Khảo sát đường cong trong mặt phẳng và các tính chất metric của nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ Thị Xoan KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TÍNH CHẤT METRIC CỦA NÓ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ Thị Xoan KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG VÀ CÁC TÍNH CHẤT METRIC CỦA NÓ Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS NGUYỄN THỊ TRÀ Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Nguyễn Thị Trà người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô tổ Hình học thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học suốt thời gian làm khoá luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài khoá luận Mặc dù cố gắng nhiều, song kinh nghiệm thời gian thân nhiều hạn chế nên khoá luận tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Xoan LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân em hướng dẫn nhiệt tình ThS Nguyễn Thị Trà Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết đề tài "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất metric nó" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, không chép từ khoá luận trước Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Vũ Thị Xoan Mục lục Lời mở đầu Đường cong mặt phẳng 1.1 1.2 1.3 Cung tham số hoá 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Khảo sát cung tham số hoá lân cận điểm 1.1.3 Tính diện tích phẳng 14 1.1.4 Ví dụ 14 Đường cong toạ độ cực 19 1.2.1 Định nghĩa 19 1.2.2 Biểu diễn đường cong toạ độ cực 21 1.2.3 Khảo sát đường cong cho phương trình cực lân cận điểm 23 1.2.4 Tính diện tích phẳng toạ độ cực 29 1.2.5 Ví dụ 29 Đường cong cho phương trình Descartes Hình bao họ đường thẳng mặt phẳng 31 1.3.1 31 Đường cong cho phương trình Descartes Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN 1.3.2 Hình bao họ đường thẳng mặt phẳng 32 1.3.3 Ví dụ 36 Các tính chất metric đường cong mặt phẳng 39 2.1 2.2 Các tính chất cấp 39 2.1.1 Hoành độ cong 39 2.1.2 Biểu diễn tham số theo hoành độ cong 41 2.1.3 Ví dụ 43 Các tính chất cấp 46 2.2.1 Bán kính cong Tâm cong 46 2.2.2 Đường tròn mật tiếp Đường túc bế đường cong mặt phẳng 2.2.3 2.2.4 49 Các đường thân khai đường cong mặt phẳng 52 Ví dụ 52 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN Lời nói đầu Lý chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng đời sống thực tiễn nghiên cứu khoa học Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Trong trình học tập, em nghiên cứu chuyên ngành hình học, môn quan trọng tương đối khó có môn hình học vi phân Hình học vi phân có ứng dụng lớn hình học phẳng trường THPT, có nhiều dạng khác nhau, dạng mang đặc điểm tính chất riêng Trong kì thi quốc gia THPT, dạng toán khảo sát đồ thị hàm số thiếu, chương trình đại học phân môn khác có toán liên quan đến đồ thị hàm số phức tạp mà thân em bạn sinh viên trình học chưa biết hình dạng đồ thị để làm rõ vấn đề em chọn đề tài "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất metric nó" làm khoá luận tốt nghiệp Luận văn gồm hai chương: Chương "Đường cong mặt phẳng", Chương "Tính chất metric đường cong mặt phẳng" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đường cong mặt phẳng, tính chất metric Xây đựng bước khảo sát đường cong mặt phẳng, thấy hình dáng đặc biệt số đường cong Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN Làm rõ cung tham số hoá, đường cong toạ độ cực, đường cong cho phương trình Descartes hình bao họ đường thẳng mặt phẳng tính chất cất một, cấp hai Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất metric nó" Phạm vi nghiên cứu: Một số toán khảo sát đường cong, tính diện tích phẳng, tìm hình bao họ đường thẳng mặt phẳng, tìm bán kính cong, tâm cong, toán đường túc bế, đường thân khai đường cong mặt phẳng Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đường cong số lược đồ khảo sát đường cong hình bao họ đường thẳng mặt phẳng Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu liên quan Chương Đường cong mặt phẳng Trong chương xây dựng bước khảo sát vẽ đồ thị đường cong lân cận điểm, cách tính diện tích đường cong, cách tìm hình bao họ đường thẳng mặt phẳng 1.1 1.1.1 Cung tham số hoá Định nghĩa Cung tham số: Ta gọi ánh xạ f : I → R2 t → f (t) cung tham số hoá thuộc lớp Ck Kí hiệu: f (t) Cho f : I −→ R2 cung tham số hoá Ta gọi {f (t), t ∈ I} quỹ đạo f hay {f (t), t ∈ I} đường cong nhận f làm biểu diễn tham số (hay tập ảnh cung tham số) Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN Ví dụ: Ánh xạ µ : R → E2 − t → µ(t) = M0 + → αt cung tham số hoá có µ(R) đường thẳng qua điểm M0 nhận − vectơ → α làm vectơ phương Cho f : I −→ R2 cung tham số hoá (thuộc lớp Ck ) • Phép đổi tham số (thuộc lớp Ck ) f ánh xạ ϕ : J −→ I J khoảng R cho: ϕ ∈ C k J, ϕ song ánh, ϕ−1 ∈ C k I • Biểu diễn tham số chấp nhận (thuộc lớp Ck ) f ánh xạ g : J −→ R2 J ⊂ R cho tồn phép đổi tham số ϕ (thuộc lớp Ck ) f cho g = f ◦ ϕ hay ánh xạ ϕ : J −→ I phép đổi tham số (thuộc lớp Ck ) khi: ϕ ∈ C k J, ϕ > (ϕ < 0), ϕ (J) = I Nhận xét: • Nếu f : I −→ R2 cung tham số hoá (thuộc lớp Ck ), ϕ : J −→ I phép đổi tham số (thuộc lớp Ck ) cung tham số hoá f f ◦ ϕ có quỹ đạo • f g Ck - tương đương tồn phép đổi tham số ϕ (thuộc lớp Ck ) thoả mãn g = f ◦ ϕ 1.1.2 Khảo sát cung tham số hoá lân cận điểm a) Tiếp tuyến điểm Định nghĩa 1: Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN b) Ta có: s = ρ2 + ρ2 + 4θ2 =√ − 4θ2 Do tính đối xứng: L=2 s (θ)dθ = 0 + 4θ2 √ dθ − 4θ2   dθ = cos ϕdϕ Đổi biến: 2θ = sin ϕ ⇒  ϕ = arc sin 2θ θ Đổi cận: π ϕ π 3π L = (1 + sin2 ϕ)dϕ = Ví dụ 3: Tính độ dài đường deltoit τ :   x = cos t + cos 2t ; t ∈ [−π; π]  y = sin t − sin 2t Giải: Do tính chất đối xứng, độ dài toàn phần L đường deltoit L = 6L1 , L1 la độ dài phần τ ứng với khoảng biến thiên t từ đến π 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ta có: VŨ THỊ XOAN   x = −2 sin t(1 + 2cost)  y = 2(1 − cos t)2 (1 + cos t) t t s = x + y = 16(1 + cos t)2 sin2 ⇒ s = 4(1 + cos t) sin 2 π π 3 t ⇒ L1 = s (t)dt = 4(1 + cos t) sin dt = 0 ⇒ L = 6L1 = 16 2.2 2.2.1 Các tính chất cấp Bán kính cong Tâm cong Cho f : I → R2 biểu thị cung tham số hoá quy thuộc lớp C , τ = f (I) quỹ đạo f , s hoành độ cong τ −−→ → − → − − − dM → → − → KH: T = ; N = Rot π ( T ); ϕ = ( i , T ) + k2π, k ∈ Z ds Định nghĩa: • Bán kính cong τ điểm M (s) số thực R xác định bởi: R= ds dϕ • Độ cong τ M (s) số thực γ xác định bởi: γ = R R γ lấy giá trị 0; +∞; −∞ Cách xác định bán kính cong toạ độ Descartes 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN Cho τ xác định bởi biểu diễn tham số quy thuộc lớp C :   x = x(t)  y = y(t) Khi đó, ta có: + s = x + y   x = s cos ϕ  x = s cos ϕ − ϕ s sin ϕ + ⇒  y = s sin ϕ  y = s sin ϕ + ϕ s cos ϕ x y − x y = s 2ϕ xy −x y ⇒ϕ = s2 (x + y ) s = ⇒R= ϕ xy −x y Đặc biệt: trường hợp riêng Đường cong biểu diễn hàm số Giả sử τ cho y = f (x), đó: f : I → R thuộc lớp C Khi đó, τ tham số hoá tham số x điểm mà f không triệt tiêu: R = (1 + f (x)) f (x) Tại điểm mà f triệt tiêu R → ±∞ Ví dụ: Tính bán kính cong điểm thuộc τ có phương trình: y = ln |cos x| , x ∈ 47 −π π ; 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ∀x ∈ VŨ THỊ XOAN −π π ; ; y = tan x; y = 2 cos2 x (1 + tan2 x) ⇒R= = cos x cos2 x Đường cong tiếp xúc với x’x O Giả  sử τ tiếp xúc với x’x O R0 bán kính cong τ O,  x = x(t) τ : điểm O τ ứng với (hay nhiều) trị t0  y = y(t) tham số t Giả thiết O điểm quy τ , tức (x (t0 ); y (t0 )) = (0, 0) Vì τ tiếp xúc với x’x O nên ta có: y (t0 ) = x (t0 ) = Vậy lân cận t0 , x C -vi phôi, ta tham số hoá địa phương τ y = f (x), f thuộc lớp C lân cận O f (0) = f (0) = Giả thiết f = Khi ta có: (1 + f (0))3 R0 = f (0) = f (0) Khai triển Taylor f (x) lân cận O ta có: x2 f (x) = f (0) = xf (0) = f (0) + θ(x2 ) x2 Suy ra, x → 0, → = R0 2f (x) f (0) x2 Như vậy: R0 = lim t→t0 2y Cách tính bán kính cong toạ độ cực ρ2 + ρ ρ + tan V = ρ +s = 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN ρ − ρρ ρ − ρρ + dV = dθ (1 + tan V )dV = dθ ρ +ρ2 ρ2 ρ + 2ρ − ρρ + dϕ = dθ + dV = dθ ρ+ρ2 ρ+ρ2 ds = +R= dϕ ρ2 + 2ρ − ρρ Đặc biệt τ qua O với trị θ0 θ thì: R0 = ρ (θ0 ) 2ρ (θ0 ) = |ρ(θ0 )| Định nghĩa 1: Cho f : I → R2 f (t) = M (t) cung tham số hoá, τ quỹ đạo nó, M (t) điểm τ , bán kính cong R → − → − → − Vectơ pháp tuyến T , N = Rot π T Tâm cong M τ điểm C thuộc R2 xác định bởi: −−→ → − M C = RN Định nghĩa 2: Ta gọi đường tròn tâm C (tâm cong τ M) bán kính |R|, R bán kính cong M τ đường tròn khúc M τ 2.2.2 Đường tròn mật tiếp Đường túc bế đường cong mặt phẳng Đường tròn mật tiếp: Trong hệ quy chiếu Frenet M τ ta quy trường hợp τ tiếp xúc với O với x’x Khi lân cận O τ đường cong biểu thị hàm f thuộc lớp C lận cận O 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN Ta giả thiết f (0) = (f (0) > 0) Cho λ ∈ R∗+ , Ω(0, λ), Cλ đường tròn tâm Ω qua O Phương trình Descartes Cλ là: x2 + y − 2λy = Nửa đường tròn Cλ qua gốc O đường cong biểu diễn hàm số gλ : [−λ; λ] → R x → gλ (x) = λ − √ λ2 − x2 Xét: x2 x2 f (x)−gλ (x) = f (0) + x.f (0) + f (0) + θ(x ) − λ − λ(1 − + θ(x2 ) 2λ 1 = x2 + θ(x2 ) − 2R 2λ Nếu λ > R lân cận O, λ nằm hoàn toàn phía Cλ Nếu λ < R lân cận O, λ nằm hoàn toàn phía Cλ Giả sử λ = R f ∈ C lân cận O Khi đó, ta có:    gR (x) = x + θ(x3 ) 2R x x3   f (x) = + f (0) + θ(x ) 2R x3 ⇒ f (x) − gR (x) = f (0) + θ(x3 ) f (x) Nếu f = ta có: f(x)−gR (x) ∼ x 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN Ta nói CR τ có điểm tiếp xúc bậc hai O, CR gọi đường tròn mật tiếp O với τ Đường túc bế đường cong mặt phẳng: Đường túc bế đường cong τ mặt phẳng tập hợp tâm cong C M τ M vạch nên τ Định lý: Đường túc bế τ hình bao pháp tuyến τ Chứng minh: Tham số hoá τ hoành độ cong: → − → − M : s ∈ J → M (s) = O + x(s) i + y(s) j Kí hiệu: N(s) pháp tuyến với τ M (s) Phương trình Descartes τ là: x (s).(X − x(s)) + y (s).(Y − y(s)) = Biểu diễn tham số hình bao họ đường thẳng (N (s)) cách giải hệ  phương trình:   N (s) =  x (s).X + y (s).Y = x (s).x(s) + y (s).y(s) ⇒  x (s).X + y (s).Y = x (s).x(s) + y (s).y(s) + x (s) + y (s)  N (s) = Ta giả thiết: x (s).y (s) =  ∀s ∈ J, x (s).y2 (s) − x +y    X =x− y x y − x y Ta suy ra:  x2+y2   Y =y+ x xy −x y → − → − (x + y ) → − −y i + x j Vì R = N = , nên điểm P xy −x y (x + y ) 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN hình bao ta có: −→ −−→ → − −→ → − → − OP = X i + Y j = OM + R N = OC Vậy P = C Cuối cùng, hình bao pháp tuyến τ đường túc bế τ 2.2.3 Các đường thân khai đường cong mặt phẳng Định nghĩa: Cho γ, C đường cong thuộc lớp C mặt phẳng Ta nói γ đường thân khai C ⇔ C đường túc bế γ Định lý: Cho C đường cong thuộc lớp C mặt phẳng Ta ký −→ −−→ dC hiệu s hoành độ cong C; C(s) điểm chạy C T (s) = ds vectơ tiếp tuyến đơn vị định hướng C C(s) Khi đó, đường thân khai C đường cong xác định biểu diễn tham số: −−−−→ −−−−→ −−→ OM (s) = OC(s) + (s0 − s)T (s); ∀s0 ∈ R 2.2.4 Ví dụ Ví dụ 1:a) Tính  bán kính cong điểm đường cong τ có biểu  x = cos t + cos 2t + cos 3t diễn tham số:  y = sin t + sin 2t + sin 3t b)Tính bán kính cong điểm ứng với θ = đường cong τ có θ phương trình cực: ρ = cos θ + cos Giải: 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN a) Ta có:   x = −6 sin 2t(1 + cos t) ⇒ s = x + y = 36(1 + cos t)2  y = cos 2t(1 + cos t) y π ⇒ s = 6(1 + cos t) ⇒ tan ϕ = = − cot 2t = tan( + 2t) x π ⇒ ϕ = + 2t + kπ ⇒ dϕ = 2dt ds ⇒R= = 3(1 + cos t) dϕ θ θ θ b) ρ(θ) = cos θ +cos ; ρ (θ) = − sin θ − sin ; ρ (θ) = − cos θ − cos 2 −5 ⇒ ρ(0) = 2; ρ (0) = 0; ρ (0) = [ρ2 (0) + ρ (0)]3 16 ⇒ R(0) = = ρ (0) + 2ρ (0) − ρ(0).ρ (0) 13 Ví dụ 2: Xác định tâm cong A(1; 0) đường cong τ có phương trình cực: ρ = θ + cos Giải: A ∈ τ ứng với θ = sin θ 2 ⇒ ρ (0) = θ + cos Suy tiếp tuyến A với τ song song với y’y Ta có: ρ (θ) = −y RA = lim = lim θ→0 θ→0 2(x − 1) = lim θ→0 −ρ2 sin2 θ + cos θ 2 cos θ − − cos −2θ2 + o(θ2 ) → θ2 −7 − + o(θ2 ) θ2 + o(θ2 ) 8 53 θ Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN ⇒R= −→ → − → − −→ −8 → −1 − → − i ⇒C ;0 AC = R N , N = − i , ta suy AC = 7 Ví dụ 3: Xác định đường khúc (bởi tâm bán kính nó) điểm M ứng với t = , đường cong τ có biểu diễn tham số:   x=t −t  y = 2t3 Giải: Tại ∀M (t) ∈ τ , ta có: x = t − t3 , y = 2t2 Ta có s = x + y = t2 (1 + t2 )2 ⇒ t > 0, s = t(1 + t2 ) Vectơ tiếp tuyến vectơ pháp tuyến τ là: −−→ → − dM x→ y→ − t2 → 2t → − − − − T = = i + j = i + j ds s s + t2 + t2 → − → − −2t → − t2 → − − N = Rot π ( T ) = i + j 2 1+t 1+t x = − 3t2 , y = 4t, x y − x y = 2t2 (1 + t2 ) t s3 = (1 + t2 )2 Bán kính cong τ là: R = xy −x y −→ −−→ → − → − → − OC = OM + R N = X i + Y j , đó:  t2 t4 t −2t t2 5t4   X = − + (1 + t2 )2 =− − + t2 t t t5 − t   Y = t3 + + (1 + t2 )2 = + t − + t2 Đặc biệt, với t = , ta được:  23   X = − 17 50 243 x= ,y = ,x = ,y = ,R = ,C 46  324 81 27 243  Y = 243 Ví dụ 4: Ta gọi đường túc bế đường cong τ mặt phẳng 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN tập hợp tâm cong C M τ vạch M nên τ Hãy tìm đường túc bế elip Giải:   x = a cos t Cho τ elip có biểu diễn tham số , t ∈ R, a > 0, b >  y = b sin t Ta có: x = −a sin t, y = b cos t Hoành độ cong đường cong là: s = x2+y2 = a2 sin2 t + b2 cos2 t y b b dt = − cot t ⇒ + tan2 ϕ dϕ = x a a.sin2 t ab ⇒ dϕ = 2 dt a sin t + b2 cos2 t Bán kính cong đường cong là: Ta có: tan ϕ = ds R= = dϕ a2 sin2 t + b2 cos2 t ab Vectơ tiếp tuyến pháp tuyến tương ứng là: −−→ → − dM x→ y→ − − → − → − 2 2 −2 T = = i + j = a sin t + b cos t −a sin t i + b cos t j ds s s − → − → − → − → − N = Rot π2 T = a2 sin2 t + b2 cos2 t −b cos t i − a sin t j 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN −→ −−→ → − → − → − Ta có: OC = OM + R N = X i + Y j , đó: a2 sin2 t + b2 cos2 t X = a cos t + ab a2 sin2 t + b2 cos2 t Y = b sin t + ab a2 − b2 cos t = a 2 2 a sin t + b cos t −b cos t a2 − b2 sin t =− b 2 2 a sin t + b cos t −a sin t Vậy đường túc bế C τ nhận biểu diễn tham số:  2   X = a − b cos3 t a a − b  Y =− sin t b Ví dụ 5: Cho γ, C hai đường cong thuộc lớp C mặt phẳng Ta nói γ đường thân khai C C đường túc bế γ Hãy xác định đường thân khai đường dây xích có phương x trình y = ach (a > 0), a cố định a Giải: Ta có hoành độ cong đường cong là: s = x2+y2 = + sh2 x x = ch a a Vectơ tiếp tuyến đường cong là: −→ −→ → − dC dx dC → x→ − − T = = = x i + sh j ds ds dx a ch a Nếu chọn điểm A(a,0) ứng với x = làm gốc hoành độ cong C, x ta có s = ash Các đường thân khai C đường cong γλ (λ ∈ R) a 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN xác định biểu diễn tham số:  x   X = x + (λ − s) = x + λ − ash  x  a ch x  ch a a x x x   Y = y + (λ − s) x = ach + λ − ash th   a a a  th a 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ THỊ XOAN Kết luận Với cương vị sinh viên, qua việc nghiên cứu đề tài "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất metric nó" em hiểu rõ cách khảo sát đường cong mặt phẳng số tính chất Việc nghiên cứu cho ta hiểu biết cụ thể cung tham số hoá, đường cong toạ độ cực, đường cong cho phương trình Descarter, hình bao họ đường thẳng mặt phẳng, hoành độ cong, bán kính cong, tâm cong, đường túc bế, đường thân khai mặt phẳng, đặc biệt mở rộng toàn môn Hình học Thấy ứng dụng chúng việc giải toán cụ thể (bài toán vẽ cung tham số hoá; tính hoành độ cong, tâm cong, bán kính cong; tìm đường thân khai, đường túc bế ) Với bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian lực hạn chế nên khóa luận em tránh thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ phía thầy cô bạn để khóa luận em hoàn thiện 58 Tài liệu tham khảo [1] Jean Marie Monier, Giáo trình Toán - Tập 7, NXB Giáo Dục, 2006 [2] Phạm Bình Đô, Hình học vi phân, NXB Sư phạm, 2000 [3] Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000 [4] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang,(1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo Dục [5] Phan Hồng Trường, Giáo trình đại số tuyến tính 59 ... chọn đề tài "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất metric nó" làm khoá luận tốt nghiệp Luận văn gồm hai chương: Chương "Đường cong mặt phẳng" , Chương "Tính chất metric đường cong mặt phẳng" Mục... đường cong mặt phẳng tính chất metric nó" Phạm vi nghiên cứu: Một số toán khảo sát đường cong, tính diện tích phẳng, tìm hình bao họ đường thẳng mặt phẳng, tìm bán kính cong, tâm cong, toán đường. .. tham khảo tài liệu liên quan Chương Đường cong mặt phẳng Trong chương xây dựng bước khảo sát vẽ đồ thị đường cong lân cận điểm, cách tính diện tích đường cong, cách tìm hình bao họ đường thẳng mặt