Lời giải hay cho bải toán tính khoảng cách trong không gian

Lời giải hay cho bải toán tính khoảng cách trong không gian Lời giải hay cho bải toán tính khoảng cách trong không gian Lời giải hay cho bải toán tính khoảng cách trong không gian Lời giải hay cho bải toán tính khoảng cách trong không gian Lời giải hay cho bải toán tính khoảng cách trong không gian

LỜI GIẢI HAY CHO BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN

NGUYỄN PHÚC TÀI biên soạn

Trong đề thi đai học hiện nay đối với môn toán luôn có một câu hình học không gian và để lấy điểm tuyệt đối trong câu này không phải là chuyện đơn giản Vậy hôm nay tôi xin phép được cung cấp thêm cho các bạn một phương pháp mới trong bài tính khoảng cách “phương pháp chọn điểm rơi” Chắc có lẽ bạn

đọc sẽ thấy lạ khi nghe đến phương pháp mới lạ này đây chỉ là kinh nghiệm mà tôi tích lũy được trong khi làm bài khoảng cách nên tôi đã rút ra phương pháp này

Và tôi biết nhiều bạn cũng đã làm quen và đã giải bài toán khoảng cách theo hướng này vậy tôi mong các bạn đó đừng xem nhẹ hay khinh thường nó vì phương pháp này tôi viết ra nhằm phục vụ cho các bạn học sinh trung bình và học sinh khá của trường THPT Diễn Châu IV để giúp các bạn làm quen trong cách tính khoảng cách Trong quá trình tự nghiên cứu không tránh khỏi sự sai

sót vậy tôi mong bạn đọc có sự đóng góp hay thắc mắc gì hãy liên hệ cho tôi qua

số điện thoại 0966097741 NGUYỄN PHÚC TÀI 12C1 thành viên trong hội

LƯƠNG SƠN PRO

I Lý thuyết

Khi gặp một bài toán khoảng cách về hai đường thẳng chéo nhau trong không gian chúng ta quy về tìm khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với đường thẳng đó rồi lại quy về tìm khoảng cách giữa một điểm đến mặt phẳng nhưng điểm đó phải thuộc đường thẳng trên Đến đây tôi xin cung cấp cho bạn phương pháp chọn điểm rơi Phương pháp này nói rằng:” Khi cho một hình học không gian chúng ta cần tìm một điểm Q nào đó mà

điểm đó có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng đáy (Từ bây giờ

ta gọi điểm này là điểm rơi) thì mọi khoảng cách cần tìm chúng ta quy về

tìm khoảng cách từ điểm rơi đó đến mp P nào đó” ví dụ như cho hình chóp SABC cóSA vuông góc với {ABC} suy ra điểm rơi ở đây là điểm A Như vậy mọi bài toán liên quan đến khoảng cách chúng ta quy về tìm khoảng cách giữa điểm rơi A với một mặt phẳng P nào đó Nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng cách hai đt chéo nhau chúng ta quy về tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng cách Qua đt này kẻ mặt phẳng chứa đt kia và song song với đt còn lại Nhiều lúc gặp bài toán phức tạp mà không liên quan đến điểm rơi chúng ta phải tạo ra sự liên quan đến điểm rơi bằng cách qua điểm rơi chúng ta kẻ đường thẳng d (nằm ở đáy) vuông góc với mp P với P là mp liên quan đến khoảng cách từ điểm rơi tới mp P Một số bài toán người ta bắt tìm khoảng cách từ một điểm tới mp nào đó thì mp P đã cho trước Nếu bài toán tìm kc giữa hai đt chéo nhau thì mp P xác định bằng cách qua đường thẳng này kẻ mp chứa đt kia và song song với đt còn lại (Thông thường ta nên kẻ mp này đi qua

1 đường thẳng d nằm ở đáy và song song với một đt còn lại mà đt này cũng nằm ở đáy) Như thế từ điểm rơi chúng ta kẻ đt vuông góc với d và kéo dài cắt đường thẳng còn lại tại Q thì khoảng cách cần tìm sẽ tỉ lệ (Tuân theo định lí TA-LET) với khoảng cách từ điểm rơi đến mp P Trong phần bài tập vận dụng dưới đây tôi đã đưa ra một số bài toán trong đề thi ĐH các năm trước và có thể

giải quyết theo phương pháp nêu trên Tôi rất mong bạn đọc hãy xem kĩ phần lý thuyết và khi xem bài tập vận dụng hãy kết hợp với lý thuyết và như thế bạn sẽ thấy sự tinh tế trong cách kẻ đường thẳng phụ của tôi nhưng những gì tôi kẻ đều dựa trên lý thuyết mà ra Mấu chốt của bài toán

là bạn phài tìm được điểm rơi.

II Bài tập vận dụng

1.(TỰ CHẾ ) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại đỉnh A

cạnh 2AB=BC=2a và SA vuông góc với đáy SA=căn2 a tìm khoảng cách

từ A tới mặt phẳng SBC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

Gợi ý

Kẻ AH vuông góc với BC sau đó kẻ AK vuông góc với SH khoảng cách từ

A tới mp SBC là AK (vì BC vuông góc vói mp SAH) Suy ra AK= (Căn6)

∕(Căn11).a

Qua B kẻ đườn thẳng d song song với AC suy ra khoảng cách 2 đường thẳng AC va SB bằng khoảng cách từ AC tới mặt phẳng SBQ với Q nằm trên dường thẳng d Từ A kẻ AT vuông góc với SB khoảng cách cần tìm là AT=?

2 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC là tam giác dều cạnh

2.căn2.a và có SA vuông góc với đáy SA=a Gọi E;F là trung điểm của AB

và BC Tính khỏag cách SE và AF

Gợi ý

Chọn điểm rơi ở đây là A mọi khoảng cách ta quy về tìm khoảng cách giữa A và

mp P nào đó Qua E kẻ đường thẳng d song song với AF kẻAK vuông góc với d

kẻ AH vuông góc với SK Như vậy khoảng cách giữa hai dường thẳng AE và AF bằng khoảng cách từ A tới mặt phẳng SEK bằng khoảng cách từ A đến mp SEK

va bằng AH

Tam giác SAK là tam gíac vuông tại A.suy ra AH=a\can3

3 (ĐHKA 2011) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân tại B,

AB=BC=2a; hai mp SAB và SAC cùng vuông góc với mp ABC Gọi M là trung điểm của AB; mp qua SM và song song với BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai

mp SBC và ABC là 60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Gợi ý

Về câu thể tích chúng ta sẽ học vào năm lớp 12 dáp án V=a^2.3\2

Điểm rơi của bài toán ở đây là A vì vậy qua N kẻ đường thẳng d song song với AB

kẻ AD vuông góc với d kẻ AH vuông góc với SD Như vậy khoảng cách giữa haidt AB và SN bằng khoảng cách từ A dến mp SDN và bằng AH kết quả là AH=2a.(căn39)\13

4.(ĐHKA 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S trên mp ABC thuộc mp ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB góc giữa hai đt SC và mp ABC bằng 60 Tính V.SABC và khoảng cách hai đt SA và BC

Gợi ý

Góc cần tìm là SCH=60 suy ra V=(căn7).a^3\12

Điểm rơi của bài toán là H.Qua A kẻ đt d song song với BC mọi khoảng cách ta quy về tim khoảng cách từ H đến mp P nào đó Qua H kẻ HI vuông góc với d kẻ

HK vuông góc với SI Như vậy khoảng cách từ A đến mp SAI la HK=a

(căn42)\12 Bây giờ ta mới đi tìm khoảng cách theo yêu cầu bài toán Kéo dài HI cắt BC tại T ta có khoảng cách 2 đt BC và SA bằng khoảng cách từ T tới mp SAI

và bằng 3\2 khoảng cách từ H đến mp SAI suy ra đáp án là= a(căn42)\8

5.(ĐHKA 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a Gọi

M;N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mp ABCD và SH=a.căn3 và khoảng cách giữa hai đt DM

và SC

Gợi ý

Thể tích V=5.a^3.(căn3)\24

Điểm rơi của bài toán là điểm H Chúng ta sẽ quan tâm đến điểm H này nhiều hơn Qua C kẻ đường thẳng d song song với DM kẻ HQ vuông góc với d từ giả thiết bài toán ta sẽ suy ra ngay điểm Q trùng với điểm C Kẻ HK vuông góc với SQ Như vậy khoảng cách giữa hai đt DM và SC bằng khoảng cách từ H đến mp SCT(

T thuộc đt d) và bằng HK

Tính toán suy ra HK=a.(căn12)\(căn19).

6.(Thi thử ĐH Diển Châu 4) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy

và SA=a Biết ABCD là hình thang vuông tại A và B CB=2AB=2a và SC vuông góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đt AB và SM; với M là trung điểm của BC

Gợi ý

Điểm rơi của bài toán là A.Vì SC vuông góc với BD nên AC vuông góc với

BD( định lý về hình chiếu vuông góc trong SGK hình học 11) Từ dữ kiện này xin mời bạn đọc tính các cạnh của hình thang và từ đó suy ra V=?

Qua M kẻ đt d song song với AB cắt AD tại Q; kẻ AK vuông góc với SQ Như vậy khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng SMQ và bằng

AK thông qua các cạnh của hình thoi chúng ta có thể dễ dàng tìm được AK=?

Bài tập tự giải:

1 Tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B; AC=2a; SA vuông góc mp ABC và SA=a Tính khoảng cách từ trung điểm của AC tới mp SBC

ĐS: a\(căn6)

2 Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB

là tam giác đều nằm trong mp vuông góc với đáy Gọi M;N;P là trung điểm của các cạnh BC; SD; SB Tính khoảng cách giữa hai đt MN và AP

ĐS: a\2

3 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với AD=2a; AB=a, SA=a (căn2) là đường cao của hình chóp Gọi E là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đt AD và SE

ĐS: a.(căn2)\3

4 Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a,

OC=a(căn3) Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đt

AB và OM

ĐS: a.(căn15)\5

5.(ĐHKD 2011) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a,

BC=4a, mp SBC vuông góc với mp ABC Biết SB=2a(căn3) và góc SBC=30 Tính V SABC và khoảng cách từ B đến mp SAC

ĐS: V=2a^3.(căn3)

Khoảng cách= 6a\(căn7)

Thế nào bạn thấy phương pháp chọn điểm rơi của tôi hiệu quả chứ mọi ý kiến đánh giá xin mong các bạn cho lời nhận xét qua số điện thoại 09660… (Trích những mẹo vặt trong toán học của Tài pro nếu các bạn muốn tìm hiểu thêm một số mẹo vặt này để phục vụ ch o thi ĐH thì hãy liên hệ cho tôi).