Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và bài tập hình học

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận tơi gặp nhiều khó khăn bỡ ngỡ Nhưng bảo tận tình Giảng viên Bùi Văn Bình, tơi bước tiến hành hồn thành khóa luận với đề tài “Phương pháp tọa độ mặt phẳng tập hình học” Tơi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình thầy Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học, thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Kiều Trang Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tơi hồn thành hướng dẫn thầy giáo Giảng viên Bùi Văn Bình với cố gắng thân Trong q trình nghiên cứu tơi có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân khơng trùng lập với kết khác Sinh viên Phạm Thị Kiều Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: .2 Nhiệm vụ nghiên cứu 5.Các phương pháp chính: .2 NỘI DUNG CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỌA ĐỘ A TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC VECTƠ 2.TRỤC TỌA ĐỘ 2.1 Tọa độ vectơ trục 2.2 Tọa độ điểm trục B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ .4 3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC 5 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG .6 C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG .7 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .8 6.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 10 CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ .11 A HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN 11 B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 12 I DẠNG TỐN TÍNH TOÁN .12 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .44 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Mơn tốn môn học quan trọng hàng đầu chương trình giáo dục phổ thơng Nó khơng sở, tiền đề để học tốt môn học khác mà có ứng dụng quan trọng thực tế Trong phương pháp tọa độ phương pháp toán học kết hợp với phương pháp tổng hợp để nghiên cứu đối tượng quan hệ hình học mặt phẳng khơng gian Nó cơng cụ để giải tốn quỹ tích khó chứng minh mà khơng giải suy luận Sự đời phương pháp tọa độ thiết lập mối quan hệ mật thiết hình học đại số hai ngành toán học phát triển theo hai hướng khác toán học Phương pháp tọa độ phương pháp chuyển yếu tố hình học yếu tố đại số Nhằm tạo cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề có nhiều góc cạnh khác cung cấp cho học sinh công cụ để giải tốn hình học phẳng Vì thế, việc đưa phương pháp tọa độ vào phương trình hình học nhằm đại hóa mơn học Đồng thời giúp học sinh có thêm cơng cụ để diễn đạt, suy luận, để suy nghĩ toán học theo phương pháp khác với phương pháp quen thuộc từ trước tới Xuất phát từ lý trên, đến định chọn đề tài nghiên cứu: “phương pháp tọa độ mặt phẳng tập hình học” để làm đề tài nghiên cứu khoa học Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 2 Giả sử AB = a Lập hệ trục Oxy , gốc O , chiều dương trục hoành hướng từ A đến B Với hệ trục tọa độ ta có : O(0;0) ; A(-3a;0) ; B(-2a;0) Giả sử tọa độ điểm M phải tìm M(x;y) Khi : 2MA2  3MB2  5AB   x  3a  y   3  x  2a  y2   5a2 Vậy quỹ tích điểm M đường tròn tâm O bán kính AB Bài tốn 22 Cho hình vng ABCD tâm O Vẽ đường thẳng quay quanh O, cắt AD BC E F (E,F khơng trùng với đỉnh hình vng) Từ E F vẽ đường thẳng song song với BD AC ,chúng cắt I.Tìm quỹ tích điểm I Lời giải y B I F A O E D C x Chọn hệ trục tọa độ gốc O cho : A(-a;0); B(0;a); C(a;0); D(0:-a) Ta có : Phương trình EF : y = kx , (k  1) Phương trình BC : x + y = a Phương trình AD : x + y = - a Phương trình AB : x – y = - a Phương trình CD : x – y = a  F  EF  BC  F  a ka   k ;1  k    E  EF  AD  E  a ka   k ; 1  k     I   a ka   k ;1  k   Ta thấy tọa độ I thỏa mãn phương trình: - x + y = a hay x – y = - a Đây phương trình đường thẳng AB Suy quỹ tích điểm I đường thẳng AB Bài toán 23 Cho □ABC , M điểm di động cạnh CB Hạ MN, MQ tương ứng vng góc song song với AB  N  AB;Q  AC  Gọi P hình chiếu Q AB Gọi I tâm hình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích I M chạy CB Lời giải y C H M Q I B N O K P A x Gọi O chân đường cao hạ từ C xuống AB Vẽ hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ (gốc tọa độ O , trục hoành trùng với cạnh AB chiều dương hướng từ B sang A , chiều dương Oy hứơng từ O đến C) Giả sử hệ tọa độ : A(a;0), B(b;0) , C(0;h) , (h > 0, a,b tùy ý a  b ) Dễ thấy đường thẳng qua AC có phương trình: x y  1 a h x y  1 b h Đường thẳng qua BC có phương trình: Giả sử đường thẳng qua M, Q có phương trình: y = m , (0  m  h) Tọa độ (xQ;yQ) y m  yQ  m  Q trình: x    y Q Q  1a  x   điểm Q Q a  (h  m) nghiệm (h  m);m h  Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học hệ phương    40 a Q h h Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 40 Tương tự tọa độ (xM;yM) điểm M nghiệm hệ phương trình: y  yM  m x  M   M   b   yM  m  b x    M M  b(h  m);m  (h  m)  h  h   h Dễ thấy : P a  (h  m);0   h  Gọi I(x;y) tâm hình chữ nhật MNPQ Do: x  x x   a b h  m   h  m   h    a  b h  m   h (1) 2h M Q y  y2 M  yQ m     m  22 (2) Từ suy : 2hx + 2(a+b)y = h(a+b) Hay ab x y  1 ab h 2 Từ (1) va  m  h   hm 2h (3)  (4) Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 41 Từ (3) (4) suy : Quỹ tích tâm I đoạn thẳng HK , H trung điểm OC K trung điểm AB Bài toán 24 Cho hai điểm A, B cố định đường thẳng □ vng góc với đường thẳng AB khơng qua A, B Một điểm M nằm □ Tìm tập hợp giáo điểm N đường thẳng vng góc với MA , MB A, B Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 42 Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Đề vng góc Oxy cho trục Ox đường thẳng chứa A, B trục Oy đường thẳng □ Chọn gốc O giao điểm □ AB Ta có : A(a;0) ; B(b;0) ; M(0;m) Gọi N(x;y) :  MA a;m y □  MB  b;m  NA a  x; y  M N  NB  b  x; y       MA   MA.NA  NA Ta có :         MB  NB  MB.NB    O A(a;0) B(b;0) x  a  a  x   my  b  b  x   my  a  ax  my  b  bx  my  x  a  b    ab y   m Do m giá trị thay đổi ta khử m từ phương trình ( ) thay vào phương trình (1) nên phương trình đường thẳng cần tìm là: x  a  b Vậy tập hợp điểm N đường thẳng vuông góc với Ox H có hồnh độ: OH=a+b KẾT LUẬN Thông thường mở rộng khái niệm ta có phương pháp mới,một cơng cụ để giải toán Khái niệm tọa độ đời cho ta phương pháp để giải toán cách hiệu Nhờ phương pháp tốn chứng minh vng góc, thẳng hàng, tìm quỹ tích… nói chung giải ngắn gọn,dễ dàng Nhờ có phương pháp hình học với sở phương pháp tọa độ, ta nghiên cứu hình học ngôn ngữ, phương pháp đại số Ta nghiên cứu tốn bất đẳng thức phương pháp hình học Trong tốn học khơng có chìa khóa vạn Có tốn có nhiều phương pháp giải Có thể lời giải mà đưa chưa phải tối ưu song minh họa cho ứng dụng phương pháp Mặc dù có nhiều cố gắng song lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên tránh khỏi thiếu sót Tơi mong muốn thầy cơ, bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn hoàn thiên tốt thực tài liệu tham khảo bổ ích giáo viên, sinh viên, học sinh TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí – Phương pháp giải toán tọa độ Nguyễn Mộng Hy – Các toán phương pháp véctơ phương pháp tọa độ Phan Huy Khải – Phương pháp tọa độ để giải toán sơ cấp Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học môn tốn Hình học nâng cao 10 – NXB Giáo Dục Hình học nâng cao 10 – Sách giáo viên – NXB Giáo Dục ... quan đến phương pháp tọa độ mà học sinh học Thông qua tập số dạng toán để thấy tầm quan trọng phương pháp tọa độ việc giải tốn hình học phẳng phổ thơng Các phương pháp chính: - Phương pháp nghiên... tiểu học 10 CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG KHI GIẢI TỐN Với nhiều tốn hình học phẳng có chứa quan hệ hình. .. quen với phương pháp tọa độ học sinh thấy ứng dụng rộng rãi tính ưu việt phương pháp Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tọa độ mặt phẳng tập hình học Phạm