để học sinh tiếp thu một cách tốt nhất, đảm bảo cho việc dạy học nội dung này cĩ
hiệu quá nhất, mỗi sinh viên trước khi ra trường cần chuẩn bị cho mình những hành trang tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết về phương pháp dạy học nội dung này
Với lí do trên em đã nghiên cứu đề tài “Dạy học một số yếu tơ của tổ hợp và xác suất trong chương trình tốn phơ thơng”
H Mục đích nghiên cứu:
Trang 6IH.Nhiệm vụ:
- Tìm hiểu ý nghĩa, vai trị của việc đạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất ở phơ thơng
- Phân tích nội dung chương trình SGK về dạy học kiến thức “Tổ hợp và xác suất”
- Đề xuất những lưu ý về phương pháp dạy học “Tổ hợp và xác suất” IV.Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài cĩ sử dụng các phương pháp: - Phuong phap nghiên cứu lí luận - Phương pháp điều tra quan sát -_ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm V.Cấu trúc dề tài:
Ngồi các phần: Mở đầu, tài liệu tham khảo, kết luận và phụ lục thì nội
dung đề tài gồm hai chương:
Chương 1 Nội dung dạy học một số yếu tơ của tổ hợp và xác suất
Ll Y nghia
1.2 Mục đích - yêu cầu dạy học tơ hợp và xác suất 1.3 Nội dung triển khai tổ hợp và xác suất ở phổ thơng Chương 2 Dạy học tổ hợp và xác suất ở phổ thơng
2.1 Tổ hợp
Trang 7NỘI DUNG
Chương 1 Nội dung dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất 1.1.Ý nghĩa:
Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường gặp các bài
tốn xác định số lượng các đối tượng cĩ một tính chất nào đĩ, ta gọi đĩ là bài
tốn đếm Tổ hợp là một ngành tốn học nghiên cứu các bài tốn mang cấu trúc rời rạc, trong đĩ cĩ bài tốn đếm Nhờ nghiên cứu lí thuyết về tổ hợp mà chúng
ta cĩ thể xác định được số lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh
chĩng, chính xác mà khơng cần liệt kê tất cá các phan tir vi trong nhiều trường hợp điều đĩ là khơng khả quan Từ đĩ mà ta thấy được rằng việc đạy học những yếu tố của tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều ứng dụng trong thực tiễn, hơn nữa chúng cịn phục vụ cho giải tốn xác suất
Bản thân mỗi người thường tiếp xúc, va chạm với các biến cố ngẫu nhiên, những tình huống cĩ yếu tố may rủi, những sự kiện khơng thể dự đốn trước được chắc chắn xảy ra hay khơng xảy ra Lí thuyết xác suất là ngành tốn học nghiên cứu tìm ra các quy luật chỉ phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lượng tính tốn xác suất của một biến cố ngẫu nhiên Bởi vậy, lí thuyết xác suất được sử dụng trong tất cả các ngành, các lĩnh vực của đời sống xã hội Hơn nữa, lí thuyết của xác suất cịn được sử dụng để nghiên cứu các quy luật thống kê
Trang 8Do vậy, việc nghiên cứu tơ hợp và xác suất khơng những cĩ ứng dụng trong thực
tiễn mà cịn cĩ ứng dụng ngay trong lý thuyết tốn học và trở thành một ngành
tốn học đa diện cả về chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng
Như vậy, việc nghiên cứu tổ hợp và xác suất là rất cần thiết Cần day cho học sinh nghiên cứu và ứng dụng những nội dung cơ bản của phần lí thuyết này
để giải những bài tốn thực tiễn
1.2 Mục đích - yêu cầu của việc dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác
suất:
Phần kiến thức về té hợp và xác suất đưa vào trong chương trình tốn phổ thơng nhằm cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu, cơ bản về nội dung này
Và mục đích của việc dạy học nội dung này là sau khi học xong thì HS đạt được:
a) Về kiến thức:
Nắm được hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân biệt được hai quy tắc này
Hiểu được các khái niệm hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp Đặc biệt thấy rõ mối
liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp Nhớ các cơng thức tính số hốn vị, số chỉnh hợp và số tổ hợp
Nắm được cơng thức nhị thức Niu-tơn, cách thiết lập tam giác Pa-xcan Nắm được các khái niệm: phép thử, khơng gian mẫu, kết quả thuận lợi cho
một biến cố
Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cỗ điên Nắm được quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất
Đối với ban tự nhiên thì được làm quen thêm với các khái niệm biến ngẫu
Trang 9b) Về kĩ năng:
HS biết cách vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các cơng thức tính số hốn
vị, số tơ hợp, số chỉnh hợp dé giải một số bài tốn tơ hợp đơn giản
Biết vận dụng cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn vào các bài tốn cĩ liên
quan
Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất
Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất đề giải một số bài tốn xác suất đơn giản
Đối với ban tự nhiên thì biết lập bảng phân bố xác suất, biết tính kì vọng,
phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc
1.3 Nội dung triển khai chủ đề “Tổ hợp và xác suất” ở phố thơng:
Chủ đề này được đưa vào trong chương trình tốn Đại số và giải tích 11 gồm những nội dung sau:
A Tổ hợp
1 Hai quy tắc đếm cơ bản:
Nội dung này được trình bày trong SGK bao gồm hai quy tắc: quy tắc cộng
và quy tắc nhân Nhưng giữa sách cơ bản và sách nâng cao cĩ sự khác nhau
trong cách phát biểu định nghĩa:
Ở sách cơ bản, quy tắc cộng được phát biểu cho “một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động”
Ở sách nâng cao phát biểu quy tắc cộng cho “một cơng việc được thực hiện
Trang 10một trong k phương án 4i, 4a, , 4¿” Trong sách cịn cĩ bài đọc thêm về quy tắc cộng mở rộng Tương tự như vậy, quy tắc nhân được phát biểu trong hai sách cũng cĩ sự khác nhau SGK nâng cao nĩi chung trình bày về hai quy tắc chỉ tiết, đầy đủ hơn SGK cơ bản 2 Hốn vị, chỉnh hợp và tơ hợp:
Trong phần này, SGK đưa ra các khái niệm: hốn vị của :+ phần tử, chỉnh hợp chập & của ¡+ phần tử, tổ hợp chập & của + phần tử ; các cơng thức tính số hốn vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp và một số tính chất của Cr
3 Nhị thức Niu-tơn:
SGK trình bày cơng thức nhị thức Niu-tơn và cách xây dựng hệ số trong cơng thức nhị thức Niu-tơn bằng tam giác Pa-xcan
SGK cơ bản đã đưa ra chú ý chỉ tiết hơn so với SGK nâng cao về cơng thức
nhị thức Niu-tơn cịn SGK nâng cao lại cĩ ưu điểm hơn SGK cơ bản là ở chỗ đã
đưa ra quy luật thiết lập tam giác Pa-xcan Trong khi dạy chúng ta nên kết hợp
Trang 11+ SGK nâng cao gồm các bài:
e_ Biến cố và xác suất của biến cố e_ Các quy tắc tính xác suất e_ Biến ngẫu nhiên rời rạc
Tuy cĩ sự trình bày khác nhau nhưng phần xác suất này gồm những nội dung cơ bản sau:
1 Pháp thử và biến cố:
Nội dung này trình bày các định nghĩa: phép thử, khơng gian mẫu, biến cĩ, biến cố chắc chắn và biến cĩ khơng thể
SGK nâng cao khơng nêu định nghĩa tường minh về biến cố trong khi đĩ SGK cơ bản lại đưa ra định nghĩa: “biến cố là một tập con của khơng gian mẫu” Mặc dù, SGK cơ bản hơn SGK nâng cao là cĩ thêm định nghĩa này song đây chỉ là một định nghĩa mang tính hình thức, khơng phải là định nghĩa chuẩn
2 Xác suất của biến cố:
Phần này giới thiệu cho HS các định nghĩa của xác suất bao gồm: định nghĩa cơ điển và định nghĩa thống kê của xác suất, cách tính xác suất dựa vào định nghĩa cổ dién
Định nghĩa thống kê của xác suất được trình bày trong nội dung chính của bài học trong SGK nâng cao, cịn trong SGK cơ bản thì nĩ được trình bày trong
bài đọc thêm
Trang 12Nội dung này bao gồm các khái niệm: hợp và giao của hai biến cĩ, hai biến cố xung khắc, hai biến cố độc lập và quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất
Ở ban cơ bản thì các khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc
được học trước khi đưa ra khái niệm xác suất, cịn ở ban tự nhiên thì ngược lại
Tuy cĩ sự sắp xếp khác nhau song khơng ảnh hưởng gì đến việc nắm bắt nội dung của HS ban cơ bản và ban tự nhiên
SGK nâng cao cịn cĩ thêm quy tắc cộng cho nhiều biến cố đơi một xung khắc và quy tắc nhân cho nhiều biến cố Trong khi đĩ, SGK cơ bản lại cĩ thêm mở rộng cơng thức cơng thức cộng xác suất cho hai biến cố bất kì cùng liên quan đến một phép thử được trình bày trong bài đọc thêm
4 Biến ngẫu nhiên rời rạc:
Nội dung này chỉ cĩ trong SGK nâng cao mà khơng được trình bày trong SGK cơ bản Nĩ gồm cĩ định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc, kì vọng, phương sai
Trang 13Chương 2 Dạy học chủ đề tổ hợp và xác suất ở phố thơng 2.1 Tổ hợp
2.1.1 Hai quy tắc đếm cơ bản
Mục tiêu của bài này là giúp HS nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản, vận dụng chúng để giải các bài tập áp dụng, biết khi nào sử dụng quy tắc cộng, khi nào sử dụng quy tắc nhân và nhiều khi biết cách phối hợp hai quy tắc này để giải các bài tốn tổ hợp
SGK đã trình bày rất chi tiết, cụ thé nhưng để đạt được mục tiêu trên thì
trong quá trình dạy và học nội dung này cần cĩ những lưu ý cho HS:
Việc phát biểu quy tắc cộng và quy tắc nhân trong sách cơ bản và nâng cao cĩ sự khác nhau (như đã trình bày ở phần nội dung triển khai) Nhưng đây chỉ là cách sử dụng ngơn từ khác nhau, về bán chất chúng là một Chỉ cĩ lưu ý thêm là trong quá trình đạy HS ban cơ bản thì cĩ thể mở rộng quy tắc cộng và nhân trong trường hợp tổng quát cho các em
Khi trình bày quy tắc cộng, cần lưu ý cho HS là các phương án (hoặc hành động) ở đây phải phân biệt Tức là khơng cĩ cách nào được xem là thuộc cả hai phương án (hành động) nào đĩ
Vĩ dụ 1:
Lớp 7A cĩ 15 học sinh biết tiếng Anh, 20 học sinh biết tiếng Pháp và 5 học
sinh khơng biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp
Trang 1415 +20 + 5 = 40 (hoc sinh)
Phân tích sai lầm: nếu như khơng cĩ HS nào vừa biết tiếng Anh va tiếng Pháp thì mới được sử đụng quy tắc cộng (do số HS biết tiếng Anh độc lập với số
học sinh biết tiếng Pháp), cịn nếu lớp 7A cĩ những HS vừa biết tiếng Anh vừa
biết tiếng Pháp thì khơng được sử dụng trực tiếp ngay quy tắc cộng (do số HS
biết tiếng Anh khơng độc lập với số HS biết tiếng Pháp)
“Chú ý” trong SGK đưa ra quy tắc cộng phát biêu dưới dạng tập hợp:
“Nếu 4 và B 1a hai tap hop hữu hạn khơng giao nhau thì số phần tử của AU B được tính bằng số phần tử của 4 cộng với số phần tử của Ø:
AU B|=|A|+|B|” (2 1)
Tương tự, khi dạy nên yêu cầu HS phát biểu quy tắc cộng cho nhiều tap hop: “Nếu 4, 4›, , 4¿ là các tập hữu hạn đơi một khơng giao nhau thì:
AiU4;U U 4¿| = |4i|+|4:|+ +|Az|7” (2 2) Trong quá trình dạy phải lưu ý cho HS là các tập hợp phải “hữu hạn phần tử ” và “đơi một khơng giao nhau”
Quy tắc nhân được phát biêu cho một cơng việc gồm hai hoặc nhiều cơng đoạn Nhưng khi dạy cần lưu ý cho HS là số cách của cơng đoạn sau khơng phụ
thuộc vào cách nào của cơng đoạn trước
Khi dạy nên lấy thêm ví dụ mà HS dễ nhằm lẫn trong quá trình sử dụng quy tắc nhân
Trang 15Xếp các bạn A, B, C, D vào các vị trí 1, 2, 3, 4 trong một bàn học Biết rằng bạn A khơng ngồi ở vị trí thứ 1, vị trí thứ 2 dành cho B hoặc C, hỏi cĩ bao nhiêu
cách xếp?
Cĩ học HS giải như sau:
Bước I: VỊ tri thir 1: cĩ 3 cách chọn (B, C, D) Bước 2: VỊ trí thứ 2: cĩ 2 cách chọn (B, C)
Bước 3: VỊ trí thứ 3: cĩ 2 cách chọn (hai người cịn lại sau hai bước) Bước 4: VỊ trí thứ 4: cĩ I cách chọn (người cịn lại)
Vậy số cách chọn là: 3.2.2 I= 12 (cách) Phân tích sai lầm:
Theo cách làm trên thì vị trí thứ nhất và vị trí thứ hai đều cĩ chọn B hoặc C,
điều này là vơ lí (vì B hoặc C khơng thê cùng lúc ngồi ở cả hai vị trí) Lời giải đúng:
Bước I: VỊ trí thứ 2: cĩ 2 cách chọn (B, C)
Bước 2: VỊ trí thir 1: co 2 cach chọn (khác A và người đã chọn ở bước I) Bước 3: VỊ trí thứ 3: cĩ 2 cách chọn (trừ hai người đã chọn ở bước l và bước 2) Bước 4: VỊ trí thứ 4:cĩ I cách chọn (người cịn lại) Vậy số cách chọn là: 2.2.2 1 =8 (cách) Học sinh dễ nhằm lẫn quy tắc cộng với quy tắc nhân: Vi du 3:
Nhĩm văn nghệ của trường cĩ 6 ban Nhung nha trường chỉ chọn ra 2 bạn để tham gia biểu diễn cấp tỉnh Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?
Trang 16Ban thir 1: Co 6 cach chon
Ban thir 2: Co 5 cach chon (trong số các bạn cịn lai)
= Số cách chọn: 5 + 6 =11 (cách) Phân tích sai lầm:
HS đã sai lầm khi cho rằng bạn thứ nhất và bạn thứ hai là chọn như nhau
Nếu sử dụng quy tắc cộng thì HS hiểu theo nghĩa: cĩ thể chọn bạn thứ nhất hoặc bạn thứ hai chứ khơng phải đồng thời cả hai bạn
Lời giải đúng:
Ban thứ l: cĩ 6 cách chon Bạn thứ 2: cĩ 5 cách chọn
= Số cách chọn là: 6 5=30 (cách)
Thực chất của quy tắc nhân là được suy ra từ quy tắc cộng “thực hiện một
cơng việc gồm hai cơng đoạn, cơng đoạn l cĩ thể thực hiện theo + cách, ứng với mỗi cách của cơng đoạn l1 cĩ ¿ cách thực hiện cơng đoạn 2 tức là cĩ: „ + + + = m.n (cách) ~~ (2.3) m Tuy vậy, cần cĩ lưu ý thêm cho HS phân biệt giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân để các em tránh sai lầm: + Quy tắc cộng:
Một cơng việc cĩ thể thực hiện theo k phương án (4¡ hoặc 4s hoặc ;),
cơng việc được hồn thành bởi một cách của một phương an nao đĩ
Trang 17Một cơng việc được thực hiện theo & cơng đoạn (441i, ⁄1›, , ⁄1;.), cơng việc phải được hồn thành bởi & bước thực hiện liên tiếp: thực hiện một cách ở cơng
đoạn 4, một cách ở cơng đoạn 4›, , một cách ở cơng đoạn 41
Khi dạy chúng ta nên vận dụng phương pháp dạy học theo nhĩm vào bài này Ví dụ: đưa ra một số bài tốn về hai quy tắc đếm ghi trên phiếu học tập sau đĩ phát cho từng nhĩm Mỗi thành viên trong nhĩm độc lập nghiên cứu lời giải các bài tốn ghi trong phiếu Sau đĩ, cả nhĩm thảo luận khi nào, bài nào thì sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân Trong mỗi bài tốn nên cĩ cả hai quy tắc, tạo điều kiện để HS phân biệt được hai quy tắc đĩ
Trong SGK nâng cao cĩ bài đọc thêm về quy tắc cộng mở rộng cho hai tập hợp hữu hạn bắt kì:
“ Cho hai tập A, hữu hạn bất kì, ta cĩ:
AUZØ|=|A|+|B|-|4n BỊ” (24)
Nên giải thích thêm cho các em thơng qua biểu đồ ven
Trang 18Xét ví dụ l cĩ cho thêm dữ kiện:
“ Lớp 7A cĩ 15 học sinh biết tiếng Anh, 20 học sinh biết tiếng Pháp và 5
học sinh khơng biết cả hai thứ tiếng này Biết rằng số học sinh biết cả tiếng Anh
và tiếng Pháp là 3 em Tính số học sinh lớp 7A?” Gọi: Tập hợp số học sinh lớp 7A biết tiếng Anh là 4
Tập hợp số học sinh lớp 7A biết tiếng Pháp là Ở
Vậy: Tập hợp số học sinh biết ít nhất một trong hai thứ tiếng là 4 U Ư Tập hợp số học sinh biết cả hai thứ tiếng là 4 f\ Ư Ta cĩ: AUZ|= |4|+|8|— |An BỊ Mà Al = 15 B| = 20 ANB =3 > AU Bl = 154+ 20-3 = 32 Vậy số học sinh lớp 7A là : 32 + 5 = 37 (học sinh) 2.1.2 Hoan vi, chính hợp và tổ hợp
Mục tiêu của bài này là giúp HS hiểu rõ thể nào là hốn vị cua n phan tử,
chỉnh hợp chập k của + phần tử, tổ hợp chập & của + phần tử Biết tính và biết
khi nào sử dụng các cơng thức tính số hốn VỊ, số chỉnh hợp, số tổ hợp
Khi day ching ta cần cĩ những lưu ý sau:
29 66,
Trang 19cho rằng hốn vị với số các hốn vị, chỉnh hợp với số các chỉnh hợp, tổ hợp với số các tổ hợp là như nhau
Định nghĩa chỉnh hợp chỉ xét với &k nguyên dương, & < ®, việc xét & = 0 là
khơng cĩ ý nghĩa Nhưng sau khi đã quy ước 0! = 1 và 4? = 1 thi cơng thức:
ko
A, ~
(nm! 9)
dùng cho cả trường hợp & = 9, & = n
Đối với cơng thức 4Ÿ = n.(n — 1) (n — k+ 1) chỉ đúng với 0< k<n,
k € “2, trường hợp & = 0 là khơng thỏa mãn
Định nghĩa tổ hợp cũng chỉ xét với k nguyên thỏa mãn 1 < # < ø, khi quy
Trang 20Bốn bạn sẽ ngồi vào 4 chỗ của bàn học nên số cách xếp là: 6! v4 Ủ —_ Œ§ = TỦ 15 Phân tích sai lầm: Làm như trên HS đã khơng xét các vị trí của mỗi bạn trong bàn nên đã dẫn đến sai lầm Ở ví dụ này phải tính số cách xếp là: ¡6 Ai = 5 7 360 (cach) Ta lấy thêm ví dụ cĩ sử dụng cá hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp để HS rõ sự khác nhau giữa chúng: Vi du 5:
Cho 3 diém A, B, C phan biét
a) Cĩ bao nhiêu cách ghi 3 điểm đĩ trên một đường thẳng
b) Với 3 điểm này cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ khác ở
c) Gia st A, B, C khong thang hang Cĩ bao nhiêu đường thang di qua 2 trong 3
điểm đĩ
đ) Giá sử A, B, C khơng thẳng hàng Cĩ thể lập được bao nhiêu tam giác nhận 3 điểm đĩ làm đỉnh
Ở ý a) khi xếp 3 điểm nằm trên I đường thẳng thì 3 điểm đĩ nằm ở 3 vị trí
cĩ thứ tự (cĩ điểm nằm giữa hai điểm cịn lại, điểm nằm bên trái hay bên phải
Trang 22C? ¡=C#—) TC) „, "¬ (2.11) Chia = = Cit + Chats Ch = ChE CET = CRT + C84, > Ch = CMT + CA} + + CI (k <n) 2.1.3 Nhị thức Niu-ton
Mục tiêu của bài này là giúp HS năm được cơng thức nhị thức Niu-tơn,
cách thiết lập hàng thứ ø + 1 của tam giác Pa-xcan khi đã biết hàng thứ 6, biết
vận dụng cơng thức nhị thức Niu-tơn để tìm khai triển các đa thức dạng (ax +b)",
Khi đạy nội dung này chúng ta cần cĩ những lưu ý sau:
Việc đưa ra cơng thức nhị thức nhị thức Niu-tơn cho HS mang tính chất
thừa nhận, khơng yêu cầu chứng minh:
(a + by” = Can + Cpan—1pt + + Crh lap! + cry"
= = Lcke mo EỤE, (2.12)
Khai triển (œ — b)” được suy ra từ cơng thức nhị thức Niu-tơn:
(a — b)" = [a + (—b)]" = CRa"(—b)U + Caa" 1(—b)! + +C?a9(—b)"
Trang 23Trong cơng thức nhị thức Niu-tơn lũy thừa của œ giám dần theo các hang tử, lũy thừa của b tăng dần, nhưng ta cĩ thê viết khai triển của (ø -+- b)” theo lũy thừa tăng của œ và giảm của b theo các hạng tử:
Trang 24Áp dụng cơng thức (2 12) ta cũng cĩ: a (ax +b)" = che ` (2 18) k=0 n (ax + by)” => (az)" *(bụ)" = » " (2 19) k=0
Từ đĩ áp dụng dé tìm hệ số của #“ hoặc z°” Đây là dạng bài tập rất cơ bản
phải chú ý HS biết cách khai triển để giải Vi du 8: Tìm hệ số của #Ÿ trong khai triển nhị thức (⁄ + #)!2 Áp dụng cơng thức (2 12) ta cĩ: (V#+z)Ð =3chu# Jara 15 tk „„Lỗ—$ Cis# k=0 Bac) Pokal, Vậy với k = 14 thì hệ số của zŸ trong khai triển là: 5) Cũ = im] =
Đối với tam giác Pa-xcan thì cần nhắn mạnh cho HS quy tắc thiết lập mỗi hàng của tam giác từ hàng trước nĩ Trong SGK cơ bản thì khơng cĩ quy tắc
này, chỉ cĩ SGK nâng cao mới đưa ra cụ thể, do vậy cần hướng dẫn chỉ tiết, để
Trang 25Hàng thứ + của tam giác Pa-xcan là một dãy gồm ø - 1 số:
Co Na
Đây là các hệ số trong khai triển (œ + b)* , để tính các hệ số này ngồi bằng cơng thức (2 7) ta cĩ thể sử đụng tam giác Pa-xcan dé tính Nhưng cách này chỉ sử
dụng với + nhỏ, đối với + khá lớn thì nên dùng cơng thức (2 7) Giả sử với n = 100 thi viéc tim Cy bằng tam giác Pa-xcan là khơng khả quan vì như vậy ta
phái thiết lập hàng thứ 100 của tam giác
2.2 Xác suất
Ở phần này giữa sách cơ bản và sách nâng cao cĩ sự trình bày khác nhau
Do đĩ, chúng ta sẽ cùng nhau nghiên cứu các lưu ý theo từng vấn đề: 2.2.1 Phép thứ và biến cố
Mục đích là giúp HS nắm được hai khái niệm của lí thuyết xác suất là phép thử và biến cĩ
Khi dạy nội dung này chúng ta cần cĩ những lưu ý sau:
Phân biệt “phép thử” và “phép thử ngẫu nhiên” cho HS “Phép thử” là một thí nghiệm hay một hành động nảo đĩ, “phép thử ngẫu nhiên” là một phép thử
mà kết quả của nĩ khơng đốn trước được nhưng lại cĩ thể xác định được tập
hợp tất cả các kết quả cĩ thể cĩ của phép thử đĩ Nhưng để đơn giản, người ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử và lưu ý trong quá trình dạy HS phổ thơng ta chỉ xét các phép thử cĩ một số hữu hạn kết quả
Trang 26nĩ liên quan đến các khái niệm được học sau
Vi du 9:
Cho phép thử 2': “Gieo ba đồng xu phân biệt”
Hãy xác định khơng gian mẫu của phép thử trên
O={|ANN,NNS,NSN,SNN,SNS,SSN,S56, N95}
O vi du nay dé tránh nhằm lẫn cho HS ta nên hướng dẫn các em tìm ra số phần tử của © rồi mới viết tập © để tránh thiếu xĩt:
Đồng xu thứ nhất cĩ 2 khả năng (%, Ä) Đồng xu thứ hai cĩ 2 kha năng (S, W)
Đồng xu thứ ba cĩ 2 khả năng (%, Ä')
=> Số khả năng xảy ra của phép thử là: 2.2.2=8 SGK cơ bản định nghĩa về biến cố như sau:
“Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu”
Với định nghĩa này thì SGK đã đồng nhất biến cĩ 44 với tap (24 (các kết qua
thuận lợi cho ⁄1) Đây là một cách định nghĩa mang tính hình thức Phải cho HS
hiểu rằng biến cố 4 chính là một sự kiện hay hiện tượng mà ta khơng thể đốn
trước nĩ cĩ xảy ra hay khơng, cịn tập ©)+ là tập gồm các kết quả thuận lợi cho 4 khi thực hiện phép thử
Sau khi định nghĩa biến cố chắc chắn và biến cố khơng thẻ, nên lay vi dụ dé
Trang 27Xét phép thử : “Gieo một con súc sắc”
Biến cĩ 4 là: “Số cham xuất hiện là 1, 2, 3, 4, 5, 6”
Biến cĩ B là: “Số chấm xuất hiện là 7”
A là biến cố chắc chắn, B là biến cơ khơng thẻ 2.2.2 Các định nghĩa xác suất
Để xác định biến cố nào cĩ khả năng xảy ra cao hơn biến cố khác, Tốn học đã định lượng hĩa bằng cách gán cho mỗi biến cố một số khơng âm nhỏ hơn hoặc bằng 1 Đĩ là xác suất của biến cĩ
SGK đã đưa vào định nghĩa cơ điển và định nghĩa thống kê của xác suất dé dạy cho HS :
Việc định nghĩa xác suất theo định nghĩa cổ điển được quy về việc đếm số
phần tử của khơng gian mẫu và đếm số phần tử của tập con mơ tả biến cố đang
xét Việc này cĩ liên quan chặt chẽ đến các kiến thức về tổ hợp đã được học ở
phần trước Do đĩ, để HS học tốt nội dung này thì phải yêu cầu các em nắm chắc phần tơ hợp
Dé giải một bài tốn tính xác suất theo định nghĩa cổ điển bao gồm ba bước:
+ Bước I1: Tính số phần tử của khơng gian mẫu
+ Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mơ ta biến cố đang xét + Bước 3: Lấy kết quả bước 2 chia cho kết quả bước 1
Nhiều bài tốn, HS sẽ gặp khĩ khăn và thường mắc sai lầm ngay trong việc thực
hiện bước I và bước 2 Do đĩ, cần hướng dẫn các em thực hiện từng bước một
Trang 28Ví dụ 11 :
Trong một nhĩm cĩ + người (n < 365) Biết rằng khơng cĩ ai sinh vào năm nhuận Hãy tính xác suất để trong nhĩm cĩ ít nhất 2 người cĩ cùng ngày sinh Hướng dẫn :
Giả sử người thứ ¿ cĩ ngày sinh là ¢; trong nam (¢; € {1,2, ,n})
Bộ (fi,f›, #„,) là bộ ngày sinh của + người (; € {1,2, , 365})
Khơng gian mẫu :
Ò ={(H,®, f„)| € {1,2, ,365}} > Q| = 365"
Biến cố 4 : “ Cĩ ít nhất 2 người trong nhĩm cĩ cùng ngày sinh”
= Biếncố A: “Khơng cĩ ai trong nhĩm cĩ cùng ngày sinh” =_ Qi|= 365.364 (365 — n + 1) [Oa Q => P(A)=1-P(A)=1-
Khi sử dụng định nghĩa cơ điển của xác suất cần lưu ý các điều kiện sau: + Khơng gian mẫu (2 la một tập hữu hạn các kết quả
+ Các kết quả của một phép thử là đồng khả năng
Vĩ dụ 12 :
Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất
Trang 29Tinh P(A) Hướng dẫn: Biến cố AI Biến cố 4s: Biến cổ 4; : Biến cố A¿ : Biến cổ 4; : Biên cơ 4 :
Trang 30Khi các điều kiện trong định nghĩa cổ điển của xác suất bị vi phạm thì ta sử dụng định nghĩa thống kê của xác suất Với định nghĩa này ta cĩ thể sử dụng cho bất kì phép thử nào Trong SGK cĩ viết “người ta chứng minh được rằng khi số
lần thử A càng lớn thì tần suất của biến cố cũng gần tới một số xác định, số đĩ được gọi là xác suất của biến cố” Thực ra đây là một cách phát biểu trực quan
về một định lý quan trọng về xác suất mà HS phơ thơng khơng được học, đĩ là
“luật số lớn”:
“Gọi ƒv(4) là tần suất của biến cé A trong @' phép thử Khi đĩ ta cĩ:
lim fy(A) = P(A)” (2 20)
+
Do giới hạn được học sau tổ hợp và xác suất nên SGK đã khơng phát biểu
chính xác định nghĩa thống kê của xác suất dựa vào giới hạn
Phần định nghĩa thống kê của xác suất nĩi chung chỉ giới thiệu qua dé học sinh biết chứ khơng đưa ra bài tập áp dụng tính xác suất dựa vào định nghĩa này 2.2.3 Các quy tắc tính xác suất
Mục đích của phần này giúp HS nắm chắc khái niệm hợp và giao của hai biến cĩ, hai biến cố xung khắc, độc lập khi nào và giúp HS biết cách vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất đề giải các bài tập xác suất thường gặp
Khi dạy các khái niệm biến cố hợp, biến cĩ giao, ta cần lưu ý cho HS:
+ Biến cố 4U Ø là biến cố “4 hoặc B xảy ra”, các kết quả thuận lợi cho
AÙ là QiUOg
Trang 31về mặt tốn học, cĩ thể đồng nhất một biến cố với các kết quả thuận lợi cho nĩ
Vì thế nếu định nghĩa các biến cố 4, Ư là hai tập con của khơng gian mẫu thì
biến cĩ hợp của 44, là tập 4 U B, biến cĩ giao của A va B 1a tap AN B cing la
các tập con của khơng gian mẫu
Phải phân biệt cho HS thấy được mối quan hệ giữa biến cĩ xung khắc và
biến cĩ đối :
A và Ư xung khắc với nhau 4 Ø = 0© 9n0p = 0 => 4 và 4 là hai biến cố xung khắc
=> Hai biến cĩ đối là hai biến cỗ xung khắc
Nhưng hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cĩ đối
Vi du 13:
Thực hiện phếp thử: “Gieo hai lần một đồng xu” Khơng gian mẫu là: Q={S5,S5N,NS,NN} Biến cố 4: “Cả hai lần xuất hiện mặt sắp” = 41: “Cĩ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” Biến cố Ø: “Cá hai lần xuất hiện mặt ngửa” >AnB=ỹ
Nhưng 4 và / khơng đối nhau (do Ø # 4)
Trang 32Cĩ thể hướng dẫn cho HS chứng minh quy tắc cộng dựa vào định nghĩa cổ
điên của xác suât
Nếu 4, Z là hai biến cố xung khắc thì: P(AU B) = P(A) + P(B) (2.21) Vì: — [Qauzl — |Qa4U Qn] — [Qa] + [Qa| _ P(AUB)= a a ,(do%4N Og = 0) Qa] | [Qa
= hal, FB! _ pra) 4 P(e) jay jay, PM
Tương tự như vậy chứng minh quy tắc cộng cho nhiều biến cĩ đơi một xung khắc (SGK cơ bản khơng cĩ phần này nhưng cĩ thê mở rộng cho HS)
Phải chú ý cho HS là quy tắc cộng cho nhiều biến cố phải đơi một xung khắc chứ khơng đơn thuần chỉ là giao của các biến cơ 4, , 4; là Ø
Tức là: Cho k bién c6 Ay, ., Ag(Ai Aj = 0:4 A Ji, = 1,4),
thi: P(A] U Ag U U Aj) = P(A) + P(Ag) + + P(Ag)- (2 22)
Ta khơng thể diễn tả được hai biến cố độc lập ⁄1 và / bằng mối quan hệ
giữa hai tap 4 va 2g Trong mot sé bai tập, giả thiết độc lập của các biến cố nhiều khi khơng cụ thể, nhưng cĩ thể thấy được thơng qua các biến cố đã cho
dựa vào định nghĩa “hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
khơng xảy ra biến cĩ này khơng làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cĩ kia”
Trong quy tắc nhân xác suất đối với hai biến cĩ bất kì, phải chú ý là “hai
Trang 33cho nhiều biến cố:
“Nếu k biến cố 4, 4›, , 4¿ độc lập với nhau thì:
P(4i.4¿ 4;) = P(4i).P(4;) P(4¿) (2 23)
Biến cơ (4i.⁄4¿ 4;) được hiểu là xảy ra khi các biến cố 4;(2 = 1,k)
đồng thời xảy ra
Ở quy tác này, điều kiện là các biến cố 4\, 4s, , 4; độc lập với nhau chứ
khơng phải là đơi một độc lập với nhau Điều kiện này địi hỏi việc xảy ra hay khơng xảy ra của một nhĩm biến cĩ nào đĩ trong các biến cĩ đã cho khơng ánh hưởng đến xác suât xảy ra của tồn bộ các biên cơ cịn lại
Sau khi học xong quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất, ta thấy cĩ nét giống quy tắc cộng và quy tắc nhân của phần tơ hợp: + Quy tắc cộng trong tổ hợp: “Cho 4, Ø là hai tập hữu hạn, 4 U = Ủ, ta cĩ: AU B|=|A|+ |B Quy tắc cộng xác suất: “Hai biến cĩ 4, xung khắc thì: P(AU B) = P(A) + P(B) Thực chất quy tắc cộng xác suất được suy ra từ quy tắc cộng tơ hợp + Quy tắc nhân tổ hợp:
Trang 34theo +; cách Khi đĩ, cơng việc cĩ thê thực hiện theo ø+1.a (cách)
Quy tắc nhân xác suất:
“Nếu £ biến cố 4¡, 4a, ., 4¿ độc lập thì:
P(4i.4› A;) = P(4i).P(4›) P(4)
Quy tắc nhân xác suất được suy ra từ quy tắc nhân tơ hợp và định nghĩa cơ điển
của xác suât
SGK cơ bản cịn mở rộng quy tắc cộng xác suất cho các biến cơ bất kì trong
bài đọc thêm:
“Với hai biến cĩ 4, bất kì cùng liên quan đến một phếp thử thì ta cĩ: P(AU B) = P(A) + P(B) — P(A.BY” (2 24) Tương tự như đối với hai biến cơ ta cũng suy ra được cơng thức tính xác suất của ba biến cố bất kì liên quan đến cùng một phép thử:
P(AU BUC) = P(4) + P(Đ) + P(C) — P(A.B) — P(B.C) — P(C.4)
+P(A.B.C) (2.25)
2.2.4 Biến ngẫu nhiên rời rạc
Nội dung này chỉ cĩ trong SGK nâng cao, SGK cơ bản khơng trình bày Khi dạy nội dung này ta cần cĩ một số lưu ý sau:
Lưu ý cho HS là các giá trị của X (trên bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X) thường được viết theo thứ tự tăng dẫn từ trái qua phải
Để lập được bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X, hướng
Trang 35+ Bước l: Xác định các giá trị {# #a , #„} của X + Bước 2: Tính các xác suất P(X = #¡) = p;(¡ = 1,n)
Tính P(X = z;) tức là tính xác suất của biến cố “X nhận giá trị :z;”
Trong bảng phân bố xác suất của X, ở địng thứ hai ta phải cĩ cdc pj > 0 va
» pi = L Đây là điều kiện quan trọng, cĩ năm được thì mới lập được bảng
i=l
Nhắn mạnh cho HS rằng biết được bảng phân bố xác suất của X thì coi như ta đã biết đầy đủ về X Từ đĩ về nguyên tắc cĩ thé tinh tất cả các xác suất liên quan tới X
Lưu ý HS là kỳ vọng /2(X) là một số cho ta ý niệm về độ lớn trung bình
của X, kỳ vọng của X khơng nhất thiết là một trong các giá trị của X
Nếu gọi ø¿ và Ä tương ứng là các GTNN và GTLN trong các giá trị của X
thim <a; < M(i=1,n) > mp; < «ip; < Mp(i = 1,n), > So mpi < » ®Ðị € 3` Ap,, i=l =1 =L hay m< E(X) <M Vậy: !⁄(X) € |m, M| Nhận xét này được dùng để kiêm tra sơ bộ xem tính Z(X}) đã đúng chưa
Lưu ý HS ghi nhớ các cơng thức tính #Z(X), V(X),ø(X) Nĩi chung, dé
tính các đại lượng này thì ta phải biết bảng phân bố xác suất của X Do đĩ, khi
Trang 36Trong quá trình dạy nên khuyến khích HS sử dụng máy tính bỏ túi để tính E(X), V(X), a(X)
Trang 37KÉT LUẬN
Trong quá trình nghiên cứu đạy học chủ đề Tổ hợp và xác suất, càng đi sâu
em càng thấy việc dạy chủ đề này cho học sinh hiểu, nắm được và vận dụng là
khơng đơn giản Trong đề tài của mình em đã đạt được các kết quả sau: + Phân tích được nội dung chương trình phần tổ hợp và xác suất
+ Đề xuất các lưu ý trong quá trình dạy học nội dung của chủ đề tổ hợp và
xác suất
Và em thấy rằng nghiên cứu của mình thực sự hữu ích cho việc dạy học nội
dung này sau khi ra trường
Tuy rằng em đã đưa ra một số ý kiến của mình trong đề tài “Dạy học một số yếu tố của tơ hợp và xác suất trong chương trình tốn phổ thơng” nhưng những ý kiến này vẫn mang tính chủ quan, kinh nghiệm nghiên cứu chưa cĩ nên khơng tránh khỏi thiếu sĩt Em mong được quý thầy cơ và các bạn sinh viên gĩp ý để
khĩa luận của em được hồn thiện hơn
Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012 Sinh viên
Trang 38PHỤ LỤC
Dưới đây là hai tiết soạn của bài “Hốn vị, chỉnh hợp và tổ hợp” trong SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao
Bài soạn 1: Hoan vị, chỉnh hợp và tơ hợp Tiết I 1 Mục tiêu: Sau khi học xong bài này HS cần đạt được: 1 Kiến thức: Nắm được định nghĩa hốn vị, cơng thức tính số hốn vị của tap n phan tu 2 Ki nang: Biết cách xác định bài tập dạng hốn vị và biết tính số hốn vị của tập n phần tử 3 Thái độ: HS tự giác, tích cực, chủ động trong học tập II Chuẩn bị của GV và HS: 1 Chuẩn bị của GV:
- Chuẩn bị phương tiện và đồ dùng dạy học
Trang 392 Chuẩn bị của HS:
- Đọc bài trước ở nhà
II Tiến trình dạy học:
1 Ơn định lớp:
Kiểm tra sĩ số, ghi số đầu bài 2 Kiểm tra bài cũ:
Kiểm tra quy tắc cộng, quy tắc nhân
3 Bài mới: