Số Tổ Hợp Suy Rộng Và Một Vài Phương Pháp Xây Dựng Bài Toàn Tổ Hợp

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC PHAM TH± THU HIEN SO TO HeP SUY R®NG VÀ M®T VÀI PHƯƠNG PHÁP XÂY DUNG BÀI TOÁN TO HeP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mà SO: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Số hóa Trung tâm Học liệu u.vn/ Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ ĐAI HOC THÁI NGUN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC PHAM TH± THU HIEN TO HeP SUY R®NG VÀ M®T VÀI PHƯƠNG PHÁP XÂY DUNG BÀI TOÁN TO HeP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mà SO: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưòi hưóng dan khoa hoc: PGS.TS ĐÀM VĂN NHÍ Thái Nguyên - 2013 Mnc lnc Má đau Chương To hap suy r®ng 1.1 Phép chúng minh quy nap 1.1.1 Quan h¾ tương đương quan h¾ thú tn 1.1.2 Nguyên lý quy nap 1.2 Hốn v%, hop to hop .12 1.2.1 Quy tac đem 12 1.2.2 Hoán v% hop 13 1.2.3 To hop 17 1.2.4 Công thúc khai trien nh% thúc Newton 20 1.3 Hốn v%, hop to hop suy r®ng 22 1.3.1 Chính hop có l¾p 22 1.3.2 To hop có l¾p 22 1.3.3 Hoán v% cna t¾p hop có phan tú giong 25 1.3.4 So cách phân bo đo v¾t vào h®p 26 1.4 Xây dnng tốn to hop 27 1.4.1 Phương pháp đao hàm tích phân 27 1.4.2 Phương pháp h¾ phương trình 30 1.4.3 Phương pháp so phúc 38 1.4.4 Phương pháp song ánh 41 Chương M®t vài bieu dien qua to hap 45 2.1 Đ%nh lý Hilbert Đ%nh lý Cantor ve bieu dien so .45 2.2 Khai trien đa đơn thúc .48 2.3 Sú dung chí so công thúc chuyen đoi ngưoc 50 2.4 Đong nhat thúc Newton .56 2.5 Đ%nh lý Fermat Đ%nh lý Wilson 60 Ket lu¾n 64 Tài li¾u tham kháo 65 Má đau To hop m®t phan rat quan cna Tốn hoc ròi rac, chuyên nghiên cúu sn sap xep ho¾c phân bo đoi tưong tính so cách sap xep ay Chn đe đưoc nghiên cúu tù lâu, the ký 17, xét trò chơi may rni Thơng thưòng, so phan tú huu han vi¾c phân bo chúng phái thóa mãn nhung đieu ki¾n nhat đ%nh đay, tùy theo yêu cau cna van đe nghiên cúu Do vi¾c đem đoi tưong ho¾c dien đat tốn dưói dang sap xep, có ke thú tn hoắc khụng, cỏc phan tỳ cna mđt hop, nờn ta thưòng g¾p tốn to hop dưói dang sau: Bài toán đem: Đây toán nham trá lòi câu hói "có cách sap xep phan tú thóa mãn đieu ki¾n nêu?" Phương pháp đem thưòng dna vào m®t so ngun lý m®t so tính tốn khơng q phúc tap Bài tốn li¾t kê: Đây tốn xét tat cá nham trá lòi câu hói "thu¾t tốn vét het sap xep có cách sap xep phan tú thóa mãn đieu ki¾n nêu?" Bài tốn toi ưu: Đây toán xét nhung cách sap xep tot nhat, theo m®t nghĩa đó, so nhung cách sap xep có the Bài tốn ton tai: Đây tốn xét sn ton tai hay khơng ton tai cách sap xep phan tú theo yêu cau đưoc Mđt van e de thay l cỏc bi tốn to hop thưòng xuat hi¾n kỳ thi Đai hoc Cao đang, kỳ thi Hoc sinh giói cap quoc gia hay quoc te Chúng nhung tốn khó Đ¾c bi¾t, đe phuc vu tot cho vi¾c giáng day chương "To hop Xác xuat" ó lóp 11, giúp hoc sinh thi Đai hoc Cao vói mong muon đưoc tìm hieu sâu nua ve nhung toán to hop nên chúng tơi chon đe tài "To hap suy r®ng m®t vài phương pháp xây dUng tốn to hap." Lu¾n văn t¾p trung tìm hieu Bài tốn đem Bài tốn li¾t kê (dang đơn gián) Ngồi phan mó đau, ket lu¾n, lu¾n văn đưoc chia làm chng Chng To hap suy rđng Chng ny trung trình bày phương pháp quy nap ó Muc1.1; hốn v%, hop, to hop, nh% thúc Newton ó Muc 1.2; hop to hop suy r®ng ó Muc 1.3; m®t so phương pháp xây dnng tốn to hop đưoc trình bày ó Muc 1.4 Chương M®t vài Nng dnng cúa to hap Trong chương ny chỳng tụi trung trỡnh by mđt so ỳng dung cna to hop đe bieu dien m®t vài tốn Muc 2.1 trình bày cách v¾n dung to hop hốn v% đe bieu dien so qua Đ%nh lí Hilbert Đ%nh lí Cantor Muc 2.2 trình bày cơng thúc khai trien đa đơn thúc Nó cơng thúc khai trien nh% thúc Newton tong quát Trong Muc 2.3 chúng tơi trình bày phương pháp sú dung chí so công thúc chuyen đoi ngưoc Đong nhat thúc Newton đưoc trình bày ó Muc 2.4 cuoi vi¾c chúng minh Đ%nh lí Fermat Đ%nh lí Wilson Lu¾n văn đưoc hồn thành vói sn hưóng dan chí báo t¾n tình cna PGS -TS Đàm văn Nhí - Trưòng ĐHSP1- Hà n®i Tù đáy lòng mình, em xin đưoc bày tó lòng biet ơn sâu sac đoi vói sn quan tâm, đ®ng viên sn chí báo hưóng dan cna Thay Em xin trân cám ơn tói Thay Cơ Trưòng Đai Hoc Khoa Hoc - Đai Hoc Thái Nguyên, phòng Đào Tao Trưòng Đai Hoc Khoa Hoc Đong thòi tơi xin gúi lòi cám ơn tói t¾p the lóp Cao Hoc Tốn K5A Trưòng Đai Hoc Khoa Hoc đ®ng viên giúp đõ tơi q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Tơi xin cám ơn Só Giáo duc Đào tao Tính Hà Giang, Ban Giám hi¾u, đong nghi¾p Trưòng THPT Hùng An - Huy¾n Bac Quang tao đieu ki¾n giúp đõ tơi hồn thành ke hoach hoc t¾p Tuy nhiên, sn hieu biet cna bán thân khn kho cna lu¾n văn, nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Tơi rat mong nh¾n đưoc sn chí dan góp ý cna Thay Cơ, ban bè đe tơi hồn thành tot bán lu¾n văn Thái Nguyên, ngày 02 tháng 04 năm 2013 Tác giá Pham Th% Thu Hien Chương To hap suy rđng Nđi dung chng mđt trung bàn ve to hop suy r®ng Chúng ta bat đau chương bang cách trình bày phương pháp quy nap 1.1 Phép chNng minh quy nap 1.1.1 Quan h¾ tương đương quan h¾ thN tN Giá thiet t¾p X ƒ= ∅ Tích đe X × X đưoc đ%nh nghĩa dưói đây: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X} Đ%nh nghĩa 1.1 T¾p S cna X ì X l mđt quan hắ hai ngụi X Neu (x, y) ∈ S ta nói x quan h¾ S vói y viet xSy Đ%nh nghĩa 1.2 Giá thiet X ƒ= ∅ S ƒ= ∅ mđt quan hắ hai ngụi X Quan hắ S oc goi l mđt quan hắ tng ng X neu thóa mãn ba đieu ki¾n sau đây: (i) (Phán xa) Vói moi x ∈ X có xSx (ii) (Đoi xúng) Vói moi x, y ∈ X, neu có xSy có ySx (iii) (Bac cau) Vói moi x, y, z ∈ X, neu có xSy ySz thỡ cng cú xSz Khi S l mđt quan hắ tương đương X ta thưòng kí hi¾u ∼ thay cho S Đ¾t C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} goi m®t lóp tương đương vói x làm đai di¾n De dàng chí tính chat sau: Tính chat 1.1 Giá sú ∼ m®t quan h¾ tương đương X Khi đó: (i) Vói moi x ∈ X có x ∈ C(x) (ii) Vói moi y, z ∈ C(x) có y ∼ z, y ∼ x z ∼ x (iii) Vói moi x, y ∈ X, có ho¾c C(x) ∩ C(y) = ∅ ho¾c C(x) = C(y) (iv) T¾p thương X/ ∼ t¾p lóp tương đương khơng giao Ví dn 1.1 Tính tong cúa tat cá so gom chu so phân bi¾t đưoc l¾p tù so 1, 2, , 8, Bài giái: T¾p so thóa mãn đau đưoc phân làm lóp phân bi¾t lnc lưong: Lóp C(i) = {a1a2a3a4a5a6a7a8i|ak ∈ {1, 2, , 9} \ {i}} gom tat cá so đưoc l¾p qua vi¾c viet chu so i vào cuoi so a1a2a3a4a5a6a7a8 vói ak ∈ {1, 2, , 9} \ {i} Thay lnc lưong cna C(i) bang 8! V¾y tong chu so hàng đơn v% cna tat cá so thóa mãn đau bang 8!(1 + + · · · + + 9) = 45.8! Tù có tong so 109 − can tính S = 45.8!(1 + 10 + · · · + 108) = = 5(109 − 45.8! 1).8! Đ%nh nghĩa 1.3 Giá thiet X ƒ= ∅ S = l mđt quan hắ hai ngụi X Quan hắ S oc goi l mđt quan hắ thú tn X neu thóa mãn ba đieu ki¾n sau đây: (i) (Phán xa) vói moi x ∈ X có xSx (ii) (Phán đoi xúng) Vói moi x, y ∈ X, neu có xSy ySx x = y (iii) (Bac cau) Vói moi x, y, z ∈ X, neu có xSy ySz có xSz Tắp X oc goi l mđt xap thỳ tn neu cú mđt quan hắ thỳ tn X Khi S l mđt quan hắ thỳ tn X ta thưòng viet ™ thay cho S Vói x, y ∈ X, thay cho vi¾c viet xSy ta viet x ™ y đoc x nhó ho¾c bang y ho¾c viet y “ x đoc y lón ho¾c bang x Tù ta có the đ%nh nghĩa x < y chí x ™ y, x ƒ= y; ho¾c y > x chí y “ x, y ƒ= x %nh ngha 1.4 Giỏ thiet X l mđt xap thú tn vói quan h¾ thú tn ™ Phan tú a ∈ X đưoc goi phan tú bé nhat cna X neu thóa mãn a ™ x vói moi x ∈ X Phan tú b ∈ X đưoc goi phan tú lón nhat cna X neu thóa mãn x ™ b vói moi x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.5 T¾p xap thú tn X oc goi l mđt xap thỳ tn tot neu moi bđ phắn khỏc rong cna X eu cú phan tú bé nhat Hai ket sau đưoc chúng minh bat kì giáo trình so hoc ∞ t=0 ( = x ) g (∞ r f (x) δ δ2 x n xn t ) n−1 − +···+ x(−1)x2 t= xn Nt u = + t=0 ∞ xt+1 t=0 un t f r(x) u1 u2 + +· · + t= = x x2 · xn u1 x = u2 · · · un , (2) ∞ ∞ xn t Tù (1),(2) ta suy t=0 ∞ δn x2 un +···+ − x λ1 λ2 t!u1 xn λn λ1!λ2! λn! xh+1 un−1 (n 1)u− n t ( x2 −··· xn ) − (n − (n − 1)u1 x un−1 −···− ) xn−1 é tong lay theo tat cá so ngun khơng âm thóa mãn λ1 + 2λ2 + · · · + nλn = h λ1 + λ2 + · · · + ∞ ∞ Nt t+1 t= λ 1! t=0 x λ2 = λn = t V¾y λ λ (λ1 + · · · 1+ λ )!u 1nu · · · uλn 2n ! !xλ1+2λ2+···+nλn+1 λn un−1 (n − 1)u1 (n − − · · · − n−1 ) x x é tong lay theo tat cá h¾ (λ1, λ1, , λn) so nguyên không λ1 λ2 âm So sánh h¾ so óλhai ve ta có h¾ so cna u u · · · cna u n n xt+ bang (λ1λ + !λ · !· · + λλn!)!n − ···− n (λ1 + ··+ λn − 1)!(n − 1)· (λ − 1)!λ2! λn! − (λ1 + · · · + λn − 1)!1 λ1 !λ2 ! −1 − 1)!λn! (λn vói soλn u λ1 + 2λ2 + · · · + nλn hang ta có h¾ so = cna t λ1 λBien u u 2· · · đoi bang n (λ1 + · · · + λn − 1)![λ1 + 2λ2 + · · · t(λ1 + · · · + λn − 1)! = λ1!λ2! λn! + nλn] λ.1 λ2 λ1!λ2! λn! u u · · · uλn, tong t(λ1 + λ2 + · · · + Tóm lai, Nt = λn − 1)! n λ1!λ2! · · · λn! lay theo tat cá h¾ (λ1, λ1, , λn) so ngun khơng âm thóa mãn λ1 + 2λ2 + · · · + nλn = t 3 x3 Ví dn 2.18 Ta có + x2 + x3 − 3x1x2x3 = x2 +x2 +x2 −x x −x x − x3 x1 x1 + x2 + x3 2 Bài giái: Theo Đ%nh lý 2.6 ta có N3 − N2δ1 + N1δ2 − 3δ3 = V¾y N3 − = 3δ3 N N1 − nh¾n đưoc đong nhat thúc δ2 Ví dn 2.19 Neu x1, x2, x3 thóa mãn h¾ thúc x3 + x3 + x3 + x1x2x3 =0 x4 + x4 + x4 + (x2 + x2 + x2)(x1x2 + x2x3 + x3x1) = 3 Bài giái: Theo Đ%nh lý 2.6 ta có N4 − N3δ1 + N2δ2 − N1δ3 = V¾y N4 + N2δ2 = N1(N3 + δ3) = nh¾n đưoc đong nhat thúc Ví dn 2.20 Các so x1, x2, x3 thóa mãn x1 + x2 + x3 = Khi tính x3 x − x x3 − x1 x1 − x2 x1 + (i) T = + + x2 + x1 x3 x2 − x3 − x1 − x2 x3 x1 x2 (ii) Chúng minh x6 + x6 + x6 = 3x2x2x2 − 2(x1x2 + x2x3 + x3x1 )3 2 δ3 − 4δ1δ2 + = 9δ3 δ3 (ii) De thay x1, x2, x3 nghi¾m cna x3 + δ2x − δ3 = Do ta có N3 = 3δ3, N4 = δ3N1 − δ2N2 = −δ2N2 Như the N6 = −N4δ2 + N δ3 = 3δ2 + δ2N2 = 3δ2 − 2δ3, N2 = −2δ2 Bài giái:(i) Phân tích gián ưóc đưoc T = 3 Ví dn 2.21 Đ¾t δ0 = p0 = Khi δ0p3 − δ1p2 + Tù    p1 δ1   δdet p1 psuy δ3 = δ1 =radet  p2 δ3 δ2 p3 p2 p1 Bài giái: Đ¾t δk = k > Q ∞ k t (1 + txi) p(t) = = k k δ p k= ∞ i= k= δ2p1 − δ3p0 =   δ1 Viet hàm sinh δ(t) = k t = Ta có Q i=1 + txi δ(t)p(−t) = Khai trien δ(t)p(−t), h¾ so cna tj, j “ 1, đeu bang (−1)k δk p3 k = Tù quan h¾ suy h¾ phương trình V¾y − k=0  1.p1 − δ1 = tuyen tính: 1.p2 − δ1.p1 + δ2.1 =   1 1.p − δ p + δ p 2 Qua vi¾c tính h¾ so cna ta suy quan h¾ detp p1 p2 p2 p1 = δ3 p3     1 det 00 p1  đưoc chúng  = δ3 = det δ δ1 H¾ có nghi¾m (1, −δ1, δ2) δ3 p2 p1 toàn tương tn   = δ3 δ2 δ1 hồn Ví dn 2.22 Chúng minh rang neu a, b, c, d ∈ R thóa mãn ab + ac + ad + bc+bd+cd = a3+b3+c3+d3−3 bcd+cda+dab+abc = (a+b+c+d)3  δ1 = a + b + c + d  δ = ab + ac + ad + bc + bd + cd  Bài giái: Đ¾t δ = abc + abd + acd + bcd  = abcd δ   N = at + bt + ct + dt , t = 1, 2, , N = t Theo Đ%nh lý 2.6 ta có N − N2δ1 + N1δ2 − 3δ3 = V¾y N3 − 3δ3 = N2 δ1 − N1δ2 = δ3 − 3δ1δ V¾y δ2 = nên a3 + b3 + c3 + d3 − bcd + 1cda + dab + abc = (a + b + c + d)3 Ví dn 2.23 Đa thúc T = 2(x7 + y7 + z7 ) − 7xyz(x4 + y4 + z4 ) có nhân tú x + y + z Bài giái: Đ¾t A = x + y + z, B = xy + yz + zx, C = xyz Đ¾t an = xn + yn + zn Khi x, y, z ba nghi¾m cna t3 − At2 + Bt − C = an+3 = Aan+2 − Ban+1 + Can vói so nguyên n “ a0 = Chú ý a0 = a1 = A a = A − 2B = Aa2 − Ba1 + Ca0 = A − 3AB + 3C = Ak3 a = + 3C Aa3 − Ba2 + Ca1 = Ak4 + 2B a = Ak5 − 5BC = Ak6 − B + 3C a = Ak7 + 7B C V¾y T = 2a7 − 7Ca4 = A(2k7 − 7k4C) có nhân tú A = x + y + z 2.5 Đ%nh lý Fermat Đ%nh lý Wilson Bo đe 2.1 Vói so ngun dương n, đ¾t f (x) = (1 + x)(2 + x) (n + x) Giá sú f (x) = b0 + b1x + b2x2 + · · · + bnxn Chúng minh rang (n − k)bk = n− n−1−k k k Cn+1− n+1 + Cn bn−1 + Cn−1 bn−2 + · · · + Ck+2 bk+1 ChNng minh: Tù (1+x)(2+x) (n+x) = b0 +b x+b x2 +· · ·+b nxn ta suy (2 + x)(3 + x) (n + + x) = b0 + b1(x + 1) + · · · + bn(x + 1)n qua vi¾c thay x bói x + Ta có bn = 1, bn−1 = + + · · · +n= n(n + 1) h¾ thúc(1 + x)(2 + x) (n + x)(n + + x) = 2! b0(x + 1) + b1(x + 1)2 + b2(x + 1)3 + · · · + bn(x + 1)n Tù (n+1+x)f (x) = (x+1)f (x+1) suy (n+1+x)(b +b x+· · ·+b n xn ) = b0(x + 1) + b1(x + 1)2 + b2(x + 1)3 + · · · + bn(x + 1)n+1  Như v¾y   bn =   (n + 1)bn−1 + bn−2 = Cn+1 bn + Cn bn−1 + Cn−1 bn−2  n− n−2  n+1 n (n + 1)bn−2 + bn−3 = C · · · bn + C bn−1 + C n− bn−2 + C n−3 bn−3 n−1 (n + 1)b2 + b1 = C n+1 bn + Cn bn−1 + Cn−1 bn−2 + · · · + C3 b2  +C2 b1  n  n−2 n− n+1 n−1 n (n + 1)b1 + b0 bn + bn−1 + bn−2 + · · · b1 + C b0  C C +C =C n+1 bn + n−1 + · · · + C b1 + C b0 n (n + 1)b0 = C + C C bn có bn n+ − n n−1 −   bn =1    bn−1 n(n + 1) =   2!   n+1 n bn−1 + 2bn−2 = n− C C ···   n−1  (n − 2)b2 = Cn+1 + Cn n−3 bn−1 + Cn−1 bn−2 + · · · + C4 b3  n− n−2  n (n − 1)b = C bn−1 + Cn−1 bn−2 + · · · + C3 b2 n+1 + Cn  n+1 n nb0 = C +C n−1 + · · · + C b1 + C bn b n+1 Do v¾y (n − Cn−k bn n − k)bk = C n n−1 n+1−k n+1 − + n 1+ −bn − Cn−1−k n−1 + 22 C bk+1 ···+ k+2 H¾ 2.3 [MO British 1974] Vói so nguyên to lé p, đ¾t f (x) = (1 + x)(2 + x) (p− + x) Giá sú f (x) = b0 + b1x + −1xp−1 b2x2 + · · · + bp Chúng minh rang (i) p | bk vói k = 1, 2, , p − p |(b0 + 1) (ii) Vói moi so nguyên n ta có p | (n + 1)(n + 2) (n + p− 1) − np−1 + Tù suy p | (p − 1)! + p | np−1 − (n, p) = ChNng minh: (i) Qua cơng thúc tính tốn đưoc ó ta có  bp−1 =   bp−2 p(p −  1)  =  2bp−3 = C2! p + Cp−1 bp−2 · · ·   (p − 2)b    p−2 = Cp−1 + C bp p−1 p  (p − 1)b0 = Cp + p−1 C bp p p−3 2+ C bp p−2 − − +C bp p−2 p−1 − p−2 + · · · + C b2 3 + · · · + C b1 − Sú dung cơng thúc quy nap theo k có p | bk vói k = 1, 2, , p − Tù h¾ thúc cuoi suy h¾ thúc p.b0 = (b0 + 1) + bp−2 + bp−3 + · · · + b1 v¾y b0 + chia het cho p (ii) Vì p | bk vói k = 1, 2, , p − b0 + chia het cho p nên p | (n + 1)(n + 2) (n + p − 1) − np−1 + vói moi so nguyên n Tù suy p | (p − 1)! + p | np−1 − (n, p) = Tù ket ta suy ba ket sau đây: Đ%nh lý 2.8 Vói so nguyên to p moi so nguyên n thóa mãn (n, p) = 1, ta ln có (i) [Fermat nhó] np−1 ≡ 1(mod p) (ii) [Wilson] (p − 1)! + ≡ 0(mod p) p − .2 (iii) Neu so nguyên to p có dang 4k + ! +1 ≡ 0(mod p) Ví dn 2.24 Tìm tat cá nghi¾m ngun cúa phương trình x3 + y3 = z6 + Bài giái: Neu phương trình có nghi¾m Z có nghi¾m Z7 Khi ton tai x, y, z ∈ Z7 thóa mãn x3 + y3 = z6 + Vì x3, y3 ∈ {0, 1, −1} nên x3 +y ∈ {0, ±1, ±2}, z6 +3 ∈ {3, 4} V¾y phương trình xét vơ nghi¾m trong Z Ví dn 2.25 Tìm tat cá nghi¾m ngun cúa phương trình x2 + 4y4 = z6 + Bài giái: Neu phương trình có nghi¾m Z có nghi¾m Z7 Khi ton tai x, y, z ∈ Z8 thóa mãn x2 + 4y4 = z6 + Trong 2 Z8 có h¾ thúc = 0, = 1, = 4, = 1, = 0, = 1, 2 2 = 2 4, = V¾y x chí có the ho¾c ho¾c 4y chí có the ho¾c Qua kiem tra ta có x3 + 4y4 chí có the 0, 1, 2, 4, Nhưng z6 + chí có the + = ho¾c + = Đieu chúng tó phương trình vơ nghi¾m Ket luắn Luắn ó at oc mđt so ket quỏ sau: Trình bày m®t so kien thúc bán ve to hop to hop suy r®ng vói chúng minh đay đn ví du áp dung Trình bày đưoc m®t so phương pháp xây dnng tốn to hop, chang han: Sú dung đao hàm tích phân; sú dung h¾ phương trình; sú dung so phúc sú dung song ánh vói nhung ví du minh hoa Đã chúng minh m®t so đ%nh lý có liên quan đen to hop, chang han: Đong nhat thúc Newton, Đ%nh lý Hilbert Đ%nh lý Cantor ve bieu dien so, Đ%nh lí Fermat Đ%nh lí Wilson ve đong dư Đã trình bày đưoc m®t so tốn xuat hi¾n kì thi hoc sinh giói cap quoc gia quoc te Đã xây dnng đưoc m®t so tốn mói có liên quan đen to hop 65 Tài li¾u tham kháo [1] D Faddéev et I Sominski, Recueil Supérieure, Editions Mir-Moscou 1977 D’Exercices D’Algèbre [2] R Merris, Combinatorics, PWS publishing company 20 Park Plaza, Boston, MA 02116-4324 [3] M B Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, SpringerVerlag New-York Berlin-Heidelberg SPIN 10742484 [4] Đ V Nhí, So phúc giái Tốn sơ cap, Tap chí Khoa hoc ĐHSP Hà N®i so 2006, 40-48 [5] K H Wehrhahn, Combinatorics-An Introduction, Carslaw Publications 1992 [6] Kenneth H Rosen, Tốn ròi rac úng dnng tin hoc, (Bỏn d%ch), NXB Khoa hoc v Ky thuắt H Nđi 1998 [7] D Q Vi¾t Đ V Nhí, Giáo trình Đai so Sơ cap, Nhà Xuat Bán ĐHSP Hà Nđi 2007 [8] Tuyen tắp: The IMO Compendium 1959-2004 [9] T N Dũng, Tap chí Tốn hoc tuoi tré Lu¾n văn đưoc súa theo ý kien cna hđi ong cham luắn ngy 22 thỏng năm 2013 Tai trưòng Đai hoc Khoa hocĐai hoc Thái Nguyên Hà n®i, ngày 22 tháng 06 năm 2013 Ngưòi hưóng dan khoa hoc PGS.TS Đàm Văn Nhí ... 27 1.4.1 Phương pháp đao hàm tích phân 27 1.4.2 Phương pháp h¾ phương trình 30 1.4.3 Phương pháp so phúc 38 1.4.4 Phương pháp song ánh 41 Chương M®t vài bieu dien qua...Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học lieäu http://www.lrc.tnu.ed u.vn/ ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC PHAM TH± THU HIEN TO HeP SUY R®NG VÀ M®T VÀI PHƯƠNG PHÁP XÂY DUNG BÀI TỐN TO HeP... nhung tốn to hop nên chúng tơi chon đe tài "To hap suy r®ng m®t vài phương pháp xây dUng tốn to hap." Lu¾n văn t¾p trung tìm hieu Bài tốn đem Bài tốn li¾t kê (dang đơn gián) Ngồi phan mó đau,