phương pháp tọa độ trong hình học không gian

Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bước Chọn hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian Ta có: Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Do đó, hình vẽ tốn cho có chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ Cụ thể: Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D(0; a; 0) D’(0; a; a) Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0) A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c) Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Chọn hệ trục tọa độ cho:   Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD Trục Oz qua tâm đáy Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) tâm hình vng Khi a a a a A( ;0;0); C ( ;0;0); ; B(0;  ;0); D(0; ;0) 2 2 S (0;0; h) Với hình chóp tam giác S.ABC cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0) Khi đó: a a A( ;0;0); B( ;0;0) 2 a a C (0; ;0); S (0; ; h) Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Cách 2: chọn H trùng với gốc tọa độ O a a a tính CI  => suy dc tọa độ đỉnh AB   CH  , HI  2 a a a a a A( ;  ;0)  xy; B( ;  ;0)  xy, C (0; ;0)  oy; 6 a a S (0;  ; h)  yz; I (0;  ;0)  y 6 Cách 3: từ A ta dựng đường thẳng Az // SH, Ax // BC chọn hệ trục cho A= O (0;0;0), a a B( ; ;0)  xy; a a C ( ; ;0)  xy, a S (0; ; h)  oz Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD) ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = b chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥ (ABCD) Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vng A Tam giác ABC vng A có AB = a; AC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vng B Tam giác ABC vng B có BA = a; BC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h) Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vng C Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ ΔABC vng C với CA = a; CB = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h) 10 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vng A hình a) ΔABC vng A: AB = a; AC = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h) hình b) Tam giác ABC vng cân C có CA = CB = a đường cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0) a a a ;0), B(0,  ;0); C ( ;0;0) S (0;0; h) Khi đó: A(0; 2 11.Hình lăng trụ có đáy tam giác vng O Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ z y O x Bước 2: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải tốn: Các dạng câu hỏi thường gặp 1.khoảng cách điểm : (ý phụ)  Khoảng cách hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) là: AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  z A )2 2.khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:  Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) Cách 1:( d qua M0 có vtcp u ) d ( M , )  [M0 M , u ] u Cách 2: Phương pháp :  Lập ptmp(  )đi qua M vàvng gócvới (d)  Tìm tọa độ giao điểm H mp(  ) d  d(M, d) =MH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho cơngthức Ax  By0  Cz0  D d (M ,  )  A2  B2  C 4.khoảng cách mặt phẳng //: Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 5.khoảng cách đường thẳng A, Khoảng cách hai đường chéo  Cách 1: (d) điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a  (a1 ; a2 ; a3 ) (d’)quaM’(x’0;y’0;z’0) [a, a '].MM ' Vhop d (d , d ')   Sday [a, a ']  Cách 2: d điqua M(x0;y0;z0);có vtcp a  (a1 ; a2 ; a3 ) d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp a '  (a '1; a '2 ; a '3 ) Phương pháp :  Lập ptmp(  )chứa d songsong với d’ Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ d(d,d’)= d(M’,(  )) ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ  AB, CD  AC   chúng d ( AB, CD)   AB, CD    B khoảng cách đường thẳng //: -Khoảng cách đường thẳng // khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng => quay dạng tốn khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  góc đường thẳng  Góc hai đường thẳng () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a  (a1 ; a2 ; a3 ) (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '  (a '1 ; a '2 ; a '3 ) cos  cos(a, a ')  a.a '  a a' a1.a '1  a2 a '2  a3 a '3 a12  a22  a32 a '12  a '22  a '32 7.góc mặt phẳng  Gọiφ góc hai mặt phẳng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 n P nQ A.A'  B.B ' C.C ' cos = cos(n P , nQ )   nP nQ A  B  C A '2  B '2  C '2 8.góc đường thẳng mặt phẳng () qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n  ( A; B; C) Gọi φ góc hợp () mp(α) sin   cos(a, n)  Aa1 +Ba +Ca A  B  C a12  a22  a32 diện tích thiết diện  Diện tích tam giác : S ABC  [ AB, AC ]  Diện tích hình bình hành: SABCD= [ AB, AD] 10.thể tích khối đa diện 1 - Thểtích chóp: Vchóp = Sđáy.h Hoặc VABCD= [ AB, AC ] AD (nếu biết hết tọa độ đỉnh) - Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [ AB, AD] AA ' Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ DẤU HIỆU ĐẶC TRƯNG Dấu hiệu nhận biết hình: 1): Dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vng, hình thang cân: - Tứ giác có hai cạnh đối song song - Hình thang có góc vng hình thang vng - Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai cạnh bên hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân 2): Dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Có dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có cặp cạnh đối song song - Tứ giác có cặp cạnh đối - Tứ giác có hai cạnh đối song song - Tứ giác có góc đối - Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm mỡi đường 3): Hình chữ nhật (có dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có góc vng - Hình thang cân có gócvng - Hình bình hành có góc vng - Hình bình hành có hai đường chéo 4): Hình thoi (có dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có cạnh - Hình bình hành cá hai cạnh kề - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác cùa góc 5): Hình vng (có dấu hiệu nhận biết): - Hình chữ nhật có hai cạnh kề - Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc - Hình nhật có đường chéo đường phân giác góc - Hình thoi có góc vng - Hình thoi có hai đường chéo Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ MỘT SỐ BÀI TỐN TRỌNG TÂM Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Cách 1: z Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi O(0;0;0), a A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C (0; a 3; 0), a a M  ; ; 2 A  a a 3  ;  , gọi N trung điểm AC  N  0;  2    N MN đường trung bình tam giác ABC  AB // MN  AB //(OMN)  d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)) a a OM   ; ; 2   a a 3  , ON   0; ;  2     3a a a  a [OM ; ON ]   ; ;   4   C O a B   a2 3; 1;  n , với n  ( 3; 1;x 1) y M a Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến n : x  y  z  3.a   Ta có: d ( B; (OMN ))   11 a  A a 15 a a 15 Vậy, d ( AB; OM )  5 Cách 2: Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)  OM // (ABN)  d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)) Dựng OK  BN , OH  AK ( K  BN ; H  AK ) N O C a M Ta có: AO  (OBC ); OK  BN  AK  BN BN  OK ; BN  AK  BN  ( AOK )  BN  OH OH  AK ; OH  BN  OH  ( ABN )  d (O; ( ABN )  OH B a Từ tam giác vng OAK; ONB có: OH  OA  OK  OA  OB  ON  3a  a  3a  3a  OH  a 15 a 15 Vậy, d (OM ; AB )  OH  5 b Dạng khác Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vng C Độ dài cạnh SA =4, z AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M S Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SHB) (SBC) Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H(1;0;0) I K mp(P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy A  SHB  ,  SBC    IH , IK  (1) C SB  (1; 3; 4) , SC  (0; 3; 4) suy ra: Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ H x y M B - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ x  1 t  ptts SB:  y   3t , SC:  z  4t  x    y   3t (P): x + 3y – 4z – =  z  4t  IH IK 15 51 32  I  ; ;  , K  0; ;   cos   SHB  ,  SBC    =… IH IK 8 25 25     Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vng cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) 60o Cách 1: BC  a Gọi M trung điểm BC  AM  a a ; AG  z Gọi E, F hình chiếu G lên AB, AC Tứ giác AEGF hình vng x a  AG  AE  AE  AF  Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0;0;0), B(a;0;0), a a  a a  C(0; a; 0), G  ; ;  , S  ; ; x  3  2  a a   2a a   a 2a  SA   ; ; x  , SB   ;  ;  x  , SC    ; ;  x  3 3 3         a a a   [ SA; SB]   0; ax;    a  0; x;    a.n1 , với n1   0; x;     3 3    a2 a a   [ SA; SC ]  (ax; 0; )  a  x; 0;    a.n2 , với n2   x; 0;   3 3   C F A y G E M B x Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA, SB nên có vectơ pháp tuyến n1 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA, SC nên có vectơ pháp tuyến n2 Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) 60o a2  2 x  a2 a x 0 9 0.x  x.0   cos 60o   x2  a2 a a 3 a2 a    x2  a  2a2  x2  a  x  2 9x  a a Vậy, x  S I C A G M Cách 2: Gọi M trung điểm BC  AM  BC (ABC vng cân) Ta có: SG  ( ABC )  SG  BC Suy ra: BC  (SAM ) Dựng BI  SA  IM  SA IC  SA  BIC góc phẳng nhị diện (B; SA; C) SAB  SAC (c  c  c)  IB  IC  IBC cân I BC  a 2; AM  BM  MC  Tổng đài tư vấn : B a a BC  ; AG  2 +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 10 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ AIM ~ AGS  IM  SG AM a  x  AS SG  AG ax 2a 2 x2   IM  3ax 2 x  2a a 3.3ax  2 x  2a a  x2  2a  3x  x  2a  27 x  18x  2a  x  a  x  a Vậy, x  Ta có: BIC  60o  BIM  30o  BM  IM tan 30o  Ví dụ 3: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hướng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm ABC Gọi I trung điểm BC, ta có: AI  a 3 a a  OA  BC  , OI  Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: a   a   a a  ; 0;   I   ; 0;  , B   ; ; , O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A  6       z S  a a   a a h  a a h C  ; ; , M   ; ;  N   ; ;  2 2    12  12 a2  5a    ah   n  SB , SC   ah ; 0;  n( AMN )   AM , AN    ; 0; , ( SBC )     24    5a a 10 ( AMN )  ( SBC )  n( AMN ) n( SBC )   h2   SAMN   AM , AN   12 16 M N h B I C O a Hình chóp tứ giác x A a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h) c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b SAD cạnh a vng góc với đáy Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0), a a a a a 3  A  ; 0;  , B  ; b;  , C   ; b;0  , D   ; 0;0  , S  0; 0; 2  2          z Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng A' Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ D' C' B' Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Chứng minh AC' vng góc với mặt phẳng (A'BD) Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A; B  Ox; D  Oy A'  Oz y A B D y C x - Trang | 11 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/  A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n A ' BC   1;1;1 AC '  1;1;1 Vậy AC' vng góc với (A'BC) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' Giải Cách 1: Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên AB  BC  CA  A ' B '  B ' C '  C ' A '  a z  tam giác ABC, A’B’C’ tam giác Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0;0;0), A’ a a   a a  B ; ; 0 , C   ; ;  , A '(0; 0; a), 2   2  a a   a a  B ' ; ; a, C '  ; ; a 2   2  Ta có: B ' C ' //BC, B ' C ' // ( A ' BC ) C’ B’ a C A  d  B ' C '; A ' B   d  B ' C ';  A ' BC    d  B ';  A ' BC   y D x B a a   a a  A' B   ; ;  a , A'C    ; ;  a 2 2      a 3 3 3 2 A ' B  A ' C   0; a ;   a  0; 1;   a n , với n   0; 1;        Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến n : 3 a 0( x  0)  1( y  0)  z ( z  a )    A ' BC  : y  0 2 a 3 a a  a  a 21 a 21 2 d  B '  A ' BC      Vậy, d  A ' B; B ' C '   7 1 Cách 2: Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên AB  BC  CA  A ' B '  B ' C ' A’C ' A '  a  tam giác ABC, A’B’C’ tam giác B’ Ta có: B ' C ' //BC  B ' C ' //( A ' BC )  d  A ' B; B ' C '  d  B ' C ';  A ' BC    d  F ;  A ' BC   z FH  A' F  FD  3a   a 3a a 21 Vậy, d  A ' B; B ' C '  FH   FH  a 21 y A x +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ D B Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Lời giải Tổng đài tư vấn : C A D A’FD vng có: F H  BC  FD Ta có:   BC  ( A ' BC )  BC  A ' D (A'BC cân A') Dựng FH  A ' D Vì BC  ( A ' BC )  BC  FH  H  ( A ' BC ) C’ C AB = 3, B - Trang | 12 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O D Ox; C  Oy B  Oz  A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)  Phương trình mặt phẳng (BCD) là: x y z     3x + 3y + 4z - 12 = 4 Suy khoảngr cách từ A tới mặt phẳng (BCD) II Lyuyện tập Bài 1: Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh đề 1, O trọng tâm tam giác ABC I trung điểm SO Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC H chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh IH qua trọng tâm G SAC Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O gốc tọa độ AOx, SOz, BC//Oy        6  6 ;  ;  ; C   ; 0;  ; B   ; ;  ; S  0; x  ; I  0; 0;              6 3 Ta có: BC  (0;1; 0) ; IC    ; ;  ; 0;  ;   BC , IC          6 ( x  0)  0( y  0)  (z  )0  Phương trình mặt phẳng (IBC) là:  6  6  mà ta lại có: SA   Hay:   z  ; 0;    SA//u SA (1; 0;  2)   H  3  t ; y  0; z   2t Phương trình đường thẳng SA: x   t (1) x   (2)  y  + Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  (3)  y   2t   x  z   (4) x   A  z S I G C O N y A Thay (1), (2), (3) (4):   3 6 6 ; y  0; z  ; 0;   M  ; 0;   SA  4SM  ;  SM   12 12    12  12 V( SBCM ) SM  M nằm đoạn SA    SA V ( SABC ) z x Do G trọng tâm tam giác ASC  SG qua trung điểm N AC  GI  (SNB)  GI SB đồng phẳng M I (1)  6  6 ; ; ; ;   GI      18   18 18   6  GI    ; ;   GI SB   GI  SB (2) 18 18   Từ (1) (2)  GI  SB  H Ta lại có G  Tổng đài tư vấn : S +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ B C O y A x - Trang | 13 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Bài 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: z O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) C d(M, (OAB)) =  zM = Tương tự  M(1; 2; 3) x y z   1 a b c M  ( ABC )     (1) VO ABC  abc (2) a b c 3 (1)      3 a b c a b c  abc  27 (2)  Vmin  27     a b c  (ABC): M c b O a B H y A x Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vng A, AD=a, AC=b, B=c Tính diện tích tam giác BCD theo a, b, c chứng minh 2S  abc  a  b  c  Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) BC   c; b;  , BD   c; 0; a  ,  BC , BD    ab; ac; bc  SBCD 1 2   BC, BD   a b  a c2  b2 c 2 z D đpcm  a b  a c  b c  abc(a  b  c)  a b  a c  b c  abc(a  b  c) Theo bất đẳng thức Cachy ta có: a b  b c  2ab c   b c  c a  2bc a   c a  a b  2ca b  y A B x Cộng vế : a b  a c  b c  abc(a  b  c) 2 2 C 2 z Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có đáy tam giác đề cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ B A diện tích tam giác MC1D Lời giải + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho AO; BOy; A1Oz Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) C D M a a  C1  ; ; 2a  D(0;a;a)  2  A B Do M di động AA1, tọa độ M(0;0;t) với t  [0;2a] x Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ C - Trang | 14 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/  DC1 , DM   2 a a  DC1   ;  ; a  a    DG, DM   Ta có:    (t  3a; 3(t  a); a 3) DM   0; a; t  a  Ta có : SDC M    DG, DM   a (t  3a)2  3(t  a)2  3a 2 a 4t  12at  15a 2 a SDC1M  4t  12at  15a 2  Giá trị lớn S DC1M tùy thuộc vào giá trị tham số t Xét f(t) = 4t2  12at + 15a2 f(t) = 4t2  12at + 15a2 f '(t) = 8t 12a f '(t )   t  (t [0;2a]) 3a Lập bảng biến thiên ta giá trị lớn S DC M  a 15 t =0 hay M  A Chú ý + Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, khơng thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy + Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 15 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ LUYỆN TẬP THÊM Dạng 1: Hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Bài 1.(ĐHA-2006) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 1.Gọi M, N trung điểm AB CD A, tính thể tích khối chóp M.A’B’D’ b Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN Đ/S: d = 2 Bài 2: (ĐHB- 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a A Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D B Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N a Đ/S: Đáp số: A B MP C 'N Bài 3: (ĐH A – 2003): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A‘B ‘C‘D‘có AB=a, AD = a, AA’ = b (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC’ a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b b Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với a 2b , b a:b = Đ/S: a, v  Dạng 2: hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ a Bài 1: (ĐH– 2006) Cho hình hộp đứng ABCD A’ B’ C’ D’ có cạnh AB= AD = a, AA'= góc BAD  600 Gọi M N trung điểm cạnh A’ D’ A’B’ A,Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng BDM  B, Tính thể tích khối chóp A BDMN C, Tính khoảng cách đường thẳng AB C’D’ 3a Đ/S: V  16 Dạng 3.Hình chóp tam giác S.ABC (Dấu hiệu: Đáy tam giác cạnh a, đường cao vng góc với đáy) Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC A,Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) B, Tính khoảng cách đường thẳng SC AB Bài tập tổng hợp Câu 1: THPT Đơng Sơn 1- lần 2- 2015 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC), gọi M trung điểm SC Biết AB  a , BC  a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC BM Đ/S: V= a3 12 Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 16 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Câu 2: THPT Chun ban Hạ Long – 2015 Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC tam giác cạnh a Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 độ Hình chiếu vng góc S xuống (ABC) nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến (SAC) theo a Đ/S: V  a3 3a 13 ;d= 16 13 Câu 3: THPT Hậu Lộc - 2015 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng A, AB= 2a , AC  2a Hình chiếu vng góc S (ABC) H, H trung điểm AB Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 30 độ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm M trung điểm cạnh BC đến (SAC) Câu 4: THPT Lương Thế Vinh – HN - 2015 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tam giác SAB cân S nằm tring mặt phẳng vng góc với đáy Hình chiếu S lên ABCD trung điểm H cạnh AB Góc đường thẳng SC (ABCD) 45 độ Gọi M trung điểm SD Tính theo a thể tích S.ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC) Câu 5: THPT Đào Duy Từ - TH - 2015 a 17 Hình chiếu vng góc H S (ABCD) trung điểm AB Gọi K trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách HK SD theo a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = ĐỖ ĐẠI HỌC CÁC EM NHÉ ! Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 17 - [...]... SC Tớnh theo a din tớch AMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC) Hng dn gii Gi O l hỡnh chiu ca S trờn (ABC), ta suy ra O l trng tõm ABC Gi I l trung im ca BC, ta cú: AI a 3 3 a 3 a 3 OA BC , OI 2 3 2 6 Trong mt phng (ABC), ta v tia Oy vuụng gúc vi OA t SO = h, chn h trc ta nh hỡnh v ta c: a 3 a 3 a 3 a ; 0; 0 I ; 0; 0 , B ; ; 0 , O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A 6 6 2 3 z S a 3 a a 3... SO = h, OA = a, OB = b ta cú O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(a; 0; 0), D(0;b; 0), S(0; 0; h) c) Hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy hỡnh ch nht ABCD v AB = b SAD u cnh a v vuụng gúc vi ỏy Gi H l trung im AD, trong (ABCD) ta v tia Hy vuụng gúc vi AD Chn h trc ta Hxyz ta cú: H(0; 0; 0), a a a a a 3 A ; 0; 0 , B ; b; 0 , C ; b;0 , D ; 0;0 , S 0; 0; 2 2 2 2 2 z 3 Hỡnh lng tr ng Tựy theo... (AMN) vuụng gúc vi mt phng (SBC) B, Tớnh khong cỏch gia 2 ng thng SC v AB Bi tp tng hp Cõu 1: THPT ụng Sn 1- ln 2- 2015 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, mt bờn SAB l tam giỏc u v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt phng (ABC), gi M l trung im ca SC Bit AB a , BC a 3 Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng AC v BM /S: V= a3 6 12 Tng i t vn : +84 (4) 3519-0591 -CTV... https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai/ Cõu 2: THPT Chuyờn ban H Long 2015 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ABC, SBC l cỏc tam giỏc u cnh a Gúc gia 2 mt phng (SBC) v (ABC) l 60 Hỡnh chiu vuụng gúc ca S xung (ABC) nm trong tam giỏc ABC Tớnh th tớch khi chúp S.ABC v khong cỏch t B n (SAC) theo a /S: V a3 3 3a 13 ;d= 16 13 Cõu 3: THPT Hu Lc 2 - 2015 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng ti A, AB= 2a , AC 2a