Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và bài tập hình học

...10 CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.. Trong đó phương pháp tọa độ là phương pháp toán học cơ bản kết hợp với phương pháp tổng hợp để nghiên cứu nhữn

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận này tôi gặp rất nhiều khó khăn và bỡ ngỡ Nhưng dưới sự chỉ bảo tận tình của Giảng viên Bùi Văn Bình, tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng và bài tập hình học” Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Phạm Thị Kiều Trang

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Giảng viên Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên cứu tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng lập với bất kì kết quả nào khác

Sinh viên

Phạm Thị Kiều Trang

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 1

2.Mục đích nghiên cứu: 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài: 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu: 2

5.Các phương pháp chính: 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỌA ĐỘ 3

A TRỤC VÀ TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC 3

1 VECTƠ 3

2.TRỤC TỌA ĐỘ 3

2.1 Tọa độ của vectơ trên trục 3

2.2 Tọa độ của điểm trên trục 4

B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4

1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4

2 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4

3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 5

4 ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC 5

5 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 6

C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 6

2 HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 7

3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 7

4 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 7

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 8

6.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 9

7.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN .10

CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ .11

A HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN 11

B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 12

I DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN 12

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Môn toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong chương trình giáo dục phổ thông Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các môn học khác mà còn có ứng dụng rất quan trọng trong thực tế Trong đó phương pháp tọa độ là phương pháp toán học cơ bản kết hợp với phương pháp tổng hợp để nghiên cứu những đối tượng và quan hệ hình học trên mặt phẳng và trong không gian

Nó là công cụ để giải các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài chứng minh

mà không giải được bằng suy luận

Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã thiết lập mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số là hai ngành toán học phát triển theo hai hướng khác nhau của toán học

Phương pháp tọa độ là phương pháp chuyển các yếu tố hình học về các yếu tố đại số

Nhằm tạo cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề có nhiều góc cạnh khác nhau và cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải các bài toán hình học phẳng

Vì thế, việc đưa ra phương pháp tọa độ vào phương trình hình học là nhằm hiện đại hóa môn học Đồng thời sẽ giúp học sinh có thêm một công cụ mới để diễn đạt, suy luận, để suy nghĩ về toán học theo một phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc từ trước tới nay

Xuất phát từ những lý do trên, tôi đi đến quyết định chọn đề tài nghiên

cứu: “phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học” để làm đề

tài nghiên cứu khoa học của mình

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu đề tài:

1 Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bài tập hình học

2 Phạm vi nghiên cứu:

Vì lý do thời gian và trình độ của mình nên trong phạm vi của đề tài nghiên cứu này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán điển hình trong hình học phẳng với kiến thức không vượt quá chương trình toán học lớp 10 trung học phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tóm tắt một số kiến thức cơ bản có liên quan đến phương pháp tọa độ mà học sinh đã học

Thông qua các bài tập ở một số dạng toán cơ bản để thấy được tầm quan trọng của phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán hình học phẳng ở phổ thông

5 Các phương pháp chính:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

: A là điểm đầu, B là điểm cuối

Khi A trùng với B gọi là vectơ không: 0

Điểm O gọi là gốc tọa độ , vectơ i

gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ

2.1 Tọa độ của vectơ trên trục

AB =m i

( số thực m là số duy nhất được gọi là tọa độ của vectơAB

) Nếu A,B có tọa độ lần lượt là a,b Khi đó:

2.2 Tọa độ của điểm trên trục

Cho điểm A trên trục x’Ox Khi đó OAai

thì A được gọi là tọa độ của điểm

2 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

-Đối với hệ trục tọa độo i j; ; 

3.TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M Khi đó tọa độ OM gọi là tọa

độ điểm M đối với hệ Oxy

4 ĐIỂM CHIA ĐOẠN THẲNG THEO TỶ SỐ CHO TRƯỚC

Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k nếu:

 

C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I x y 0; 0 và vectơn a b  ;  0

Gọi  là đường thẳng đi qua I,

có vectơ pháp tuyến làn

thì phương trình đường thẳng có dạng:

a x x0b y  y00

Khi đó phương trình (1) được gọi là

phương trình tổng quát của 

3.PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

cho đường thẳng đi qua điểm I x y 0; 0

Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng với tham số t

4 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳngcó phương trình tổng quát:

5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Xét 2 đường thẳng 1 à có phương trình tổng quát lần lượt là: 2

a, Hệ (1) có một nghiệmx y0; 0, khi đó   tại điểm 1 2 M ox y0; 0

b, Hệ (1) có vô số nghiệm, khi đó    1 2

c, Hệ (1) có vô nghiệm, khi đó 1 à không có điểm chung, hay 2 1/ / 2

6 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

* Định nghĩa

Hai đường thẳng 1 à cắt nhau tạo thành 4 góc Số đo nhỏ nhất của 2các góc đó được gọi là số đo của góc giữa 2 đường thẳng1 à , hay đơn 2giản là góc giữa 1 à 2

Khi  song song hoặc trùng với 1  ta quy ước góc giữa chúng bằng 2 0 0

Các vectơ pháp tuyến của1 à lần lượt là: 2 n a b1 1; 1;n a b2 2; 2

Ta có công thức tính góc giữa 2 đường thẳng 1 à là: 2

Khi IM R, hay là phương trình của đường

CHƯƠNG II: GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

A HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

HƯỚNG KHI GIẢI TOÁN

Với nhiều bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học như: thẳng hàng, song song, vuông góc … hay chứa yếu tố khoảng cách, nếu ta chọn

hệ tọa độ thích hợp thì có thể chuyển thành bài toán đại số với các quan hệ giữa những số , những chữ, những vectơ và những phép toán các bài toán đại số này

+ B2: Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ

+ B3: Dùng các kiến thức tọa độ để giải

+ B4: Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học Trong phạm vi bài viết này, tôi xin đưa ra ba dạng bài toán có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải (có so sánh với phương pháp tổng hợp) đó là:

- Bài toán tính toán

- Bài toán chứng minh

- Bài toán tìm quỹ tích

B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

I DẠNG TOÁN TÍNH TOÁN

Đối với những bài toán tính toán thì việc giải bằng phương pháp sơ cấp đôi khi rất khó khăn, phức tạp Do vậy phương pháp tọa độ sẽ là công cụ giải toán tói ưu cho loại bài toán này (vì nó thường liên quan đến khoảng cách mà phương pháp tọa độ thường cho ta biểu diễn khoảng cách các điểm một cách dễ dàng)

Theo giả thiết ta có MA

có tọa độ a – x (x la tọa độ điểm M)

MB

có tọa độ b – x

MC

có tọa độ c – x Vậy (1)a – x + b – x + c – x = 0

Vậy AB = AC nên tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A (1)

Lại có: AB2 AC2 50BC2  tam giác ABC vuông ở A (2)

Từ (1) và (2) tam giác ABC vuông cân đỉnh A

Bài toán 3:

Cho 3 điểm A(4;6); B(5;1); C(1;-3)

a Tính chu vi tam giác ABC

b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính đường tròn đó

Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC = 26 4 2 3 10 

b,Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, giả sử O có tọa độ (x;y)

Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm M(1;3); N(4;2)

a Tìm tọa độ điểm P thuộc trục Ox và cách đều 2 điểm M và N

b Tính chu vi và diện tích tam giác OMN

c Phân giác trong của góc MON cắt MN tại E Tìm tọa độ của E

MN = 9 1  10

ON = 164 2 5

Vậy chu vi tam giác OMN là: OM+MN+ON=2 5 10

Gọi Ix y là trung điểm của ON I; I  x I 2 và y  I 1

Độ dài đường cao MI =  2  2

6 2 22

12

Bài toán 6

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có trọng tâm G 2;0 Biết phương trình các cạnh AB, BC theo thứ tự là 4x y140, 2x5y  Tìm 0tọa độ các đỉnh A, B, C

Với M là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC Hãy tính giá trị:

MA4  MB4  MC4

Lời giải:

Gọi (I; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC

Chọn hệ trục tọa độ, ta chọn đường cao AH làm trục hoành

Đương thẳng vuông góc với AH tại A làm trục tung

Vậy A(0;0) làm gốc tọa độ

Chọn đường thẳng chứa A,B làm trục hoành

Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB làm trục tung

Từ (1) và (2)=>AC2+ BC2= 4R2( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

II DẠNG TOÁN CHỨNG MINH

Với nhiều bài toán cách chứng minh bằng phương pháp tổng hợp có thể ngắn gọn hơn phương pháp tọa độ nhưng để tìm được hướng chứng minh thật không đơn giản Khi vẽ hình với các dữ kiện đã cho của bài toán xuất phát từ kết luận ta phải làm rõ các mối liên hệ giữa giả thiết, kết luận, phải có cái nhìn tổng quát, sự phân tích thành thạo chuẩn xác Đối với phương pháp tọa độ nếu chọn được một hệ tọa độ thích hợp thì bài toán trở nên đơn giản hơn, hướng giải quyết dễ nhìn nhận hơn

Gọi a, b ,c, c,d lần lượt là tọa độ của các điểm A, B,C ,D đối với trục x’Ox

Khi đó tọa độ của I, J, K, L lần lượt là: ; ; ;

Hay IJ và KL có chung một trung điểm

Bài toán 11

Cho góc xOy bằng 90 Trên Ox lấy 2 điểm A va A0 '

, trên Oy lấy 2 điểm B

và B'

sao cho OA OA ' OB OB 'Chứng minh rằng trung tuyến OM của ∆AOB vuông góc với A’B’

Vì OA.OA’ = OB.OB’  a.a’ = b.b’

Mà M là trung điểm của AB nên M ;

A’

B

A

Tọa độ trung điểm L của AB nên L ;

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung điểm BC, D là hình chiếu của

H trên AC, M là trung điểm HD Chứng minh AM⊥BD

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm của tam giác ACM Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh rằng : GI CM

Lời giải

Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC

Chọn trục tọa độ sao cho BC là trục hoành,

A thuộc trục tung , gốc O

Giả sử BC 2a

Khi đó :O(0;0); A(0;h) ; B(-a;0); C(a;0)

Toạ độ trung điểm M của AB là : 2 2

Toạ độ trung điểm G của ACM là: 2 6

Bài toán 17

Cho ABC có đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh

đoạn AB, CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB và cắt cạnh AC tại M , cắt BC tại N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB Gọi I là tâm của hình chữ nhật MNPQ

III DẠNG TOÁN TÌM QUỸ TÍCH

Bài toán tìm quỹ tích là những bài toán tìm tất cả những điểm trong mặt phẳng hoặc không gian cùng có chung tính chất nào đó khác với các điểm khác Trong mỗi bài toán quỹ tích thường có 2 yếu tố, yếu tố cố định và yếu tố thay đổi Do đó ta phải tìm được mối liên hệ giữa 2 yếu tố này Dùng phương pháp tọa độ để kết luận quỹ tích của điểm cần tìm

Bài toán quỹ tích thông thường được thực hiện theo các bước:

1 Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp Từ đó suy ra các điểm cần tìm

2 Thiết lập biểu thức giải thích cho yếu tố cần tìm quỹ tích trong trường hợp bài toán có điều kiện ràng buộc cần hạn chế quỹ tích Sau đó suy ra quỹ tích của điểm đó cần xác định thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 18

Trong mặt phẳng cho hai nửa đường thẳng Od1, Od2 vuông góc với nhau tại

O Trên Od1, Od2 lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho : OM+ON = a (a = const) Tìm tập hợp trung điểm K của đoạn thẳng MN

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Ox = Od1 ; Oy = Od2:

Suy ra : Tập hợp K giới hạn bởi :

Vậy tập hợp trung điểm K của đoạn thẳng MN là một phần đường thẳng

Giả sử M(x;y) cách điểm O(0;0) một khoảng R (R > 0)

Chọn hệ trục tọa độ:

Ta chọn đường thẳng AB là trục hoành, O là gốc tọa độ , đường thẳng vuông góc với AB là trục tung

Khi đó trong hệ trục tọa độ mới đã chọn với AB = 4a ta có:

O(0;0) ; A(-3a;0) ; B(a;0)

Giả tọa độ của điểm M phải tìm là M(x;y)

Giả sử AB = a Lập hệ trục Oxy , gốc O , chiều dương của trục hoành hướng từ

A đến B

Với hệ trục tọa độ đó thì ta có : O(0;0) ; A(-3a;0) ; B(-2a;0)

Giả sử tọa độ điểm M phải tìm là M(x;y)

Cho hình vuông ABCD tâm O Vẽ đường thẳng quay quanh O, cắt AD và

BC tại E và F (E,F không trùng với các đỉnh hình vuông) Từ E và F vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BD và AC ,chúng cắt nhau tại I.Tìm quỹ tích điểm I

Ta thấy tọa độ I thỏa mãn phương trình: - x + y = a hay x – y = - a

Đây là phương trình đường thẳng AB

Suy ra quỹ tích điểm I là đường thẳng AB

Bài toán 23

Cho ABC , M là điểm di động trên cạnh CB Hạ MN, MQ tương ứng

vuông góc và song song với AB NAB Q; AC.Gọi P là hình chiếu của Q trên AB Gọi I là tâm hình chữ nhật MNPQ Tìm quỹ tích I khi M chạy trên CB Lời giải

Gọi O là chân đường cao hạ từ C xuống AB Vẽ hệ trục tọa độ Oxy như hình

vẽ (gốc tọa độ là O , trục hoành trùng với cạnh AB và chiều dương hướng từ B sang A , chiều dương của Oy hứơng từ O đến C)

Giả sử trong hệ tọa độ này : A(a;0), B(b;0) , C(0;h) , (h > 0, a,b tùy ý và a ) b

Dễ thấy đường thẳng qua AC có phương trình: x y 1

Đường thẳng qua BC có phương trình: x y 1

Giả sử đường thẳng đi qua M, Q có phương trình: y = m , (0mh)

Tọa độ (xQ;yQ) của điểm Q là nghiệm của hệ phương

Tương tự tọa độ (xM;yM) của điểm M là nghiệm của hệ phương

Do m là giá trị luôn thay đổi khi ta khử m từ phương trình ( 2 ) thay vào phương

trình (1) nên phương trình đường thẳng cần tìm là: x a b

Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng vuông góc với Ox tại H có hoành độ: OH=a+b

KẾT LUẬN Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó ta có một phương pháp mới,một công cụ mới để giải toán Khái niệm tọa độ ra đời cho ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn Nhờ các phương pháp này các bài toán như chứng minh vuông góc, thẳng hàng, tìm quỹ tích… nói chung được giải quyết ngắn gọn,dễ dàng

Nhờ có phương pháp hình học với cơ sở là phương pháp tọa độ, ta có thể nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ, phương pháp của đại số Ta cũng có thể nghiên cứu những bài toán về bất đẳng thức bằng phương pháp của hình học Trong toán học không có chìa khóa nào là vạn năng cả Có những bài toán

có nhiều phương pháp giải Có thể lời giải mà tôi đưa ra chưa phải là tối ưu song đây là tôi minh họa cho ứng dụng của phương pháp này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song đây là lần đầu tiên tôi làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi mong muốn các thầy cô, các bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để luận văn được hoàn thiên tốt hơn và thực sự là tài liệu tham khảo bổ ích của giáo viên, sinh viên, học sinh