Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học tổ hợp và số học (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu (từ tháng năm 2014 đến tháng năm 2015), sở tham khảo tài liệu, tham dự buổi hội thảo chuyên đề Toán học kinh nghiệm qua năm công tác ii Mục lục Mở đầu Phương pháp tọa độ tính chất liên quan 1.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian 1.1.1 Véctơ tọa độ đường thẳng 1.1.2 Véctơ tọa độ mặt phẳng 1.1.3 Véctơ tọa độ không gian 1.2 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng 1.2.1 Dạng toán phải chọn hệ trục tọa độ 1.2.2 Dạng toán cho trước hệ trục tọa độ 1.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp tọa độ khơng gian 1.3.1 Dạng tốn phải chọn hệ trục tọa độ 1.3.2 Bài tập tương tự 4 5 7 15 18 18 26 Phương pháp tọa độ hình học tổ hợp số học 30 2.1 Dạng tốn hình học tổ hợp 30 2.2 Dạng tốn mạng lưới vng 36 Một số đề toán Olympic 52 3.1 Đề toán phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian 52 3.2 Đề tốn hình học tổ hợp mạng lưới vuông 55 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 Mở đầu Lí chọn đề tài Chuyên đề phương pháp tọa độ có vị trí quan trọng tốn học bậc trung học phổ thơng Nó khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm hình học mà cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực giải tích, đại số, lượng giác ứng dụng khác Trong kỳ thi học sinh giỏi Tốn quốc gia, Olympic Tốn quốc tế toán liên quan đến dạng toán rời rạc hình học tổ hợp số học hay đề cập xem dạng toán thuộc loại khó Các tốn dạng thường đề cập chương trình tốn bậc trung học phổ thông Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ, luận văn "Phương pháp tọa độ hình học tổ hợp số học" nhằm cung cấp số phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận dạng tốn từ hình học tổ hợp số học liên quan Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa Lý thuyết cách giải dạng tập Hình học tổ hợp Số học phương pháp tọa độ đồng thời nắm số kỹ thuật tính tốn liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tốn Hình học tổ hợp Số học giải theo phương pháp tọa độ, tốn liên quan đến lưới vng 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, kỷ yếu hội thảo chuyên đề bồi dưỡng HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic; tủ sách chuyên Toán Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu bồi dưỡng cho giáo viên, bồi dưỡng HSG Tham gia buổi seminar: Các chun đề tốn phổ thơng, Các trường hè bồi dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn để trao đổi kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn chuyên đề hướng tới bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc học dạy chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo việc dạy học toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương trình bày phương pháp tọa độ tính chất liên quan Chương trình bày phương pháp tọa độ giải toán hình học tổ hợp số học Chương trình bày số đề toán thi Olympic Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình nghiêm túc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Giáo sư - người thầy truyền đạt nhiều kiến thức quý báu với kinh nghiệm nghiên cứu khoa học suốt thời gian tác giả theo học nghiên cứu đề tài Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; Phòng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin, thầy giảng dạy lớp Cao học K7N (Khóa 2013-2015) - trường Đại học Khoa học; Ban giám hiệu Trường THPT Trần Nhân Tông - Nghĩa Hưng - Nam Định gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả suốt q trình học tập, cơng tác thực đề tài luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Lại Tiến Đẩu Chương Phương pháp tọa độ tính chất liên quan 1.1 Phương pháp tọa độ mặt phẳng không gian Định nghĩa 1.1 (Hệ tọa độ Đề-các tổng quát hệ tọa độ trực chuẩn) a) Trục tọa độ đường thẳng chọn điểm O làm gốc → − − − véctơ → e (→ e khác ) Ta lấy điểm I đường thẳng cho −→ → OI = − e tia OI (có gốc O qua I ) gọi tia dương trục Ta ký hiệu tia Ox Tia đối tia Ox tia âm trục ký hiệu Ox Trục nói ký hiệu trục x Ox b) Trên mặt phẳng cho hai trục x Ox y Oy cắt O Các véctơ − − đơn vị → e1 , → e2 đặt Ox, Oy có chung gốc O Chú ý → − → − − véctơ e1 , → e2 khác , độ dài khác Hệ gồm hai trục cho gọi hệ trục tọa độ tổng quát hay hệ trục tọa độ − − Đề-các xiên góc mặt phẳng, ký hiệu Oxy Cặp véctơ (→ e1 , → e2 ) có thứ tự gọi sở hệ tọa độ Các trục x Ox, y Oy gọi trục hoành trục tung, O gốc tọa độ c) Trong không gian cho ba trục x Ox, y Oy , z Oz có chung gốc O − − − khơng nằm mặt phẳng Gọi → e1 ,→ e2 ,→ e3 véctơ đơn vị → − trục (đơn vị trục), véctơ khác − − − Hệ thống gồm ba trục cho với sở (→ e1 , → e2 , → e3 ) gọi hệ tọa độ Đề -các tổng quát không gian, ký hiệu Oxyz Điểm O gọi gốc tọa độ trục x Ox, y Oy, z Oz gọi trục hoành, trục tung trục cao d) Hệ tọa độ Đề-các vng góc Trong trường hợp trục tọa độ vng góc với đôi (ở O) − − véctơ đơn vị trục có độ dài, nghĩa |→ e1 | = |→ e2 | = → − → − → − (trong mặt phẳng) | e1 | = | e2 | = | e3 | = (trong khơng gian), hệ trục tọa độ Oxy (hay Oxyz ) gọi hệ tọa độ Đề-các vng góc hay hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng (hay không gian) 1.1.1 Véctơ tọa độ đường thẳng Trên đường thẳng có định hướng gốc O, điểm M gắn với tọa độ x ký hiệu M = (x) Giả sử hai điểm A, B nằm đường thẳng Ox có tọa độ A = (a), B = (b) số b − a gọi tọa độ véctơ −→ −→ −→ −→ AB , ký hiệu AB = (b − a) Độ dài véctơ AB , ký hiệu |AB| = |b − a| Với ba điểm A, B, C đường thẳng, ta có −→ −−→ −→ (a) AB + BC = AC ; −→ −−→ −→ (b) |AB| + |BC| ≥ |AC| −→ −−→ Dấu đẳng thức (b) xảy hai véctơ AB BC −→ −−→ hướng, tức tồn số k > cho AB = k BC có hai véctơ véctơ khơng 1.1.2 Véctơ tọa độ mặt phẳng − − Trên mặt phẳng xét hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc x Ox, y Oy với → e1 , → e2 véctơ đơn vị −−→ − − Nếu OM = x→ e1 + y → e2 x, y gọi tọa độ điểm M ký hiệu M (x; y) − − − Nếu → a = a1 → e1 + a2 → e2 a1 , a2 gọi tọa độ véctơ a ký hiệu → − a = (a1 ; a2 ) → − − Cho điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) véctơ → a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) Ta có, −→ AB = (xB − xA ; yB − yA ), → − → − a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ), → − → − − a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ), k → a = (ka1 ; ka2 ), → − a1 = b → − a = b ⇔ a2 = b → − → − → − a b (khác ) phương với a1 b2 = a2 b1 −→ −→ Độ dài AB |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 − − Độ dài véctơ → a |→ a | = a21 + a22 → − → − − − Tích vơ hướng hai véctơ → a b , ký hiệu → a b định nghĩa: → − → − → − → − − − a b = |→ a |.| b | cos(→ a , b ) → − − Biểu thức tọa độ tích vơ hướng → a b = a1 b1 + a2 b2 → − → − a vng góc với b a1 b1 + a2 b2 = Cơng thức tính góc hai véctơ: → − − cos(→ a, b)= a1 b + a2 b a21 + a22 b21 + b22 Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng( ) có phương trình Ax + By + C = là: d(M, ) = 1.1.3 |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B Véctơ tọa độ không gian − − − Trong không gian xét hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Oxyz với → e1 , → e2 , → e3 véctơ đơn vị −−→ − − − Nếu OM = x→ e1 + y → e2 + z → e3 ta gọi x, y, z tọa độ điểm M ký hiệu M (x; y; z) − − − − − Nếu → a = a1 → e + a2 → e + a3 → e3 ta gọi a1 , a2 , a3 tọa độ → a ký → − hiệu a = (a1 ; a2 ; a3 ) → − − Cho điểm A(xA ; yA ; zA ), B(xB ; yB ; zB ) véctơ → a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có −→ AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ), → − → − a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ), → − → − a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ), − k→ a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ),  a1 = b1 → − → − a2 = b2 a = b ⇔  a3 = b3 → − → − → − a b (khác ) phương với số (a ; a ; a ) tỉ lệ với số (b1 ; b2 ; b3 ) −→ −→ Độ dài AB |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 − − Độ dài véctơ → a |→ a | = a21 + a22 + a23 → − → − − − Tích vơ hướng hai véctơ → a b , ký hiệu → a b định nghĩa: → − → − → − → − − − a b = |→ a |.| b | cos(→ a , b ) ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI TIẾN ĐẨU PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01... học phổ thơng Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề ứng dụng phương pháp tọa độ, luận văn "Phương pháp tọa độ hình học tổ hợp số học" nhằm cung cấp số phương. .. phương pháp có tính hệ thống để tiếp cận dạng tốn từ hình học tổ hợp số học liên quan Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa Lý thuyết cách giải dạng tập Hình học tổ hợp Số học phương pháp tọa độ đồng