Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và bài tập hình học

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học LỜI CẢM ƠN Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận này tôi gặp rất nhiều khó khăn và

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận này tôi gặp rất nhiều khó

khăn và bỡ ngỡ Nhưng dưới sự chỉ bảo tận tình của Giảng viên Bùi Văn Bình,

tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng và bài tập hình học” Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡnhiệt tình của thầy

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa

Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo

điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Phạm Thị Kiều Trang

Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Giảng

viên Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên

cứu tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tàiliệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứucủa bản thân không trùng lập với bất kì kết quả nào khác

Sinh viên

Phạm Thị Kiều Trang

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 1

2.Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5.Các phương pháp chính: 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỌA ĐỘ 3

A TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC 3

1 VECTƠ 3

2.TRỤC TỌA ĐỘ 3

2.1 Tọa độ của vectơ trên trục 3

2.2 Tọa độ của điểm trên trục 4

B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4

1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4

2 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4

3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 5

4 ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC 5

5 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 6

C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 6

1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 6

2 HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 7

3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 7

4 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 7

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 8

6.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 9

7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 10

CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 11

A HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN 11

B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 12

I DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN 12

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 1

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài.

Môn toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong chươngtrình giáo dục phổ thông Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các mônhọc khác mà còn có ứng dụng rất quan trọng trong thực tế Trong đó phươngpháp tọa độ là phương pháp toán học cơ bản kết hợp với phương pháp tổnghợp để nghiên cứu những đối tượng và quan hệ hình học trên mặt phẳng vàtrong không gian

Nó là công cụ để giải các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài chứng minh

mà không giải được bằng suy luận

Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã thiết lập mối quan hệ mật thiết giữahình học và đại số là hai ngành toán học phát triển theo hai hướng khác nhaucủa toán học

Phương pháp tọa độ là phương pháp chuyển các yếu tố hình học về cácyếu tố đại số

Nhằm tạo cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề có nhiều góc cạnh khácnhau và cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải các bài toán hình họcphẳng

Vì thế, việc đưa ra phương pháp tọa độ vào phương trình hình học lànhằm hiện đại hóa môn học Đồng thời sẽ giúp học sinh có thêm một công cụmới để diễn đạt, suy luận, để suy nghĩ về toán học theo một phương pháp khácvới các phương pháp quen thuộc từ trước tới nay

Xuất phát từ những lý do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học” để làm đề

tài nghiên cứu khoa học của mình

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài:

1 Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học

2 Phạm vi nghiên cứu:

Vì lý do thời gian và trình độ của mình nên trong phạm vi của đề tài nghiêncứu này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán điển hình trong hình học phẳng vớikiến thức không vượt quá chương trình toán học lớp 10 trung học phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương pháp tọa độ màhọc sinh đã học

Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quantrọng của phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng ở phổthông

5 Các phương pháp chính:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Điểm O gọi là gốc tọa độ , vectơ i gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.

2.1 Tọa độ của vectơ trên trục.

AB =m i ( số thực m là số duy nhất được gọi là tọa độ của vectơ AB )

Nếu A,B có tọa độ lần lượt là a,b Khi đó:



AB có tọa độ là (b-a)

2.2 Tọa độ của điểm trên trục.  

Cho điểm A trên trục x’Ox Khi đó OA  ai

A trên trục

thì A được gọi là tọa độ của điểm

Cho điểm Aa1 ; a2 , điểm Bb1;b2  Khi dó điểm M  x; y  là trung điểm của

Oxy hay 0;i; j  y

Điểm O gọi là gốc tọa độ

TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M Khi đó tọa độ OM gọi là tọa

độ điểm M đối với hệ Oxy

ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC

Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k nếu:

Đặc biệt nếu M là trung điểm đoạn AB thì:

y 

M

nI

y  y'

 

 M 25

BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm

Gọi  là đường thẳng đi qua I,

Khi đó phương trình (1) được gọi là

phương trình tổng quát của 

y

u

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

cho đường thẳng  đi qua điểm

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng có phương trình tổng quát:

axM  byM  c

M M’

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Xét 2 đường thẳng  và  có phương trình tổng quát lần lượt là:

a1 x  b1 y  c1  0và a2 x  b2 x  c2  0Tọa độ giao điểm  và  là nghiệm của hệ phương

b, Hệ (1) có vô số nghiệm, khi đó   

c, Hệ (1) có vô nghiệm, khi đó  và  không có điểm chung, hay  / / 

Hai đường thẳng  và  cắt nhau tạo thành 4 góc Số đo nhỏ nhất của

các góc đó được gọi là số đo của góc giữa 2 đường thẳng  và  , hay đơn

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 10

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 10

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 11

CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

A HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN.

Với nhiều bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học như:thẳng hàng, song song, vuông góc … hay chứa yếu tố khoảng cách, nếu ta chọn

hệ tọa độ thích hợp thì có thể chuyển thành bài toán đại số với các quan hệ giữanhững số , những chữ, những vectơ và những phép toán các bài toán đại số này

+ B4: Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học.Trong phạm vi bài viết này, tôi xin đưa ra ba dạng bài toán có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải (có so sánh với phương pháp tổng hợp) đó là:

- Bài toán tính toán

- Bài toán chứng minh

- Bài toán tìm quỹ tích

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 12

Theo giả thiết ta có

MA có tọa độ a – x (x la tọa độ điểm M)

 tam giác ABC vuông ở A (2)

Từ (1) và (2)  tam giác ABC vuông cân đỉnh A

Bài

toán 3:

Cho 3 điểm A(4;6); B(5;1); C(1;-3)

a Tính chu vi tam giác ABC

b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính đườngtròn đó

Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC = 26  4 2  3 10

b,Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, giả sử O có tọa độ (x;y)

Ta có: OA  OB  OC hay OA2  OB2 OC 2

OA2 4 x2 6  y2 OB2

5 x2 1 y2

1858

Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm M(1;3); N(4;2)

a Tìm tọa độ điểm P thuộc trục Ox và cách đều 2 điểm M và N

b Tính chu vi và diện tích tam giác OMN

c Phân giác trong của góc MON cắt MN tại E Tìm tọa độ của E

Ta có OM = 1  9 

1  22

Độ dài đường cao MI = 1  22  3 12 

Vậy diện tích tam giác OMN là:

toán 6

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có trọng tâm G2;0 Biết

phương trình các cạnh AB, BC theo thứ tự là 4x  y  14  0, 2x  5 y  0

lên cạnh AC Tìm điều kiện của a, h để K thuộc cạnh AC khi đó hãy tính AK?

Gọi (I; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Chọn hệ trục tọa độ, ta chọn đường cao AH làm trục hoành

Đương thẳng vuông góc với AH tại A làm trục tung

Vậy A(0;0) làm gốc tọa độ

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 20

AI=R AH= 3 AI= 3 R

 2 2

;C  ; 

  2 2 Giả sử M(x;y) ∈ (I;R)

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 20

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 21

Chọn đường thẳng chứa A,B làm trục hoành

Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB làm trục tung

O làm gốc tọa độ như hình vẽ

Khi đó ta có O(0;0), A(a;0), C(0;c)



Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 22

a  b  c  d ; Tọa độ của N là:

2

Vì OA.OA’ = OB.OB’  a.a’ = b.b’

Mà M là trung điểm của AB nên M a

Tọa độ trung điểm L của AB nên L b

; a 



2 2 Phương trình đường thẳng AM là:

Gọi K là trọng tâm của □MNP K

Chứng minh rằng:

MN 2  NP2  PM 2  3.(KN 2  KP2  KM 2 )

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung điểm BC, D là hình chiếu của

H trên AC, M là trung điểm HD Chứng minh AM⊥BD

DM

 

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 30



x  x A  x M  x

 aToạ độ trung điểm G của □

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 30

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 31

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 32

toán 17

Cho □AB

C

có đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh

đoạn AB, CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB và cắtcạnh AC tại M , cắt BC tại N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Qnằm trên cạnh AB Gọi I là tâm của hình chữ nhật MNPQ

0 < m < c

Bài toán quỹ tích thông thường được thực hiện theo các bước:

1 Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp Từ đó suy ra các điểm cần tìm

2 Thiết lập biểu thức giải thích cho yếu tố cần tìm quỹ tích trong trường hợpbài toán có điều kiện ràng buộc cần hạn chế quỹ tích Sau đó suy ra quỹ tích củađiểm đó cần xác định thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài

toán 18

Trong mặt phẳng cho hai nửa đường thẳng Od1, Od2 vuông góc với nhau tại

O Trên Od1, Od2 lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho : OM+ON = a (a = const) Tìm tập hợp trung điểm K của đoạn thẳng MN

Lời

giải:

Suy ra : Tập hợp K giới hạn bởi :

Vậy tập hợp trung điểm K của đoạn thẳng MN là một phần đường thẳng

  

Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức : OA  3OB  0 Tức là : OA  3OB 

Chọn hệ trục tọa độ:

Ta chọn đường thẳng AB là trục hoành, O là gốc tọa độ , đường thẳng vuông góc với AB là trục tung

Khi đó trong hệ trục tọa độ mới đã chọn với AB = 4a ta có:

O(0;0) ; A(-3a;0) ; B(a;0)Giả tọa độ của điểm M phải tìm là M(x;y)

2

Giả sử AB = a Lập hệ trục Oxy , gốc O , chiều dương của trục hoành hướng từ

A đến B

Với hệ trục tọa độ đó thì ta có : O(0;0) ; A(-3a;0) ; B(-2a;0)

Giả sử tọa độ điểm M phải tìm là M(x;y)

Cho hình vuông ABCD tâm O Vẽ đường thẳng quay quanh O, cắt AD và

BC tại E và F (E,F không trùng với các đỉnh hình vuông) Từ E và F vẽ cácđường thẳng lần lượt song song với BD và AC ,chúng cắt nhau tại I.Tìm quỹtích điểm I

Lời

giải

yB

Chọn hệ trục tọa độ gốc O sao cho : A(-a;0); B(0;a); C(a;0); D(0:-a)

Ta có : Phương trình EF : y = kx , (k  1)

Phương trình BC : x + y = aPhương trình AD : x + y = - aPhương trình AB : x – y = - aPhương trình CD : x – y = a

Ta thấy tọa độ I thỏa mãn phương trình: - x + y = a hay x – y = - a

Đây là phương trình đường thẳng AB

Suy ra quỹ tích điểm I là đường thẳng AB

Bài

toán 23

Cho □ABC , M là điểm di động trên cạnh CB Hạ MN, MQ tương ứng

vuông góc và song song với AB  N  AB;Q  AC  Gọi P là hình chiếu của Q trên AB Gọi I là tâm hình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích I khi M chạy trên CB

Lời

giải

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 40

yC

M

I

Gọi O là chân đường cao hạ từ C xuống AB Vẽ hệ trục tọa độ Oxy như hình

vẽ (gốc tọa độ là O , trục hoành trùng với cạnh AB và chiều dương hướng từ Bsang A , chiều dương của Oy hứơng từ O đến C)

Giả sử trong hệ tọa độ này : A(a;0), B(b;0) , C(0;h) , (h > 0, a,b tùy ý và a  b ).

Dễ thấy đường thẳng qua AC có phương trình: x

Giả sử đường thẳng đi qua M, Q có phương trình: y = m , (0  m  h)

Tọa độ (xQ;yQ) của điểm Q là nghiệm của hệ phương

 y Q  m  y

Q  m

trình: 

x y

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 40

 a

h

 Q h

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 41

Tương tự tọa độ (xM;yM) của điểm M là nghiệm của hệ phương

 y M  m  y M  m

b

trình: 

x y

Phạm Thị Kiều Trang-K34A Giáo dục tiểu học 42

Từ (3) và (4) suy ra : Quỹ tích của tâm I là đoạn thẳng HK , trong đó H là trungđiểm của OC còn K là trung điểm của AB

Bài

toán 24

Cho hai điểm A, B cố định và một đường thẳng □ vuông góc với đườngthẳng AB nhưng không đi qua A, B Một điểm M nằm trên □ Tìm tập hợpcác giáo điểm N của các đường thẳng vuông góc với MA , MB tại A, B

KẾT LUẬN

Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó ta có một phương pháp mới,một công cụ mới để giải toán Khái niệm tọa độ ra đời cho ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn Nhờ các phương pháp này các bài toán như chứng minh vuông góc, thẳng hàng, tìm quỹ tích… nói chung được giải quyết ngắn gọn,dễ dàng

Nhờ có phương pháp hình học với cơ sở là phương pháp tọa độ, ta có thể nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ, phương pháp của đại số Ta cũng có thể nghiên cứu những bài toán về bất đẳng thức bằng phương pháp của hình học.Trong toán học không có chìa khóa nào là vạn năng cả Có những bài toán

có nhiều phương pháp giải Có thể lời giải mà tôi đưa ra chưa phải là tối ưu song đây là tôi minh họa cho ứng dụng của phương pháp này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song đây là lần đầu tiên tôi làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi mong muốn các thầy cô, các bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn đượchoàn thiên tốt hơn và thực sự là tài liệu tham khảo bổ ích của giáo viên, sinh viên, học sinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí – Phương pháp giải toán tọa độ

2. Nguyễn Mộng Hy – Các bài toán về phương pháp véctơ và phương pháptọa độ

3. Phan Huy Khải – Phương pháp tọa độ để giải các bài toán sơ cấp

4. Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học môn toán

5. Hình học nâng cao 10 – NXB Giáo Dục

6. Hình học nâng cao 10 – Sách giáo viên – NXB Giáo Dục