Phương pháp tọa độ trong hình học không gian

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC BI VIT H PHNG PHP TA TRONG HèNH HC KHễNG GIAN LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Phng phỏp toỏn s cp Mó s: 60 46 01 13 Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS TRNH THANH HI Thỏi Nguyờn, nm 2015 MC LC Trang M U CHNG I: KIN THC C S 1.1 S lc v khụng gian clit 1.2 Mt s mụ hỡnh xỏc nh h trc ta CHNG II: VN DNG PHNG PHP TA VO GII MT S DNG BI TON HèNH HC KHễNG GIAN 2.1 Vn dng phng phỏp ta vo cỏc bi toỏn nh lng 2.2 Vn dng phng phỏp ta vo cỏc bi toỏn chng minh 21 2.3 Vn dng phng phỏp ta vo cỏc bi toỏn qu tớch 26 2.4 Vn dng phng phỏp ta vo cỏc bi toỏn cc tr 33 CHNG III: KIM TRA KT QU LI GII BI TON HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA VI PHN MM MAPLE 45 3.1 S lc v cõu lnh ca phn mm Maple gúi cụng c hỡnh hc khụng gian 45 3.2 S dng Maple minh kt qu dng phng phỏp ta vo gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian 46 KT LUN 55 TI LIU THAM KHO 56 M U Lý chn ti Mụn hỡnh hc i t thi Euclid (Th k th III trc cụng nguyờn) nhng n nm 1619, Rene Descartes - mt nh trit hc kiờm vt lý v nh toỏn hc ngi Phỏp (1596 - 1650) ó dựng i s n gin húa hỡnh hc c in v ó trỡnh by v phng phỏp ta quyn La gesometrie (1637) S i ca phng phỏp ta ó thit lp c mi quan h mt thit gia hỡnh hc v i s Trong chng trỡnh toỏn THPT hỡnh hc l mt mụn hc khú cú tớnh h thng, cht ch, logic v trỡu tng c bit l phn hỡnh hc khụng gian, cựng vi phng phỏp tng hp vic a phng phỏp ta chng trỡnh hc cng l c hi hc sinh lm quen vi cỏc ngụn ng ca toỏn hc cao cp Cỏc bi toỏn liờn quan n phng phỏp ta cng l nhng bi toỏn thng gp cỏc k thi i hc, hc sinh gii toỏn Hin nhiu hc viờn cao hc chuyờn ngnh phng phỏp toỏn s cp ca trng i hc Khoa Hc - i hc Thỏi Nguyờn cng ó khai thỏc cú hiu qu cỏc liờn quan n phng phỏp ta nhng cha cú hc viờn no i sõu tỡm hiu v phng phỏp ta hỡnh hc khụng gian v vic dng phng phỏp ta vo gii quyt mt s dng bi toỏn hỡnh hc khụng gian chng trỡnh toỏn THPT Vi mong mun tỡm hiu, hc hi v tớch ly thờm kinh nghim phc v chớnh cụng tỏc ging dy THPT, chỳng tụi chn hng nghiờn cu Phng phỏp ta hỡnh hc khụng gian trin khai ti lun Thc s Lun cú cỏc nhim v chớnh: (1) Su tm mt s dng toỏn hỡnh hc khụng gian cú th gii bng phng phỏp ta (2) Phõn dng, h thng húa, a li gii chi tit cho mi bi toỏn (3) a mt s nh hng, gi ý giỳp hc sinh nhn dng v th hin phng phỏp ta vic gii cỏc bi toỏn tng t (4) Mt khỏc, u im ca phng phỏp ta l chỳng bao hm mt s thut toỏn Lun cng ó c gng minh mt vi thut toỏn ú vi phn mm Maple kim tra kt qu cỏc li gii toỏn Luõn c hon thnh vi s hng dn ch bo tn tỡnh ca PGS.TS Trnh Thanh Hi Trng i hc Khoa hc i hc Thỏi Nguyờn T ỏy lũng mỡnh, em xin c by t lũng bit n sõu sc i vi s quan tõm, ng viờn v s ch bo ca Thy Em xin trõn trng cm n quý thy, cụ khoa Toỏn Tin, phũng o to trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn ng thi, tụi xin gi li cm n ti th lp cao hc Toỏn K7 ó ng viờn, giỳp tụi quỏ trỡnh hc v lm lun ny Tuy nhiờn, s hiu bit ca bn thõn v khuụn kh ca lun thc s, nờn chc rng quỏ trỡnh nghiờn cu s khụng trỏnh nhng thiu sút, em rt mong nhn c s ch bo, úng gúp ý kin ca quý thy, cụ v c gi quan tõm ti lun ny Em xin trõn trng cm n! Hc viờn Bựi Vit H Chng I: KIN THC C S Trong chng ny chỳng tụi xin trỡnh by s lc li mt s khỏi nim, nh ngha, tớnh chtch yu cỏc ti liu [2], [3], [4], [7], [10] õy l nhng kin thc c s, nn tng cho cỏc li gii ca cỏc vớ d c trỡnh by chng 1.1 S lc v khụng gian clit 1.1.1 nh ngha Khụng gian clit l khụng gian liờn kt vi khụng gian vect clit hu hn chiu Khụng gian clit s gi l n chiu nu khụng gian vect clit liờn kt vi nú cú s chiu bng n Khụng gian clit thng c ký hiu l E, khụng gian clit liờn kt vi nú c kớ hiu l E 1.1.2 Mc tiờu trc chun Mc tiờu afin O;e1, e2 , ,en ca khụng gian clit n chiu E n gi l mc tiờu trc chun (hay h ta cỏc vuụng gúc), nu c s n i j O;e e ,e E , , ca l c s trc chun, tc ei e j = ij , ij = n i j 1.1.3 i mc tiờu trc chun Cho hai mc tiờu trc chun O;e1, e2 , ,en (I) v O';e'1, e'2 , ,e'n (II) ca khụng gian clit n chiu E n Gi C l ma trn chuyn t c s = e1;e2 ;en sang c s ' = e'1;e'2 ;e'n Cỏc c s ú u l c s trc chun nờn C l ma trn trc giao cp n Khi ú, cụng thc i mc tiờu trc chun l X = C X + a Vi C.Ct = In, a l ma trn ct ta ca gc O i vi mc tiờu (I) X v X l hai ma trn ct ta ca cựng mt im i vi mc tiờu th nht v th hai 1.1.4 H ta cỏc vuụng gúc thun, nghch Vi E3 mc tiờu trc chun (I) v (II) trờn Ta quy nh c s = e1;e2 ;en ca mc tiờu trc chun (I) l thun Khi ú nu ma trn chuyn t c s (I) sang c s (II) cú nh thc l dng thỡ h ta cỏc vuụng gúc l thun, ngc li cú h ta l nghch 1.1.5 H trc ta khụng gian H gm ba trc Ox, Oy, Oz ụi mt vuụng gúc c gi l h trc ta cỏc vuụng gúc khụng gian v kớ hiu Oxyz Ta gi cỏc vect n v trờn cỏc trc Ox, Oy, Oz ln lt l i, j, k thỡ h ta Oxyz cú th vit l h ta (O; i, j, k ) v cn chỳ ý: i = j = k i.j = j.k = k.i 1.1.6 Ta ca vect i vi h ta Trong h ta cỏc vuụng gúc (O; i, j, k ) cho vect tựy ý v Vỡ vect i, j, k khụng ng phng nờn tn ti nht b s (x; y; z) cho v xi y j z k thỡ (x; y; z) c gi l ta ca v Kớ hiu: v = (x; y; z) hoc v (x; y; z) 1.1.7 Ta ca im i vi h ta Trong h ta cỏc vuụng gúc Oxyz cho im M bt kỡ Khi ú: Ta ca vect OM cng l ta ca im M Nh vy nu vect OM = (x; y; z) tc l OM xi y j z k thỡ b ba s (x; y; z) l ta ca im M Kớ hiu: M = (x; y; z) hoc M(x; y; z) 1.1.8 Mt s tớnh cht (xột trong E3) +) b cựng phng a ( a ) k , cho b ka +) Tớch cú hng ca a = ( x; y; z) v b = (x; y; z) l vect y z z n = [a, b] = ; y' z' z' x x ; x' x' y y' +) Cho u =(x; y; z) v v = (x; y; z), k u v = (x x; y y; z z) u v = x.x+ y.y+ z.z u = u x + y2 + z cos u, v = x.x' + y.y' + z.z' x + y + z x '2 + y'2 + z '2 +) Ba vect a, b, c ng phng a, b c AB, AC +) VTứ diện ABCD AB, AC AD +) VHỡnh hộp ABCD.A'B'C'D' AB, AD AA ' +) SABC +) VLăng trụ ABC.A'B'C' AB, AC AA' +) Khong cỏch t M0 (x0; y0; z0) n mt phng ( ): Ax + By + Cz + D = 0: d(M0,( )) = Ax + By0 + Cz + D 2 A +B +C +) Cho ng thng , chộo nhau, qua M1 cú vtcp u1 , qua M2 cú vtcp u Khi ú khong cỏch gia v l: u1 ,u M1M d( ; ) = u1 , u u1.u a1.a + b1.b + c1.c Gúc gia hai ng thng: cos = = , 2 2 2 u1 u a1 + b1 + c1 a + b + c2 ú: u1 (a1; b1; c1); u ( a2; b2; c2) Gúc gia ng thng v mt phng: Gi l gúc gia v ( ), ta cú sin = A.a + B.b + C.c 00 900 ; vi u (a; b; c) l vect A + B2 + C a + b + c ch phng ca ; n (A; B; C) l vect phỏp tuyn ca ( ) +) Gúc ( ) gia hai mt phng ( ): Ax + By + Cz + D = v ( ): Ax + By + Cz + D = n.n' A.A' + B.B' + C.C' cos = = n n' A + B2 + C2 A '2 + B'2 + C'2 ú n v n ' ln lt l vect phỏp tuyn ca ( ) v ( ) 1.2 Mt s mụ hỡnh xỏc nh h trc ta dng phng phỏp ta vo gii quyt cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian trc tiờn ta phi chn h trc ta Ta cú th cn c vo mt s mụ hỡnh sau õy z Mụ hỡnh Hỡnh lp phng Xột hỡnh lp phng ABCD.A1B1C1D1 C1 B1 Chn h trc ta Oxyz cho S O, AB, AD, AA1 ln lt cựng hng vi cỏc tia Ox, Oy, Oz Khi ú D1 A1 A O D x y C B A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C1( 1; 1; 1) Mụ hỡnh Tam din vuụng z C Xột tam din vuụng S.ABC cú SA=a, SB=b, SC=c Chn h trc ta Oxyz cho S O, SA, SB, SC ln lt cựng hng vi cỏc tia O S Ox, Oy, Oz Ta cỏc im ú l A S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c) x B y Mụ hỡnh Hỡnh hp ch nht Xột hỡnh hp ch nht ABCD ABCD cú z A' di cỏc cnh l AB = a, AD = b, AA = c D' C' B' Chn h trc ta Oxyz cho A O B, D, A ln lt thuc cỏc tia Ox, A O Oy, Oz Ta cỏc im l y D A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0), D(0; b; 0), A(0; 0; c), B(a; 0; c), C(a; b; c), D(0; b; c) x B C Mụ hỡnh Hỡnh chúp t giỏc u z Xột hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD S cú gc O l giao ca hai ng chộo v SO= h, AC = 2a, BD = 2a Chn h trc ta d Oxyz cho OA, OB, OS ln lt cựng hng vi cỏc C D O x A tia Ox, Oy, Oz Ta cỏc im l: B y O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(- a; 0; 0), D(0; - a; 0) Mụ hỡnh Hỡnh chúp tam giỏc u z Xột hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú O S l tõm ca tam giỏc ABC v SO = h, BC = a Chn h trc ta Oxyz cho OA, CB, OS ln lt cựng hng vi cỏc tia C B O Ox, Oy, Oz Ta cỏc im ú l: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), x y A a a a a a ; 0; , B ; ; , C; - ; A 6 Nhn xột: Nu l mụ hỡnh khỏc thỡ ta phi tỡm c mt gúc tam din vuụng hp lý, t ú ta s chn c h trc Oxyz tng ng gii quyt bi toỏn Chng II: VN DNG PHNG PHP TA VO GII MT S DNG BI TON HèNH HC KHễNG GIAN gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta thỡ ta thc hin theo cỏc bc sau õy: Bc 1: Chn h trc ta Oxyz Bc 2: Ta húa cỏc im ca hỡnh khụng gian Bc 3: Chuyn gi thit qua hỡnh hc gii tớch Bc 4: Gii quyt bi toỏn Vỡ cỏc dng bi toỏn hỡnh hc khụng gian vụ cựng phong phỳ, a dng, chng ny chỳng tụi ch trỡnh by mt s dng quen thuc nh: Bi toỏn nh lng, chng minh, cc tr, bi toỏn v im v qu tớch Cỏc bi toỏn trỡnh by chng ny c la chn, trớch dn t cỏc ngun ti liu [1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6], [7], [8] 2.1 Vn dng phng phỏp ta vo cỏc bi toỏn nh lng Bi toỏn 2.1 Cho hỡnh lp phng ABCD.A1B1C1D1 cnh bng a a) Tớnh gúc v khong cỏch gia hai ng thng A1B v AC1 b) Gi K l trung im DD1 Tớnh gúc v khong cỏch gia ng thng CK v A1D c) Mt phng (P) qua BB1 v hp vi ng thng BC1, B1D hai gúc bng Tớnh cỏc gúc ny z Li gii: A1 Chn h trc ta Oxyz, vi O A, B thuc tia Ax, D thuc tia Ay v A1 thuc tia B1 C1 D1 Az, ú: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), K D(0; a; 0); A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a), A D1(0; a; a) a) Ta cú A1B (a; 0; - a); AC1 (a; a; a) yD B x C Bi toỏn 2.29 Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú cnh bng a Trờn cnh AB ly im M, trờn OC ly im N, trờn AD ly im P cho AM = CN = DP = x ( x a ) a) Chng minh rng tam giỏc MNP u Tớnh din tớch tam giỏc MNP theo a v x Tỡm x din tớch y nh nht b) Cho x = a , tớnh th tớch t din BMNP v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din ny Li gii: a) Chng minh MNP u MN2 = CM2 + CN2 = MB2 + CB2 + CM2 = (x a)2 + a2 + x2 NP2 = NC2 + PC2 = NC2 + CD2 + DP2 = (x a)2 + a2 + x2 MP2 = PA2 + AM2 = PA2 + AA2 + AM2 = (x a)2 + a2 + x2 MN = NP = MP = SMNP = MN2 ( x2 + a2 ax) MNP u 3 = [ (x a)2 + a2 + x2] = ( x + a2 ax) t y = x2 ax + a2 ( x a ), ta cú: y = 2x a y = x = a ymin = f( ) = minS = a 2 z P x D' C' x N a a 3a + a2 = 4 2 3a 3a a = x = A' B' O D C y A x a M B b) Tớnh th tớch t din BMNP x = x Chn h trc Oxyz nh sau: Gc O trựng vi D; trc Ox i qua DA; trc Oy i qua DC; trc Oz i qua DD a a a ; ), N ( 0; a; ), P ( ; 0; a), B(a; a; a) 2 a a a a MN = ( a; ; ), MP = ( ; ; a) 2 2 Khi ú: M (a; 41 3 3a 3a 9a = MN,MP MB' = 8 V = 9a 3a MN,MP MB' = ( vdt) 16 Tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din BMNP: MI = B'I Gi I (x; y; z) l tõm mt cu ngoi tip t din NI2 = B'I2 PI2 = B'I a 2 2 x a + y + z = x a + y a + z a a 2 2 x + y a + z = x a + y a + z a a 2 2 x + y + z a = x a + y a + z a 17a 5a 7a 7a 7a x = y = z = I ; ; R= 12 12 12 12 12 Bi toỏn 2.30 Cho mt hỡnh cu ni tip mt hỡnh nún trũn xoay Mt hỡnh tr ngoi tip hỡnh cu ú cú ỏy di nm mt phng ỏy ca hỡnh nún Gi V1, V2 ln lt l th tớch ca hỡnh nún v ca hỡnh tr B a) Chng minh rng V1 V2 b) Tỡm giỏ tr nh nht ca t s V1 V2 Li gii: a) Gi s hỡnh nún cú ng cao BD = h, bỏn O E kớnh ỏy l DC = a, gúc gia ng sinh v trc l ; bỏn kớnh hỡnh cu ni tip hỡnh nún l r A Ta cú: V1 = D C * 42 h = OB + OD = a= r 1+ sin r +r = , sin sin r 1+ sin tan sin r3 1+ sin r3 1+ sin = Thay cỏc kt qu trờn vo (*) ta c: V1 = 3sin.cos2 3sin 1-sin Th tớch hỡnh tr ngoi tip hỡnh cu l V2 = 2r3 , ú 2 V1 1+ sin = 1+ s , õy ta t s = sin , < s < = V2 6sin 1-sin 6s 1-s Gi s rng V1 =1 (tc l V1 = V2), ta c phng trỡnh 7s2 - 4s +1= 0, V2 phng trỡnh bc hai theo s ny li vụ nghim, iu ny cú ngha khụng tn ti V1 = V2 v khng nh bi c chng minh b) t V1 = k, ta cú phng trỡnh (1+6k)s2 +2(1- 3k) s +1 = 0, V2 phng trỡnh ny cú nghim, ta phi cú ' =(1-3k)2 (1+6k) k Vy giỏ tr nh nht ca V1 = k l , ng vi s = sin = v OB = 3r V2 3 43 Chng 3: KIM TRA KT QU LI GII BI TP HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA VI PHN MM MAPLE 3.1 S lc v cỏc cõu lnh ca phn mm Maple gúi cụng c hỡnh hc khụng gian bt u thc hin cỏc cõu lnh hỡnh hc khụng gian, chỳng ta phi m gúi hỡnh hc khụng gian bng cõu lnh sau: [> with(geom3d): v khai bỏo [ > _EnvXName:=`x`: _EnvYName:=`y`: _EnvZName:=`z`: Cỏc i tng hỡnh hc gúi ny l: im, on thng, on thng nh hng, ng thng, mt phng, tam giỏc, hỡnh cu v hỡnh a din to cỏc i tng c bn, ta s dng cỏc hm gi sau: dsegment, line, plane, point, segment, sphere, triangle Bi toỏn: - V on thng i qua im A(1; 2; 3) v im B(2; 3; 4): [> point(A,1,2,3):point(B,2,3,4): segment(AB,[A,B]); [> draw(AB): - Xỏc nh ng thng l i qua im A (1; 2; 3) v v = (0; 2; 4): [> point(A,1,2,3): line(l,[A,[0,2,4]]); -Xỏc nh mt phng (P) i qua ba im: A=(1; 2; 3), B=(1; 0; 3), C=(0; 2; 3), [> point(A,1,2,3):point(B,1,0,3):point(C,0,2,3): [> plane(p,[A,B,C]): - Xỏc nh mt phng (P) i qua im A = (1; 2; 3) vi vộc t phỏp tuyn u = (0; 2; 4): [> point(A,1,2,3): plane(p,[A,[0,2,4]]); - Mt cu (S) i qua bn im khụng ng phng A=(1; 2; 3), B = (-1; -4; -5), C = (1/2;1/3;1/4), D=(2/3;1; 0): [>point(A,1,2,3): point(B,-1,-4,-5):point(C,1/2,1/3,1/4): point(D,2/3,1,0):A=coordinates(A):B=coordinates(B): C=coordinates(C):D=coordinates(D): sphere(S,[A,B,C,D]): 44 Equation(S,[x,y,z]): - Xỏc nh mt cu cú phng trỡnh x2 + y2 + z2 =1 [> with(geom3d): sphere(S2,x^2+y^2+z^2-1=0,[x,y,z]): Equation(S2,[x,y,z]): 3.2 S dng Maple minh kt qu dng phng phỏp ta vo gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian Bi toỏn 3.1 Vit phng trỡnh mt phng (P1) i qua im A=(1; 1; 5) v song song vi mt thng (P) cú phng trỡnh x+3y+z=2 [>plane(p,x+3*y+z=2,[x,y,z]); point(A,1,1,5); parallel(p1,A,p); Equation(p1); Bi toỏn 3.2 Vit phng trỡnh ng thng d i qua mt im A (1; 2; -1) v vuụng gúc vi mt phng (P): 3x-2y+5z+6=0 [>point(A,1,2,-1); plane(p,3*x-2*y+5*z+6=0,[x,y,z]); perpendicular(A,p,d); Bi toỏn 3.3 Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A(0; 1; 1) v vuụng gúc vi ng thng BC i qua hai im B(-1; 0; 2), C(3; 1; 0) [> point(A,0,1,1);point(B,-1,0,2);point(C,3,1,0); line(BC,[B,C]); print(`pt mt phng (p) l:`); perpendicular(p,A,BC); Bỏi toỏn 3.4 Qua mt im A (2; 4; 7) dng ng thng vuụng gúc vi mt phng (P): x+2y - 6z - 4=0 (ly im B l hỡnh chiu ca A trờn P, ly AB lm vộc t ch phng) [>plane(P,x+2*y-6*z=4,[x,y,z]): point(A,2,4,7); projection(B,A,P): coordinates(B); line(l,[A,B]): draw({l,P(color=yellow)}); 45 Bi toỏn 3.5 Kim tra bn im hoc hai ng thng cú ng phng hay khụng?: [>point(A1,0,0,0):point(B1,0,0,1):point(C1,0,1,0):point(D1,1,0,0): AreCoplanar(A1,B1,C1,D1): hoc [>line(ab,[A1,B1]):line(cd,[C1,D1]):line(bc,[B1,C1]): line(bd,[B1,D1]):line(ad,[A1,D1]): AreCoplanar(ab,cd): Bi toỏn 3.6 Tớnh khong cỏch t im A(2; 3; -1) n mp (P): x+ 4y-2z-2=0 [> with(geom3d): point(A,2,3,-1); plane(p,x+4*y-z=2,[x,y,z]); distance(A,p); Kt qu: 13 Bi toỏn 3.7 Xột v trớ tng i ca mt mt phng v mt mt cu [> restart; [> VitriMP_MC:= proc(p, s) local H, R, d, M, l; H:= center(s): R:= radius(s): d:= evalf(distance(H, p)): line(l, [H, p]); intersection(M, l, p): if d > R then print(`Mt phng v mt cu khụng ct nhau`); draw([p, s], axes = none); elif d = R then print(`Mt phng v mt cu tip xỳc vi ti im cú to `, coordinates(M)); sphere(g, [M, 0.02]): # Minh ho im tip xỳc draw([s, p(color = blue), g(color = magenta)], axes = none); else print(`Mt phng v mt cu ct theo mt ng trũn`); draw([s, p(color = blue)], axes = none); end; end: 46 S dng th tc trờn xột v trớ tng i ca mt cu (S) v mp() [> with(geom3d): [> sphere(s, x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 6*y + 4*z - 22 = 0, [x, y, z]); [> plane(p, x + 2*y - 2*z - = 0, [x, y, z]); [> VitriMP_MC(p, s); Kt qu: Mt phng ct mt cu theo mt ng trũn Bi toỏn 3.8 Trong khụng gian Oxyz cho ba im: A(0; 1; 2); B(2; 3; 1), C(2; 2; - 1) a) Vit phng trỡnh mt phng i qua ba im A, B, C Chng t gc to cng nm trờn mt phng b) Chng t t giỏc OABC l hỡnh ch nht.Tớnh din tớch hỡnh ch nht ú c) Tớnh th tớch hỡnh chúp bit nh S(9; 0; 0) Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau: [> with(geom3d): point(A,0,1,2); point(B,2,3,1); point(C,2,2,-1); plane(p,[A,B,C],[x,y,z]); Equation(p);point(O,0,0,0); point(S,9,0,0);line(l1,[O,A]):line(l2,[B,C]):line(l3,[A,B]): Equation(l3,[x,y,z]):Equation(l1,[x,y,z]):Equation(l2,[x,y,z]):IsOnPlane(O,p): AreParallel(l1,l2) ;ArePerpendicular(l2,l3); print(`Vỡ OA song song vi BC,OA vuụng gúc AB nờn OABC l hỡnh ch nht:`); print(` din tớch hỡnh ch nht l:`); s:=distance(O,A)*distance(B,A); print(`Chiu cao h ca hỡnh chúp l khong cỏch t S(9,00) ti (p):`); h:=distance(S,p); print(` Th tớch ca hỡnh chúp SOABC l:`); V:=h*s/3; Kt qu thc hin chng trỡnh: x4 y2 z0 O S 47 .Rõ ràng O thuộc (P) true true Vì OA song song với BC,OA vuông góc AB nên OABC hình chữ nhật: diện tích hình chữ nhật là: s := Chiều cao h hình chóp khong cách từ S(9,00) tới (p): h := Thể tích hình chóp SOABC là: V := 15 Bi toỏn 3.9 Trong h trc to Oxyz cho hai mt phng (P) v (P1) ln lt cú phng trỡnh l (P): 2x y + z + = 0; (P1) x + y + 2z = a) Chng t (P) v (P1) ct Vit phng trỡnh tham s ca giao tuyn ca hai mt phng (P) v (P1) b) Tớnh gúc gia hai mt phng trờn Li gii: Ta s dng cỏc lnh sau: [>with(geom3d):plane(p,2*x-y+z+2=0,[x,y,z]):plane(p1,x+y+2*z=1,[x,y,z]): #Cỏc mt phng cú vộc t phỏp tuyn khụng cng tuyn nờn (p) v (p1) ct tỡm p.trỡnh tham s ca ng thng ta cho z=3t ri tớnh x,y theo t intersection(l,p,p1): detail(l): print(`Gúc gia hai mt phng l:`): FindAngle(p,p1): Kt qu thc hin chng trỡnh: name of the object: l form of the object: line3d equation of the line: [x = -1/3-3*_t, y = 4/3-3*_t, z = 3*_t] Góc hai mặt phẳng là: 48 Bi toỏn 3.10 Trong khụng gian cho mt phng (P) v (P1) cú phng trỡnh (P) 2x - y+2z =1; (P1) x+6y+2z+5=0 a) Chng minh hai mt phng trờn vuụng gúc vi b) Vit phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (P2) i qua gc to v i qua giao tuyn ca (P) v (P1) c) Vit phng trỡnh ng thng i qua A(1; 2; -3) v song song vi c hai mt phng (P) v (P1) Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau [>with(geom3d): plane(p,2*x-y+2*z=1,[x,y,z]): plane(p1,x+6*y+2*z+5=0,[x,y,z]): ArePerpendicular(p,p1): print(`Phng trỡnh tham s ca giao tuyn hai mt phng l:`): intersection(l,p,p1): detail(l): print(`Ly hai im thuc l sau ú vit phng trỡnh mt phng i qua ba im`): randpoint(M,l):randpoint(N,l): point(O,0,0,0 ):plane(p2,[O,M,N],[x,y,z]): print(`Phng trỡnh mt phng (p2) l:`): Equation(p2): draw({p,p1(color=magenta),p2(color=red),l(color=blue)}): print(`Phng trỡnh ng thng i qua im A(1,2,-3) v song song vi hai mt phng l:`); point(A,1,2,-3): parallel(d,A,l);detail(d): Bi toỏn 3.11 Trong khụng gian Oxyz cho hai mt phng (P) v (Q) ln lt cú phng trỡnh l (P) 2x + ky + 3z = 5, (Q) mx - 6y - 6z + = a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca k, m hai mt phng song song vi Trong trng hp ú hóy tớnh khong cỏch gia hai mt phng b) Trong trng hp k = m = 0, gi d l giao tuyn ca (P) v (Q) Hóy tớnh to hỡnh chiu H ca im A(1; 1; 1) trờn d v khong cỏch t A ti d Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau [> with(geom3d): assume (m0,k0): 49 f(x,y,z,k):= 2*x+k*y+3*z-5=0;plane(p,2*x+k*y+3*z-5=0,[x,y,z]): g(x,y,z,m):=m*x-6*y-6*z+2=0: plane(q,m*x-6*y-6*z+2=0,[x,y,z]): AreParallel(p,q,'cond'): cond: print(`Gii h ta tỡm c m,k`): print(`Phng trỡnh ca (p) v (q) l:`): subs(k=3,f(x,y,z,k)):subs(m=-4,g(x,y,z,m)): print(` tớnh khong cỏch t (p) n (q) ta ly im bt kỡ thuc (P) Sau ú tớnh khong cỏch t im ú ti (q)`): plane(q,-4*x-6*y-6*z+2=0,[x,y,z]):plane(p,2*x+3*y+3*z-5=0,[x,y,z]): distance(p,q): print(`Ta chuyn phng trỡnh (d) v dng tham s sau ú ly im bt kỡ thuc nú Tớch vụ hng ca AH v ch phng ca (d) s bng T ú tớnh c to H v tớnh AH`); plane(h,2*x+3*y=5,[x,y,z]);plane(q3,3*y+3*z=1,[x,y,z]); intersection(l,h,q3); point(A,1,1,1);detail(l);randpoint(M,l);evalf(distance(M,A)); Bi toỏn 3.12 Trong khụng gian Oxyz cho im A(1; 2; -1) v mt phng (P) cú phng trỡnh: 3x - 2y + 5z + 6=0 a) Chng t A nm trờn (P) b) Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua A v vuụng gúc vi (P) c) Tớnh sin ca gúc gia ng thng( d) v mt phng (P) Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau [>with(geom3d): point(A,1,2,-1); plane(p,3*x-2*y+5*z+6=0,[x,y,z]); print(`Thay to im A vo phng trỡnh (p) thỡ rừ rng A tho `); perpendicular(m1,A,p); print(`Gúc gia OA v (p) l:`); point(O,0,0,0);line(l,[O,A]); detail(l);FindAngle(l,p); 50 Bi toỏn 3.13 Trong khụng gian Oxyz cho mt phng (P) cú phng trỡnh tng quỏt: x + 19 x = + 6t 11 y = + 3t z = + 2t y z + = v ng thng (d) cú phng trỡnh tham s tR a) CMR (d) ct mt phng (P) Tỡm to giao im I ca chỳng b) CMR ng thng (d) vuụng gúc vi (P) c) Gi A, B, C l giao im ca (P) v ba trc to Tỡm to A, B, C v chng t (d) i qua trng tõm tam giỏc ABC Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau [>with(geom3d): plane(p,x+y/3+z/3=1,[x,y,z]);line(d2,[19/3+6*t,11/3+3*t,3+2*t],t); print(`Thay x,y,z pt (d) vo pt (p) Tớnh t ri thay vo (d) tỡm c to giao im`); intersection(I4,d2,p);coordinates(I4); print(`Vỡ vộc t phỏp tuyn ca mt phng (p) cng tuyn vi vec t ch phng ca (d) nờn (d) vuụng gúc vi (p)`); print(`Dựng cụng thc tớnh trng tõm ca tam giỏc Nu trựng vi to im I thỡ ta cú (d) i qua trng tõm ca tam giỏc`); A:=[1,0,0];B:=[0,2,0];C:=[0,0,3];I1:=[29/69,49/69,71/69]; if(A[1]+B[1]+C[1]=3*I1[1] and A[2]+B[2]+C[2]=3*I1[2] and A[3]+B[3]+C[3]=3*I1[3] ) then print(`I1 l trng tõm tam giỏc:`);fi; Bi toỏn 3.14 Trong khụng gian cho ba im A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2, C(3; 1; 0) a) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A v vuụng gúc vi BC b) Xỏc nh to giao im I cu BC v (P) c) Tớnh khong cỏch t A ti BC , tớnh din tớch tam giỏc ABC 51 Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau: [>restart: with(geom3d): point(A,0,1,1);point(B,-1,0,2);point(C,3,1,0); line(bc,[B,C]);print(`pt mt phng (p) l:`); detail(bc);perpendicular(p,A,bc); print(`Khong cỏch t A,ti bc l:`);distance(A,bc); print(`Din tớch tam giỏc ABC l:`);area(triangle(abc,[A,B,C])); Bi toỏn 3.15 Minh ho nh lớ:"Nu hai mt phng ct v cựng song song vi mt ng thng thỡ giao tuyn ca chỳng song song vi ng thng ú." Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau [> restart:with(geom3d): plane(P,3*x-y+z-2=0,[x,y,z]): plane(Q,x+4*y+2*z-5=0,[x,y,z]):intersection(a,P,Q): point(M,1,1,0): v1:=ParallelVector(a): line(d,[point(A,1,2,3),v1]): if AreParallel(a,d)=true then print(`Duong thang d song song voi duong thang a`) ;fi; draw([P(color=cyan),Q(color=yellow),d(color=blue),M(color=black),a(color=red)]); Bi toỏn 3.16 Minh ho nh lớ:"Qua mt im cho trc cú nht mt ng thng vuụng gúc vi mt phng (P) cho trc" Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau: [> restart; with(geom3d): point(O,1,2,3): plane(P,3*x+5*y-z-2=0,[x,y,z]): line(a,[point(A,2,-2,-6),point(B,1,-1,-4)]): n:=ParallelVector(a): plane(Q,[O,n]): intersection(b,P,Q):m:=ParallelVector(b): n:=[-1,-7,3]: line(delta,[O,n]): ArePerpendicular(a,Q); ArePerpendicular(delta,Q); draw([O(color=black),P(color=green),Q(color=cyan),a(color=blue),b(color=black),delta (color=red)]); Bi toỏn 3.17 Xỏc nh thit din ca mt phng i qua ba im bt k nm trờn ba cnh ca t din: Thut toỏn: 52 - Ly ngu nhiờn ba im G, G1, G2 nm trờn ba cnh ca t din bng lnh randpoint - Xỏc nh mt phng (P) i qua ba im trờn - Xỏc nh giao im ca (P) vi cỏc cnh ca t din - Xỏc nh mt phng thit din qua cỏc giao im ú Li gii: Ta s dng cỏc cõu lnh sau: [> restart: with(geom3d): point(A,-2,-1,2); point(B,4,0,-1);point(C,-2,1,2); point(D,2,-2,5);line(l1,[A,B]):line(l2,[C,D]):line(l3,[B,C]):line(l4,[D,A]):line(l,[B,D]); randpoint(G,l1,xcoord(A) xcoord(B),ycoord(A) ycoord(B),zcoord(A) zcoord(B));evalf(c oordinates(G)); randpoint(G2,l2,xcoord(C) xcoord(D),ycoord(C) ycoord(D),zcoord(C) zcoord(D)) ; evalf(coordinates(G2)); randpoint(G1,l3,xcoord(C) xcoord(B),ycoord(C) ycoord(B),zcoord(C) zcoord(B)) ; evalf(coordinates(G1)); line(g1,[G,G1]);line(g2,[G,G2]);line(a,[G1,G2]); plane(p,[G,G1,G2]); gtetrahedron(v,[A,B,C,D]);AreCoplanar(G1,G2,B,D); intersection(H,a,l);evalf(coordinates(H)); line(b,[H,G]); intersection(L,b,l4); evalf(coordinates(L)); segment(c,G1,G2):segment(d,G,G2):segment(e,G,L):segment(f,L,G1):segment(g,G2,L) :segment(h,G,G1):plane(s,[G,G1,G2]):segment(hg,H,G):segment(hg1,H,G1):segment( hb,H,B): sphere(s1,[G,0.03]):sphere(s2,[G1,0.03]):sphe re(s3,[G2,0.03]): draw({c(color=red),e(color=red),g(color=red), hb(color=black),hg1(color=black),hg(color=bla ck),h(color=red),v(color=blue),s1(color=brown ),s2(color=green),s3(color=magenta)},title="T hiet dien di qua ba diem cua tu dien" ); Kt qu thc hin chng trỡnh: 53 KT LUN Qua mt s bi toỏn trờn, lun ó mụ t mt cỏch trc quan dng phng phỏp ta hỡnh hc khụng gian vi cỏc ch : - Cỏc bi toỏn nh lng - Cỏc bi toỏn chng minh - Cỏc bi toỏn v qu tớch - Cỏc bi toỏn v cc tr T li gii cỏc bi toỏn trờn cho ta thy, vic dng phng phỏp ta hỡnh hc khụng gian gm cỏc bc sau: Bc 1: Chn h trc ta Oxyz Bc 2: Ta húa cỏc im ca hỡnh khụng gian Bc 3: Chuyn gi thit qua hỡnh hc gii tớch Bc 4: Gii quyt bi toỏn Ngoi lun cũn thc hin ci t cỏc cụng thc, cỏc tớnh cht, cỏc thut toỏn c bn thng gp cỏc li gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng phỏp ta vi phn mm Maple Thụng qua h thng cỏc bi toỏn minh vic dng phng phỏp ta vo gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian chng trỡnh THPT giỳp cho hc sinh phỏt trin t duy, nhỡn thy s a dng ca toỏn hc thc tin v hỡnh thnh cho hc sinh thúi quen, bờn cnh phng phỏp tng hp, cũn bit la chn phng phỏp ta hỡnh hc khụng gian Mt khỏc lun cũn mụ t mi quan h mt thit gia hỡnh hc v i s c th hin qua li gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian Hng phỏt trin tip theo ca lun l t nhng kt qu dng phng phỏp ta hỡnh hc khụng gian THPT (3 chiu) s khỏi quỏt lờn cỏc bi toỏn khụng gian nhiu chiu 54 TI LIU THAM KHO [1] Lờ Hi Chõu (1992) Thi vụ ch toỏn quc t NXB TP H Chớ Minh [2] Phan c Chớnh, Nguyn Vn Mu, Thanh Sn (1995) Mt s phng phỏp chn lc gii cỏc bi toỏn s cp, Nh xut bn Giỏo dc [3] Nguyn Quý Dy (ch biờn), Nguyn Vn Nho, V Vn Thoa (2009) Tuyn 200 bi toỏn vụ ch toỏn (tp 3) Nh xut bn Giỏo dc [4] Lờ Hng c, Lờ Hu Trớ (2012) Phng phỏp gii toỏn Hỡnh hc gii tớch khụng gian, NXB HQG H Ni [5] Nguyn Vn Mu, Nguyn V Lng, Nguyn Vn Xoa (2006) Tuyn thi tuyn sinh Trung hc ph thụng Chuyờn mụn Toỏn NXB Giỏo dc [6] Lờ Honh Phũ (2010) Bi dng hc sinh gii toỏn Hỡnh hc 12, NXB HQG H Ni [7] Thanh Sn (2010) Mt s chuyờn hỡnh hc khụng gian NXB Giỏo dc [8] Nguyn Quang Sn (2006) Chuyờn trng im: Bi dng hc sinh gii hỡnh hc khụng gian NXB i hc Quc gia H Ni [9] o Tam (2005) Giỏo trỡnh hỡnh hc s cp, NXB H S phm [10] Nguyn Tt Thu, Nguyn Vn Dng (2011) 18 Ch Hỡnh hc 12, NXB HQG H Ni [11] V Dng Thy (ch biờn), Nguyn Vn Nho (2001) 40 nm Olympic Toỏn hc quc t NXB Giỏo dc [12] Tuyn (2009) Cỏc bi toỏn chn lc 45 nm Toỏn hc v Tui tr, NXB Giỏo dc [13] Din n toỏn hc, http:// www math.vn [14] IF.Sharygin (1998) Tuyn 340 bi toỏn hỡnh hc khụng gian (Problems in Solid Geometry) Nh xut bn thnh ph H Chớ Minh 55 [...]... A là gốc tọa độ, AB, AD và x B C O3 D y 28 AA’ thuộc các trục tọa độ Ax, Ay, Az tương ứng Đặt AB = AD= AA’= 1 Chia thời gian điểm X chạy trên đường ABCDA làm 4 phần bằng nhau và lấy mỗi phần ấy làm đơn vị thời gian Ta biết rằng nếu điểm K chuyển động thẳng đều thì sự phụ thuộc tọa độ của nó vào thời gian là sự phụ thuộc tuyến tính và ngược lại, nếu sự phụ thuộc tọa độ của điểm K vào thời gian là tuyến... dàng thấy được Z tương ứng ở các vị trí O1, O2, O3, O1 còn trên các đoạn giữa chúng, tọa độ của Z thay đổi tuyến tính, nghĩa là Z vẽ trong không gian các đoạn thẳng O1O2, O2C, CO3, O3O1 và có nghĩa là Z chuyển động theo hình thoi O1O2CO3 29 Bài toán 2.19 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và mặt cầu (C) nội tiếp hình lập phương đó Mặt phẳng (P) quay quanh A, tiếp xúc với mặt cầu (C) và cắt hai cạnh A’B’... , không kể hai điểm I1 và I2  2 2 Bài toán 2.20 Cho tứ diện đều ABCD Tìm quỹ tích những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các mặt của tứ diện bằng k2 cho trước z Lời giải: A' D C B' Dựng hình lập phương AC’BD’.B’DA’C I ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a thì y a 2 cạnh hình lập phương b = C' B D' Chọn hệ tọa độ D’xyz (hình vẽ), A x b b b ta có: Tâm I  ; ;  Trong hệ tọa. .. dụng phương pháp tọa độ vào các bài toán quỹ tích Bài toán 2.15 Trong mặt phẳng ( α ) cho đường tròn (C) đường kính AB= 2R, SA = h (0 < h < 2R) và vuông góc với mặt phẳng ( α ) Gọi M là điểm di động trên (C) Tính h theo R để tồn tại điểm M trên (C) sao cho đoạn nối trung điểm hai đoạn AM và SB là đoạn vuông góc chung của chúng, khi đó tính độ dài của đoạn vuông góc chung này Lời giải z Chọn hệ trục tọa. .. 2   Bài toán 2.18 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có ABCD và A’B’C’D’ tương ứng là đáy trên và đáy dưới, A’A//B’B//C’C//D’D Một điểm X chuyển động với tốc độ không đổi dọc theo chu vi hình vuông ABCD; Y cũng chuyển động cùng với tốc độ đó dọc theo chu vi hình vuông B’C’CB X xuất phát từ A đi về phía B còn Y rời từ B’ đi về hướng C’ Tìm quỹ tích trung điểm XY z Lời giải: Kí hiệu O1, O2, O3 lần lượt... c 2 +18a 2  2 6ac 3 c 2 + 6a 2 2.2 Vận dụng phương pháp tọa độ vào các bài toán chứng minh Bài toán 2.10 Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và 2 (SAC) vuông góc với nhau Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Dxyz, (hình vẽ) khi đó: D(0; 0; 0), a 3 a  ;- ; 0 ... của M là điểm I 6 a 6 iii) Nếu k < thì quỹ tích của M là  6 2.4 Vận dụng phương pháp tọa độ vào các bài toán cực trị ii) Nếu k = Bài toán 2.21 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng B1D và mặt phẳng (B1D1C) đạt giá trị lớn nhất Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz, với B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay, A1 thuộc tia Az, khi đó: z A1... khi x = 1  ABCD.A1B1C1D1 là hình lập 3 phương cạnh bằng 1 Bái toán 2.22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB=a, BC= 2a, SA= a và vuông góc với đáy, SC  BD a) Tính AD b) Gọi M là điểm trên đoạn SA, đặt AM = x (0  x  a) Tính độ dài đường cao DE của  BDM theo a và x Xác định x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải z Chọn hệ trục tọa độ Axyz với S D tia Ax, B ... điểm C đến mặt phẳng ( α ) Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz z C ( hình vẽ) Tọa độ các điểm O (0; 0; 0), A(a; 0; 0), B (0; a 2 ; 0), C(0; 0; c), M E D (a; a 2 ; 0) a) Vì M là trung điểm của BC nên O G H F K B y I  a 2 c A M  0; ;  D x 2 2      Ta có OC (0; 0; c), OD (a; a 2 ; 0)  OC, OD  = ( - ac 2 ; ac; 0)  Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (OCD) là n (OCD) (- 2 ; 1;... ta có:   2a 2 MN.n1 5 sinα =   =  2 2 2 5 MN n1 8a + 2a + 30a 1 Bài toán 2.6 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng a Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD, CD Lấy P BB1 sao cho BP = 3PB1 Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz, với B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay, A1 thuộc tia Az, khi đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; ... khụng gian clit 1.1.1 nh ngha Khụng gian clit l khụng gian liờn kt vi khụng gian vect clit hu hn chiu Khụng gian clit s gi l n chiu nu khụng gian vect clit liờn kt vi nú cú s chiu bng n Khụng gian. .. vuông góc AB nên OABC hình chữ nhật: diện tích hình chữ nhật là: s := Chiều cao h hình chóp khong cách từ S(9,00) tới (p): h := Thể tích hình chóp SOABC là: V := 15 Bi toỏn 3.9 Trong h trc to Oxyz... KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA VI PHN MM MAPLE 3.1 S lc v cỏc cõu lnh ca phn mm Maple gúi cụng c hỡnh hc khụng gian bt u thc hin cỏc cõu lnh hỡnh hc khụng gian, chỳng ta phi m gúi hỡnh hc khụng gian