Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài toán của hình học tổng hợp trong mặt phẳng

NỘIDUNGChươn g1:TẬPHỢPLỒIsẽ làđiểmcó tọađộlàλM xλM x,λM y;λM x,λM y,λM z vớiλM làsốthựctùyý... Bài4:ChoGlàmộtđ agiáclõm.Chứngminhrằngtồntạimộtđ a giáclồiHsa ochoHcóchuvinhỏhơnchuvicủaG,n

3 Đốitượng,phạmvinghiêncứu.

- Đốitượngnghiêncứu:Kiếnthứcvềtậplồivàbaolồi

- Phạmvinghiêncứu:Mộtsốbàitoánhìnhhọctổhợpứngdụngtínhchấtcủatậplồivàbaolồitrongmặtphẳng

KhãaluËntètnghiÖp GVHD:Th.sPhanHångTr•êng

Cáckháiniệmcơbảncũngnhưcáctínhchấtcơbảncủatậplồivàbaolồiđượctrìnhbàytrongchương1vàchương2.Đólànhữngkiếnthứccầnthiếtđượcsửdụngtrongchương3.Chương3đềcậpđếnphươngphápchungđ ể giảicácbàitoánhìnhhọctổhợpsửdụngphéplấybaolồivàsauđólàcácbàitậpminhhọachophươngphápnày.Đâyc ũ

n g chínhlàphầnnộidungchínhcủađềtài

NỘIDUNGChươn g1:TẬPHỢPLỒI

sẽ làđiểmcó tọađộlàλM x((λM x,λM y);((λM x,λM y,λM z) )vớiλM làsốthựctùyý

A, b B}

A}

D,

MN={λM M+µN:λM ≥0;µ≥0;λM +µ=1}®ểchỉđoạnthẳngcó2đầumútlà M vàN.4,Có2tậphợpAvàB.Khiđó:

ĐặtC=A+B,thìC={c:c = a+b, vớia

Lấyc1,c2t ù yýthuộcC,và 0≤λM ≤1làsốthựctùyý

DD

1 0 NguyễnThịNhung

1 0 NguyễnThịNhung

C,C

ở đâyJ làtậphợphữuhạn

KhiđóC(M)=A,TứclàbaolồicủaMtrùngvớitậptấtcảcáctổhợptuyếntínhlồicácđiểmcủa M

2,Nếutồntại4trong5điểm(chẳnghạnA,B,C,D)tạothànhmộttứgiáclồi.TheogiảthiếtđiểmcònlạiEkhôngthểnằmtrêncácđườngthẳngAB,BC,CD,

Khiđóbaolồilàngũ giác(ABCDE).

-NếuEnằmởcỏcgúc5, 6, 7hoặc8(chẳnghạnEthuộcgúc5)

Khiđúbaolồilà tứgiỏc(ABCE)

3,Xộtmộttamgiỏcbấtkỡ(chẳnghạnABC)

NguyễnThịNhung 2 K33A-Toán

0

GọiGlàbaolồicủaF.KhiđótồntạiđỉnhAcủaFnằmbêntrongG.DoGlàđagiáclồivàAnằmbêntrongGnênkhichiaGthànhcáctamgiácbởicácđườngchéocùngxuấtpháttừmộtđỉnhnàođócủaG.Khiấytacó4điểm (Avà

22

NguyễnThịNhung

( G)bởi2tậplồitùyý(khôngcầnthiết(F),(G)là cácđagiáclồi)

Bài4:Cho(G)làmộtđ agiáclõm.Chứngminhrằngtồntạimộtđ a giáclồi(H)sa

ocho(H)cóchuvinhỏhơnchuvicủa(G),nhưng(H)lạicódiệntíchlớnhơndiệntíchcủa(G)

Vìlẽ ấychuvicủa(H)nhỏhơnchuvicủa(G).( đpcm)

*Chúý:

Tacóthểthayđagiáclõm(G)bằngmộthìnhkhônglồikhiđó(H)làhìnhlồi,kếtquảvẫnđúng

Bài5:Chứngminhrằngtổngcácgócngoàicủamộtđagiácbấtkìkềbùvớicác

Lờigiải

Chỉcó2trườnghợpsauđâyxảyra:

đagiácl õ m ởtrong.Rõràngsốcá c góctrongcủađagiáclõmlớnh ơn sốcá c góctrongcủađagiácbaolồi.

S’2 >

(F)(F)

Mỗigóctrongcủađagiácbaolồiđềukhôngnhỏhơnmỗigóctrongcùngđỉnhcủađagiáclõm(thídụtrênchotagóctrongBcủađagiácbaolồivàđagiáclõmlàbằngnhau,còncácgóctrongA,C,E,Kcủađagiácbaolồilớnhơncácgóctrong

Bài 6:Chomộthình(F).Tagọid làđườngkínhcủa(F)vớidđượcxácđịnhnhư

M NCho1đagiáctùyýcóncạnh(n-

- Giảsửkếtluậnđãđúngđếnn-giác.

-

Xéttrườnghợp(n+1)-giác.XéthệHgồmn+1điểm(n+1đỉnhcủađagiácnày).Trướchếttacầnchúýrằngđườngkínhcủamộtđagiáctùyýchỉcóthểlànhữngđoạnthẳngnối2đỉnhcủađagiácđó.Đóchínhlàlídovìs a o tachỉcầnxétđếnhệ Hcácđỉnhcủađagiác

Chỉcó2khảnăngxảyra:

1,Nếutạimỗiđỉnhcủađagiáccókhôngquá2đườngkínhcủahệHđiquanó.TrongtrườnghợpnàysốđườngkínhcủaHkhôngvượtquá

2

1=

Thậtvậy,nếuBlàđiểmtùyýcủahệ,thìdoAB≤d,nênBnằmtronghìnhtròn(A, d);ởđâyd làđộdàiđườngkính

GiảsửBA3=dthìBnằmngoàihìnhquạttạonênbởigiớihạnbởiAvàcung¼A1 A2.Khôngmấttổngquátcóthểchol à B A3cắtAA1.Nhưv ậ y trongtứgiácABA3A2,t a

,BC,CA

Ngũgiácđềucó5đườngkính:AC,AD,BE,BD,CE

Chương3:

ỨNGDỤNGTÍNHCHẤT

CỦATẬPHỢPLỒIVÀBAOLỒI,GIẢIMỘTSỐ

BÀITOÁNCỦAHÌNHHỌCTỔHỢPTRONGM ẶTPHẲNGE 2

gphéplấybaolồi

Tậphợplồicómộtđặctrưngcơbảnlàkhinóchứa2điểm,thìnósẽchứatoànbộđoạnthẳngnối2điểmấy.Tínhchấtưuviệtnàyđượctậndụngtriệtđểtrongviệcgiảicácbàitoánhìnhhọcnóichungvàcácbàitoánhìnhhọctổhợpnóiriêng.Tuynhiên,cáctậphợpchotrướctrongcácbàitoánmàta

cầngiảinóichungkhôngphảilàtậphợplồi.Trongmộtsốtrườnghợptacót h ể gánnóvớimộttậphợplồichứachúngđểkhảosátvà

sẽtậndụngđượcưut h ế củatínhlồiđểgiảiquyếtcácvấnđềđặtracủabàitoán.Dĩnhiêntậphợplồimàtasẽdùngđếnchínhlàbaolồicủacáchìnhbanđầuđãcho.Việclàmnàyl

à cóthểđượcvàhợplívì2lídosauđây:

-Mộtlànhưđãbiết,khichotrướcmộttậphợpAthìbaogiờcũngtồnt ạ i baolồiC(A)củanó

-HailàC(A)chínhlàmộttậphợplồinhỏnhấtchứaA

Nhưvậy,khilấybaolồitavừasửdụngđượctínhlồiđểgiảitoánmàlạikhôngl à

m phứct ạ p bàitoánlênquánhiều(dot a chỉmởrộngcácđốitượngđượcxétđếnmứctốithiểucầnthiết)

Vớicácbàitoáncủahìnhhọctổhợpmàcóthểsửdụngđượcphéplấybaolồiđểgiảichúng,thìlượcđồchungđểgiảibàitoánnàynhưsau:

-Chọnmộtphéplấybaolồithíchhợp.Cầnnhấnmạnhrằngmộttrongc á c phéplấybaolồihaydùngnhấtlàchúngtasửdụngkếtquảsau:Baolồicủamộthọhữuhạnđiểmtrênmặtphẳnglàmộtđoạnthẳnghoặclàmộtđagiáclồimàcác

đỉnhcủachúngthuộcvàotậphợpcácđiểmđã cho

3 0 NguyễnThịNhung

-Sửdụngtínhlồiđểgiảiquyếtcácyêucầucủabàitoánđặtra(đểýrằngnhờcócáctínhchấtcơbảncủatậplồimàcôngviệccủachúngtasẽđơngiảnhơnnhiềutrongquátrìnhgiảitoán

Sauđâylàmộtsốbàitập:

3.2,Mộtsốbàitậpứngdụng

Bài1:Trênmặtphẳngchomộtsốhữuhạnđiểmkhôngcùngnằmtrên1đườngt

hẳng.Chứngminhrằngtồntại3điểmsaochođườngtrònđiquanókhôngchứađiểmnàobêntrong

3 0 NguyễnThịNhung

3 1 NguyễnThịNhung

2,NếubaolồicủaΩlàmộtđagiáclồi.TachọnAlàmộtđỉnhcủabaolồicủaΩ

1 n2

S <

Lời giải

33

NguyễnThịNhung

1 n2

Xétbaolồicủanđiểmnằmbêntronghìnhvuông

Vìkhôngcó3điểmnàothẳnghàngnênbaolồilàđagiáclồicókđỉnh(k≤n),ngoàiracácđiểmđãchohoặclàđỉnhcủađagiáclồi,hoặcnằmhẳnbêntrongcủađagiácbaolồi

34

NguyễnThịNhung

1 2(n 1)

KhiđónốiA2vớiA1,A, D.Khinốixongsốtamgiác tănglên2.

Theonguyênl í cựchạntồntạit a m g i á c c ó diệntíchnhỏnhấttrong2n+2tamgiácấy.Gọidiệntíchnàylà S,rõràngtacó:

Lấybaolồicủahệ5điểmđãcho,theobài1,chương2chỉxảyracáctrườnghợpsau:

Khiđókếtluậncủabàitoánlàhiểnnhiênđúng

-Nếubaolồilàtamgiác,chẳnghạntamgiácABC

Khiđódokhôngcó3điểmnàothẳnghàngnên2 điểmcònlạiD,Ephảinằmhẳntrongtamgiác.ĐoạnthẳngnốiD,EkéodàicũngkhôngthểđiquacácđỉnhA,B,C(vớicùnglídotrên)

(n2)

(m2) (n2)

2 m

, nên

≥ nVậysốđỉnhcủađagiácbaolồikhôngíthơnn(đpcm)

Aphảilàđỉnhcủatamgiácđó

Vìvậytrongmọitrườnghợp,mỗiđỉnhcủahình17cạnhphảilàđỉnhcủaítnhất1tamgiác.Dođótổngsốđỉnhcủacáctamgiáckhôngnhỏhơn17 ,nhưvậyta

có3n≥17hayn ≥6

H×nhvÏd•íi®©ychØrac¸chc¾t®agi¸ckh«nglåi17c¹nh.Nh•thÕ®agi¸c17c¹nhkh«nglåith×sètamgi¸cthu®•îcÝtnhÊtlµ6

NguyễnThịNhung

(2k 1)(k2) + 2

k 2

42

NguyễnThịNhung

1,Baolåilàtứgiác(cóthểcholàtứgiácABCD).KhiđótứgiáclồiABCDthỏamãnyêucầuđềbài

2,BaolồilàngũgiácABCDE

Khiđócóthểchọntứgiáclồicầntìmlàmộttrongcáctứgiác:ABCD,BCDE,CDEA,DEAB, EABC

3)(5 4)

=1 2

Vậykếtluậncủabàitoánđúngkhin=5

- Xétvớin>5.Vìkhôngcó3điểmnàothẳnghàng,nênsốcáchchọn5đ i ể m trongnđiểmlà:

5

Cn =

Mỗicáchchọnnàytheotrêntrườnghợpn=5chotaítnhất1tứgiáclồi.Tuynhiênbấtkì1tứgiáclồinàotrongsốđócũngcóthểlậptừ(n-

4)tậphợpkhácnhaugiữa5điểmnóitrên

Chứngminhrằngcáchìnhvuôngbằngc á c tôngv à c á c hìnhvuôngbằngnhựađượcxếphoàntoàntrùngnhau.

Lờigiải

Giảthiếtphảnchứngkếtluậncủabàitoánkhôngđúng,tứclàcáchìnhvuôngbằngcáctôngvànhựađượcxếpkhônghoàntoàntrùngnhau

Loạibỏđicáchìnhvuônghoàntoànđặttrùngvớinhau.Khiđótừgiảthiếtphảnchứngsuyracònlạicáchìnhvuôngbằngnhựavàcáctông,trongđ ókhôngcóhìnhvuôngnàobằngnhựavàcáctônglạitrùngkhítnhau

Xéttậphợpcácđỉnhhìnhvuôngbằngnhựacònlại.Rõràngtừgiảthiếts u y rađócũngchínhlàtậphợpcácđỉnhhìnhvuôngbằngcáctông

Xétbaolồicủatậphợpcácđỉnhnày

Tronghìnhvuôngnày(dĩnhiênchúngkhôngtrùngkhítnhau)sẽtồntạimộtđỉnhBcủahìnhvuôngnàynằmhẳntronghìnhvuôngkia

(GiảsửBlàđỉnhhìnhvuôngcáctông).TheogiảthiếtthìquađỉnhBphảicó1hìnhvuôngbằngnhựanhậnBlàmđỉnh

Điềunàydẫnđếnmâuthuẫnvớiviệccáchìnhvuôngbằngnhựakhôngc ó điểmchung

Vậygiảthiếtphảnchứnglàsai,tứclàcáchìnhvuôngbằngnhựavà

cáchìnhvuôngbằngcáctônghoàntoàntrùngkhítnhau.(đpcm)

Bài12:Trênmặtphẳngcho2005điểm,trongsốđókhôngcã3điểmnàothẳnghà

ngvàkhôngcó4điểmnàocùngnằmtrên1đườngtròn.Chứngminhrằngtừcácđiểmđócóthểchọnrađược3điểmsaochocóđúng1001đ i ể m trongsốcònlạinằmtrongđườngtrònđiqua3điểmđãchọn,còn1001điểm kiathìnằmngoài

Lờigiải

Lấybaolồicủa2005điểm.Nhưđãbiếtbaolồinàylà1đagiác.Dokhôngcó3điểmnàothẳnghàngnênmỗicạnhcủađagiácbaolồichỉchứa

đúng2điểmlà2đỉnhcủamỗicạnh.Lấy1cạnhbấtkìcủađagiácbaolồivàgi ảsửcạnhđólàAB

Lờigiải

Xétbaolồicủanđiểmđãcho.Khiđóbaolồinàynhưđãbiếtlà1đagiác.Đagiácbaolồinàytrênmỗicạnhcủanóchỉcóđúng2điểmtrongsốcác điểmđã

cho.Chỉcóthểxảyra2trườnghợpsau:

1,BaolồilàhìnhbìnhhànhABCD

Xétchẳnghạnvới3điểmA,B,M

Theogiảthiếtluôntìmđượcđiểmthứ4(trongsốnđiểmđãcho),cùngvớiA,B,Mtạothànhmộthìnhbìnhhành.Dễthấyứngvới3điểmA,B,Mchỉ cóthểcó3hìnhbìnhhànhAMBE,ABMF, ABKM

VìK,E,FđềunằmngoàihìnhbìnhhànhABCD.Điềunàychứngtỏrằngtađãgặpmâuthuẫnvìmọiđiểmtrongsốnđiểmđềuphảinằmtrongbaolồi, trongkhiđóK,E,F đềukhôngthuộchìnhbìnhhànhbaolồiABCD

VìlẽấynếubaolồilàhìnhbìnhhànhABCDthìngoàicácđiểmA,B,C, Dkhôngcóđiểmnàokhác,tứclàn=4.Kếtluậncủabàitoánđúngtrongtrườnghợpnày

2,Baolồikhôngphảilàhìnhbìnhhành

GiảsửABvàBClàcáccạnhcủabaolồi.KẻcácđườngthẳngtựasongsongvớiABvàBC.GiảsửcácđườngthẳngtựanàyđiquacácđỉnhPvàQ(trongsốcácđiểmđãcho)

Xétvới3điểmP,B,Qkhiđó3đỉnhE,F,KcủacáchìnhbìnhhànhBPQE,BQPF,BPKQđềunằm ngoàiba olồi.Chúngcùngnằmngoàihìnhbìnhhànhtạobởicácđườngthẳngtựa(ngoạitrừtrườnghợpkhiPvàQlàcác đỉnhcủahìnhbìnhhànhđó).Trongtrườnghợpđóđỉnht h ứ 4 củan ó

5 0 NguyễnThịNhung

đi qua

khôngthuộcbaolồi,bởivìbaolồikhônglàhìnhbìnhhành.Điềuvôlínàychứngtỏkhôngthểxảyratrườnghợp2

phíasovớinó

-Rõràngrằng,đốivớimỗiđagiáclồitồntạiđúng2đườngthẳngtựasongsongvớiđườngthẳngchotrước

5 0 NguyễnThịNhung

TronghìnhvẽtrênABCDElàđagiáclồi,llàđườngthẳngchotrước.

Dothờigiannghiêncứuvànănglựccònhạnchếnênđềtàimớiđạtởmộtsốkếtquảnhấtđịnh.Emrấtmongcácthầycô,cácbạngópývànhậnxétđ ểđềtàinàyđượcđầyđủvàhoànthiệnhơn.

Trướckhikếtthúcđềtàinày,mộtlầnnữaemxinbàytỏlòngbiếtơncủamìnhđố

ivớicácthàycôgiáotrongtrường,đặcbiệtlàthầygiáo,giảngviênchính,thạcsĩPha

nHồngTrườngđãtậntìnhgiúpđỡemhoànthànhđềt à i này.

Saumộtthờigianmiệtmàinghiêncứucùngvớisựhướngdẫnvàchỉbảotậntình

củathầygiáo,thạcsĩPhanHồngTrường,khóaluậncủaemđếnn a y đãđượchoànthà

nh

Quađ â y e mxinb à y tỏlòngbiếtơnsâusắ c củamìnhtớithầyPhanHồngTrư

ờng,ngườiđã trựctiếphướngdẫn,chỉbảovà đónggópnhiềuý kiếnquýbáutrrongthời

gianemthựchiệnkhóaluậnnày

Emx i n chânthànhcảmơ n cácthầyc ô giáotrongkhoaToánđ ã tạođiềukiệntốtnhấtchoemtrongthờigianemlàmđề tài

Mặcdùcónhiềucốgắngnhưngdohạnchếvềthờigianvàkiếnthứcnênchắcchắnđềtàinàykhôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Emrấtmongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủathầycôvàcácbạnsinhviênđểbàikhóaluậnđượchoànthiệnhơn

Emxinchânthànhcảmơn!

HàNội, ngày05tháng05năm2011

Sinhviên

NguyễnThịNhung

Trang

Mởđầu 1

Chương1:Tậphợplồi 3

1.1 Mộtsốkiếnthứcbổtrợ 3

1.2 Địnhngĩatậphợplồi 4

1.3 Mộtsốtínhchấtcủatậphợplồitrongmặtphẳng 5

1.4 Mộtsốbàitậpvềtậphợplồi 8

Chương2:BaolồitrongmặtphẳngE2 13

2.1 Địnhnghĩavềbaolồi 13

2.2 MộtsốtínhchấtcủabaolồitrongmặtphẳngE2 13

2.3 MộtsốbàitoánvềbaolồicủamộthọhữuhạncácđiểmtrongE216 Chương3:Ứngdụngtính chấtcủatậphợplồivàbaolồigiải mộtsốbàitoánhìnhhọctổhợptrongmặtphẳngE2 28

3.1 Phươngphápchungđểgiảibàitoánhìnhhọctổhợptrong mặtphẳngE2 28

3.2 Mộtsốbàitậpứngdụng 29

Kếtluận.

Tàiliệuthamkhảo.