Ứng dụng phương pháp tọa độ trong hình học doc

NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC ứNG DụNG PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG HìNH HọC I.Kiến thức cơ bản : 1.Kiến thức : (Theo chơng trình Hình Học 10 nâng cao) Tọa độ của điểm, véc tơ trong mặt phẳng và các kiến thức liên quan. Đờng thẳng. Đờng tròn. Các đờng Cônic : Elip, Hyperbol, Parabol. 2.Các dạng bài toán áp dụng : .Bài toán hình học khó áp dụng đợc cho các tính chất hình học thuần tuý (hình học cổ điển) . .Bài toán hình học mà việc chứng minh hoặc tính toán quá phức tạp. .Bài toán hình học chứa đựng các yếu tố : tọa độ, véctơ, đờng Cônic . . . 3.Nhận dạng : .Dạng 1: bài toán hình giải tích thuần tuý (chứa đựng sẳn các yếu tố về hình giải tích) .Dạng 2: bài toán hình cổ điển chuyển về bài toán véc tơ (không sử dụng tọa độ) .Dạng 3: bài toán hình cổ điển chuyển về bài toán tọa độ. 4.Phơng pháp áp dụng : .Chọn hệ trục tọa độ thích hợp (hệ tọa độ Đêcac hoặc Afin) tùy theo bài toán sao cho việc tính toán đơn giản, dễ biểu diển. .Tìm toạ độ các đối tợng đã cho và các đối tợng liên quan. .Từ đó rút ra các tính chất hình học cần tìm theo yêu cầu của bài toán. II.Các bài toán minh họa : Bài 1: ( Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H, G lần lợt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đờng thẳng BC. Giải : Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC và trục Ox là đờng thẳng BC .Đặt 02 >= aBC . Khi đó tọa độ )0,(;)0,( aCaB . Giả sử 0),( 000 yyxA . Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phơng trình =+ = 0))(( 00 0 yyxaax xx 0 2 0 2 0 , y xa xH .Trọng tâm 3 ; 3 00 yx G , suy ra trung điểm + 0 2 0 2 0 2 0 6 33 ; 3 2 y yxax K .K thuộc đờng thẳng BC khi và chỉ khi )0(1 3 033 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 ==+ y a y a x yxa .Vậy quỹ tích A là hyperbol 1 3 2 2 2 2 = a y a x bỏ đi hai điểm B, C Bài 2 : ( Đề thi OLYMPIC Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Qua B dựng đờng thẳng d vuông góc với BC, d cắt đờng trung tuyến AI của tam giác ABC tại K.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng IH song song với KC. Giải : Chọn hệ trục Oxy với O trùng I và trục Ox là đờng thẳng BC. Đặt 02 >= aBC .Khi đó toạ độ )0;(;)0;( aCaB Giả sử tọa độ điểm );( 00 yxA với 0 0 y SƯU TầM Boxmath http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC ^y >x I H A K B C .Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phơng trình =+ = 0 2 0 2 0 00 0 ; 0))(( y xa xH yyxaax xx )(AIdK = là nghiệm hệ phơng trình = = x x y y ax 0 0 0 0 ; x y aaK với 0 0 x Theo giả thiết, ta có IH cùng phơng KC 0.2. 0 2 0 2 0 0 0 = y xa ax x y a 1 2 2 2 0 2 2 0 =+ a y a x Vậy quỹ tích A là elip 1 2 2 2 0 2 2 0 =+ a y a x bỏ đi 4 điểm B, C, )2;0( 1 aA , )2;0( 2 aA là 4 đỉnh của elip Bài 3: Trong mặt phẳng cho đờng tròn (O,R) và một điểm A cố định. I là điểm di động trên (O). Đờng tròn tâm I luôn đi qua A. Chứng minh rằng trục đẳng phơng của hai đờng tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định . Giải : Chọn hệ trục (Oxy) nh hình vẽ (OA là trục Oy) . Ta có A(0,b) , (O) : 222 Ryx =+ . Gọi I(m ; n) (O) 222 Rnm =+ và IA 222 )nb(m += . Vậy (I) : 2222 )bn(m)ny()mx( +=+ . Hay 0bnb2ny2mx2yx 222 =++ . Suy ra phơng trình của trục đẳng phơng của (O) và(I) là (d) : 2mx + 2ny 2nb + 0Rb 22 =+ . Ta có d(A,d) = R2 Rb nm2 Rbnb2nb2 22 22 22 = + + Bài 4: Cho tam giác ABC có đờng cao CH. Gọi I, K lần lợt là trung điểm của các đoạn AB, CH. Một đờng thẳng d di động luôn luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và cắt cạnh BC tại N. Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB. Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Giải : Chọn hệ trục Oxy sao cho HO , các điểm A, B nằm trên Ox, điểm C nằm trên Oy Ta có toạ độ các điểm H(0; 0), C(0; c) , A(a; 0) , B(b; 0). Đờng thẳg d có phơng trình y = m (0<m<c) (AC) : cx+ay-ac = 0 và (BC) : cx+by = 0 = ); )( m c mca MACdM , tơng tự m c mcb N ; )( http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC Điểm P là hình chiếu vuông góc của N trên Ox 0; )( c mcb P J là trung điểm của đoạn PM + 2 ; 2 ))(( m c mcba J Từ đó ta có + = 2 ; 2 cba IK và + = 2 ; 2 )( m c bam IJ Vậy IK cùng phơng IJ , nên ba điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 5 : Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a và (d) là đờng thẳng tùy ý cắt các đờng thẳng BC, CA, AB. Gọi x, y, z tơng ứng là các góc giữa đờng thẳng (d) và các đờng thẳng BC, CA, AB. Chứng minh : 16 1 cos.cos.cossin.sin.sin 222222 =+ zyxzyx . Giải : Chọn hệ trục tọa độ sao cho )0;(),0;(),3;0( aCaBaA . Khi đó )3;( aaAB = , )3;( aaCA = , )0;2( aBC = . Gọi );( 21 uuu = là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng (d). Ta có : + = 2 2 2 1 2 1 2 cos uu u x 2 2 2 1 2 2 2 sin uu u x + = ( ) + = )(4 3 cos 2 2 2 1 2 21 2 uu uu y ( ) )(4 3 sin 2 2 2 1 2 21 2 uu uu y + = ( ) + + = )(4 3 cos 2 2 2 1 2 21 2 uu uu z ( ) )(4 3 sin 2 2 2 1 2 21 2 uu uu z + = zyxzyxS 222222 cos.cos.cossin.sin.sin += ( ) ( ) ( ) ( ) 16 1 16 33 16 33 3 2 2 2 1 6 2 4 2 2 1 2 2 4 1 6 1 3 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 = + +++ = + + = uu uuuuuu uu uuuuuu . Bài 6 : Cho đờng d trên đó lấy một điểm A. Cho trớc hai số dơng a, b sao cho a>b. Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b và đờng thẳng d là phân giác của PAQ . ứng với mỗi cặp điểm P,Q xét điểm sao cho += AQAPAM .Tìm quỹ tích điểm M. Giải : Chọn hệ tục tọa độ nh sau : lấy A làm gốc tọa độ, trục hoành là d.Gọi M(x; y)Ta có : += AQAPAM );();();( QQPP yxyxyx += += += QP QP yyy xxx (1 ) Do AP = a và AQ = b nên =+ =+ 222 222 byx ayx QQ PP (2) Nếu phơng trình (AP): y = kx thì (AQ): y = -kx Từ (2) suy ra =+ =+ 2222 2222 bxkx axkx QQ PP http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC (1) 1 )()( 1 )( 2 1 )( 2 2 2 2 2 2 22 222 2 2 222 = + + + =++= + + =++= ba y ba x k bak yyyyy k ba xxxxx QPQP QPQP Vậy quỹ tích M là một elip Bài 7: Trên đờng thẳng d cho trớc, cho ba điểm A, B, C trong đó B nằm giữa A và C. Vẽ vòng tròn tiếp xúc với d tại B. Gọi M là giao điểm của hai tiếp tuyến với vòng tròn trên vẽ từ A và C. Tìm quỹ tích điểm M. Giải : Gọi các tiếp điểm nh hình vẽ, ta có == BCBAMCMA hằng số (1) .Nếu B là trung điểm của AC thì từ (1) MCMA = : quỹ tích M là trung trực của AC. .Nếu B không là trung điểm của AC thì từ (1): quỹ tích M là hyperbol nhận A, C làm tiêu điểm (nh hình vẽ) Bài 8 : Cho đờng thẳng d và một điểm A cố định không nằm trên d. P và Q là hai điểm di động trên d nhng PQ = a (trong đó a là số dơng cho trớc). Gọi M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Tìm quỹ tích điểm M. Giải : Dựng hệ trục tọa độ nh hình vẽ Gọi M (x; y), giả sử khoảng cách từ A đến d là h, khi đó A(0; h) Ta có 4 2 22 a MHMA = 4 )( 2 222 a yhyx =+ h ah x h y 422 1 2 2 += Vậy quỹ tích điểm M là một Parabol Bài 9: Qua tâm O của hai đờng tròn đồng tâm vẽ hai đờng thẳng vuông góc d 1 và d 2 . Đờng thẳng d di động quay quanh O về cùng một hớng cắt các vòng tròn nhỏ và lớn lần lợt tại A và B. Qua A vẽ đờng thẳng / 1 d song song d 1 và qua B vẽ đờng thẳng / 2 d song song d 2 . Tìm quỹ tích điểm / 2 / 1 ddM = . Giải : http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC Lập hệ trục tọa độ nhận d 1 , d 2 à trục Ox và Oy. Giả sử đờng thẳng d có phơng trình y = kx, A(x A ; y A ) , B(x B ; y B ). Từ giả thiết, ta có x = x B , y = y A Ta có =+ =+ 222 222 Ryx ryx BB AA và = = BB AA kxy kxy 2 22 2 2 2 2 1 ; 1 k rk y R R x AB + = + = Từ đó ta có 1 2 2 2 2 2 2 2 2 =+=+ r y R x r y R x AB Vậy quỹ tích điểm M là Elip 1 2 2 2 2 =+ r y R x Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các Cạnh BC, CA, AB lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho PB PA NA NC MC MB == . Chứng minh rằng MNCP và CP = MN Giải : Chọn hệ trục Oxy sao cho CO , tia Ox CA và tia Oy CB Ta có toạ độ các điểm C(0; 0) , A(1; 0) , B(0; 1). Từ giả thiết ta đặt k PB PA NA NC MC MB === Do đó ++ + + + + + = + = + = k k k P k k N k M CB k k CA k CP CA k k CN CB k CM 1 ; 1 1 0; 1 1 1 ;0 11 1 1 1 1 Từ đó MNCP k k k k CPMN = + + = 0 )1()1( . 22 2 2 2 2 )1( 1 = + + = CP k k MN Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi At là tia phân giác của góc A. Qua trung điểm M của cạnh huyền BC ta dựng đờng thẳng vuông góc với tia At cắt các đờng thẳng AB và AC lần lợt tại E và F. Chứng minh BE = CF. Giải : Chọn hệ trục Oxy sao cho AO , tia Ox AB và tia Oy AC Ta có toạ độ các điểm A(0; 0) , B(b; 0) , C(0; c). Dễ dàng ta tìm đợc toạ độ + 0; 2 cb E và + 2 ;0 cb F Từ đó suy ra 2 bc BE = và 2 cb CF = http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC Bài 12: Cho hai điểm A, B cố định và một đờng thẳng d vuông góc với AB, nhng không đi qua A, B. Môt điểm M chạy trên d.Tìm tập hợp giao điểm N của các đờng thẳng vuông góc với MA, MB tại AvàB. Giải : Chọn hệ trục Oxy sao cho ABdO = , tia Ox AB và tia Oy d Ta có toạ độ các điểm A(a; 0) , B(b; 0) , M(0; m).Gọi N(x; y) Khi đó =+ =+ = = 0)( 0)( 0. 0. myxbb myxaa NBMB NAMA Giải hệ ta đợc x = a+b. Vậy tập hợp giao điểm N là đờng thẳng vuông góc Ox tại H có hoành độ baOH += . Bài 13: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm I. Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng tâm của tam giác ADC. Chứng minh rằng AB = AC thì IE vuông góc với CD. Giải : Ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng với trung điểm BC, A thuộc Oy với A(0; a) , B(-c; 0) , C(c; 0).Khi đó ta có 2 ; 2 ac D , 2 ; 6 ac E Để tính tọa độ tâm );0( 0 yI , ta có 2 0 22 0 )( ycyaICIA +== a ca y 2 22 0 = Hệ số góc đờng thẳng IE là a c xx yy k IE IE 3 = = . Hệ số góc đờng thẳng CD là c a xx yy k CD CD 3 / = = Ta có CDIEkk = 1. / . Bài 14: Tìm quỹ tích những điểm M trên mặt phẳng có tổng khoảng đến một điểm cố định I và một đờng thẳng cố định bằng một số a dơng cho trớc. Giải : .Chọn hệ trục toạ độ vuông góc Oxy sao cho + O I + Ox và có phơng trình x d 0= > .Ta phải tìm quỹ tích những điểm M(x ; y) sao cho 2 2 x y x d a+ + = (1) .Nếu x d thì 2 2 2 2 x y x d x y d+ + + .Nếu x d< thì 2 2 2 2 x y x d d ( x y x) d+ + = + + .Nh vậy các trờng hợp xãy ra là d > a : quỹ tích M là tập rỗng d = a : từ lý luận trên (1) y 0 = , 0 x a : quỹ tích M đoạn thẳng nối từ I đến chân đờng vuông góc hạ từ I lên . http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC d < a : Khi x d , từ (1) 2 a d y 2(a d)( x) 2 + = + Khi x d< , từ (1) 2 a d y 2(a d)( x) 2 = + Nh vậy quỹ tích M là 2 nhánh của 2 Parabol(khoảng giữa S1,S2) có phơng trình nh trên. Bài 15: Cho hai đờng thẳng cắt nhau a và b . Tìm tập hợp những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ đó tới a và b luôn luôn bằng số 1 không đổi . Giải : Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là giao điểm của a và b , Ox là đờng thẳng a sao cho đờng thẳng b có phơng trình y = kx (k > 0) Giả sử M(x ; y) là điểm nào đó , kẻ MA a , MB b . Khi đó , ta có thể tính đợc các khoảng cách MA và MB : 2 , 1 kx y MA y MB k = = + Vậy , với điều kiện bài toán là 2 1 1 kx y y k + = + (1) . Ta chia các trờng hợp sau : a) 0y và y kx . Dễ thấy rằng khi đó M nằm trong góc xOz . ( ) 2 2 2 (1) 1 1 1 1 0 (2) 1 kx y y kx k y k k + = + + + = + Nh vậy , tập hợp M là phần đờng thẳng (2) nằm trong góc xOz , tức là đoạn PQ (hình vẽ) . b) 0y và y kx . Khi đó M nằm trong góc zOx và : ( ) 2 2 2 (1) 1 1 1 1 0 (3) 1 kx y y kx k y k k + + = + + + + = + Nh vậy tập hợp M là phần đờng thẳng (3) nằm trong zOx, tức là đoạn thẳng PR (hình vẽ) . Dễ thấy rằng tích vô hơng của hai vectơ pháp tuyến : ( ) ( ) 2 2 ; 1 1 , ; 1 1 PQ PR n k k n k k= + = + + bằng 0 , tức là PQ PR Tơng tự nh trờng hợp a) và b) , ta xét các trờng hợp : c) 0y và y kx d) 0y và y kx , Ta đi đến kết luận :Tập hợp các điểm M là một hình chữ nhật QPRS có tâm là O và hai đờng chéonằm trên a và b. Bài 16: Cho hai điểm A, B cố định, AB = a không đổi và hai điểm C, D di động sao cho CD = b không đổi, AB cùng hớng CD , AC + BD = 2(a+b). Tìm quĩ tích giao điểm M của AD và BC. Giải : Vẽ // , // ( , )ME AC MF BD E F AB Ta có: ; MB AB a MA AB a MC CD b MD CD b = = = = http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC Suy ra: ; BE MB a AF AM a BA BC a b AB AD a b = = = = + + 2 2 , a a BE AF a b a b = = + + Suy ra: E và F cố định. Vì ; ME BM a MF AM a AC BC a b BD AD a b = = = = + + nên . . , a AC a BD ME MF a b a b = = + + Suy ra: .( ) 2 a AC BD ME MF a a b + + = = + không đổi. Chọn hệ trục Oxy nh hình vẽ, với O là trung điểm của EF. Ta có tập hợp điểm M là một Elip nhận E và F làm hai tiêu điểm, có độ dài trục lớn là 2a Bài 17: Hình bình hành ABCD thay đổi trong đó A và D cố định thoả: AC BD AD BA = . Tìm tập hợp điểm B và C . Giải : Trong mặt phẳng Oxy , chọn (0;0)A O ; ( ;0)D a với AD a= (không đổi) Theo giả thiết hình bình hành ABCD thay đổi nên lấy ( ; )B x y và ( ; )C x a y+ bất kỳ với điều kiện 0y . Khi đó: AC BD AD BA = . .AC BA AD BD = 2 2 2 2 2 2 ( ) . . ( )x a y x y a x a y + + + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ).( ) .( 2 )x y ax a x y a x y ax a + + + + = + + 2 2 2 2 2 3 4 ( ) 2 ( ) 2 0x y ax x y a x a + + + + = (*) ((*) là phơng trình bậc hai với ẩn 2 2 ( )x y+ ) Tính / 2 3 4 2 2 ( ) (2 ) ( )ax a x a a ax = = 2 2 2 2 2 2 ( ) (*) ( ) x y ax a ax x y ax a ax + = + + = (vo õlyự) 2 2 2 2x ax y a + + = 2 2 2 ( ) 2x a y a + + = Vậy tập hợp điểm B là đờng tròn ( )C có tâm ( ;0)I a , bán kính 2 B R a= , bỏ hai điểm ( ) ( ) 2 1 ;0a + và ( ) ( ) 2 1 ;0a Do tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có BC AD= . Vậy tập hợp điểm C là đờng tròn / ( )C là ảnh của đờng tròn ( )C qua phép tịnh tiến theo AD . Đờng tròn / ( )C có tâm (0;0)A O , bán kính 2 C R a= , bỏ hai điểm ( ) 2;0a và ( ) 2;0a . Bài 18: Cho đờng tròn (C) tâm O và tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) tại một điểm A cố định trên (C). M là một điểm trên mặt phẳng, kẻ tiếp tuyến MT với (C) và hạ MH vuông góc với d. 1.Tìm quỹ tích các điểm M thỏa MT = MH. 2. Chứng minh các đờng tròn tâm M bán kính MT luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định. Giải : http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC 1.Chọn hệ trục Oxy sao cho A là gốc tọa độ, tia Ox AO và tia Oy d.Khi đó O(R; 0), giả sử M(x; y) Ta có 2222 RMOMTMHMTMH === 2222 )( RyRxx += Rxy 2 2 = . Vậy quỹ tích M là parabol 2.Theo đn của parabol, ta có MF = MH 1 = MH + R/2 Suy ra MF = MT + R/2 , điều này chứng tỏ đờng tròn tâm M bán kính MT tiếp xúc đờng tròn cố định tâm F bán kính R/2. Bài 19: Cho hình vuông cố định. Tìm tập hợp những điểm M trong hình vuông đó và thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh của hình vuông cùng xuất phát từ một đỉnh bằng bình phơng khoảng cách từ điểm M đến đờng chéo của hình vuông không đi qua đỉnh đó. Giải : Không giảm tính tổng quát, xét hình vuông có cạnh 2 . Đặt hình vuông ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy sao cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0).Gọi M(x;y) là điểm ở trong hình vuông ABCD, hạ MN,MP, MQ lần lợt vuông góc với BD, DA, AB tại N, P, Q. Do đó: MP.MQ = MN 2 (1) ( xét 2 cạnh hình vuông phát xuất từ đỉnh A) AB: x y + 1 = 0, AD: x + y 1 = 0. (1) 2 2 2 2 | x y 1| | x y 1| . | y | | x (y 1) | 2y 2 2 + + + = = M(x;y) ở trong hình vuông nên x y + 1 > 0, và x + y 1 < 0. Do đó: x 2 (y 1) 2 = (x y + 1)(x + y 1) < 0 nên (1) x 2 (y 1) 2 =- 2y 2 x 2 + (y+1) 2 = 2 Vậy tập hợp các điểm M là cung BD, cung # đờng tròn C, bán kính R = 2 .Từ kết quả trên ta kết luận: Tập hợp các điểm M là 4 cung # đờng tròn tâm là các đỉnh của hình vuông và có bán kính bằng cạnh của hình vuông. Bài 20: Cho đờng thẳng cố định a và một điểm A cố định trên a. Gọi (C) là đờng tròn lu động ở trong một nữa mặt phẳng () có bờ a. (C) có bán kính không đổi R và luôn tiếp xúc với a, gọi M là tiếp điểm. Gọi I là tâm của đờng tròn (C).Chứng minh rằng trong mặt phẳng chứa đờng tròn (C), có một parabol (P) cố định sao cho trục đẳng phơng của (C) và đờng tròn đờng kính AI luôn luôn tiếp xúc (P) khi M thay đổi trên a. Giải : Trong mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, với Ox trùng với a, nữa mặt phẳng là nữa mặt phẳng y > 0, O trùng A. Đặt M(m;0) có tâm I(m;R). Phơng trình của (C) là: (C): (x - m) 2 + (y - R) 2 = R 2 hay C): x 2 + y 2 2mx 2Ry + m 2 = 0. Phơng trình đờng tròn đờng kính AI là: (C): (x m/2) 2 + (y R/2) 2 = 2 2 m + R 4 hay (C): x 2 + y 2 mx Ry = 0. Phơng trình trục đẳng phơng của hai đờng tròn (C) và (C) là: (d): mx + Ry m 2 = 0 (d): y = f(x) = - 2 m m x R R + . Xét hàm số y = g(x) = 2 1 x 4R . http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC Hệ 2 2 2 m m 1 x x f(x) g(x) (x 2m) 0 R R 4R x 2m f '(x) g'(x) m x x 2m R 2R + = = = = = = = . Vậy Parabol y = f(x) = 2 1 x 4R luôn tiếp xúc với trục đẳng phơng (d). Bài 21: Cho tam giác với 3 cạnh a, b, c mà 3 đỉnh có tọa độ nguyên. Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác. CMR: abc 2R. Giải : Gọi tam giác là A 1 A 2 A 3 nh hình vẽ 1 2 3 A A A abc S S 4R = = Do đó yêu cầu bài toán chứng minh 1 S 2 Giả sử: A 1 (x 1 , y 1 ), A 2 (x 2 , y 2 ), A 3 (x 3 ,y 3 ).Gọi A 1 , A 2 , A 3 là hình chiếu của A 1 , A 2 , A 3 lên Oy. Ta có: S = ' ' ' ' ' ' 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 AA A A AA A A A A A A S S S ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 3 3 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 1 3 2 3 A A A A A A A A A A A A A A A A A A 2 2 2 + + + = 2S = (y 1 y 2 ) (x 1 + x 2 ) - (y 1 y 3 ) (x 1 + x 3 ) - (y 3 y 2 ) (x 2 + x 3 ) (*)Vế trái (*) là số nguyên (do đề bài cho x i , y i nguyên) 2S là số nguyên 2S 1 S # Bài 22 : Trên mặt phẳng xét một hình vuông ABCD và một tam giác đều EFG cắt nhau tạo thành một thất giác lồi MBNPQRS.Chứng minh rằng nếu SM = NP = QR MB = PQ và BN = RS. Giải : Chọn hệ trục Axy nh hình vẽ. Gọi a là cạnh của hình vuông. Ta có A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a),M(m; 0), N(a; n), P(p; a), Q(q; a), R(0; r), S(0; s) .Nếu SM = NP = QR Ta có === GEkQRFGkNPEFkSM ,, với EF SM k = Ta có =++=++ 00 QRNPSMEGFGEF = = = = =+ =+ RSBN PQMB srn qpma rns qapm 0 0 .Nêú MB = PQ và BN = RS thì =+=+ 0,0 RSBNPQMB kết hợp =++++++ 0RSQRPQNPBNMBSM =++ 0QRNPSM =++ 0GEzyFGEFx = FGyzEFzx )()( Vì FGEF , không cùng phơng nên == zyx SM = NP = QR. http://ebooktoan.com/forum [...]... ra AB 2 + AC 2 = 4R 2 Ta có AB 2 + AC 2 = (a 2 + b 2 ) + (a 2 + 4 2 2 E O B BàI TậP : ứNG DụNG HìNH HọC GIảI TíCH THUầN TúY D C >x Bài 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2) Đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y -1 = 0, khoảng cách từ C đến bằng 2 lần khoảng cách từ B đến Tìm tọa độ của A và C, biết rằng C nằm trên trục tung Bài 2 : Cho điểm A(1; 0) và hai đường tròn... A, B Viết phương trình đường thẳng d sao cho + 2 OA OB 2 nhất BàI TậP : ứNG DụNG HìNH HọC GIảI TíCH VàO BàI HìNH HọC TổNG HợP Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau Chứng minh rằng GH // BC tan B + tan C = 2 tan A Bài 2 : Cho tam giác ABC đều cạnh a Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn : 4 MA 2 2 MB 2 MC 2 = 6a 2 AC BD Bài 3 : Trên đoạn AD cố định, dựng hình bình... chứng tỏ (d) đi qua H 0 ; là trực tâm tam giác ABC a Vậy AD max = AH, khi (d) đi qua H và song song với BC Bài 2: Cho hình vuông ABCD có E trung điểm BC M là điểm di động trên cạnh AB Gọi N, P lần lượt là giao điểm của MD và MC với AE Gọi H là giao điểm của NC và DP, I là giao điểm của đường trung trực đoạn DH với đường thẳng vuông góc với AH tại H Chứng minh khi M di động trên cạnh AB thì I di động... thẳng AC tại Q Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di động trên (d) Giải: Chọn hệ trục như hình vẽ O D , Oy DA Khi đó Ox song song (d), A(0;a), B(b; c) , C(-b; -c) Phương trình đường thẳng AB : (a c) x + by ab = 0 AC : (a + c) x by + ab = 0 M ( xM ; d ) b + xM b xM Khi đó (d1 ) : x = , (d 2 ) : x = 2 2 Từ đó suy ra tọa độ P = d1 AB , Q... (C1 ) và C (C 2 ) Tìm tọa độ B, C để diện tích tam giác ABC lớn nhất http://ebooktoan.com/forum NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC Bài 3 : Cho đường thẳng : 3 x + 4 y 25 = 0 , điểm M chạy trên Trên tia OM lấy N sao cho OM.OM = 1 Chứng minh N chạy trên đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó Bài 4 : Cho parabol y = x 2 ( P ) và đường thẳng y = mx 1 (d ) Chứng minh khi m thay đổi đường... vuông góc PQ có phương trình b2 bc 2 yd + =0 b x (ax M bc) a a ^y A C D B >x F E (d) M bc b2 Suy ra đường thẳng đi qua điểm cố định ; d a a Bài 4: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB 2 + AC 2 = 4R 2 (trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Giải: Chọn hệ trục như hình vẽ ^y Theo... tại P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với (d) cắt đường thẳng AC tại Q Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di động trên (d) Bài 8 : Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB 2 + AC 2 = 4R 2 (trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) NGUYễN VĂN TRUNG... Tìm quỹ tích điểm B = AD AB Bài 4 : Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2 Gọi M là trung điểm cạnh CD, N là điểm di động trên cạnh BC sao cho BC = n (0 n 1) và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho DP song song với MN Chứng minh đường thẳng PN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Bài 5 : Cho tam giác ABC nhọn (D) là một đường thẳng thay đổi Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C lên (D)... hợp các điểm P khi m thay đổi Bài 6 : Cho elip (E) có tiêu điểm F Ba tia xuất phát từ F cắt (E) tại M, N, P Chứng minh 1 1 1 + + FM FN FP không đổi khi M, N, P thay đổi Bài 7 : Trên mp Oxy cho ba đường thẳng d1 : 3x y 4 = 0 , d 2 : x + y 6 = 0 , d1 : x + 3 y 3 = 0 Tìm các độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng A và C thuộc d 3 , B thuộc d1 , D thuộc d 2 Bài 8 : Trên mp Oxy cho ba đường thẳng... rằng AD 2 tan A + BE 2 tan B + CF 2 tan C = 2 S ABC Xác định vị trí của đường thẳng (D) để AD lớn nhất Bài 6 : Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB 2 + AC 2 = 4R 2 (trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Bài 7 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AD Xét . PHNG PHP TA VO HèNH HC ứNG DụNG PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG HìNH HọC I.Kiến thức cơ bản : 1.Kiến thức : (Theo chơng trình Hình Học 10 nâng cao) Tọa độ của điểm, véc tơ trong mặt phẳng và các kiến. toán áp dụng : .Bài toán hình học khó áp dụng đợc cho các tính chất hình học thuần tuý (hình học cổ điển) . .Bài toán hình học mà việc chứng minh hoặc tính toán quá phức tạp. .Bài toán hình học chứa. về bài toán véc tơ (không sử dụng tọa độ) .Dạng 3: bài toán hình cổ điển chuyển về bài toán tọa độ. 4.Phơng pháp áp dụng : .Chọn hệ trục tọa độ thích hợp (hệ tọa độ Đêcac hoặc Afin) tùy theo