MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BORNO CƠ BẢN

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN ******** PHAM TH± LAN M®T SO PHƯƠNG PHÁP XÂY DUNG BORNO CƠ BÁN KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chun ngành: Giái tích Ngưòi hưóng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2013 LèI CÁM ƠN Đe có the hồn thành đưoc khóa lu¾n tot nghi¾p này, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang - Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em suot q trình hoc t¾p tai trưòng q trình hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay cô to Giái tích, thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i Ban chn nhi¾m khoa Tốn tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p cna Trong khuụn kho cú han cna mđt bi khúa luắn ieu kiắn ve mắt thũi gian, trỡnh đ có han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc nên khóa lu¾n cna em khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna quý thay cô ban đoc Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Pham Th% Lan i LèI CAM ĐOAN Dưói sn hưóng dan, chí báo t¾n tình cna thay Tran Văn Bang khố lu¾n ket q cna bán thân em q trình hoc t¾p nghiên cúu Đe hồn thành đưoc bán khóa lu¾n tot nghi¾p em ó cú sỳ dung mđt so ti liắu tham kháo cna nhà khoa hoc Em xin khang đ%nh ket cna đe tài "M®t so phương pháp xây dNng borno bán" khơng có sn trùng l¾p vói ket cna đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Pham Th% Lan ii Mnc lnc Mé ĐAU v Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian véctơ 1.2 Mđt so khỏi niắm liên quan đen borno M®t so phương pháp xây dNng borno bán 2.1 Borno đau 2.2 Borno tích 13 2.3 Borno cám sinh: Không gian borno 14 2.4 Borno sinh bói m®t ho t¾p 15 2.5 Giói han xa ánh 16 2.5.1 Ho xa ánh borno 16 2.5.2 Borno giói han xa ánh 18 2.6 Borno cuoi 18 2.7 Borno thương 19 2.8 Giói han quy nap borno 20 2.8.1 Ho quy nap borno 20 2.8.2 Borno giói han quy nap 22 2.9 Tong trnc tiep borno: Borno huu han chieu .22 2.9.1 Tong trnc tiep borno 22 2.9.2 Borno tong trnc tiep borno tích 23 2.9.3 Tong trnc tiep giói han quy nap đ¾c bi¾t .24 2.9.4 Borno huu han chieu .24 2.9.5 Không gian bù borno .24 2.10 Sn on đ%nh cna tính chat tách 25 2.11 T¾p đóng borno: Tính chat tách cna thương borno 27 2.12 Không gian véctơ borno tách liên ket 29 KET LU¾N 31 TÀI LIfiU THAM KHÁO 32 Mé ĐAU Lý chon đe tài Ra đòi tù đau the ký 20 đen Giái tích hàm đat đưoc nhieu thành tnu quan tró thành chuan mnc vi¾c nghiên cúu trình bày kien thúc tốn hoc Giái tích hàm đưoc đưa vào chương trình Đai hoc m®t phan bat bu®c, nhiên vói lưong thòi gian có han khó có the nghiên cúu sâu vào m®t van đe Trong giái tích hàm lý thuyet topo phát trien rat sâu r®ng gan õy cú xuat hiắn thờm mđt lý thuyet múi cú tên lý thuyet Borno Cu the lý thuyet Borno lý thuyet "đoi ngau" vói lý thuyet Topo, lý thuyet topo đưoc xây dnng xuat phát tù khái ni¾m t¾p mó (hay lân c¾n) lý thuyet borno lai đưoc xây dnng xuat phát tù khái ni¾m t¾p b% ch¾n.Tuy nhiên hưóng nghiên cúu ve lý thuyet tương đoi giong Sau đưa khái ni¾m topo ngưòi ta tiep tuc xây dnng khái ni¾m bán khác như: khái ni¾m topo đau xác đ%nh bói ho ánh xa, topo cuoi xác đ%nh bói ho ánh xa, topo cám sinh, khơng gian topo con, khơng gian topo tích, khơng gian topo thương tong trnc tiep không gian topo Tương tn v¾y sau đưa khái ni¾m borno khái ni¾m khác có liên quan đen borno ngưòi ta xây dnng khái ni¾m gan vói borno Dưói góc đ® cna m®t sinh viên sư pham khoa Tốn vói mong muon có đưoc sn hieu biet ve lý thuyet borno đ¾c bi¾t cách xây dnng m®t borno mói tù nhung borno biet gan vói phương pháp xây dnng khơng gian bán giái tích hàm nên em chon đe tài "M®t so phương pháp xây dNng borno bán" làm khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc cna Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom chương: Chương 1: Khúa luắn trỡnh by mđt so khỏi niắm c bỏn khụng gian vộct v mđt so khỏi niắm liên quan tói borno Chương 2: Khóa lu¾n trình bày m®t so phương pháp xây dnng borno bán tù nhung borno biet Mnc đích nhi¾m nghiên cNu - Nghiên cú ve lý thuyet borno - Nghiên cúu ve m®t so phương pháp xây dnng borno bán Đoi tưang pham vi nghiên cNu T¾p chung nghiên cúu ve borno phương pháp xây dnng borno bán tù nhung borno biet Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh tong hop kien thúc vi Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian véctơ Đ%nh nghĩa 1.1 Cho I = l mđt chs so sap thú tn có đ %nh hưóng Túc trờn I oc trang b% mđt quan hắ thỳ tn v vúi moi cắp (i, j) I ì I đeu ton tai k ∈ I : k ≥ i, k ≥ j Đ%nh nghĩa 1.2 Giá sú (Ei)i∈I m®t ho khơng gian véctơ xác đ %nh trêntuyen trưòng sú vói moi c¾p (i, j) ∈ I × I: i ≤ j ton tai ánh tínhK.uGiá ji : Ei −→ Ej cho ho ánh xa tuyen tính (uji ) xa thóa mãn đieu ki¾n đây: (i) Vói moi i ∈ I, uii : Ei −→ Ei ánh xa đong nhat Ei (ii) Vói moi i, j, k ∈ I: i ≤ j ≤ k ta có uki = ukj ◦ uji Khi ho (Ei, uji) đưoc goi ho quy nap không gian véctơ Đ%nh lý 1.1 Giá sú (Ei, uji) m®t ho quy nap khơng gian véctơ xác đ%nh trưòng K Khi ton tai m®t không gian véctơ E K ánh xa tuyen tính ui : Ei −→ E thóa mãn đieu ki¾n sau đây: (i) ui = uj ◦ uji, ∀i ≤ j (ii) Vói moi khơng gian véctơ F bat kỳ ho ánh xa tuyen tính vi : Ei −→ F cho vi = vj ◦ uji, ∀i ≤ j ton tai nhat m®t ánh xa tuyen tính v : E −→ F thóa mãn: vi = v ◦ ui, ∀i ∈ I Khi E nhat, sai khác m®t cau vói F E đưoc goi giói han quy nap cúa ho quy nap không gian véctơ (Ei, uji) Đ%nh nghĩa 1.3 Giá sú (Ei)i∈I m®t ho khơng gian véctơ xác đ%nh trưòng K Giỏ sỳ vúi moi cắp (i, j) I ì I: i ≤ j ton tai ánh xa tuyen tính pij : Ej −→ Ei ho ánh xa tuyen tính (pij ) thóa mãn đieu ki¾n sau: (i) Vói moi i ∈ I, pii ánh xa đong nhat Ei (ii) Vói moi i, j, k ∈ I : i ≤ j ≤ k ta có pik = pij ◦ pjk Khi ho (Ei, pij ) đưoc goi ho xa ánh không gian véctơ Đ%nh lý 1.2 Giá sú (Ei, pij ) m®t ho xa ánh khơng gian véctơ xác đ%nh trưòng K Khi ton tai m®t khơng gian véctơ E K ánh xa tuyen tính pi : E −→ Ei thóa mãn đieu ki¾n sau đây: (i) pi = pij ◦ pj , ∀i ≤ j (ii) Vói moi khơng gian véctơ F bat kỳ ho ánh xa tuyen tính qi : F −→ Ei cho qi = pij ◦ qj , ∀i ≤ j ton tai nhat ánh xa tuyen tính q : F −→ E thóa mãn: qi = pi ◦ q, ∀i ∈ I Khi khơng gian véctơ E nhat, sai khác m®t cau vói khơng gian véctơ F E đưoc goi giói han xa ánh cúa ho xa ánh không gian véctơ (Ei, pij ) Đ%nh nghĩa 1.4 Giá sú E m®t khơng gian véctơ xác đ%nh trưòng K A ⊂ E Khi ta núi: (i) A l mđt trũn neu K : |λ| ≤ ta có λA ⊂ A (ii) A l mđt loi neu , ∈ R+ : λ + µ = ta cú A + àA A (iii)A l mđt đĩa neu A vùa loi, vùa tròn (iv) Bao tròn (tương úng: bao loi, tương úng: bao đĩa) cna t¾p A l mđt trũn (tng ỳng: loi, tng úng: t¾p đĩa) nhó nhat chúa A M¾nh đe 1.1 Giá sú E không gian véctơ xác đ%nh trưòng K A ⊂ E Khi bao loi cúa A E t¾p: n n coA λixi, λi ≥ 0, xi ∈ A, ∀i = 1, n, λi = = i=1 i=1 Mắnh e 1.2 Cho E l mđt khụng gian véctơ xác đ%nh trưòng K S Khi bao tròn cúa t¾p A ⊂ E t¾p hop có dang: λA |λ|≤1 Đ%nh nghĩa 1.5 Giá sú E m®t khơng gian véctơ xác đ%nh trưòng K M®t núa chuan E m®t ánh xa p : E −→ R thóa mãn tiên đe Ví dn 2.2 Theo ví du 2.1 ta thay X1 = R3, X2 = R2, X3 = R không gian véctơ borno (tương úng: khơng gian borno loi) vói borno thơng thưòng tương úng R3, R2, R tat cá ánh xa (uij ) đeu ánh xa tuyen tính b% ch¾n Do ho (Xi, uij ) ho xa ánh cna không gian véctơ borno (tương úng: cna không gian véctơ borno loi) 2.5.2 Borno giái han xa ánh Đ%nh nghĩa 2.9 Giá sú (Xi, uij ) m®t ho xa ánh cna t¾p borno (tương úng: khơng gian véctơ borno, tương úng: không gian véctơ borno loi) cho X mđt (tng ỳng: khụng gian vộct) Vúi moi i I, ta ký hiắu òi l borno cna Xi ui : X −→ Xi phép chieu tac tù X lên Xi Khi borno giói han xa ánh X cna borno ßi borno đau X xác đ%nh bói ánh xa ui X vói borno giói han xa ánh X đưoc goi giói han xa ánh borno cna ho xa ánh borno (Xi, uij ) Ký hi¾u là: X = lim (Xi, uij ) ← ∈− i I Nhắn xột 2.4 Borno tớch l mđt trũng hop riờng cna giói han xa ánh borno 2.6 Borno cuoi Đ%nh lý 2.2 Cho I = l mđt chs so, (Xi, òi)iI l mđt ho cỏc borno v X l mđt hop bat k Giỏ sỳ vúi moi i ∈ I, vi S : Xi −→ ánh xa cho trưóc Goi ß borno X sinh bói ho A = vi (ßi) X khilàđó: i∈I (i) ß borno m%n nhat X cho ánh xa vi b% ch¾n (ii) Neu X khơng gian véctơ vói moi i ∈ I, Xi khơng gian véctơ ßi borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi), vi ánh xa tuyen tính borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi) X sinh bói A borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi) m%n nhat X cho moi ánh xa vi b% chắn %nh ngha 2.10 Borno ò trờn X đưoc xây dnng Đ%nh lý 2.2 (i) (tương úng: Đ%nh lý 2.2 (ii)) đưoc goi borno cuoi (tương úng: borno véctơ cuoi, tương úng: borno loi cuoi) X xác đ%nh bói ánh xa vi Nh¾n xét 2.5 Giỏ sỳ Y l mđt borno, X oc trang b% vói borno cuoi xác đ%nh bói ánh xa vi Khi đó, ánh xa v : X −→ Y b% ch¾n chí v ◦ vi b% ch¾n, ∀i ∈ I Chúng minh Đieu ki¾n can: Giá sú v : X −→ Y ánh xa b% ch¾n vi : Xi −→ X b% ch¾n, ∀i ∈ I Khi đó, ta chúng minh v ◦ vi : Xi −→ Y ánh xa b% ch¾n Th¾t v¾y, giá sú A b% ch¾n Xi ⇒ vi(A) b% ch¾n X (vì vi b% ch¾n) ⇒ v(vi(A)) b% ch¾n Y (vì v b% ch¾n) ⇒ (v ◦ vi)(A) b% ch¾n Y ⇒ (v ◦ vi) b% ch¾n Đieu ki¾n đn: Giá sú v ◦ vi b% ch¾n vói moi i ∈ I ta phái chúng minh: v b% ch¾n Th¾t v¾y, giá sú A b% ch¾n Xi ⇒ vi(A) b% ch¾n X vói moi i ∈ I M¾t khác, A b% ch¾n Xi mà v ◦ vi b% ch¾n vói moi i ∈ I nên (v ◦ vi)(A) b% ch¾n Y ⇒ v(vi(A)) b% ch¾n Y vói vi(A) t¾p b% ch¾n X Do v ánh xa b% ch¾n 2.7 Borno thương Đ%nh nghĩa 2.11 Cho (X, ò) l mđt borno v : X −→ Y ánh xa tù X lên Y Khi borno ánh cna ß qua ánh xa ϕ borno cuoi Y xác đ%nh bói ánh xa ϕ Nh¾n xét 2.6 Vói ký hi¾u Đ%nh nghĩa 2.11 Khi borno ánh cna ß qua ánh xa ϕ borno cuoi Y xác đ%nh bói ánh xa ϕ ϕ(ß) só cna borno ánh cna ß qua ϕ Hơn nua, neu (X, ß) khơng gian véctơ borno (tương úng: khơng gian véctơ borno loi), Y không gian véctơ ϕ ánh xa tuyen tính borno ánh cna ß borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi) Chúng minh Ta có borno ánh cna ß borno cuoi Y xác đ%nh bói ánh xa ϕ Mà ϕ ánh xa lên nên theo Đ%nh lý 2.2 só cna borno ánh ϕ(ß) Hơn nua, neu (X, ß) khơng gian véctơ borno (tương úng: khơng gian véctơ borno loi), Y không gian véctơ ϕ ánh xa tuyen tính theo Đ%nh lý 2.2 (ii) borno ánh cna ß borno véctơ (tương úng: borno loi) Đ%nh nghĩa 2.12 Cho Y t¾p thương cna X theo quan h¾ tương đương Ta ký hi¾u ϕ ánh xa tac tù X lên Y Khi Y vói borno ánh cna ß qua ánh xa ϕ đưoc goi thương borno cna (X, ß) borno ϕ (ß) đưoc goi borno thương cna ß theo quan h¾ tương đương cho Nh¾n xét 2.7 Neu X = E không gian véctơ borno (tương úng: khơng gian borno loi) Y t¾p thương E/F , F khơng gian véctơ cna E thỡ ú borno ỏnh cna ò l mđt borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi) 2.8 Giái han quy nap borno 2.8.1 Ho quy nap borno Đ%nh nghĩa 2.13 Giá sú I ƒ= ∅ t¾p chí so đ%nh hưóng, (Xi, vji) m®t ho quy nap t¾p hop cho vói moi i ∈ I, Xi l mđt borno vúi borno òi Khi ú ho (Xi, vji) đưoc goi ho quy nap cna t¾p borno neu ánh xa vji : Xi −→ Xj b% ch¾n, ∀i ≤ j Ví dn 2.3 Cho I = {1, 2, 3}, X1 = R, X2 = R2, X3 = R3 goi ß1, ß2, ß3 lan lưot borno thơng thưòng X1, X2, X3 Xét c¾p chí so (1, 2) ton tai ánh xa tuyen tính (vji) v31 : X1 −→ X3 x −→ (x, 0, 0) v32 : X2 −→ X3 (x, y) −→ (x, y, 0) v21 : X1 −→ X2 x −→ (x, 0) goi vii : Xi −→ Xi ánh xa đong nhat Xi, ∀i = 1, Khi ho (Xi, vji) ho quy nap cna t¾p Xi Th¾t v¾y, ta chí can kiem tra đieu ki¾n v31 = v32 ◦ v21 Ta có (v32 ◦ v21)(x) = v32(v21(x)) = v32(x, 0) = (x, 0, 0) = v31(x) ⇒ (v31)(x) = (v32 ◦ v21)(x), ∀x ⇒ v31 = v32 ◦ v21 Tiep theo đe chúng minh (Xi, vji) ho quy nap cna t¾p borno ta phái chúng minh vji : Xi −→ Xj ánh xa b% ch¾n, ∀i ≤ j Th¾t v¾y, Xi cỏc borno ỏnh xa ong nhat cna mđt t¾p borno bat kỳ ánh xa b% ch¾n Túc vii : Xi −→ Xi ánh xa b% ch¾n, ∀i = 1, Do ta chí phái chúng minh: v21, v31, v32 ánh xa b % ch¾n (+) Ta chúng minh v21 : X1 X2 l ỏnh xa b% chắn Ta cú ò1 = {A ⊂ R : ∃M > : |x| ≤ M, ∀x ∈ A} Khi đó, ∀A ∈ ß1 ⇒ A b% ch¾n X1 ⇒ ∃M > : |x| ≤ M, ∀x ∈ A √ ⇒ ||v21(x)|| = ||(x, 0)|| = x2 + 02 = |x| ≤ M, ∀x ∈ A ⇒ ||v21(x)|| ≤ M, ∀x ∈ A ⇒ v21(A) b% ch¾n X2 Do v21 ánh xa b% ch¾n (+) Tương tn ta chúng minh v31 : X1 −→ X3 b% ch¾n Th¾y vắy, A ò1 A b% chắntrong X1 ∃N > : |x| ≤ N, ∀x ∈ A + 02 + 02 = |x| ≤ N, ∀x ∈ A Ta có:31||v =∀x ||(x, 0)|| ⇒ ||v (x)|| ≤ N, ∈ 0, A⇒ u31=(A)xb% ch¾n X3 31(x)|| Do v31 ánh xa b% ch¾n (+) Cuoi ta chúng minh v32 : X2 −→ X3 ỏnh xa b% chắn Ta cú ò2 = {A R2 : ∃M > : ||x|| ≤ M, ∀x A} Khi ú, A ,ò2 A b% chắn X2 ⇒ ∃M > : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A ⇔ ∃M > : x2 + x2 ≤ M, ∀x = ,(x1, x2) ∈ A , x , 0)|| = x + x ≤ M, ∀x = (x , x ) ∈ A ⇒ ||v32(x1, x2)|| 1= ||(x 2 2 ⇒ ||v3(x1, x2)|| ≤ M, ∀x = (x1, x2) ∈ A ⇒ v32(A) b% ch¾n X3 ⇒ v32 ánh xa b% ch¾n Như v¾y ho tat cá ánh xa (vji) đeu ánh xa b% ch¾n, ∀i ≤ j Do ho (Xi, vji) ho xa ánh cna t¾p borno Đ%nh nghĩa 2.14 Neu Xi không gian véctơ borno (tương úng không gian borno loi) tat cá ánh xa vji đeu ánh xa tuyen tính b% ch¾n ho (Xi, vji) đưoc goi ho xa ánh cúa không gian véctơ borno (tương úng: ho xa ánh cúa khơng gian véctơ borno loi) Ví dn 2.4 Theo Ví du 2.3 ta thay X1 = R, X2 = R2, X3 = R3 không gian véctơ borno (tương úng: khơng gian borno loi) vói borno thơng thưòng R, R2, R3 tat cá ánh xa (vji) đeu ánh xa tuyen tính b% ch¾n Do ho (Xi, vji) ho quy nap cna không gian véctơ borno (tương úng: cna không gian véctơ borno loi) 2.8.2 Borno giái han quy nap Giá sú (Xi, vji) m®t ho quy nap cna t¾p borno (tương úng khơng gian véctơ borno, tương úng: không gian borno loi) cho X l mđt (tng ỳng: khụng gian vộct) Vúi moi i ∈ I, ta goi ßi borno cna Xi vi : Xi −→ X ánh xa tac tù Xi vào X Khi borno giói han quy nap X tương úng vói borno ßi borno cuoi X xác đ%nh bói ánh xa vi S Vói moi i ∈ I, đ¾t vi (ßi) = {vi (Ai) : Ai ∈ ßi} Khi ho ß = vi (ßi) i∈I borno cuoi X borno ß đưoc goi borno giói han quy nap cna ho quy nap t¾p borno (Xi, vji) Neu (Xi, vji) m®t ho quy nap không gian véctơ borno (tương úng không gian borno loi) theo Đ%nh lý 2.2 borno giói han quy nap X m®t borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi) X vói borno giói han quy nap đưoc goi giói han quy nap borno cna ho quy nap borno (Xi, vij ) đưoc ký hi¾u là: X = lim (Xi, vij ) − ∈→ i I 2.9 Tong trNc tiep borno: Borno hÑu han chieu 2.9.1 Tong trNc tiep borno Đ%nh nghĩa 2.15 Cho I = l mđt so v (Ei)iI m®t ho khơng gian véctơ borno Giá sú E tong trnc tiep cna không gian véctơ Ei Vói moi i ∈ I, ta goi ßi borno cna Ei vi : Ei −→ E ánh xa tac tù Ei vào E Khi borno tong trnc tiep cna borno ßi borno véctơ cuoi E xác đ%nh bói ánh xa vi E vói borno tong trnc tiep đưoc goi tong trnc tiep borno cna không gian Ei đưoc ký hi¾u là: M E= Ei i∈I M¾nh e 2.6 Cho I = l mđt L chs so huu han Khi đó, ho tat cá Bi Bi ∈ ßi, ∀i ∈ I mđt ctắp cỳa E cú dang B = iI só cúa borno tong trnc tiep Chúng minh Ho tat cá tong v¾y phn E, on đ%nh đoi vói phép c®ng huu han phép nhân vói vơ hưóng, bao gom t¾p tròn, c sú cna mđt borno vộct ò cho vúi borno ánh xa vi b% ch¾n S Đieu chí rang ß chúa borno véctơ sinh bói vi(ßi) Tuy nhiên i∈I S L vi(ßi) chúa tat cá tong huu han có dang Bi (do ánh xa vi đơn i∈ I i∈I ánh) borno trùng Như v¾y, ho tat cá t¾p cna E L có dang B = Bi Bi ∈ ßi, ∀i ∈ I m®t só cna borno tong i∈I trnc tiep E 2.9.2 Borno tong trNc tiep borno tích Q Cho (Ei)i∈I m®t ho khơng gian véctơ borno Đ¾t F = Ei i∈I L tích borno E = Ei tong trnc tiep borno cna (Ei)i∈I Rõ ràng i∈I E m®t khơng gian véctơ cna F E borno tong trnc tiep ln m%n borno cám sinh bói F Khi borno se trùng neu I t¾p chí so huu han Th¾t v¾y, trưòng hop ta có the giá sú rang (Ei)i∈I chí gom phan tú E1 E2 Khi ánh xa tac: M E1 × E2 −→ E1 E2 (x1 , x2 ) −→ x1 + x2 m®t cau borno Do borno E F trùng 2.9.3 Tong trNc tiep giái han quy nap đ¾c bi¾t Giá sú F ho tat cá t¾p huu han cna I đưoc L sap thú tn theo quan h¾ bao hàm Vói moi J ∈ F(I) ta đ¾t EJ = i∈J Ei, EJ tong trnc tiep borno cna không gian véctơ borno (Ei)i∈J Vói J ⊂ J r ta ký hi¾u uJ r J phép nhúng tac tù EJ vào EJ r Khi EJ , u Jr J m®t ho quy nap không gian véctơ borno E = lim E , u r J →− J J 2.9.4 Borno hĐu han chieu Giá sú E m®t khơng gian véctơ xác đ%nh K Ve phương di¾n Đai so E cau vói tong trnc tiep K(I) cna khơng gian véctơ K đưoc đánh so bói t¾p I Do neu đong nhat E K(I) có the xét E borno tong trnc tiep cna borno tac K khơng gian E ntró thành giói han quy nap borno cna không gian huu han chieu K , n ∈ N Borno đưoc goi borno huu han chieu E, borno borno véctơ m%n nhat E borno véctơ loi 2.9.5 Không gian bù borno GiáE sú không giantrnc véctơ M,MNvà Nhai không gian conLcna saoE cho E tong tiepborno đai sovàcna Túc là, E = M N Bây giò ta trang b% cho M, N borno cám sinh bói E Khi ta nói rang M N không gian bù borno cna E M (tương úng: N ) phan bù borno cna N (tương úng: M ) E neu E tong trnc tiep borno cna M N M¾nh đe 2.7 E tong trnc tiep borno cúa M N chs m®t phép chieu lên không gian M, N ánh xa b% ch¾n Chúng minh Th¾t v¾y, giá sú E tong trnc tiep borno cna M N , goi pM (tương úng: pN ) phép chieu cna E lên M (tương úng: N L ) Vì m®t só cna borno E bao gom t¾p có dang A B vói A B lan lưot t¾p b% ch¾n M N Do đó, L L ⇒ pM (A B) = A pN (A B) = B Mà A, B t¾p b% ch¾n M (tương úng: N ) ⇒ pM , pN ánh xa b% ch¾n Ngưoc lai: Giá sú pM b% ch¾n pN b% ch¾n Th¾t v¾y, ta có: pM + pN ánh xa đong nhat E E không gian véctơ borno Mà ánh xa đong nhat cna m®t t¾p borno bat kỳ ánh xa b% ch¾n Do đó, pM + pN ánh xa b% ch¾n Hơn nua, pM ánh xa b % ch¾n nên pN ánh xa b% ch¾n Tương tn, neu pN ánh xa b% ch¾n pM ánh xa b% ch¾n Bây giò, giá sú neu C t¾p b% ch¾n E pL M (C) pN (C) lan lưot b% ch¾n M N Do C ⊂ pM (C) pN (C) nên C t¾p b% ch¾n đoi vói borno tong trnc tiep Chúng tó borno cna E m%n borno tong trnc tiep Nhưng borno tong trnc tiep rõ ràng m%n borno cna E, tong cna hai t¾p hop b% ch¾n E t¾p b% ch¾n Bói v¾y hai borno trùng nhau.Túc là, borno E borno tong trnc tiep V¾y E tong trnc tiep borno cna M N 2.10 SN on đ%nh cúa tính chat tách Trong muc ta nghiên cúu tính chat tách cna borno bán đưoc chí ó é ta van ký hi¾u I t¾p chí so khác rong M¾nh e 2.8 Giỏ sỳ (Ei, òi)iI l mđt ho cỏc không gian véctơ borno ánh xatách, E không gian véctơ vói moi i ∈ I, ui : E −→ Ei tuyen tính Khi borno đau E xác đ%nh bói ánh xa ui borno tách chs vói moi x ∈ E, x ƒ= 0, ∃i ∈ I : ui (x) ƒ= Chỳng minh ieu kiắn can: Goi ò l borno đau E xác đ%nh bói ánh xa ui ⇒ ß = {A ⊂ X : ui(A) ∈ ßi, ∀i ∈ I} Giá sú ß borno tách, x ∈ E, x ƒ= ta phái chí ra, ∃i ∈ I : ui(x) ƒ= Th¾t v¾y, ß borno tách hay E không gian tách nên {0} khơng gian b% ch¾n nhat cna E Do dưòng thang L sinh bói x khơng b% ch¾n E ⇒ ∃i ∈ I : ui(L) khơng b% ch¾n Ei Mà Ei khơng gian tách, ∀i ∈ I ⇒ ∃i ∈ I : ui(x) ƒ= Đieu ki¾n đn: Giá sú, ∀x ∈ E, x ƒ= ⇒ ∃i ∈ I : ui(x) ƒ= Khi ta phái chúng minh E không gian tách Túc là, giá sú M không gian b% ch¾n bat kỳ cna E, ta phái M = {0} Thắt vắy, M ò ⇒ ui(M ) ∈ ßi, ∀i ∈I ⇒ ui(M ) t¾p b% ch¾n Ei, ∀i ∈ I Hơn nua vói moi i ∈ I, ui(M ) khơng gian cna Ei Vì vói moi, ui(x), ui(y) ∈ ui(M ), ∀λ ∈ K ta có: (i) ui(x) + ui(y) = ui(x + y) (vì ui ánh xa tuyen tính) ⇒ ui(x + y) ∈ u(M ) (vì M không gian con) (1) (ii) λui(x) = ui(λx) (vì ui ánh xa tuyen tính) ⇒ λui(x) ∈ ui(M ) (vì M khơng gian con) (2) Tù (1) (3) ⇒ ui(M ) không gian cna Ei, ∀i ∈ I V¾y ui(M ) khơng gian b% ch¾n Ei, ∀i ∈ I ⇒ ui(M ) = {0}, ∀i ∈ I(3) M¾t khác, ∀x ∈ E, x ƒ= ⇒ ∃i ∈ I : ui(x) ƒ= Mà M¾nh đe lai tương đương vói M¾nh đe sau: ∀i ∈ I : ui(x) = ⇒ ∃x ∈ E : x = Do tù (3) suy M = {0} V¾y E không gian tách hay borno đau E borno tách H¾ q 2.1 (i) Tích cna khơng gian véctơ borno tách tách (ii) Moi không gian borno cna không gian véctơ borno tách tách (iii) Giao cna không gian véctơ borno tách tách (iv) Giói han xa ánh cna khơng gian véctơ borno tách tách M¾nh đe 2.9 Giá sú E = lim (Ei, vji) giói han quy nap borno cúa −→ không gian véctơ borno tách Neu tat cá ánh xa vji đơn ánh E tách Chúng minh Th¾t v¾y, moi t¾p hop b% chắn cna E eu l mđt b% chắn cna mđt cỏc khụng gian tỏch Ei Do moi t¾p b% ch¾n cna E đeu l gom mđt phan tỳ {0} Tỳc l E khơng gian tách M¾nh đe 2.10 Tong trnc tiep borno cúa không gian véctơ borno tách tách Chúng minh Theo Muc 2.9.3 tong trnc tiep giói han quy nap đ¾c bi¾t Nên tong trnc tiep borno cna không gian véctơ borno tách giói han quy nap borno cna khơng gian véctơ borno tách Do theo M¾nh đe 2.9 tong trnc tiep borno cna không gian véctơ borno tách tách L Nh¾n xét 2.8 Neu E = Ei Ei khơng gian véctơ borno i∈I tách phép chieu pi : E −→ Ei b% ch¾n, ∀i ∈ I 2.11 T¾p đóng borno: Tính chat tách cúa thương borno Đ%nh nghĩa 2.16 Giá sú E mđt khụng gian vộct borno Tắp A E oc goi đóng borno ho¾c Mackey - đóng (viet tat: b - đóng, ho¾c M M đóng) neu, ∀ (x n) ⊂ A mà xn → x E ta có x ∈ A n∈N Nh¾n xét 2.9 Neu E khơng gian borno loi t¾p A ⊂ E b - đóng chí vói moi đĩa b% ch¾n B ⊂ E A ∩ EB đóng EB Nh¾n xét đưoc trnc tiep tự ắc trng cna dóy hđi tu theo borno không gian loi đ%a phương (theo M¾nh đe 1.3) Nh¾n xét 2.10 Ta có the chí rang: Ton tai m®t topo E có t¾p đóng t¾p b - đóng cna E Nh¾n xét 2.11 Giá sú E, F không gian véctơ borno giá sú u : E −→ F ánh xa tuyen tính b% ch¾n Khi ngh%ch ánh qua u cna t¾p b - đóng cna F t¾p b - đóng cna E M M Vì xn → x E nên u(xn) → u(x) F M¾nh đe 2.11 M®t khơng gian véctơ borno E tách chs không gian véctơ {0} b - đóng E Chúng minh Đieu ki¾n can: Giá sú E không gian véctơ borno tách A = {0} Giỏ sỳ (xn) l mđt dóy A h®i tu tói m®t phan tú x E M¾t khác, xn = 0, ∀ n nên dãy h®i tu tói E Do theo M¾nh đe 1.4 ve sn ton tai nhat cna giói han borno khơng gian tách ta có: x = ⇒ x ∈ A M Như v¾y, ∀(x n ) ⊂ A : nx → x E ta có x ∈ A Do khơng gian véctơ {0} b - đóng E Đieu ki¾n đn: Giá sú rang {0} b - đóng E (xn) m®t dãy h®i M M tu theo borno tói phan tú x y E Túc là, xn → x xn → y E Khi dãy xn − xn = h®i tu tói x − y theo borno M¾t khác, {0} b - đóng E nên x − y = ⇒ x = y Túc giói han cna moi dãy h®i tu theo borno E đeu nhat Do theo M¾nh đe 1.4 khơng gian véctơ borno E tách Tiep theo đưa tiêu chuan tách đoi vói borno thương M¾nh đe 2.12 Giá sú E m®t khơng gian véctơ borno M m®t khơng gian cúa E Khi thương E/M tách chs M đóng borno E Chúng minh Neu E/M tách {0} b - đóng E/M Neu ϕ : E → E/M ánh xa tac M = ϕ−1(0) b - đóng E Ngưoc lai, giá sú M b - đóng E H l mđt khụng gian b% chắn cna E/M Đe chúng minh E/M tách ta phái chúng minh: H = {0} Th¾t v¾y, giá sú ϕ(x) ∈ H, x E ú ton tai mđt trũn, b% ch¾n A ⊂ E cho Kϕ(x) ⊂ ϕ(A) ⇒ Kx ⊂ A + M Do vói moi n ∈ N, nx ∈ A + M ⇒ ∃ (xn) ⊂ M : nx − xn ∈ A ⇒ (x − yn) x ∈ M ⇒ yn −→ x M A y n n ∈ = n n Vì M b - đóng nên x ∈ M ⇒ ϕ (x) = Mà ϕ (x) ∈ H, ∀x ∈ E ⇒ H = {0} V¾y thương E/M tách 2.12 Khơng gian véctơ borno tách liên ket Vói moi không gian véctơ borno E se liên ket vói m®t khơng gian véctơ borno tách m®t ánh xa tac tù E vào ˙ ˙ E E cho vói moi ánh xa tuyen tính b% chắn tự E vo mđt khụng gian vộct tỏch bat kỳ đeu có the phân tích nhat Trưóc het can đen khái ni¾m bao đóng borno Đ%nh nghĩa 2.17 Giá sú E m®t khơng gian véctơ borno Khi bao đóng borno (viet tat: b - bao úng, hoắc M - bao úng) cna mđt A ⊂ E đưoc kí hi¾u bói A giao cna tat cá t¾p đóng borno cna E chỳa A Nhắn xột 2.12 Rừ rng E l mđt t¾p b - đóng chúa A giao cna t¾p b - đóng lai b - đóng nên b - bao đóng cna A t¾p b - đóng nhó nhat chúa A Nh¾n xét 2.13 b - bao úng cna mđt cna E trựng vúi bao úng theo mđt topo no ú trờn E Mắnh đe 2.13 Giá sú E m®t khơng gian véctơ borno Khi b - bao đóng cúa m®t khơng gian cúa E m®t khơng gian Chúng minh Theo đ%nh nghĩa, vói moi t¾p b - đóng A ⊂ E vói moi x ∈ E t¾p AX = {z ∈ E : (x + z) ∈ A} b - đóng E Bây giò giá sú F m®t khơng gian cna E, F bao đóng cna F x, y ∈ F Neu a m®t phan tú bat kỳ cna F t¾p Fa b -đóng E chúa F nên phái chúa F Do (a + y) ∈ F, ∀a ∈ F Tiep theo ta có t¾p F y b - đóng chúa F ⇒ Fy ⊃ F ⇒ (x + y) ∈ F Khi đó, ∀λ ∈ K, ánh xa x → x tù E vào E ánh xa tuyen tính b % ch¾n nên ngh%ch ỏnh cna tắp.zb - úng quaỏnh trờn bl-mđt búng (Nhắn xột 2.11) Do mđt ú E : λz F xa t¾p đóngt¾p E chúa F chúa F ⇒ λx ∈ F, ∀x ∈ F, λ ∈ K V¾y F mđt khụng gian Nhắn xột 2.14 Núi chung moi phan tỳ cna b - bao úng cna mđt A ⊂ E khơng phái giói han borno cna m®t dãy A ke cá A m®t khơng gian cna E M¾nh đe 2.14 Giá sú E m®t khơng gian véctơ borno, {0} b - bao đóng cúa {0} E, thương E/{0} ϕ : E −→ ánh xa E˙ E˙ tac Khi đó: (i) E m®t khơng gian véctơ borno tách ˙ (ii) Vói moi ánh xa tuyen tớnh b% chắn tự E vo mđt khụng gian vộct borno tách G đeu ton tai nhat m®t ánh xa tuyen tính b% ch¾n : −→ G u˙ cho u = u˙ ◦ ϕ E˙ Đ%nh nghĩa 2.18 Khơng gian M¾nh đe 2.14 đưoc goi khơng E˙ gian véctơ borno tách liên ket vói khơng gian E ánh xa ϕ : E −→ E˙ ánh xa tac tù E vào E˙ KET LU¾N Trong khóa lu¾n em t¾p chung nghiên cúu ve "M®t so phương pháp xây dNng borno bán" Đóng góp cna khóa lu¾n trình bày mđt cỏch cú hắ thong, chi tiet húa mđt so Đ%nh lý, M¾nh đe, Nh¾n xét như: Đ%nh lý 2.1, M¾nh đe 1.4, M¾nh đe 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.8, 2.11, Nhắn xột 2.5, tỡm hieu thờm mđt so khái ni¾m mói đưa ví du minh hoa cho khái ni¾m mà chương trình Đai hoc chưa đe c¾p tói moi liên h¾ cna chúng vói kien thúc có liên quan đen đe tài Như v¾y có the nói đe tài hồn thành nhi¾m vu nghiên cúu đ¾t Đe hồn thnh oc bi khúa luắn tot nghiắp ny, mđt lan nua em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i nói chung thay to giái tích nói riêng đ¾c bi¾t thay Tran Văn Bang - Ngưòi thay t¾n tình giúp đõ, chí báo cho em suot thòi gian qua M¾c dù có nhieu co gang song han che ve m¾t thòi gian kien thúc nên khóa lu¾n cna em khơng tránh khói nhung thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban đoc đe đe tài cna em đưoc hồn hi¾n Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy - Hoàng Ngoc Tuan - Nguyen Văn Tuyên (2007), Giáo trình topo đai cương đ® đo tích phân, NXB Đai hoc Sư pham Hà N®i [2] Hồng Tuy (2002), Hàm thnc giái tích hàm, NXB Đai hoc Quoc Gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [3] Leopoldo Nachbin (1977), Bornologies and Function Analysis, North - Holland 32 ... Chương M®t so phương pháp xây dNng borno bán Chương trình bày phương pháp bán đe xây dnng m®t borno mói tù nhung borno biet gan vói phương pháp xây dnng khơng gian bán giái tích hàm 2.1 Borno đau... khỏi niắm liờn quan en borno M®t so phương pháp xây dNng borno bán 2.1 Borno đau 2.2 Borno tích 13 2.3 Borno cám sinh: Không gian borno 14 2.4 Borno sinh búi mđt ho... biắt l cỏc cỏch xõy dnng mđt borno múi tù nhung borno biet gan vói phương pháp xây dnng khơng gian bán giái tích hàm nên em chon đe tài "M®t so phương pháp xây dNng borno bán" làm khóa lu¾n tot