B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ T hị X oan KHẢO SÁT ĐƯ Ờ NG CONG TR O N G M ẶT PH A N G VÀ TÍN H CHẤT M ETRIC C Ủ A NÓ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ T hị X oan KHẢO SÁT ĐƯ Ờ NG CONG TR O N G M ẶT PH Ẳ N G VÀ CÁC TÍN H CHẤT M ETRIC C Ủ A NÓ C huyên ngành: H ình học K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS N G U Y Ễ N TH Ị TR À H N ội —N ăm 2016 LỜI C Ả M ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ N guyễn Thị Trà người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô tổ Hình học thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học suốt thời gian làm khoá luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài khoá luận Mặc dù cố gắng nhiều, song kinh nghiệm thời gian thân nhiều hạn chế nên khoá luận tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Xoan LỜI C A M Đ O A N Khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân em hướng dẫn nhiệt tình ThS Nguyễn Thị Trà Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết đề tài "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất m etric nó" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, không chép từ khoá luận trước Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Vũ Thị Xoan M ụ c lục Lời mở đầu Đ ường cong m ặt phẳng 1.1 1.2 1.3 Cung tham số hoá 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Khảo sát cung tham số hoá lân cận điểm 1.1.3 Tính diện tích p h ẳ n g 14 1.1.4 Ví dụ 14 Đường cong toạ độ cực 19 1.2.1 Định nghĩa 19 1.2.2 Biểu diễn đường cong toạ độ c ự c 21 1.2.3 Khảo sát đường cong cho phương trình cực lân cận điểm 23 1.2.4 Tính diện tích phẳng toạ độ c ự c 29 1.2.5 Ví dụ 29 Đường cong cho phương trình Descartes Hình bao họ đường thẳng mặt phẳng 31 1.3.1 31 Đường cong cho phương trình Descartes Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ T H Ị X OA N 1.3.2 Hình bao họ đường thẳng m ặt phẳng 32 1.3.3 Ví dụ 36 Các tín h chất m etric đường cong m ặt phẳng 39 2.1 Các tính chất cấp 39 2.1.1 Hoành độ c o n g 39 2.1.2 Biểu diễn tham số theo hoành độ c o n g 41 2.1.3 Ví dụ 43 Các tính chất cấp 46 2.2.1 Bán kính cong Tâm c o n g 46 2.2.2 Đường tròn mật tiếp Đường túc bế đường 2.2 cong m ặt phẳng 2.2.3 2.2.4 49 Các đường thân khai đường cong mặt phẳng 52 Ví dụ 52 K ết luận 58 Tài liệu tham khảo 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học VŨ T H Ị X OA N Lời nói đầu Lý chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng đời sống thực tiễn nghiên cứu khoa học Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Trong trình học tập, em nghiên cứu chuyên ngành hình học, môn quan trọng tương đối khó có môn hình học vi phân Hình học vi phân có ứng dụng lớn hình học phẳng trường THPT, có nhiều dạng khác nhau, dạng mang đặc điểm tính chất riêng Trong kì thi quốc gia THPT, dạng toán khảo sát đồ thị hàm số thiếu, chương trình đại học phân môn khác có toán liên quan đến đồ thị hàm số phức tạp mà thân em bạn sinh viên trình học chưa biết hình dạng đồ thị để làm rõ vấn đề em chọn đề tài "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất metric " làm khoá luận tốt nghiệp Luận văn gồm hai chương: Chương "Đường cong mặt phẳng ", Chương "Tính chất metrỉc đường cong mặt phẳng" M ục đích nghiên cứu Tìm hiểu đường cong m ặt phẳng, tính chất metric Xây đựng bước khảo sát đường cong m ặt phẳng, thấy hình dáng đặc biệt số đường cong Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA N Làm rõ cung tham số hoá, đường cong toạ độ cực, đường cong cho phương trình Descartes hình bao họ đường thẳng mặt phẳng tính chất cất một, cấp hai Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất metrỉc nó" Phạm vi nghiên cứu: Một số toán khảo sát đường cong, tính diện tích phẳng, tìm hình bao họ đường thẳng mặt phẳng, tìm bán kính cong, tâm cong, toán đường túc bế, đường thân khai đường cong mặt phẳng N hiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đường cong số lược đồ khảo sát đường cong hình bao họ đường thẳng mặt phẳng Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu liên quan C hương Đ n g co n g tr ê n m ặ t p h ẳ n g Trong chương xây dựng bước khảo sát vẽ đồ thị đường cong lân cận điểm, cách tính diện tích đường cong, cách tìm hình bao họ đường thẳng mặt phẳng 1.1 1.1.1 Cung tham số hoá Đ ịnh nghĩa C ung tham số: Ta gọi ánh xạ / : I —>• M2 f(t ) t cung tham số hoá thuộc lớp cfc Kí hiệu: f(t) Cho / : I — » M2 cung tham số hoá Ta gọi f hay € 1} quỹ đạo e } đường cong nhận f làm biểu diễn tham số (hay tập ảnh cung tham số) Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA N Ví dụ: Ánh xạ ¡1 : R -» E2 t HA fi(t) = M0 + ~ẩt cung tham số hoá có /i(R) đường thẳng qua điểm M ữ nhận vectơ lề làm vectơ phương Cho / : I — >R2 cung tham số hoá (thuộc lớp cfc) • Phép đổi tham số (thuộc lớp c k ) f ánh xạ ip : J — > I khoảng R cho: ip e c k J, song ánh, (p~l € c k I • Biểu diễn tham số chấp nhận (thuộc lớp cfc) f ánh xạ g : I — > R2 c R cho tồn phép đổi tham số ip (thuộc lớp cfc) f cho g = f o (f hay ánh xạ (f : J — > I phép đổi tham số (thuộc lớp cfc) khi: ip e c k I, tp' > {ip' < 0), ip (J) = I N hận xét: • Nếu / : I — >R2 cung tham số hoá (thuộc lớp cfc), If : J —» I phép đối tham số (thuộc lớp c k) cung tham số hoá f f o (fi có quỹ đạo • f g c k- tương đương tồn phép đổi tham số (f (thuộc lớp c k) thoả mãn g = / o ip 1.1.2 K hảo sát cung tham số hoá tron g lân cận m ột điểm a) T iếp tu yến tạ i m ột điểm Đ ịnh nghĩa 1: Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA N Bảng biến thiên: X - / '( * ) Too + +oo +oo /0 * b) Ta có: s'2 = + f ' 2{x) = g+ 216) , X + 16 xr ( u2\ _ —2 X => s = V - ^ s = M o + — ) du = — + - + — 8x2 \ư 8/ £ 24 Ví dụ :a)Vẽ đường cong T có phương trình cực p= —4Ớ2 b) Tính độ dài r Giải: + D e f(,)= [ - ; ị +Do p chẵn, ta cho biến thiên đoạn qua x ’x +VỚ G ; ỉ ’2 -4 p' = V l - 4Ớ Bảng biến thiên: p' p - ^ ^ 44 r 11 lấy đối xứng °: Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA N b) Ta CÓ: s' = \ J p2 + p'2 = + 492 V l - 4Ớ2' Do tính đối xứng: 1 2 L = J s'{9)d9 = J + 402 dớ V l - 4Ớ2 d9 = —cos tpd■ < = arc sin 29 Đổi cận: 7r
L ị = f s'(t)dt = J 4(1 + cos í) sin - d t = 0 =>• L = 6Lị = 16 2.2 2.2.1 Các tính chất cấp B án kính cong Tâm cong Cho / : I —>M2 biểu thị cung tham số hoá quy thuộc lớp c 2, T — f ự ) quỹ đạo f , s hoành độ cong T KH: as = R o t 7T(ỉy,< p = ( i v ? ) + Ả:27T, fcGZ (72 Đ ịnh nghĩa: • B án kính cong T điểm M (s) số thực R xác định bởi: dRị Khóa luận tốt nghiệp Dại học Ta nói C r T VŨ T H Ị X OA N có điểm tiếp xúc bậc hai o , C r gọi đường tròn mật tiếp o với T Đ ường tú c bế m ột đường cong m ặt phẳng: Đường túc bế đường cong T mặt phẳng tập hợp tâm cong c M T M vạch nên T Đ ịnh lý: Đường túc bế r hình bao pháp tuyến r Chứng minh: Tham số hoá r hoành độ cong: M : s G J —»• M (s) = o + x(s) ỉ + y{s) Kí hiệu: N(s) pháp tuyến với T M(s) Phương trình Descartes r là: x'(s).(X - x(s)) + y'(s).(Y - y(s)) = Biểu diễn tham số hình bao họ đường thẳng (N ( s )) cách giải hệ phương trình: Ị N(s) = Ị x'(s).X + y'{s).Y = x'(s).x(s) + y'{s).y{s) Ị N '{s) = Ị x"{s).X + y"{s).Y = x"{s).x{s) + y"(s).y(s) + x l2(s) + y'2{s) Ta giả thiết: Vs € J , x'(s).y"{s) —x"{s).y'{s) Ỷ 0- + V x '2 ^ — —— N = — , x'y" - x"y' = 51 + ,r\7 = r+ y'2) nên điểm p Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA N hình bao ta có: Õ Ỉ = x.~t + Y.~J = Õ É + R ỉỉ = õè Vậy p = c Cuối cùng, hình bao pháp tuyến 2.2.3 đường túc bế T T Các đường thân khai m ột đường cong m ặt phẳng Đ ịnh nghĩa: Cho , c đường cong thuộc lớp c m ặt phẳng c đường túc bế lý: Cho c đường cong thuộc lớp c3trên m ặt phẳng Ta ký Ta nói đường thân khai Đ ịnh c hiệu s hoành độ cong C; C (s) điểm chạy C T ( s ) = vectơ tiếp tuyến đơn vị định hướng khai c ds C(s) Khi đó, đường thân c đường cong xác định biểu diễn tham số: OM{s) = OC{s) + (s0 - s)T{s)-, V50 G R 2.2.4 V í dụ Ví dụ l:a) Tính bán kính cong điểm đường cong r có biểu { X = cos t + cos 21 + cos 31 y = sin t + sin 2t + sin 31 b)Tính bán kính cong điểm ứng với — đường cong T có e phương trình cực: p = cos + cos Giải: 52 VŨ T H Ị X OA N Khóa luận tốt nghiệp Dại học a) Ta có: { x' = —6 sin í(l + cosí) s'2 = X72 + y'2 = 36(1 + cosí)2 y' = cos í(l + cos t) =>■ s' = 6(1 + cos t ) =>• tan 0 r d2 , A r-7 , J - J + o{02) — Q2 + o(62) 53 Khóa luận tốt nghiệp Dại học - VŨ T H Ị X OA N Aồ = RJ$, = —~t, ta suy Aồ = — ~ì =>- c ^—; 0^ Ví dụ 3: Xác định đường khúc (bởi tâm bán kính nó) điểm M ứng với t = —, đường cong r có biểu diễn tham số: * = - í4/4 y = 2í3/3 Giải: Tại VM(í) G T, ta có: x' — t — t 3,y' = 2t2 Ta có s/2 = x/2 + y'2 = í2(l + í2)2 =>- t > 0,5 = t( ĩ + t2) Vectơ tiế]3 tuyến vectơ pháp tuyến T là: -}■ dM x'-> y' -ỳ —t 2—»• 21 -ỳ T = ds ^ = ^s'i + ^ = ụ A [ + ĩ f ¥ —2í -4 ì — t2 -ỷ ^ = R ot7ĩ(ỉ) = ĩ + + t2 + t2 „ I I — -l _ dự) = ữ2sin2í + C 0S 2Í Bán kính cong đường cong là: ds a.siĩi2t dt a2sin2í + 62cos2í ) ; d(p ab Vectơ tiếp tuyến pháp tuyến tương ứng là: “A dM X —y y' —ỳ / 9 ,9 ọ \ — - ( —^ —ỳ\ — — — ỉ + — ] — (ữ2sin2í + 62cos2í) ( —a sin t i + b cos t J ) ds s' s1 V / = Rotĩ^Ỷ = (a2sin2í + 62cos2í) 55 b c o s t t — asiĩìt~j^ Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA N Ta CÓ: õ ê = õ ữ + R Ê = x ~ t + Y ~ ỉ , đó: \ J (a2sin2í + b2cos2t ý —bcost ab y j (a2sin2t + 62cos2t) X = a cos t + y j (ữ2sin2í + 62cos2í ) ; Y = b sin t + ab Vậy đường túc bế c T —a s in í a2 —b2 cos 3Í a a2 - b -sin3í (a2sin2í + 62cos2í) nhận biểu diễn tham số: a2 —b2 , X = -cos3í a ĩ —0ư -sin3t Y Ví dụ 5: Cho , c hai đường cong thuộc lớp c mặt phẳng Ta nói đường thân khai c c đường túc bế - Hãy xác định đường thân khai đường dây xích có phương trình y = ach—(a > 0), a cố định Giải: Ta có hoành độ cong đường cong là: s' — \ ! x'2 + y'2 — \ / l + sh2— = ch— v V a a Vectơ tiếp tuyến đường cong là: -A dồ ds dx d ds dx x-ỳ + sh - a )• a Nếu chọn điểm A(a,0) ứng với X = làm gốc hoành độ cong ta có s = ash— Các đường thân khai 56 c, c đường cong a(A G R ) Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA N xác định biểu diễn tham số: + (A —s) ——?£ ch— a Y =y+ (X -s)^ t h— a X = X + ( X —ash—] — ^ a! cha X / x \ X ach— h ( A —ash— ) t h — a V a/ a X 57 Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA N K ết luận Với cương vị sinh viên, qua việc nghiên cứu đề tài "Khảo sát đường cong m ặt phẳng tín h chất m etric nó" em hiểu rõ cách khảo sát đường cong mặt phẳng số tính chất Việc nghiên cứu cho ta hiểu biết cụ thể cung tham số hoá, đường cong toạ độ cực, đường cong cho phương trình Descarter, hình bao họ đường thẳng m ặt phẳng, hoành độ cong, bán kính cong, tâm cong, đường túc bế, đường thân khai mặt phẳng, đặc biệt mở rộng toàn môn Hình học Thấy ứng dụng chúng việc giải toán cụ thể (bài toán vẽ cung tham số hoá; tính hoành độ cong, tâm cong, bán kính cong; tìm đường thân khai, đường túc bế ) Với bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian lực hạn chế nên khóa luận em tránh thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ phía thầy cô bạn để khóa luận em hoàn thiện 58 ... chọn đề tài "Khảo sát đường cong mặt phẳng tính chất metric " làm khoá luận tốt nghiệp Luận văn gồm hai chương: Chương "Đường cong mặt phẳng ", Chương "Tính chất metrỉc đường cong mặt phẳng" M ục... đường cong mặt phẳng tính chất metrỉc nó" Phạm vi nghiên cứu: Một số toán khảo sát đường cong, tính diện tích phẳng, tìm hình bao họ đường thẳng mặt phẳng, tìm bán kính cong, tâm cong, toán đường. .. ục đích nghiên cứu Tìm hiểu đường cong m ặt phẳng, tính chất metric Xây đựng bước khảo sát đường cong m ặt phẳng, thấy hình dáng đặc biệt số đường cong Khóa luận tốt nghiệp Dại học VŨ T H Ị X OA