Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán tọa độ trong mặt phẳng từ các tính chất của tam giác vuông cân

MỤC LỤC Nội dung 1- MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2- NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Đối với giáo viên……………………………………… 2.2.2 Đối với học sinh………………………………………… 2.3 Một số tốn khai thác từ tính chất tam giác vng cân 2.3.1 Tính chất 2.3.2 Phát giải vấn đề với toán tọa độ mặt phẳng từ tính chất tam giác vuông cân………………… 2.4 Một vài kinh nghiệm rút ra…………………………………… 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 15 15 dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường……………………… KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 16 3.1 Kết luận……………………………………………………… 16 3.2 Kiến nghị…………………………………………………… 17 Tài liệu tham khảo……………………………………………… 17 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : Toán học môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ vận dụng để giải số vấn đề xảy thực tế Vì việc dạy học mơn Tốn dạy cho học sinh có lực trí tuệ, lực từ giúp học sinh học tập tiếp thu kiến thức khoa học biết cách vận dụng vào sống Dạy học mơn Tốn người thầy khơng dạy cho học sinh kiến thức tốn học (những cơng thức, định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy phải dạy cho học sinh có lực, trí tuệ để giải vấn đề nêu học tập sau Trong trình dạy học tốn, việc lựa chọn cơng cụ phương pháp phù hợp để giải toán việc làm cần thiết quan trọng Chọn cơng cụ thích hợp cho ta lời giải hay ngắn gọn, dễ hiểu Để có giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư dẫn dắt học trò tới niềm say mê sáng tạo, bao giáo viên yêu nghề khác trăn trở với khó khăn học trò q trình tiếp cận tốn Bài tốn hình học tọa độ mặt phẳng toán thường xuất kỳ thi, ln quan tâm đặc biệt học sinh giáo viên Bên cạnh tốn khó nhiều đối đối tượng học sinh đặc biệt em có lực trung bình yếu Băn khoăn trước khó khăn học sinh tơi định tìm tòi nghiên cứu lớp toán tọa độ mặt phẳng để giúp em tiếp cận loại toán cách hiệu Trong số toán tọa độ mặt phẳng có lớp tốn “thiên tính chất hình học phẳng túy” đặc biệt tính chất tam giác vng cân mà em học THCS, điều gây cho học sinh nhiều khó khăn tiếp cận Để giúp học sinh tháo gỡ khó khăn vướng mắc có định hướng đắn tơi trăn trở suy nghĩ chọn đề tài: “Định hướng cho học sinh phát giải vấn đề với toán tọa độ mặt phẳng từ tính chất tam giác vng cân ’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nhìn nhận rõ chất tốn tọa độ mặt phẳng cách sử dụng tính chất hình học phẳng - Làm sở lý luận, sở đánh giá cho đề ôn tập thi học sinh giỏi - Vận dụng vào thực tế nhà trường sở đối tượng học sinh, phương tiện dạy học có 1.3 Đối tượng nghiên cứu * Đề tài nghiên cứu tập khai thác tính chất tam giác vng cân từ tốn tọa độ phẳng * Nghiên cứu sở thực nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục trường THPT, định hướng quan điểm đổi phương pháp dạy học, thầy cô giáo em học sinh trường THPT Yên Định II 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Nghiên cứu số tài liệu cách đề trắc nghiệm, đổi PPDH mơn tốn, tài liệu nghiên cứu cách kiểm tra đánh giá học sinh… để xây dựng lý luận cho đề tài - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin Giảng dạy trực tiếp, đề kiểm tra từ đánh giá nhận xét cách làm, chất lượng đề Quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút học - Phương pháp thống kê, xử lý liệu Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh liệu đánh giá trước sau học theo hệ thống tập khai thác NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Khơng ngừng tìm tòi, phát vấn đề, nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ, nhiều khía cạnh để từ tăng khả tư nhạy bén điều mà môn học hướng tới Đặc biệt Tốn học vốn mang nhiều vẻ đẹp tiềm ẩn, công cụ sắc bén cho nhiều ứng dụng thực tiễn môn học khác Để làm điều đó, để truyền lại cho học sinh nhìn tổng thể, sâu sắc chất vấn đề việc rèn luyện kĩ khai thác tốn vơ quan trọng Lý thuyết phải có thực hành để kiểm chứng vận dụng Những năm gần đề thi học sinh giỏi tỉnh ln có câu hỏi tốn tọa độ mặt phẳng, loại lại đề tài vô đa dạng phong phú mà chủ yếu lại khai thác từ tính chất hình học phẳng túy, lớp tốn khai thác từ tính chất tam giác vng cân vô thú vị Sau số kiến thức sở liên quan đến nội dung sáng kiến : 2 + Phương trình tổng quát đường thẳng ∆ : ax + by + c = ( a + b ≠ ) r r ∆ có véctơ pháp tuyến n = ( a ; b ) , véctơ phương u = ( b ; − a )  x = x0 + at ( a + b2 ≠ ) y = y + bt  r r ∆ có véctơ phương n = ( a ; b ) , véctơ pháp tuyến u = ( b ; − a ) + Phương trình tham số đường thẳng ∆ :  2 + Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = ( a + b ≠ ) là: d ( M ; ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 + Góc ϕ hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = ur uu r tính theo cơng thức: cos ϕ = cos ( n1; n2 ) = a1a2 + b1b2 a12 + b12 a2 + b2 ur uu r (trong n1 , n2 véc tơ pháp tuyến ∆1 ∆ ) 2.2 Thực trạng vấn đề 2.1.1 Đối với giáo viên : Trong q trình dạy tốn Trường THPT với đối tượng HS lớp phụ trách số em có học lực ham hiểu biết, làm để trình giảng dạy học sinh từ hiểu biết đến yêu thích môn, nắm vững kiến thức vận dụng linh hoạt vào việc giải tập điêù trăn trở Với lượng kiến thức giảng dạy khóa, giáo viên khơng có đủ thời gian để đưa tập nhằm phát triển khả tư cho học sinh, có tiết ôn tập chương, nhiên số lượng lướt nhanh qua hai ví dụ Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, tơi nhận dạy học sinh đơn kiến thức theo sách giáo khoa đáp ứng yêu cầu số HS trung bình, kết thu HS chưa cao Đặc biệt việc tổng hợp, liên hệ mảng kiến thức bậc học lúng túng, chí khơng có định hướng trước tốn Do q trình giảng dạy tơi thường xuyên nghiên cứu kĩ chương trình khối lớp: phân loại kiến thức, dạy cho học sinh theo chuyên đề dạng đó, tơi cố gắng tìm tòi cung cấp thêm cho em phương pháp giải ngồi sách giáo khoa để giúp học sinh vận dụng giải toán cách nhanh vào buổi học bồi dưỡng 2.1.2 Đối với học sinh: Trường THPT Yên Định đóng địa bàn có nhiều xã khó khăn kinh tế, việc học tập phấn đấu em học sinh chưa thực quan tâm từ bậc học kiến thức sở mơn toán em hầu hết tập trung mức độ trung bình Với lớp tốn phương pháp tọa độ mặt phẳng em thường thụ động việc tiếp cận phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo tìm niềm vui, hưng phấn giải toán Bài tốn hình học tọa độ mặt phẳng thơng thường phân chia thành hai mảng: mảng thứ lớp tốn mang nặng tính “đại số” thường xây dựng sở phương pháp tham số hóa thường áp dụng kiến thức tọa độ mặt phẳng để giải quyết; mảng thứ hai lớp tốn mang nặng tính “hình học” thường xây dựng tốn hình học phẳng túy Trước thực trạng tơi muốn đưa ý tưởng giải tốn hình học phẳng thuộc mảng thứ hai thơng qua việc “phát hiện” tính chất hình học dựa mối liên hệ kiện toán từ liên hệ với kiến thức tọa độ để định hướng đến hoàn chỉnh lời giải tốn Do thời gian khn khổ đề tài nên tơi định chọn lớp tốn mang nặng tính “hình học” mảng kiến thức liên quan đến tính chất tam giác vng cân 2.3 Một số tốn khai thác từ tính chất tam giác vng cân 2.3.1 Tính chất : Tính chất 1: Cho ∆ABC vng cân A Các điểm M,N thuộc cạnh AB AC cho AM = AN ( M, N không trùng với đỉnh tam giác ) Đường thẳng d1 qua A vng góc với BN cắt cạnh BC H; đường thẳng d qua M vng góc với BN cắt cạnh BC K Khi KH = HC Tính chất 2: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi H trung điểm đoạn BC, D hình chiếu vng góc H đường thẳng AC M trung điểm đoạn HD Khi AM ⊥ BD Tính chất 3: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC Lấy E điểm cạnh BC Gọi H, K hình chiếu B, C đường thẳng AE Khi ∆MHK tam giác vng cân M Tính chất 4: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC Gọi G trọng tâm tam giác ABM D điểm thuộc đoạn MC cho GA = GD Khi ∆AGD vng cân G Tính chất 5: Cho ∆ABC vng cân A Gọi M, N trung điểm AC BC Gọi G trọng tâm ∆ABC Đường thẳng qua A vng góc với BM cắt BC E Khi MN đường trung trực đoạn GE Tính chất 6: Cho ∆ABC vng cân C Trên đường tròn (ABC) lấy điểm D ( khác A, B, C) Gọi I giao điểm thứ đường tròn tâm C bán kính CA với đường thẳng BD Khi CD đường trung trực đoạn thẳng AI Tính chất 7: Cho ∆ABC vng cân C Lấy P điểm cạnh BC Gọi D, E hình chiếu P AB AC Gọi Q điểm đối xứng P qua đường thẳng DE Khi PQ ⊥ QA Q thuộc đường tròn (ABC) Tính chất 8: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm AC Gọi D hình chiếu vng góc C đường thẳng BM Gọi H hình chiếu vng uuur uuur góc D đường thẳng AC Khi AH = HC 2.3.2 Phát giải vấn đề với toán tọa độ mặt phẳng từ tính chất tam giác vng cân Tính chất 1: Cho ∆ABC vng cân A Các điểm M,N thuộc cạnh AB AC cho AM = AN ( M,N không trùng với đỉnh tam giác ) Đường thẳng d1 qua A vng góc với BN cắt cạnh BC H; đường thẳng d qua M vng góc với BN cắt cạnh BC K Chứng minh KH = HC Chứng minh : Qua C dựng đường thẳng vng góc với AC,đường thẳng cắt AH P Ta có KH BK = MA BM Mặt khác ∆BMK : ∆CPH nên BK CH CH = = ∆ABN = ∆CAP BM CP AN KH CH = ⇒ KH = CH (đpcm) Suy MA MA Nhận xét : Học sinh hồn tồn chứng minh KH = CH theo hướng khác.Chẳng hạn: Dựng hình vng ABDC có MK AH cắt CD điểm E P Do AM = EP AN = CP ( ∆ABN = ∆CAP ) nên EP = CP theo tính chất đường trung bình suy KH = HC Cách tương đối dễ hiểu việc dựng thêm nhiều điểm học sinh động tác tương đối khó Bài : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho ∆ABC vuông cân A Các điểm M,N thuộc cạnh AB AC cho AM = AN ( M,N không trùng với đỉnh tam giác ) Đường thẳng d1 qua A vng góc với BN cắt   cạnh BC H  ; − ÷ ; đường thẳng d qua M vng góc với BN cắt 5 3   cạnh BC K  ; ÷ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh A 5 3 thuộc đường thẳng ( ∆ ) : x + y + 13 = có hồnh độ dương (Trích đề thi HSG lớp 11, Tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Bước 1: Phát vấn đề Mấu chốt toán phát KH=CH (muốn yêu cầu học sinh phải kết hợp vẽ hình tương đối xác) Sau có tính chất suy tọa độ điểm C phương trình đường thẳng BC Viết phương trình AC nhờ góc hai đường thẳng Kết hợp ta có tọa độ điểm A B Bước : Giải vấn đề Do H trung điểm CK nên C(2;-2) Véc tơ pháp ur tuyến BC n1 = ( 5;3) Suy phương trình BC : x + y − = 2 r Gọi n = ( a; b ) ;(a + b ≠ 0) véc tơ pháp tuyến đường thẳng AC ur n1 = ( 5;3) véc tơ pháp tuyến đường thẳng BC Khi : r ur n n1 cos 450 = r ur ⇔ = n n1 5a + 3b a + b 34 b = a ⇔ 4b − 15ab − 4a = ⇔  b = − a  b = a ⇒ AC : x + y + = ⇒ A( −2; −1) loại Với Với b = − a ⇒ AC : x − y − 10 = ⇒ A(1; −6) thõa mãn ⇒ Phương trình AB : x + y + 23 = ⇒ B ( 5; −7 ) 2 Vậy A(1;-6); B(5;-7) C(2;-2) Nhận xét : Từ tốn nhấn mạnh cho học sinh thấy lớp tốn tọa độ mặt phẳng có chứa giả thuyết tam giác vng cân có sử dụng kỹ vơ quan trọng : “ viết phương trình đường thẳng hợp với đường thẳng cho trước góc 450 ” Kỹ sử dụng thường xuyên tính chất tốn Tính chất 2: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi H trung điểm đoạn BC, D hình chiếu vng góc H đường thẳng AC M trung điểm đoạn HD Khi AM ⊥ BD Chứng minh : AB AD · =2= nên ∆ABD : ∆DAM suy DAM = ·ABD AD DM Mặt khác ∆ABC vuông A nên AM đường cao ∆ABD hay AM ⊥ BD Vì Nhận xét : Học sinh hồn tồn chứng minh AM ⊥ BD tích vơ hướng hai véc tơ sau: uuuu r uuur uuur 2AM = AH + AD uuur uuur uuur nên BD = BH + HD uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur AM BD = BH + HD AH + AD uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur = BH AD + AH HD = CH CA − CD − HA.HD uuur uuu r uuur uuur uuur uuur = CH CA − CH CD − HA.HD CH CD HD = CH CA − CH CD − HA.HD CA CH HA 2 = CH − CD − HD = Do AM ⊥ BD Đây phương pháp để rèn luyện kỹ biến đổi ( )( ( ) ) phép toán véc tơ hình học lớp 10 Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng cân A có H trung điểm BC, D hình chiếu vng góc H AC M trung điểm HD Đường thẳng BD qua điểm E(0;4) đường thẳng AC qua điểm F(-1;5) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng AM có phương trình x − y + 14 = Bước 1: Phát vấn đề Mấu chốt toán học sinh biết sử dụng tính chất phát viết phương trình đường thẳng BD Phương trình cạnh AC viết dựa vào toán số Như tìm tọa độ A D Tọa độ điểm C có D trung điểm AC từ suy tọa độ điểm B Bước 2: Giải vấn đề Đường thẳng BD qua E BD ⊥ AM ( chứng minh ) nên có phương trình 3x + y − = Đường thẳng AC qua F tạo với AM · góc DAM mà · · tan DAM = ⇒ cos DAM = r 2 Gọi n = ( a; b ) ;(a + b ≠ 0) véc tơ ur pháp tuyến đường thẳng AC n1 = ( 1; −3) véc tơ pháp tuyến r ur n.n1 a − 3b · = r ur ⇔ = đường thẳng AM Khi : cos DAM n n1 a + b 10 b = − a ⇔ a + 6ab − b = ⇔  b = a Với b = −a ⇒ AC : x − y + = ⇒ A(−2; 4) thõa mãn  24  Với b = 7a ⇒ AC : x + y − 34 = ⇒ A  ; ÷ loại 5   11  Vì D = AC ∩ BD nên D  − ; ÷ C ( 1;7 )  2  19  Phương trình HD : x + y − = ⇒ M  ; ÷⇒ H ( 1; ) ⇒ B ( 1;1) 4  Vậy A(-2;4), B(1;1), C(1;7) Tính chất 3: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC Lấy E điểm cạnh BC Gọi H, K hình chiếu B, C đường thẳng AE Khi ∆MHK tam giác vuông cân M Chứng minh : · Ta có hai tứ giác AKMC ABHM tứ giác nội tiếp nên MKH = ·ACM = 450 , · · MHK = MBA = 450 suy ∆MHK vuông cân M Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC vuông cân A, Gọi 5 5 M  ; ÷ trung điểm đoạn BC Lấy E điểm cạnh BC Gọi 2 2 H, K hình chiếu B, C đường thẳng AE Tìm tọa độ A, B, C biết H(2;4) K trung điểm HA, K có hồnh độ nhỏ Bước 1: Phát vấn đề Mấu chốt toán học sinh biết sử dụng tính chất phát tam giác MHK vuông cân M suy tọa độ điểm K Do K trung điểm AH nên tìm tọa độ điểm A Kết hợp tam giác ABC vuông cân với tọa độ A, M suy tọa độ điểm B, C Bước 2: Giải vấn đề Theo chứng minh ∆MHK tam giác vuông ân M nên đường thẳng MK qua M vng góc với HM có phương trình x − 3y + = Gọi K ( 3a − 5; a ) ∈ MK Vì MH=MK nên tìm K(1;2) K(4;3) (loại) Vì K trung điểm HA nên A(0;0) Đường thẳng BH qua H vng góc với AH nên có phương trình x + y − 10 = Gọi B ( 10 − 2b; b ) ∈ BH Phương trình đường trung trực MH d: x − y + 15 = Trung điểm AB thuộc d nên có phương trình b  10 − 2b  2 ÷− + 15 = ⇔ b =   Do B(0;5) Vì M trung điểm BC nên C(5;0) Vậy A(0;0); B(0;5); C(5;0) Tính chất 4: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC Gọi G trọng tâm tam giác ABM D điểm thuộc đoạn MC cho GA = GD Khi ∆AGD vng cân G Chứng minh: Ta có GA=GB=GD nên G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD Mặt khác Bµ = 450 nên ·AGD = Bµ = 900 suy tam giác AGD vuông cân G Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC vuông cân A, Gọi M trung điểm đoạn BC G trọng tâm ∆ABM Điểm D ( 7; −2 ) ∈ MC cho GA=GD Tìm tọa độ điểm A viết phương trình đường thẳng AB biết AG : 3x − y − 13 = điểm A có hồnh độ nhỏ ( Trích đề thi thử lần 1, THPT Chuyên Bắc Ninh 2015) Bước 1: Phát vấn đề Nhận thấy tam giác ADG vuông cân G theo chứng minh nên tìm tọa độ điểm A thông qua tọa độ điểm D phương trình đường thẳng AG Với tọa độ điểm A, G, D ta tính độ dài đoạn thẳng GA;GD;AD;AN;NG từ suy cosin góc AB AG Sử dụng tốn để tìm phương trình đường thẳng AB Bước 2: Giải vấn đề GA = GD = d ( D; AG ) = 10 ⇒ AD = 20 Gọi A ( a;3a − 13) , a < Từ AD = 20 ⇔ ( a − ) + ( 3a − 11) = 20 2 ⇔ a = a = (loại), suy A(3;-4) r Gọi n = ( a; b ) ;(a + b ≠ 0) véc tơ pháp ur tuyến đường thẳng AB n1 = ( 3; −1) véc tơ pháp tuyến đường thẳng AG Khi r ur n.n1 3a − b · = r ur ⇔ = : cos NAG 10 n n1 a + b 10 b = ⇔ 6ab + 8b = ⇔  3a = −4b Với b = ⇒ AB : x − = Với 3a = −4b ⇒ AB : x − y − 24 = Nhận thấy với AB : x − y − 24 = ta có d ( D; AB) = < d ( D; AG ) = 10 Trường hợp không thõa mãn Vậy A(3;-4) AB: x – = Tính chất 5: Cho ∆ABC vng cân A Gọi M, N trung điểm AC BC Gọi G trọng tâm ∆ABC Đường thẳng qua A vng góc với BM cắt BC E Khi MN đường trung trực đoạn GE Chứng minh: Ta có G trực tâm ∆ABE nên GE ⊥ MN mặt khác ∆ABC vuông cân nên ∆ANC vng cân nên ∆NGE vng cân,, MN đường trung trực GE Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC vuông cân A, Gọi M trung điểm đoạn AC Đường thẳng qua A vng góc với BM cắt AC E(2;1) Trọng tâm ∆ABC G(2;2) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Bước 1: Phát vấn đề Ta nhận thấy giả thiết toán xoay quanh điểm E G Nếu học sinh khơng phát tính chất quan trọng số khó để giải tốn Vậy theo chứng minh ta có phương trình đường thẳng MN Kết hợp thêm giả thiết tam giác NGE vng cân N ta có tọa độ điểm N Từ tọa độ N G suy tọa độ điểm A nhờ tính chất đường trung tuyến 10 Kết hợp phương trình AC độ dài AC suy tọa độ điểm B, C Bước 2: Giải vấn đề Theo chứng minh MN đường trung trực GE nên phương trình MN: y=   Gọi N  n; ÷∈ MN Ta có GN = GE = nên 2  2 n= ( n − 2) + 1 = ⇔n= 2     Do ta tìm N  ; ÷ N  ; ÷ 2 2 2 2 3 uuur uuur   Với N  ; ÷ ta có AG = 2GN ⇒ A(3;3) 2 2 3 Đường thẳng AC : x + y − = Vì AC = nên phương trình đường tròn tâm A 2 bán kính AC có phương trình ( x − 3) + ( y − 3) = Từ tìm B(0;3) C(3;0)   Với N  ; ÷ giải tương tự ta tìm A(1;3); B(4;3) C(1;0) 2 2 Vậy A(3;3); B(0;3) C(3;0) A(1;3); B(4;3) C(1;0) Tính chất 6: Cho ∆ABC vng cân C Trên đường tròn (ABC) lấy điểm D ( khác A, B, C) Gọi I giao điểm thứ đường tròn tâm C bán kính CA với đường thẳng BD Khi CD đường trung trực đoạn thẳng AI Chứng minh : Do ·ACB = 900 nên ·AIB = 450 ·AIB = 1350 ⇒ ·AID = 450 Do ∆AID vng cân D nên DA=DI mà CA=CI nên CD đường trung trực AI Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC vuông cân C(-2;1) Trên đường tròn đường kính AB lấy điểm D(1;-1) Gọi I giao điểm thứ đường tròn (C;CA) với BD Tìm tọa độ đỉnh A, B biết đường thẳng AI qua M(-1;4) điểm A có hồnh độ dương 11 Bước 1: Phát vấn đề Ta nhận thấy giả thiết toán xoay quanh tọa độ C;D điểm M AI Như theo tính chất ta viết phương trình AI AI ⊥ CD Sử dụng khoảng cách từ điểm D đến AI để suy độ dài đoạn AD từ suy tọa độ điểm A Có A;C tính tọa độ điểm B Bước 2: Giải vấn đề Theo chứng minh đường thẳng CD trung trực đoạn AI nên phương trình AI: x − y + = Gọi A ( 2a − 9; a ) ∈ AI Vì DA = 2d ( D; AI ) = 10 nên ta có phương trình : ( 2a − ) + ( a + 1) = 10 ⇔ a − 6a + = ⇔ a = a = Suy A(1;5) A(-7;1) loại Ta có phương trình BD : x + y + = Gọi B ( −3b − 4; b ) ∈ BD Khi uuu r uuu r CA.CB = ⇔ ( −3b − ) + ( b − 1) = ⇔ b = −2 Do B(2;-2) Vậy A(1;5) B(2;-2) Tính chất 7: Cho ∆ABC vuông cân C Lấy P điểm cạnh BC Gọi D, E hình chiếu P AB AC Gọi Q điểm đối xứng P qua đường thẳng DE Khi PQ ⊥ QA Q thuộc đường tròn (ABC) Chứng minh : Gọi I = AP ∩ DE Khi IA=IP=IQ nên ∆APQ vng Q hay AQ ⊥ QP Tiếp theo EP=EQ ( P Q đối xứng qua ED) mà ∆EPC vng cân nên EC=EP=EQ Do E tâm đường tròn (PQC) · PQC = 450 ⇒ ·AQC = 1350 Suy ·AQC + ·ABC = 1350 + 450 = 1800 Suy tứ giác ABCQ nội tiếp nên Q ∈ ( ABC ) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC vuông cân A Trên   cạnh BC lấy điểm P  ;0 ÷ Gọi D, E hình chiếu vng góc P 2  12 AB AC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết DE : 12 x + 24 y − 75 = ; BC = 10 điểm A có hồnh độ nhỏ Bước 1: Phát vấn đề Bài toán cho phương trình đường thẳng DE tọa độ điểm P Vậy câu hỏi đặt mối liên hệ điểm P DE gì? Có thể khai thác điểm khác từ điểm P? Sau khai thác tọa độ điểm Q biết Q thuộc (ABC) việc tạo điểm F “ nốt thắt” toán kết hợp giả thiết BC = 10 việc sử dụng tính chất uuu r uuur FP.FQ = FM FA = 50 ⇒ FP.FQ = 50 Bước 2: Giải vấn đề Vì Q đối xứng với P qua DE nên Q(4;3) Theo chứng minh AQ ⊥ QP nên phương trình đường thẳng AQ : x + y − 10 = Gọi F = QP ∩ AM với M trung điểm BC Theo chứng minh Q thuộc đường tròn (ABC) nên AF đường kính đường tròn (ABC) suy AF = BC Khi tứ giác AQPM nội tiếp : uuu r uuur FP.FQ = FM FA = 50 ⇒ FP.FQ = 50 Ta có PQ : x − y − = uuu r uuur Gọi F ( a; 2a − 5) ∈ PQ Khi FP.FQ = 50 ⇔ 2a − 13a = ⇔ a = a = 13 Vì P nằm Q F nên F(0;5) Gọi A ( 10 − 2m; m ) ∈ AQ Vì AF = 10 nên A(0;5) A(8;1) Chon A(0;5) Khi M(0;0) nên MP: x = Do B(-5; 0);C(5;0) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(0;5);B(-5;0) C(5;0) Bình luận: Việc lấy điểm F số tự nhiên đề cho đường kính đường tròn (ABC), mặt khác tọa độ điểm P, Q có Đây có lẽ mấu chốt để có lời giải 13 Tính chất 8: Cho ∆ABC vng cân A Gọi M trung điểm AC Gọi D hình chiếu vng góc C đường thẳng BM Gọi H hình chiếu vng uuur uuur góc D đường thẳng AC Khi AH = HC Chứng minh : MB + BC − MC · = Ta có cos MBC = MB.MC 10 · · ⇒ cos CAD = ⇒ tan CAD = Do AH = 10 HD AM ∆CHD : ∆BAM ⇒ = = HC AB 3HD Mặt khác uuur uuur ⇒ HD = HC ⇒ AH = HC 2 (đpcm) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm AC Gọi D(1;-3) hình chiếu vng góc C lên BM Tìm tọa độ A, B, C biết đường thẳng AC có phương trình : x + y = điểm C có hồnh độ dương Bước 1: Phát vấn đề Nốt thắt lại kỹ dùng mối quan hệ góc để viết phương trình đường thẳng CD vận dụng đa số tốn trước Kết hợp phương trình AC DH để có tọa độ điểm H sử dụng tính chất uuur uuur AH = HC để tìm tọa độ A Bước 2: Giải vấn đề Kẻ DH ⊥ AC ( H ∈ AC ) theo chứng minh HC = HD nên · tan DCA = r · ⇒ cos DCA = Gọi n = ( a; b ) ;(a + b ≠ 0) véc tơ pháp tuyến đường thẳng DC ur n1 = ( 1;1) véc tơ pháp tuyến đường thẳng AC Khi : r ur n.n1 a+b · cos DCA = r ur ⇔ = n n1 a + b2  a = 3b ⇔ 3a − 10ab + 3b = ⇔  b = 3a Với a = 3b ⇒ CD : 3x + y = ⇒ C ( 0;0 ) loại Với b = 3a ⇒ CD : x + y + = ⇒ C ( 4; −4 ) Phương trình đường thẳng DH : x − y − = Do H(2;-2) theo chứng minh uuur uuur AH = HC tìm A(-1;1) từ suy B(4;6) 14 Vậy A(-1;1) ; B(4;6); C(4;-4) 2.4 Một vài kinh nghiệm rút Đứng trước tốn hình học tọa độ mặt phẳng, ta cần nghiên cứu kỹ kiện mà tốn cho, tìm thấy mối liên hệ kiện Để tìm mối liên hệ kiện câu hỏi thường trực là: “giữa chúng có quan hệ chăng? Bài toán cho kiện nhằm mục đích gì?” Từ dặt giả thuyết tức phát “vấn đề” cần giải Sau kiểm chứng tính đắn giả thuyết đặt cách đặc biệt hóa tốn Cuối tìm kiếm giải pháp chứng minh giả thuyết Tuy nhiên việc phát mối liên hệ giả thuyết tức phát “vấn đề” lại phụ thuộc vào kỹ giải tốn, trình độ người Có “vấn đề” dễ dàng phát chứng minh với người lại khó khăn với người khác, điều phụ thuộc lực, trình độ kỹ người Trong q trình dạy học tơi nhận thấy phần tọa độ mặt phẳng thông thường phân chia thành hai mảng: mảng thứ lớp toán mang nặng tính “đại số”; mảng thứ hai lớp tốn mang nặng tính “hình học” Do thời gian khn khổ đề tài nên tơi trình bày lớp tốn mang nặng tính “hình học” mảng kiến thức liên quan đến tính chất tam giác vng cân Tuy nhiên lớp tốn mang nặng tính “hình học” thường phù hợp với học sinh giỏi có kiến thức hình học phẳng THCS vững vàng, biết xâu chuỗi liên hệ tốt vấn đề với Qua rút quy trình xây dựng tốn hình học tọa độ mặt phẳng dựa vào kết hợp tốn sở hình học tọa độ tốn hình học phẳng “thuần túy”, từ kích thích tính sáng tạo, lòng say mê mơn phát triển tư tốn học, khả phân tích liên hệ xâu chuỗi kiến thức cách linh hoạt 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau thực đề tài cho HS lớp 10A1, 10A2 trường THPT Yên Định Tôi kiểm tra với đề : 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Biết BC :   x + 7y – 31 = có điểm N 1; ÷∈ AC M ( 2; −3) ∈ AB Xác định tọa độ đỉnh  2 tam giác ABC biết A có hồnh độ âm 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng cân A có H trung điểm cạnh BC , D hình chiếu vng góc H cạnh AC M trung điểm HD Đường thẳng BD qua điuểm E(0;4) đường trung bình tam giác ABC ứng với cạnh AC có phương trình y = x + Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết AM : x – 3y + 14 = điểm A có hồnh độ âm Sau chấm thu kết sau: Tổng số Kết 15 SL 90 20 Giỏi % 22.2 Khá SL % Trung bình Yếu SL % SL % Kém SL % 45 10 50 11.1 15 16.7 Qua kết áp dụng đề tài học sinh lớp 10, ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy học đại trà nhận thấy: - Học sinh có tâm lý vững vàng, tự tin, có kỹ vận dụng tốt hơn, đặc biệt học sinh dễ dàng giải lớp tập nêu sáng kiến - Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống Học sinh biết phát xâu chuỗi kiến thức học, xố cảm giác khó phức tạp ban đầu khơng có quy tắc giải tổng quát, cảm thấy lý thú với chủ đề qua thấy dạng tốn thật phong phú không đơn điệu Qua kiểm tra việc làm tập HS thấy đa số HS làm bài, hầu hết tập giao em đối tượng tham gia tích cực.Với HS giỏi em phát triển nâng cao từ tập sau buổi học, bề sâu kiến thức tăng dần KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Là giáo viên tốn, thân tơi cố gắng tìm tòi cung cấp thêm cho em phương pháp giải mà sách giáo khoa khơng có thời gian đề cập đến để giúp học sinh vận dụng giải toán cách nhanh Thực tế cho thấy muốn có kết cao giảng dạy phải có phấn đấu, bền bỉ, kiên trì thầy trò Kết khích lệ giáo viên miệt mài say sưa nghiên cứu cách giải dạng toán để phát triển, nâng cao cho học sinh Để nâng cao chất lượng dạy học với đối tượng học sinh, thân tự rút số kinh nghiệm nhỏ sau: - Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm dạng để rồi nhận dạng trước toán Cần rèn luyện cách lập luận trình bày học sinh - Với bài, giáo viên phải để lại cho học sinh ấn tượng, bước để gặp tốn tương tự học sinh liên hệ - Nắm vững nội dung, yêu cầu chương trình, phạm vi, mức độ kiến thức Phải có q trình tự học, tự nghiên cứu nghiêm túc sáng tạo Bám sát việc đổi phương pháp dạy học cho phù hợp với đặc trưng môn - Việc bồi dưỡng phát triển tư học sinh phải thực từ lớp 10, để giúp học sinh rèn luyện tư lơgic kỹ tính tốn, đờng thời phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh gặp tập dạng phức tạp Trên số vấn đề kiến thức phương pháp mà rút dạy phần phương pháp tọa độ mặt phẳng Bằng hiểu biết thân hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều Trong trình thực đề tài chắn chưa hồn hảo tơi mong góp ý chân tình bạn 16 đờng nghiệp, hội đồng khoa học để đề tài năm học tới tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn./ 3.2 Kiến nghị Để chất lượng ngành GD ĐT nâng lên cách rõ rệt phải đổi tồn diện, chất lượng đội ngũ giáo viên vấn đề cấp thiết Chương trình đào tạo có chất lượng cho giáo viên hình thức nên quan tâm tổ chức thường xun cách có hiệu Hình thức thi viết sáng kiến kinh nghiệm nhiều giúp đội ngũ giáo viên tăng khả tự học, tự sáng tạo Bất kể công việc muốn đạt kết cao đòi hỏi phải có tâm huyết tâm cao Rất mong Nghành GD trì thường xuyên liên tục chương trình giúp đội ngũ giáo viên rèn luyện nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Vì để đề tài thu kết tốt triển khai sâu rộng cho em HS Tơi có vài kiến nghị đề xuất sau: Đối với cán quản lý nhà trường cần đầu tư thêm nhiều tài liệu tham khảo cho giáo viên, có thư viện phong phú để HS tham gia nghiên cứu tài liệu, có kinh phí hỗ trợ khuyến khích động viên giáo viên Mở rộng hội nghị khoa học để trao đổi kinh nghiệm dạy học, tìm cách áp dụng đề tài nghiên cứu cách có hiệu Tạo điều kiện thời gian để rèn luyện HS yếu kém, bồi dưỡng HS giỏi để đề tài áp dụng rộng rãi có kết cao Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Hình học lớp 10 – chương trình chuẩn nhà xuất Giáo Dục [2] Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018 [3] Các đề thi khảo sát đội tuyển học sinh giỏi trường THPT gửi mạng internet [4] Đề thi thử lần THPT chuyên Bắc Ninh, Tỉnh Bắc Ninh năm 2015 Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm xếp loại cấp tỉnh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019 CAM KẾT KHƠNG COPY Tơi xin cam đoan SKKN thân tích lũy trình cơng tác, khơng chép copy người khác Tác giả 17 Trịnh Huy Hiệp 18 ... giúp học sinh tháo gỡ khó khăn vướng mắc có định hướng đắn tơi trăn trở suy nghĩ chọn đề tài: Định hướng cho học sinh phát giải vấn đề với tốn tọa độ mặt phẳng từ tính chất tam giác vng cân ’’... 2.3.2 Phát giải vấn đề với toán tọa độ mặt phẳng từ tính chất tam giác vng cân Tính chất 1: Cho ∆ABC vuông cân A Các điểm M,N thuộc cạnh AB AC cho AM = AN ( M,N không trùng với đỉnh tam giác. .. tiếp cận loại toán cách hiệu Trong số toán tọa độ mặt phẳng có lớp tốn “thiên tính chất hình học phẳng túy” đặc biệt tính chất tam giác vng cân mà em học THCS, điều gây cho học sinh nhiều khó