SKKN phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT TRẦN QUANG KHẢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Người viết: Phạm Tín CưM’gar, tháng 02 năm 2012 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Ở THPT, em học sinh tiếp cận với phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian Thế toán mà sách giáo khoa đưa nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu biết có gọi phương pháp tọa độ, áp dụng phương pháp vào toán đơn giản như: lập phương trình đường thẳng, đường elip, đường tròn, mặt phẳng, mặt cầu toán khoảng cách góc Do đó, học sinh chưa thấy khả giải phương pháp tọa độ Phương pháp tọa độ biết vận dụng tốt, thực công cụ đắc lực để giải nhiều toán mà hình học phẳng, hình học không gian giải khó khăn Với lý đó, chọn đề tài “Rèn luyện sử dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng” giúp thầy cô giáo có thêm tài liệu tham khảo trình giảng dạy mình, giúp học sinh phân loại rèn luyện số kỹ áp dụng phương pháp tọa độ phẳng vào giải toán tổng hợp Và phần đó, đề tài cho thấy khả giải mạnh mẽ vấn đề phương pháp tọa độ mặt phẳng Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu sở lý luận tư hàm, nghiên cứu nội dung chương trình hình học THPT, toán dành cho học sinh khá, giỏi từ xây dựng thao tác cần thiết để giúp học sinh sử dụng tốt phương pháp tọa độ vào giải toán tổng hợp Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt mục đích trên, đề tài tập trung làm rõ vấn đề sau: + Khái niệm tư hàm + Cơ sở lý luận phương pháp tọa độ mặt phẳng + Các bước cần có trước giải toán phương pháp tọa độ + Các dạng tập áp dụng tốt phương pháp tọa độ mặt phẳng Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề sử dụng phương pháp tọa độ; nghiên cứu chương trình giáo khoa môn RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG + Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy học phân môn Hình học THPT rút va số nhận xét, phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ giải toán tọa độ + Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho khả giải mạnh mẽ phương pháp tọa độ việc áp dụng phương pháp tọa độ vào giải toán Đóng góp đề tài: - Về lý luận: + Góp phần làm rõ thêm nội dung tư toán học: Tư hàm + Góp phần làm rõ lý luận phương pháp tọa độ mặt phẳng - Về thực tiễn: + Phân loại số toán áp dụng tốt phương pháp tọa độ + Xây dựng hệ tọa độ phẳng tương đối tối ưu cho toán + Góp phần rèn luyện phát triển khả tư hàm RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Tư hàm: Tư hàm loại tư toán học Tư hàm liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm số, phép biến hình Tư hàm phương thức tư đặc trưng nhận thức trình phát triển quan hệ chung riêng đối tượng toán học hay tình chất chúng Hệ tọa độ phẳng Oxy: a Hệ tọa độ Oxy: Hệ tọa độ Oxy gồm rtrục Ox Oy vuông góc O Ox, Oy lần r lượt có vectơ đơn vị i j rr i j = r r  i = j = b Tọa độ vectơ: r r r r Nếu a = x.i + y j cặp số ( x; y ) gọi tọa độ vectơ a r r viết là: a = ( x; y ) a ( x; y ) c Tọa độ điểm: uuuur Nếu vectơ OM = ( x; y ) cặp số ( x; y ) gọi tọa độ điểm M viết là: M ( x; y ) d Hai vectơ nhau: r r r a1 = b1 r a Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) = b ⇔  a2 = b2 e Biểu thức tọa độ phép toán vectơ: r r Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) , ta có: r r a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 ) r k a = ( ka1; ka2 ) , ∀k ∈ ¡ f Quan hệ tọa độ vectơ tọa độ điểm: RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG uuur Nếu A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) AB = ( xB − x A ; y B − y A ) g Hai vectơ phương: r r r Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) ≠ Khi đó: a1 = kb1 r r rr a , b phương ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb ⇔ ∃k ∈ ¡ :  a2 = kb2 h Tích vô hướng hai vectơ: r r Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) r r + Biểu thức tọa độ tích vô hướng:Tích vô hướng a b ký hiệu rr ab số xác định theo công thức: rr r r rr ab = a b cos a , b = a1b1 + a2b2 ( ) + Các ứng dụng tích vô hướng: r Độ dài vectơ: a = a12 + a2 Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) : uuur 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) rr rr ab a1b1 + a2b2 Góc hai vectơ: cos a , b = r r = a b a12 + a2 b12 + b2 ( ) i Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác: I ( xI ; yI ) trung điểm AB với A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) thì: x A + xB   xI =   y = y A + yB  I G ( xG ; yG ) trọng tâm tam giác ABC với A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) , C ( xC ; yC ) thì: RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x A + xB + xC  x = G    y = y A + yB + yC  G j Phương trình đường thẳng: r Đường thẳng ∆ qua điểm A ( xo ; yo ) nhận n = ( a; b ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a ( x − xo ) + b ( y − yo ) = hay ax + by + c = 0, c = −axo − byo r Đường thẳng ∆ qua điểm A ( xo ; yo ) nhận u = ( u1; u2 ) làm vectơ phương có phương trình tham số là:  x = xo + tu1 ( t ∈¡  y = y + tu o  ) k Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M ( xo ; yo ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = ký hiệu d ( M , ∆ ) và: d ( M ,∆) = axo + byo + c a + b2 l Phương trình đường tròn: Đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) , bán kính R có phương trình là: ( x − a) + ( y − b) = R2 hay x + y − 2ax − 2by + c = 0, c = a + b − R m Phương trình đường elip: Elip ( E ) có độ dài trục lớn 2a, độ dài trục bé 2b có phương trình là: x2 y2 ( E) : + =1 a b n Phương trình đường hyperbol: Hyperbol ( H ) có độ dài trục thực 2a, độ dài trục ảo 2b có phương trình là: RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ( H) : x2 y − =1 a2 b2 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG II MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ CÁCH ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Xây dựng hệ tọa độ Xây dựng hệ tọa độ hợp lý điều cần thiết cho việc ứng dụng phương pháp tọa độ việc giải toán Đây bước giải Người giáo viên cần hướng dẫn khéo léo giúp học sinh nhận tính chất đặc biệt toán, chủ yếu sử dụng tính vuông góc, để xây dựng hệ tọa độ mà tham số giảm cách tối ưu Ở đây, ta xem xét số trường hợp áp dụng tốt phương pháp Đối với toán có tứ giác như: hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông Đối với ta chọn hệ trục tọa độ có gốc nằm đỉnh vuông, có hai trục Ox Oy chứa cạnh tương ứng góc vuông Và chọn đơn vị trục độ dài hai cạnh góc vuông Bằng cách chọn vậy, tham số giảm tối đa Và dạng hình dạng áp dụng thuận lợi phương pháp tọa độ mặt phẳng Đối với toán có chứa tam giác đều, tam giác cân, tam giác thường Ta xây dựng hệ trục cách dựa vào đường cao Cụ thể, ta dựng đường cao từ đỉnh (đối với tam giác cân ta nên dựng đường cao từ đỉnh cân) Chân đường cao góc tọa độ, cạnh đáy đường cao vừa dựng nằm hai trục tọa độ RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Đối với toán có chứa đường tròn ta chọn góc tọa độ nằm tâm đường tròn đơn vị hệ tọa độ bán kính đường tròn, hai trục chứa bán kính, đường kính đường tròn Tuy nhiên, áp dụng không cứng nhắc việc chọn hệ trục tọa độ Nên để học sinh linh hoạt tìm cách chọn tối ưu cho toán Một số toán có nhiều đối tượng hình học đó, tùy vào giả thuyết ta chọn hệ trục tọa độ cho phù hợp Một số toán áp dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng a Chứng minh tính chất hình học Phương pháp tọa độ áp dụng tốt cho toán mà có quan hệ vuông góc xuất Nếu toán có đối tượng là: hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông Bài toán 1: Cho hai hình vuông ABCD AB ' C ' D ' chiều Chứng minh đường thẳng BB ', CC ', DD ' đồng quy Bài toán sử dụng phương pháp tổng hợp rắc rối Tuy nhiên, sử dụng phương pháp tọa độ đơn giản Để áp dụng phương pháp tọa độ, ta giúp học sinh xây dựng hệ tạo độ Oxy cho toán Ở toán này, việc xây dựng hệ tọa độ đơn giản Ta chọn hệ trục Oxy cho hình vuông ABCD có cạnh nằm trục RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ cho A ( 0;0 ) , B ( 0;1) , D ( 1;0 ) Suy C ( 1;1) Gọi B(a;b) hai hình vuông chiều nên ta suy D’(b;-a), C’(a+b;b-a) Khi đó: Đường thẳng BB’ có phương trình: ( − b ) x + a ( y − 1) = hay ( − b ) x + ay = a (1) Đường thẳng CC’ có phương trình: ( + a − b ) ( x − 1) + ( a + b − 1) ( y − 1) = hay ( a + − b ) x + ( a + b − 1) y = 2a (2) Đường thẳng DD’ có phương trình: a ( x − 1) + ( b − 1) y = hay ax + ( b − 1) y = a (3) Ta có (1) + (3) phương trình (2) Do BB’ DD’ cắt (xo;yo) (xo;yo) thỏa phương trình đường thẳng CC’ Vậy đường thẳng BB’, CC’ DD’ đồng quy Cách chọn độ dài hình vuông giúp giảm thiểu tham số không cần thiết, có lợi cho việc tính toán Bài toán 2: Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) cho tam giác ABC không cân C Gọi H chân đường cao tam giác ABC hạ từ C Hạ HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng Các đường thẳng EF AB cắt K Gọi D giao điểm (O) đường tròn đường kính CH ,D ≠ C Chứng minh K, D, C thẳng hàng 10 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài hình vẽ rắc rối bạn nghĩ tới phương pháp tọa độ mà nghĩ tới phương pháp khác Tuy nhiên, biết cách chọn trục cách khéo léo dùng phương pháp tọa độ ta giải toán mà tính toán nhiều Ở ta chọn gốc tọa độ chân đường cao tam giác ABC (lợi dụng tính vuông góc) đặt AB=2, khoảng cách từ chân đường cao H đến tâm O thay đổi tùy theo vị trí C ta đặt HO=a Gọi HC=b Từ xây dựng hệ trục thuận lợi cho toán Lời giải cụ thể cho toán sau: Dựng hệ trục Oxy cho: H(0;0), O(0;a), A(-1+a), B(0;1+a) C(0;b) 2 Khi b = ( −1 + a ) ( + a ) = – a b  b2  Phương trình đường tròn (I;IC): x +  y − ÷ = 2  Phương trình đường tròn (O;1): ( x − a ) + y = Đường thẳng CD trục đẳng phương hai đường tròn (I;IC) (O;1) nên có phương trình là: b2 b2 −2ax + a + by – =1– ⇔ 2ax – by + b = 4 Phương trình đường thẳng AC: x y + = ⇔ bx + ( a – 1) y = b ( a – 1) a −1 b Phương trình đường thẳng HE: ( a – 1) x – by =  −b b ( – a )  ; Suy tọa độ điểm E  ÷ 2   y− Suy phương trình đường thẳng EF: b x = −b b ( − a ) b − 2  −b  K ;0 ÷ Suy tọa độ giao điểm K EF AB  a   Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa phương trình đường thẳng CD, suy K thuộc CD 11 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vậy điểm K, C, D thẳng hàng Nhận xét: Bài toán toán hay có nhiều cách giải Trong cách giải phương pháp tọa độ trên, nhận xét CD trục đẳng phương hai đường tròn (O) (I) quan trọng, giúp ta giảm nhiều việc tính toán Ý tưởng thường hay sử dụng để viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường tròn đường thẳng qua hai tiếp điểm Bài toán 3: Cho tam giác ABC, đường tròn đường kính BC cắt AB, AC E D Gọi F, H hình chiếu D E BC Gọi M giao điểm EF DG Chứng minh AM⊥ BC Nhìn vào đề có nhiều yếu tố vuông góc hình vẽ thấy toán thuận lợi việc áp dụng phương pháp tọa độ Lời giải Ta chọn hệ trục sau: chân đường cao hạ từ A H làm gốc tọa độ, A(0;1), B(0;b) C(0;c) Khi phương trình đường thẳng AC: x + cy − c = Phương trình đường thẳng AB: x − by − b = Phương trình đường cao BD: cx − y − bc = Phương trình đường cao CE: bx − y − bc = 12 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  bc + c c − bc   cb + b b − bc  , ; Tọa độ điểm D  ÷ E  ÷  c +1 c +1   b +1 b +1   bc + c   cb + b  ;0 ÷, G  ;0 ÷ Suy tọa độ điểm F   c +1   b +1  cb + b x− y b +1 = Phương trình đường thẳng DG: bc + c cb + b c − bc − c2 + b +1 c2 + Suy giao điểm DG với trục tung M có tung độ là: yM = −bc ( bc + 1) ( c − b ) ( bc + 1) ( cb2 + c − bc − b ) = bc bc − Ta thấy biểu thức đối xứng với b, c gọi M’ giao điểm EF với trục tung M’ có tung độ Do EF, DG cắt điểm trục tung, hay AM⊥BC b Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông A vuông cân, cạnh AB AC lấy M, N cho BM=CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho: A(0;0), B(0;b) C(1;0) Gọi M(0;m) điểm thay đổi cạnh AB với 0[...]...RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài này hình vẽ khá rắc rối và có thể ít khi nào các bạn nghĩ tới phương pháp tọa độ mà nghĩ tới các phương pháp khác Tuy nhiên, nếu biết cách chọn trục một cách khéo léo thì dùng phương pháp tọa độ ta giải bài toán này mà không phải tính toán quá nhiều Ở đây ta chọn gốc tọa độ tại chân đường cao của tam giác ABC (lợi dụng... rất thuận lợi trong việc áp dụng phương pháp tọa độ Lời giải Ta chọn hệ trục như sau: chân đường cao hạ từ A là H làm gốc tọa độ, A(0;1), B(0;b) và C(0;c) Khi đó phương trình đường thẳng AC: x + cy − c = 0 Phương trình đường thẳng AB: x − by − b = 0 Phương trình đường cao BD: cx − y − bc = 0 Phương trình đường cao CE: bx − y − bc = 0 12 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  bc 2... ra tọa độ điểm E  ÷ 2 2   y− Suy ra phương trình đường thẳng EF: b 2 x = −b 2 b ( 1 − a ) b − 2 2 2  −b 2  K ;0 ÷ Suy ra tọa độ giao điểm K của EF và AB là  2 a   Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa phương trình đường thẳng CD, suy ra K thuộc CD 11 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vậy 3 điểm K, C, D thẳng hàng Nhận xét: Bài toán trên là bài toán khá hay và có nhiều cách giải Trong. .. mình trong việc xây dựng một hệ tọa độ phẳng cho các bài toán và áp dụng phương pháp tọa độ phẳng đi giải quyết một số bài toán có tính chất khá phức tạp Và chúng ta cùng đi qua một loạt các bài toán giải bằng phương pháp tọa độ, các bạn có thể nghĩ rằng tính toán quá nhiều, phức tạp, và cảm thấy không thích Tuy vậy, mọi phương pháp đều có cái hay và đẹp nếu ta biết vận dụng một cách hợp lý Đối với phương. .. VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chọn hệ trục tọa Oxy có sao cho C(1;0) và B(-1;0) I trùng O Giả sử A(x; y) với x ≠ 0; y ≠ 0 Tọa độ trực tâm H(xo; yo) là nghiệm của hệ phương trình: uuur uuur  AH BC = 0  xo = x  1 − x2  ⇔ ⇔ H  x;  uuur uuur ÷ x − 1 x + 1 + y y = 0 y  ( ) ( )  BH AC = 0  o   Gọi K(xo; yo) là giao điểm của d và AI, khi đó tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình:... và P Phương trình đường (IC): x y + = 1 ⇔ y = ax + a −1 a Phương trình đường thẳng (ID): y = bx + b Phương trình đường tròn (K,KI): x 2 + ( y − m ) = m 2 + 1 ⇔ x 2 + y 2 − 2my − 1 = 0 2 Tọa độ giao điểm A của IC và (K,KI) là nghiệm của hệ  y = ax + a và x ≠ −1  2 2 x + y − 2 my − 1 = 0  17 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  2ma + 1 − a 2 a ( 2ma + 2 )  ; Suy ra tọa độ điểm... cố định Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho C trùng với gốc tọa độ, B(1–c;0) và A(1-c;0), d trùng với Oy Đường tròn đường kính AB có phương trình: ( x + c ) + y 2 = 1 2 Giả sử H(0;m) (m thay đổi) Gọi I là giao của BD và (d) 14 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng AH: x y + = 1 ⇔ mx − ( 1 + c ) y + m ( 1 + c ) = 0 −1 − c m Phương trình đường thẳng BD (qua... đoạn thẳng thuộc đường thẳng có phương trình (*)  1 1 với m ∈  − ; −   a b Bài toán 8: Cho góc Oxy vuông tại O M là điểm bên trong góc sao cho khoảng cách từ M đến Ox, Oy lần lượt là 3 và 4 Tìm điểm A trên Ox, B trên Oy sao cho AB qua M và OA + OB là nhỏ nhất Lời giải 18 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Xét hệ trục tọa độ Oxy với O là gốc tọa độ; Ox, Oy là trục hoành và trục... B Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác IAB 16 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Với bài toán này, không khó để dự đoán quỹ tích là một đường thẳng, mà nếu là quỹ tích là một đường thẳng thì hoàn toàn có thể tự tin để giải bằng phương pháp tọa độ Việc còn lại là dám làm và làm tới cùng Lời giải Ta dựng hệ trục tọa Oxy với Oy là đường trung trực của IP và I(-1; 0), P(1;0) C(0;a)... cách hợp lý Đối với phương pháp tọa độ, nếu đã xác định giải bằng phương pháp này thì nên chọn hệ trục một cách thích hợp và “không ngại khólàm đến cùng” Với những kinh nghiệm còn ít ỏi của mình, rất mong các thầy cô, anh chị, các bạn bè đồng nghiệp góp thêm ý kiến để đề tài có tính ứng dụng cao hơn Tôi xin chân thành cám ơn! 20 RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG MỤC LỤC 21