Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài toán của hình học tổng hợp trong mặt phẳng

Khãa ln tèt nghiƯp GVHD: Th.s Phan Hång Tr•êng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình Tốn nhà trường phổ thơng, em học sinh làm quen với khái niệm “lồi” từ cấp hai học mơn hình học Hầu hết chương trình học bậc trung học sở trung học phổ thơng giới hạn hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn đến khối đa diện lồi hình chóp, hình lăng trụ khối tròn hình nón, hình trụ, hình cầu Việc sử dụng tính chất tập lồi bao lồi công cụ hữu hiệu để giải tốn hình học, đặc biệt tốn hình học tổ hợp Với mong muốn nghiên cứu sâu vấn đề nhằm chuẩn bị cho lượng kiến thức tốt cho cơng việc giảng dạy sau nên em chọn đề tài: “Ứng dụng tính chất tập lồi bao lồi giải số tốn hình học tổ hợp mặt phẳng” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu kiến thức tập lồi bao lồi - Làm rõ tính ưu việt việc ứng dụng tính chất tập lồi bao lồi giải toán hình học tổ hợp mặt phẳng Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức tập lồi bao lồi - Phạm vi nghiên cứu: Một số tốn hình học tổ hợp ứng dụng tính chất tập lồi bao lồi mặt phẳng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng tính chất tập lồi bao lồi vào tốn hình học tổ hợp mặt phẳng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu, phân tích tài liệu Nguyễn Thị Nhung K33A - Tốn Khãa ln tèt nghiƯp Nguyễn Thị Nhung GVHD: Th.s Phan Hång Tr•êng K33A - Tốn - Sưu tầm, giải quết toán Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo đề tài gồm có chương: - Chương 1: Tập hợp lồi - Chương 2: Bao lồi mặt phẳng E - Chương 3: Ứng dụng tính chất tập lồi bao lồi giải số tốn hình học tổ hợp mặt phẳng E Các khái niệm tính chất tập lồi bao lồi trình bày chương chương Đó kiến thức cần thiết sử dụng chương Chương đề cập đến phương pháp chung để giải tốn hình học tổ hợp sử dụng phép lấy bao lồi sau tập minh họa cho phương pháp Đây phần nội dung đề tài NỘI DUNG Chương 1: TẬP HỢP LỒI 1.1, Một số kiến thức bổ trợ 1, Cho điểm M, đó: - Nếu M nằm đường thẳng có định hướng ( trục số E ), M có tọa độ x ta hay viết M (x) - Nếu M nằm mặt phẳng tọa độ Oxy (E ), M có tọa độ (x,y) ta hay viết M (x, y) - Nếu M nằm không gian Oxyz ( E ), M có tọa độ (x, y, z) ta hay viết M(x, y, z) uuuur 2, Gọi O gốc tọa độ ta cho tương ứng M với OM , uuuur biết tọa độ điểm M tọa độ vec tơ OM Dựa vào phép tính vec tơ, ta đưa khái niệm sau: - Nếu M (x) (M (x, y); M( x, y, z)) điểm thuộc E (E , E ) điểm λM điểm có tọa độ λx ( (λx, λy); ( (λx, λy, λz) ) với λ số thực tùy ý - Nếu M (x1); N (x2) điểm thuộc E , điểm M+ N điểm có tọa độ x1 + x2 (định nghĩa tương tự E , E ) Thí dụ E xét điểm M( x1, y1), N( x2, y2) ta hiểu điểm λM + µN điểm E có tọa độ là: ( λ x1 + µ x2; λy1 + µ y2) 3, Cho điểm M, N tập hợp: MN= { λM + (1- λ) N: ≤ λ ≤ 1} gọi đoạn thẳng nối M với N +, Khi λ =0 λM + ( 1- λ) N = N, mút bên phải N +, Khi λ =1 λM +( 1- λ) N = M, mút bên trái M Người ta dùng khái niệm: MN = { λM +µ N : λ ≥ 0; µ ≥ 0; λ+ µ= 1} ®ể đoạn thẳng có đầu mút M N 4, Có tập hợp A B Khi đó: A+ B= {c: c= a+b, với a λA= { c: c= λa với a A, b B} A} Thí dụ: Trong E cho A= [ 1; 3]; B= [ 2; 6] A+ B= [3; 9]; 2A= [2; 6] 1.2, Định nghĩa tập hợp lồi Tập hợp D gọi tập hợp lồi với hai phần tử a b D, D, với số λ ( 0≤ λ ≤ 1) phần tử λa + (1- λ) b thuộc tập hợp D *Chú ý: Như nói phần trên, tập hợp { λa + (1- λ) b : 0≤ λ ≤1 } đoạn thẳng nối phần tử a với b Vì mặt hình học ta hiểu sau: D tập hợp lồi với hai điểm A, B Thí dụ: D, tồn đoạn thẳng AB thuộc tập hợp D -Trong E đoạn thẳng, khoảng tập hợp lồi -Trong E đa giác lồi, hình tròn tập hợp lồi -Trong E tứ giác ABCD tập hợp lồi 1.3, Một số tính chất tập hợp lồi mặt phẳng E Mệnh đề Giao tập lồi tập lồi, tức: Nếu Di tập hợp lồi, với I tập số D = X(i Di (i I) tập hợp lồi - Chứng minh: Lấy a, b tùy ý thuộc D λ số thực tùy ý cho ≤ λ ≤ Với i I, Di tập hợp lồi mà a, b nên: λa + (1- λ)b Di ( i I) I) Di ( i I) Giả sử n > Khi tồn điểm M số n điểm cho cho M nằm hẳn bên hình bình hành ABCD Xét chẳng hạn với điểm A, B, M Theo giả thiết ln tìm điểm thứ ( số n điểm cho), với A, B, M tạo thành hình bình hành Dễ thấy ứng với điểm A, B, M có hình bình hành AMBE, ABMF, ABKM Vì K, E, F nằm ngồi hình bình hành ABCD Điều chứng tỏ ta gặp mâu thuẫn điểm số n điểm phải nằm bao lồi, K, E, F khơng thuộc hình bình hành bao lồi ABCD Vì lẽ bao lồi hình bình hành ABCD ngồi điểm A, B, C, D khơng có điểm khác, tức n= Kết luận toán trường hợp 2, Bao lồi hình bình hành Giả sử AB BC cạnh bao lồi Kẻ đường thẳng tựa song song với AB BC Giả sử đường thẳng tựa qua đỉnh P Q (trong số điểm cho) Xét với điểm P, B, Q đỉnh E, F, K hình bình hành BPQE, BQPF, BPKQ nằm ngồi bao lồi Chúng nằm ngồi hình bình hành tạo đường thẳng tựa ( ngoại trừ trường hợp P Q đỉnh hình bình hành đó) Trong trường hợp đỉnh thứ khơng thuộc bao lồi, bao lồi khơng hình bình hành Điều vơ lí chứng tỏ khơng thể xảy trường hợp Vì lẽ tốn giải hồn tồn *Chú ý: -Đối với đa giác lồi ta gọi đường thẳng tựa đa giác qua đỉnh đa giác có tính chất đa giác nằm phía so với - Rõ ràng rằng, đa giác lồi tồn đường thẳng tựa song song với đường thẳng cho trước Trong hình vẽ ABCDE đa giác lồi, l đường thẳng cho trước Còn đường thẳng tựa song song với l Nguyễn Thị Nhung K33A - Toán Nguyễn Thị Nhung K33A - Toán KẾT LUẬN Như việc sử dụng tính chất tập lồi bao lồi cho phép thành công việc giải nhiều tốn hình học, đặc biệt tốn hình học tổ hợp Tuy nhiên tùy tốn cụ thể mà ta sử dụng phép lấy bao lồi thích hợp để vừa sử dụng tính lồi tốn lại khơng làm phúc tạp toán lên nhiều Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cơ, bạn góp ý nhận xét để đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn thày giáo trường, đặc biệt thầy giáo, giảng viên chính, thạc sĩ Phan Hồng Trường tận tình giúp đỡ em hồn thành đề tài Nguyễn Thị Nhung 99 K33A - Toán Nguyễn Thị Nhung 100 K33A - Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Huy Khải (2007), “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THPT: Giải tích lồi toán sơ cấp” Phan Huy Khải (2007), “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT: Các tốn hình học tổ hợp” Phạm Khắc Ban, Phạn Bình Đơ (2008), “Hình học afin hình học Euclide ví dụ tập” Văn Như Cương, Tạ Mân (1998), “Hình học afin hình học Euclide” LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo, thạc sĩ Phan Hồng Trường, khóa luận em đến hồn thành Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu trrong thời gian em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn tạo điều kiện tốt cho em thời gian em làm đề tài Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế thời gian kiến thức nên chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Nhung LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận kết trình học tập, nghiên cứu em với giúp đỡ thầy cô, bạn sinh viên khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Phan Hồng Trường Trong q trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Khóa luận: “Ứng dụng tính chất tập lồi bao lồi giải số tốn hình học tổ hợp mặt phẳng” khơng có trùng lặp với khóa luận khác Nếu sai em xin hồn toàn chịu trách nhiệm MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương 1: Tập hợp lồi 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.2 Định ngĩa tập hợp lồi 1.3 Một số tính chất tập hợp lồi mặt phẳng 1.4 Một số tập tập hợp lồi Chương 2: Bao lồi mặt phẳng E 13 2.1 Định nghĩa bao lồi 13 2.2 Một số tính chất bao lồi mặt phẳng E 13 2.3 Một số toán bao lồi họ hữu hạn điểm E 16 Chương 3: Ứng dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi giải số tốn hình học tổ hợp mặt phẳng E .28 3.1 Phương pháp chung để giải tốn hình học tổ hợp mặt phẳng E .28 3.2 Một số tập ứng dụng 29 Kết luận Tài liệu tham khảo ... -Trong E tứ giác ABCD tập hợp lồi 1.3, Một số tính chất tập hợp lồi mặt phẳng E Mệnh đề Giao tập lồi tập lồi, tức: Nếu Di tập hợp lồi, với I tập số D = X(i Di (i I) tập hợp lồi - Chứng minh: Lấy a,... tất tập hợp lồi chứa tập hợp cho *Chứng minh: Gọi M tập hợp mặt phẳng E Trước hết ta thấy rằng: Z Thật vậy, toµn mặt phẳng E tập hợp lồi chứa M Vì Cα tập hợp lồi nên ta biết giao tập hợp lồi tập. .. ( hình trßn đơn vị) 2.2, Một số tính chất bao lồi mặt phẳng Euclide E 2.2.1: Mệnh đề Gọi Z= { α: Cα tập hợp lồi chứa M} Trong M tập hợp cho trước Khi C (M) = Cα (α Z) Nghĩa là: bao lồi tập hợp