Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học_2

Header Page of 128 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 Footer Page of 128 Header Page of 128 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 Footer Page of 128 Header Page of 128 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu tơi (từ tháng năm 2014 đến tháng năm 2015), sở tham khảo tài liệu, tham dự buổi hội thảo chuyên đề Toán học kinh nghiệm qua năm công tác Footer Page of 128 Header Page of 128 ii Mục lục Mở đầu Phương pháp tọa độ tính chất liên quan 1.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian 1.1.1 Véctơ tọa độ đường thẳng 1.1.2 Véctơ tọa độ mặt phẳng 1.1.3 Véctơ tọa độ không gian 1.2 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng 1.2.1 Dạng toán phải chọn hệ trục tọa độ 1.2.2 Dạng toán cho trước hệ trục tọa độ 1.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ khơng gian 1.3.1 Dạng tốn phải chọn hệ trục tọa độ 1.3.2 Bài tập tương tự 4 5 7 15 18 18 26 Phương pháp tọa độ hình học tổ hợp số học 30 2.1 Dạng tốn hình học tổ hợp 30 2.2 Dạng tốn mạng lưới vng 36 Một số đề toán Olympic 52 3.1 Đề toán phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian 52 3.2 Đề tốn hình học tổ hợp mạng lưới ô vuông 55 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 Footer Page of 128 Header Page of 128 Mở đầu Lí chọn đề tài Chuyên đề phương pháp tọa độ có vị trí quan trọng tốn học bậc trung học phổ thơng Nó khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm hình học mà công cụ đắc lực nhiều lĩnh vực giải tích, đại số, lượng giác ứng dụng khác Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Tốn quốc tế tốn liên quan đến dạng tốn rời rạc hình học tổ hợp số học hay đề cập xem dạng toán thuộc loại khó Các tốn dạng thường đề cập chương trình tốn bậc trung học phổ thông Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ, luận văn "Phương pháp tọa độ hình học tổ hợp số học" nhằm cung cấp số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận dạng tốn từ hình học tổ hợp số học liên quan Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa Lý thuyết cách giải dạng tập Hình học tổ hợp Số học phương pháp tọa độ đồng thời nắm số kỹ thuật tính tốn liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tốn Hình học tổ hợp Số học giải theo phương pháp tọa độ, tốn liên quan đến lưới vng 3.2 Phạm vi nghiên cứu Footer Page of 128 Header Page of 128 Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, kỷ yếu hội thảo chuyên đề bồi dưỡng HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic; tủ sách chuyên Toán Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu bồi dưỡng cho giáo viên, bồi dưỡng HSG Tham gia buổi seminar: Các chuyên đề tốn phổ thơng, Các trường hè bồi dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn để trao đổi kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn chuyên đề hướng tới bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc học dạy chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo việc dạy học tốn Cấu trúc luận văn Ngồi phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương trình bày phương pháp tọa độ tính chất liên quan Chương trình bày phương pháp tọa độ giải tốn hình học tổ hợp số học Chương trình bày số đề toán thi Olympic Footer Page of 128 Header Page of 128 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình nghiêm túc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Giáo sư - người thầy truyền đạt nhiều kiến thức quý báu với kinh nghiệm nghiên cứu khoa học suốt thời gian tác giả theo học nghiên cứu đề tài Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun; Phòng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin, thầy cô giảng dạy lớp Cao học K7N (Khóa 2013-2015) - trường Đại học Khoa học; Ban giám hiệu Trường THPT Trần Nhân Tông - Nghĩa Hưng - Nam Định gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả suốt trình học tập, cơng tác thực đề tài luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Lại Tiến Đẩu Footer Page of 128 Header Page of 128 Chương Phương pháp tọa độ tính chất liên quan 1.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian Định nghĩa 1.1 (Hệ tọa độ Đề-các tổng quát hệ tọa độ trực chuẩn) a) Trục tọa độ đường thẳng chọn điểm O làm gốc → − − − véctơ → e (→ e khác ) Ta lấy điểm I đường thẳng cho −→ → OI = − e tia OI (có gốc O qua I ) gọi tia dương trục Ta ký hiệu tia Ox Tia đối tia Ox tia âm trục ký hiệu Ox Trục nói ký hiệu trục x Ox b) Trên mặt phẳng cho hai trục x Ox y Oy cắt O Các véctơ − − đơn vị → e1 , → e2 đặt Ox, Oy có chung gốc O Chú ý → − → − − véctơ e1 , → e2 khác , độ dài khác Hệ gồm hai trục cho gọi hệ trục tọa độ tổng quát hay hệ trục tọa độ − − Đề-các xiên góc mặt phẳng, ký hiệu Oxy Cặp véctơ (→ e1 , → e2 ) có thứ tự gọi sở hệ tọa độ Các trục x Ox, y Oy gọi trục hoành trục tung, O gốc tọa độ c) Trong không gian cho ba trục x Ox, y Oy , z Oz có chung gốc O − − − khơng nằm mặt phẳng Gọi → e1 ,→ e2 ,→ e3 véctơ đơn vị → − trục (đơn vị trục), véctơ khác − − − Hệ thống gồm ba trục cho với sở (→ e1 , → e2 , → e3 ) gọi hệ tọa độ Đề -các tổng quát không gian, ký hiệu Oxyz Điểm O gọi gốc tọa độ trục x Ox, y Oy, z Oz gọi trục hoành, trục tung trục cao d) Hệ tọa độ Đề-các vng góc Trong trường hợp trục tọa độ vng góc với đôi (ở O) Footer Page of 128 Header Page of 128 − − véctơ đơn vị trục có độ dài, nghĩa |→ e1 | = |→ e2 | = → − → − → − (trong mặt phẳng) | e1 | = | e2 | = | e3 | = (trong khơng gian), hệ trục tọa độ Oxy (hay Oxyz ) gọi hệ tọa độ Đề-các vng góc hay hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng (hay không gian) 1.1.1 Véctơ tọa độ đường thẳng Trên đường thẳng có định hướng gốc O, điểm M gắn với tọa độ x ký hiệu M = (x) Giả sử hai điểm A, B nằm đường thẳng Ox có tọa độ A = (a), B = (b) số b − a gọi tọa độ véctơ −→ −→ −→ −→ AB , ký hiệu AB = (b − a) Độ dài véctơ AB , ký hiệu |AB| = |b − a| Với ba điểm A, B, C đường thẳng, ta có −→ −−→ −→ (a) AB + BC = AC ; −→ −−→ −→ (b) |AB| + |BC| ≥ |AC| −→ −−→ Dấu đẳng thức (b) xảy hai véctơ AB BC −→ −−→ hướng, tức tồn số k > cho AB = k BC có hai véctơ véctơ không 1.1.2 Véctơ tọa độ mặt phẳng − − Trên mặt phẳng xét hệ trục tọa độ Đề-các vng góc x Ox, y Oy với → e1 , → e2 véctơ đơn vị −−→ − − Nếu OM = x→ e1 + y → e2 x, y gọi tọa độ điểm M ký hiệu M (x; y) − − − Nếu → a = a1 → e1 + a2 → e2 a1 , a2 gọi tọa độ véctơ a ký hiệu → − a = (a1 ; a2 ) → − − Cho điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) véctơ → a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) Ta có, −→ AB = (xB − xA ; yB − yA ), → − → − a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ), → − → − − a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ), k → a = (ka1 ; ka2 ), → − a1 = b → − a = b ⇔ a2 = b → − → − → − a b (khác ) phương với a1 b2 = a2 b1 −→ −→ Độ dài AB |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 − − Độ dài véctơ → a |→ a | = a21 + a22 Footer Page of 128 Header Page 10 of 128 → − → − − − Tích vơ hướng hai véctơ → a b , ký hiệu → a b định nghĩa: → − → − → − → − − − a b = |→ a |.| b | cos(→ a , b ) → − − Biểu thức tọa độ tích vơ hướng → a b = a1 b1 + a2 b2 → − → − a vng góc với b a1 b1 + a2 b2 = Cơng thức tính góc hai véctơ: → − − cos(→ a, b)= a1 b + a2 b a21 + a22 b21 + b22 Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng( ) có phương trình Ax + By + C = là: d(M, ) = 1.1.3 |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B Véctơ tọa độ không gian − − − Trong không gian xét hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Oxyz với → e1 , → e2 , → e3 véctơ đơn vị −−→ − − − Nếu OM = x→ e1 + y → e2 + z → e3 ta gọi x, y, z tọa độ điểm M ký hiệu M (x; y; z) − − − − − Nếu → a = a1 → e + a2 → e + a3 → e3 ta gọi a1 , a2 , a3 tọa độ → a ký → − hiệu a = (a1 ; a2 ; a3 ) → − − Cho điểm A(xA ; yA ; zA ), B(xB ; yB ; zB ) véctơ → a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có −→ AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ), → − → − a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ), → − → − a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ), − k→ a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ),  a1 = b1 → − → − a2 = b2 a = b ⇔  a3 = b3 → − → − → − a b (khác ) phương với số (a ; a ; a ) tỉ lệ với số (b1 ; b2 ; b3 ) −→ −→ Độ dài AB |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 − − Độ dài véctơ → a |→ a | = a21 + a22 + a23 → − → − − − Tích vô hướng hai véctơ → a b , ký hiệu → a b định nghĩa: → − → − → − → − − − a b = |→ a |.| b | cos(→ a , b ) Footer Page 10 of 128 Header Page 56 of 128 52 Chương Một số đề toán Olympic 3.1 Đề toán phương pháp tọa độ mặt phẳng khơng gian Bài tốn 3.1 (IMO năm 1962) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có ABCD A B C D tương ứng đáy đáy Một điểm X chuyển động với tốc độ khơng đổi dọc theo chu vi hình vuông ABCD Điểm Y chuyển động tốc độ dọc theo chu vi hình vng B C CB Điểm X xuất phát từ A phía B Y rời từ B để hướng C Tìm quỹ tích trung điểm XY Hướng dẫn giải Ta kí hiệu O1 , O2 , O3 tâm mặt ABB A , BB C C ABCD Ta chứng minh quỹ tích trung điểm K XY đường gấp khúc O1 O2 CO3 O1 Giả sử A gốc toạ độ, AB, AD, AA trục toạ độ Ox, Oy, Oz tương ứng Đặt AB = AD = AA = Chia thời gian điểm X chạy đường ABCDA làm phần lấy phần làm đơn vị thời gian Nhận xét: Ta biết điểm H chuyển động thẳng phụ thuộc toạ độ vào thời gian phụ thuộc tuyến tính ngược lại, phụ thuộc toạ độ điểm H vào thời gian tuyến tính K chuyển động thẳng Nếu K trung điểm đoạn XY với X(x1 , y1 , z1 ), Y (x2 , y2 , z2 ) toạ độ x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 K K , , 2 Ứng dụng nhận xét nêu trên, ta lập bảng phụ thuộc toạ độ điểm X, Y, K vào t sau đây: Footer Page 56 of 128 Header Page 57 of 128 53 Hình 3.1: Khi t = 0, 1, 2, 3, dễ dàng thấy K tương ứng vị trí O1 , O2 , O3 , O1 ; đoạn chúng, toạ độ K thay đổi tuyến tính, nghĩa K vẽ khơng gian đoạn thẳng O1 O2 , O2 C, CO3 , O3 O1 có nghĩa K chuyển động theo hình thoi O1 O2 CO3 O1 Quá trình chứng minh cho thấy điều đảo lại rõ ràng Bài toán 3.2 (Đề thi HSG lớp 12, tỉnh Nam Định, năm học 2014-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T ): 2x2 +2y −2x+2y −1 = hai đường thẳng d1 : x − y + = 0, d2 : 6x + 4y − = Từ điểm M d1 kẻ hai tiếp tuyến phân biệt M A, M B tới đường tròn (T ), (A, B hai tiếp điểm), viết phương trình đường thẳng AB biết đường thẳng d2 qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác M AB Lời giải 2 Ta có 2x2 + 2y − 2x + 2y − = ⇔ x − + y+ = 2 −1 Do đường tròn (T ) có tâm I ; , bán kính R = 2 Gọi K giao điểm M I với đường tròn (T ) (K M I ) Chứng minh K tâm đường tròn nội tiếp ∆M AB −1 Nhận thấy d1 cắt d2 d2 qua tâm I( ; ) nên K nằm d2 2 M giao d1 d2 Footer Page 57 of 128 Header Page 58 of 128 54 −3 −3 x−y+4=0 , y = Suy M ; có nghiệm x = 6x + 4y − = 2 2 Đường tròn (T1 ) đường kính M I có phương trình x2 + y + x − 2y − = Mặt khác, A, B giao điểm (T ) (T1 ) nên tọa độ điểm A, B thỏa mãn hệ: x2 + y − x + y − = Suy 4x − 6y − = x2 + y + x − 2y − = Xét hệ: Vậy phương trình đường thẳng AB 4x − 6y − = Bài toán 3.3 (Đề thi HSG tỉnh Nam Định, năm 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(1; −2), B(3; 0) Gọi H trực tâm tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB có tâm I(4; −3) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hình 3.2: Hướng dẫn giải - Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB qua AB - Tìm tọa độ I (0; 1) đối xứng với I qua đường thẳng AB - Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với tâm I (0; 1) bán kính I A = √ 10, có phương trình là: x2 + (y − 1)2 = 10 Footer Page 58 of 128 Header Page 59 of 128 55 Bài toán 3.4 (Đề thi HSG lớp 12, tỉnh Nam Định, năm học 2014-2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = √ √ a 2, SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi E, F trung điểm SD AD 1) Chứng minh đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng (BEF ) 2) Gọi (P ) mặt phẳng qua B, E vng góc với mặt phẳng (BEF ) Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P ) Hướng dẫn giải 1) Vì SA⊥(ABCD) ⇒ SA⊥AC Có EF đường trung bình tam giác SAD ⇒ EF ⊥AC (1) AF AB Xét hai tam giác vuông AF B BAC có = =√ BA BC ⇒ ∆AF B ∼ ∆BAC ⇒ AC⊥BF (2) Từ (1) (2) suy AC⊥(BEF ) 2) Ta dựng mặt phẳng (P ) dùng phương pháp phân chia thể tích để tính khoảng cách Hoặc sử dụng phương pháp tọa độ: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc O trùng điểm A, B thuộc trục Ox, D thuộc trục Oy , S thuộc trục Oz , từ viết phương trình mặt phẳng (P ), áp dụng công √ thức khoảng cách từ điểm 2a đến mặt phẳng ta tính d(D, (P )) = 3.2 Đề tốn hình học tổ hợp mạng lưới vng Bài tốn 3.5 (IMO năm 1964) Có 17 nhà bác học, người trao đổi thư từ với 16 người khác Trong thư, họ bàn ba đề tài, hai nhà bác học bàn với đề tài Chứng minh có khơng nhà bác học bàn với đề tài Hướng dẫn giải Xem nhà bác học A Vì A viết thư cho 16 nhà bác học lại ba vấn đề (gọi vấn đề I, II, III), nên A phải trao đổi với nhà bác học vấn đề Giả thử vấn đề I, nhà bác học B, C, D, E, F, G Sáu nhà bác học trao đổi với vấn đề I, II, III Nếu có cặp đó, chẳng hạn cặp B, C trao đổi với vấn đề I, Footer Page 59 of 128 Header Page 60 of 128 56 toán chứng minh: nhà bác học A, B, C trao đổi với vấn đề I Ta xét trường hợp B, C, D, E, F, G trao đổi với vấn đề II III Vì B trao đổi với người hai vấn đề, nên B phải trao đổi với người vấn đề Giả thử vấn đề II nhà bác học C, D, E Mà ta xét C, D, E trao đổi với vấn đề II III Nếu có hai người đó, chẳng hạn C, D trao đổi với vấn đề II, tốn chứng minh: nhà bác học B, C, D trao đổi với vấn đề II Khả lại nhà bác học C, D, E trao đổi với vấn đề III: trường hợp này, toán chứng minh Bài tốn 3.6 (IMO năm 1973) Một người lính làm nhiệm vụ rà mìn, cần phải dò khắp khu vực có hình tam giác Máy dò mìn có bán kính dò hiệu nửa chiều cao tam giác Người lính đỉnh tam giác Hỏi nên theo đường đường ngắn mà dò khắp miền tam giác ? Hướng dẫn giải Khơng tính tổng qt, ta giả sử khu vực cần rà mìn tam giác ABC có cạnh 1, người lính khởi từ đỉnh A Anh ta cần phải rà đến hai đỉnh tam giác Do đó, con√đường di chuyển phải giao với hai đường tròn tâm B , C , bán kính Giả sử đường người lính cắt hai đường tròn tâm B, C nói tương ứng X Y , giả sử đến X trước, đến Y sau Để đường ngắn nhất, rõ ràng đường từ A đến X từ X đến Y phải đường thẳng Hơn nữa, đường ngắn từ X đến đường √ tròn tâm C phải nằm đường thẳng XC có độ dài AX + XC − Vì lẽ ta tìm điểm X cho AX + XC cực tiểu Xét √ điểm P , giao đường cao BK kẻ từ B với đường tròn tâm B bán kính Ta thấy P điểm tùy ý khác P nằm đường thẳng qua P vng góc với BK , ta ln có AP + P C > AP + P C Bây giờ, với X nằm đường tròn tâm B nói trên, gọi P giao điểm Footer Page 60 of 128 Header Page 61 of 128 57 AX với đường thẳng qua P vng góc với BK , ta được: AX + XC > AP + P C > AP + P C Như vậy, ta chọn X trùng với P xác định Vấn đề lại kiểm √ , tra xem ba hình tròn tâm A, X, Y (xác định nói trên), bán kính có phủ trọn vẹn tam giác hay không Điều rõ ràng, hình tròn tâm X phủ gần trọn tam giác, ngoại trừ phần nhỏ gần điểm A phần nhỏ gần điểm C√, mà phần phủ hình tròn tâm A Y bán kính Bài tốn 3.7 (IMO năm 1974) Một bàn cờ × ơ, chia thành p hình chữ nhật rời (đường kẻ phân chia dọc theo đường ranh giới ô bàn cờ) cho hình chữ nhật có số trắng số đen hình chữ nhật có tổng số vng (ở hình) khác Tìm giá trị lớn có p tập kích thước có hình chữ nhật Hướng dẫn giải Điều kiện hình chữ nhật có số trắng số đen có nghĩa hình chữ nhật có số chẵn vng Ta có + + + + 10 + 12 + 14 + 16 = 72 > 64 phải có p < Có khả phân chia số 64 thành tổng số không nhau: + + + + 10 + 12 + 22; + + + + 10 + 14 + 20; + + + + 10 + 16 + 18; + + + + 12 + 14 + 18; + + + 10 + 12 + 14 + 16 Khả bị loại bỏ hình chữ nhật có 22 vng phải có cạnh dài (đơn vị ô) Các khả lại chấp nhận được, cụ thể, phân chia sau: 1) Trường hợp 1: (Trong bảng ta hiểu "các số 1" nằm hình chữ nhật kích thước × 5) 2 2 2 Footer Page 61 of 128 Header Page 62 of 128 58 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 5 6 5 6 4 4 4 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 7 2 5 6 2 5 6 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 4 4 6 7 4 4 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 7 2) Trường hợp 2: 3) Trường hợp 3: 4) Trường hợp 4: Footer Page 62 of 128 Header Page 63 of 128 59 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 5 6 5 6 5 Bài toán 3.8 (IMO năm 1986) Cho trước số đỉnh mạng lưới ô vuông, chứng minh ta tơ màu đỉnh hai màu xanh đỏ cho đường nằm ngang đường thẳng đứng số điểm tô đỏ số điểm tô xanh xấp xỉ Lời giải Gọi T tập hợp hữu hạn đỉnh mạng lưới ô vuông Xét đường thẳng L tùy ý song song với trục tọa độ cắt tập hợp T theo thứ tự điểm A1 , A2 , A3 , , Ak (thứ tự từ trái sang phải từ lên trên) Nối A1 A2 , A3 A4 , Cũng làm với đường thẳng L khác Khi đó, ta họ đoạn thẳng điểm T thuộc khơng q hai đoạn Vì vậy, ta đường gấp khúc khơng có đỉnh chung Các đường gấp khúc gồm số chẵn đoạn Ta tơ màu xen kẽ đỏ, xanh, đỏ, xanh đường gấp khúc Các điểm rời rạc khác khơng thuộc đường gấp khúc ta tô màu tùy ý Ta cách tô màu thỏa mãn điều kiện đầu điểm nằm đường song song với trục tọa độ nối với đoạn mà đầu mút đầu cuối có màu khác Bài toán 3.9 (Đề thi HSG Quốc gia năm 2003, bảng B) Xét số nguyên n, (n > 1) Người ta muốn tô tất số tự nhiên hai màu xanh, đỏ cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: i) Mỗi số tô màu màu dùng để tô vô số số; ii) Tổng n số đôi khác màu số có màu Hỏi thực phép tơ màu nói hay không, nếu: a) n = 2002 b) n = 2003 Lời giải a) Xét n = 2002 Ta chứng minh câu trả lời cho câu hỏi tốn trường hợp “khơng” Footer Page 63 of 128 Header Page 64 of 128 60 Thật vậy, giả sử ngược lại, ta tô tất số tự nhiên hai màu xanh, đỏ cho số tô màu, màu dùng để tô vô số số, tổng 2002 số đôi khác màu số có màu Khi đó, có vơ số số tơ màu xanh có vơ số số tơ màu đỏ nên: -Tồn số a1 mà a1 tô màu xanh số b1 = a1 + tô màu đỏ; - Tồn số b2 > b1 mà b2 tô màu đỏ số a2 = b2 + tô màu xanh; - Tồn số a3 > a2 mà a3 tô màu xanh số b3 = a3 + tô màu đỏ; - Tồn số b4 > b3 mà b4 tô màu đỏ số a4 = b4 + tô màu xanh; - Tồn số a2001 > a2000 mà a2001 tô màu xanh số b2001 = a2001 +1 tô màu đỏ; - Tồn số b2002 > b2001 mà b2002 tô màu đỏ số a2002 = b2002 + tô màu xanh Tóm lại, tồn 2002 số a1 , a2 , , a2001 , a2002 đôi khác 2002 số b1 , b2 , , b2001 , b2002 đôi khác thoả mãn điều kiện sau: α) 2002 số a1 , a2 , , a2001 , a2002 tô màu xanh; 2002 số b1 , b2 , , b2001 , b2002 tô màu đỏ β ) b2k−1 = a2k−1 + b2k = a2k − với k = 1, 2, , 1001 Từ điều kiện i) điều kiện ii) đề suy số a = a1 + a2 + · · · + a2001 + a2002 tô màu xanh số b = b1 + b2 + · · · + b2001 tô màu đỏ Từ điều kiện ii) dễ dàng suy a = b Do a b phải tơ màu, mâu thuẫn với điều vừa nhận Từ suy điều phải chứng minh b) Với n = 2003, xét cách tô màu sau: tô tất số chẵn màu xanh tô tất số lẻ màu đỏ Dễ thấy, cách tô màu vừa nêu thoả mãn tất yêu cầu toán Vậy trường hợp câu trả lời cho câu hỏi “có” Bài tốn 3.10 (Xem [2]) Chứng minh dọc theo cạnh Footer Page 64 of 128 Header Page 65 of 128 61 ô vuông sở từ đỉnh ta trở đỉnh ban đầu sau hữu hạn bước (có độ dài cạnh hình vng sở), số bước ta số chẵn Bài toán 3.11 (Xem [2]) Điền vào ô vuông sở số nguyên cho số trung bình cộng bốn số bốn ô vuông sở có cạnh kề với Hãy chứng minh rằng: a) Tất số điền nhau, bị chặn b) Có cách điền cho số điền không thiết phải tất Bài toán 3.12 (Đề thi HSG Quốc gia năm 1995, bảng A) Cho số nguyên n ≥ cho đa giác 2n đỉnh Người ta tơ tất đỉnh đa giác n màu cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) Mỗi đỉnh tô màu (ii) Mỗi màu dùng để tô cho hai đỉnh không kề Hai cách tô màu, thỏa mãn điều kiện trên, gọi tương đương cách tơ màu nhận từ cách tô màu nhờ phép quay quanh tâm đa giác cho Hỏi có tất cách tô màu đôi không tương đương ? Bài toán 3.13 (Đề thi HSG Quốc gia năm 2013) Cho tam giác khơng cân ABC Kí hiệu (I) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC D, E, F tiếp điểm (I) với BC, CA, AB Đường thẳng qua E vng góc BI cắt (I) K khác E , đường thẳng qua F vng góc CI cắt (I) L khác F Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D, I, J thẳng hàng AB b) Giả sử B, C cố định, A thay đổi cho tỷ số = k không đổi Gọi AC M, N tương ứng giao điểm IE, IF với (I) (M khác E, N khác F ) M N cắt IB, IC P, Q Chứng minh đường trung trực P Q qua điểm cố định Bài toán 3.14 (IMO năm 1987) Cho số nguyên n, n ≥ Chứng minh tồn tập hợp gồm n điểm mặt phẳng cho khoảng cách Footer Page 65 of 128 Header Page 66 of 128 62 hai điểm tùy ý tập hợp số vô tỷ ba điểm chúng xác định tam giác khơng suy biến có diện tích hữu tỷ Lời giải Trong mặt phẳng, ta gọi xn điểm có tọa độ (n, n2 ), với n = 1, 2, 3, Ta chứng minh khoảng cách hai điểm số vô tỉ, tam giác xác định ba điểm chúng số hữu tỷ khác Lấy n > m Ta có |xn − xm | độ dài cạnh huyền tam giác có hai cạnh góc vng n − m n2 − m2 = (n − m)(n + m), |xn − xm | = (n − m) + (n + m)2 Ta lại có: (n + m)2 < (n + m)2 + < (n + m + 1)2 = (n + m)2 + + 2(n + m) nên (n + m)2 + số phương, bậc hai số vơ tỷ Để thấy điều vừa nói trên, ta giả sử M khơng phải số phương √ lúc M số hữu tỷ Vì M khơng phương nên ta tìm số nguyên tố p cho p2a+1 chia hết M p2a+2 không chia hết M , với a ≥ √ √ M M Ta đặt N = 2a , N = a số hữu tỷ Do đó, tồn số p p √ r nguyên tố q cho q chia hết N , q không chia hết N Cho N = , s với r s hai số nguyên tố nhau, ta có s2 N = r2 Bây giờ, q chia hết r, suy q chia hết r2 , q chia hết s2 Từ đó, q chia hết s Do r s có thừa số chung, điều mâu thuẫn Tóm lại, số khơng phương khơng thể có bậc hai hữu tỷ Để tiếp tục giải toán, ta lấy số a, b, c cho a < b < c Gọi B(b; a2 ), C(c; a2 ), D(c; b2 ) Ta có: dt(∆xa xb xc ) = dt(∆xa xc C) − dt(∆xb xc D) − dt(xb DCB) − dt(∆xa xB B) c2 − a2 b − a2 c2 − b = (c − a) − (b − a) − (c − b) − (c − b)(b2 − a2 ) 2 số hữu tỷ (Điều phải chứng minh) Bài toán 3.15 (IMO năm 1996) Cho số nguyên dương r bảng hình chữ nhật chia thành 20 × 12 vng Những nước thực bảng sau: ta chuyển từ ô vuông đến ô vuông khác √ khoảng cách hai tâm hai ô vng r Bài tốn đặt tìm dãy nước để chuyển Footer Page 66 of 128 Header Page 67 of 128 63 từ ô sang ô nọ, mà hai nằm hai góc kề bảng, hai góc nằm chiều dài bảng chữ nhật nói a) Chứng minh tốn khơng giải r chia hết cho cho b) Chứng minh toán giải r = 73 c) Với r = 97 tốn có giải khơng ? Lời giải a) Giả sử lần di chuyển (nước đi) hình chữ nhật có hai cạnh a b (đơn vị) Do a2 + b2 = r Nếu r chia hết cho a b chẵn lẻ Nếu ta tô màu vng bàn cờ quốc tế điều có nghĩa trắng chuyển đến ô trắng, ô đen chuyển đến ô đen Nhưng hai ô hai góc kề (dọc theo chiều dài bảng) khác màu, tốn khơng giải Nếu r chia hết cho a lẫn b bội Như thế, giả sử có tọa độ (0; 0), chuyển đến có tọa độ (3m; 3n) Nhưng u cầu chuyển đến sau phải có tọa độ (19; 0), nên trường hợp tốn khơng giải b) Nếu r = 73 ta có a = 8, b = a = 3, b = Từ ô khởi đầu (x; y), ta có nước đi: A : (x; y) đến (x + 8; y + 3); B : (x; y) đến (x + 3; y + 8); A : (x; y) đến (x + 8; y − 3); B : (x; y) đến (x + 3; y − 8) Ta coi nước (x − 8; y − 3) nước âm theo dạng A, tương tự với dạng khác Giả sử ta thực dãy nước gồm a nước loại A, b nước loại B , c nước loại C d nước loại D, để tốn giải ta cần có: 8(a + c) + 3(b + d) = 19 3(a − c) + 8(b − d) = Dễ thấy nghiệm hệ là: a = 5, b = −1, c = −3, d = Từ đó, tốn giải được, từ (0; 0) ta chuyển đến ô (19; 0) dãy nước sau: (0; 0) → (8; 3) → (16; 6) → (11; 1) → (19; 4) → (11; 7) → (19; 10) → (16; 2) → (8; 5) → (16; 8) → (19; 0) c) Trường hợp r = 97: tốn khơng giải Bài toán 3.16 (IMO năm 2002) Cho n số nguyên dương Gọi T tập Footer Page 67 of 128 Header Page 68 of 128 64 điểm (x; y) mặt phẳng, với x y số nguyên không âm x + y < n Mỗi điểm T tô màu xanh đỏ Nếu điểm (x; y) có màu đỏ, tất điểm (x ; y ) mà x ≤ x y ≤ y T mang màu đỏ Ta gọi X -tập tập hợp T gồm n điểm màu xanh có hồnh độ (thành phần tọa độ thứ nhất) khác nhau, ta định nghĩa Y -tập tập hợp T gồm n điểm màu xanh có tung độ (thành phần tọa độ thứ hai) khác Chứng minh số tất X -tập số tất Y -tập Footer Page 68 of 128 Header Page 69 of 128 65 Kết luận Luận văn “Phương pháp tọa độ hình học tổ hợp số học” giải vấn đề sau: - Trình bày chi tiết phương pháp tọa độ giải tốn hình học tổ hợp, số học - Trình bày số dạng tốn lưới ô vuông, tô màu giải phương pháp tọa độ - Trình bày số tốn từ kỳ thi Olympic Đó dạng tốn chưa học bậc đại học Các kiến thức chuyên đề góp phần vào việc bồi dưỡng hiệu học sinh giỏi toán bậc THPT Footer Page 69 of 128 Header Page 70 of 128 66 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo Dục, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008), Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] Lê Hải Châu (2007), Các thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam (1990-2006), NXB Giáo Dục, Hà Nội [5] Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Nho (2002), 40 năm Olympic Toán học quốc tế (1959-2000), NXB Giáo dục, Hà Nội [6] Báo Toán học Tuổi trẻ số 450 tháng 12/2014, số 451 tháng 01/2015, NXB Giáo dục, Hà Nội [7] Nhiều tác giả, VNMATH.com (2013), Tuyển tập chuyên đề hình học Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Footer Page 70 of 128 ... chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ, luận văn "Phương pháp tọa độ hình học tổ hợp số học" nhằm cung cấp số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận dạng tốn từ hình học tổ hợp số học liên quan Mục... of 128 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01... pháp tọa độ hình học tổ hợp số học 30 2.1 Dạng tốn hình học tổ hợp 30 2.2 Dạng tốn mạng lưới vng 36 Một số đề toán Olympic 52 3.1 Đề toán phương pháp tọa độ