Một số phương pháp xây dựng phương trình và hệ phương trình

Phương trình, hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT, bài toán giải phương trình, hệ phương trình thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh

Phương trình, hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT, bài toán giải phương trình, hệ phương trình thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và trong đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình rất phong phú và đã được trình bày trong rất nhiều tài liệu khác nhau, trong bài viết này sẽ đề cập đến một số phương pháp

cơ bản để xây dựng một số bài toán phương trình và hệ phương trình

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đào Văn Lương TTCM trường THPT chuyên Lào Cai

§ 1: Xây dựng phương trình, hệ phương trình từ các đẳng thức

1 Đặt vấn đề

i) ⎧⎨ = ⇔⎧⎨ − =

y=1 2x-y=3

ii)

⎧

⎪

8 6 8

-6

7x-5y=

y x

x

2 Áp dụng

Bài 1: Giải hệ phương trình ⎧⎪⎨ − =

⎪⎩

3 3

35 2x 3 4x-9y

y

6x 9 12x-27y x -6x 12x-8=y 9 +27y+27 (x-2) =(y+3)

Nhận xét:

Hệ phương trình trên nhận được bằng cách sau:

Xuất phát từ: x-y=5 ⇔ − = + ⇔x 2 y 3 (x−2)3 =(y+3)3 ⇔x3−4x2+8x-8=y3+6y2+18y+27

⇔x3−y3−4x2 +8x-6y2 −18y−35=0

Đến đây để có hệ phương trình liên hệ giữa hai ẩn x;y ta chỉ việc:

Chọn cho x3-y3 = 35 và liên hệ còn lại là: −4x2+8x-6y2−18y= ⇔0 2x2+3y2 =4x-9y

Kết hợp hai liên hệ giữa x;y ta có hệ phương trình đã cho

Một bài toán được xây dựng theo ý tưởng tương tự

Bài 2: Giải hệ phương trình: ⎧⎪⎨ − =

⎪⎩

4 4

240

2 3( 4 ) 4( 8 )

Lời giải

Nhân phương trình thứ 2 với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất, ta được:

x4-8x3+24x2-32x+16 = y4-16y3+96y2-256y+256 ⇔(x−2)4 =(y−4)4

Đáp số: (-4;-2); (4;2)

Bài 3: Giải hệ phương trình:

⎪

⎨

⎪ − = −

⎪⎩

2 2

2 2

1 1

2

1 1

2

Hướng dẫn:

Bài toỏn gốc: ⎧⎪⎨ + =

⎪⎩

3

3

x y

x y

⎧

⎪

⎪⎩

2 3

1

y

⎧

⎪

⇔ ⎨

⎪ − = −

⎪⎩

2 2

2 2

1 1

2

1 1 2

Bài 4: (x2-3)3-(4x+6)3+216 = 18(4x+6)(3-x2)

Hướng dẫn: ta đó biết đến bài toỏn phõn tớch thành nhõn tử:

a3+b3+c3-3abc = 0 ⇔ (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] = 0 ⇔ ⎢

⎣

⎡

=

− +

− +

−

= + +

0 ) a c ( ) c b ( ) b a (

0 c b a

2 2

Bằng cỏch chọn: a = x2-3 ; b = -4x-6 ; c = 6, ta nhận được bài toỏn trờn

*) Nếu a+b+c =0 thì khi đó ta có: x2 -3 - 4x-6+ 6 = 0 ⇔ x2

- 4x - 3 = 0 ⇔

⎢

⎢

⎣

⎡

+

=

−

=

7 2 x

7 2 x 2

1

*) Nếu a = b = c thì khi đó ta có hệ :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

=

= + + 12 x

9 x

0 3 x 4 x 2 2

⇔ x = -3

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

+

=

−

=

3 x

7 2 x

7 2 x

3 2 1

Bài 5: Giải hệ phương trỡnh:

2 3

3 (2 2 )

3

x y xyz z

y x

⎧

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

Hướng dẫn:

Đặt z = -t ta có: phương trình (1) trở thành: x3

+y3 +t3

- 3xyt = 0

⇔ ⎢

⎣

⎡

=

− +

− +

−

= +

+

) ' 2 ( 0 ) x t ( ) t y ( )

y

x

(

0 t

y

x

2 2

2

) (1'

Dễ thấy phương trình (2') có nghiệm: x = y = t = -z < 0 (loại)

Ta xét phương trình (1') ⇔ x+y = z thay vào phương trình (2) của hệ ta được: z = 4 ⇒ x+y = 4

Kết hợp với pt(3) suy ra nghiệm của hệ phương trỡnh

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 1:

4 4

2 1

4 2 1

4

x

x y

y

x y

⎪

+

⎪

⎨

+

⎪

⎩

Bài tập 2: Giải hệ phương trình:

⎧

⎪

⎨

⎪⎩

4 4

1 1

2

1 1

2

Bài tập 3: Giải hệ phương trình:

⎧

⎪

⎨

⎩

12

3

12

3

x

y

Bài tập 4: Giải hệ phương trình:

⎧

⎪

⎨

⎩

1

1

x

x y

y

x y

(VMO 1996)

Bài tập 5: Giải hệ phương trình ⎧⎪⎨ + =

⎪⎩

3 3

9

y -

§ 2: Xây dựng phương trình, hệ phương trình từ các bất đẳng thức

1 Một số mệnh đề cơ bản:

a) A2+B2+…+C2=0

b) ( ) ( ( ))

( ) ( ( ))

f x C h x

g x C h x

≥

⎧

⎨

≤

⎩

( ) ( )

f x ≥g x

2 Ví dụ mở đầu

Ta muốn xây dựng một phương trình có nghiệm là: x=2

a) Xuất phát từ các bình phương có dấu bằng xảy ra khi x=2

Ví dụ: (x −2)2+ ( 2x-3 1) − 2 = 0 Từ đây ta có bài toán:

Giải phương trình: x −2 2x+2=2 2x-3

Phức tạp hơn ta có thể xuất phát từ: (x−2)2+( 2x-3 1)− 2+ x3− =8 0 Ta có bài toán

Giải phương trình: x2−2x+2=2 2x-3− x3−8

b) Muốn xây dựng một hệ phương trình có nghiệm là: 1

2

x y z= = =

Ta làm như sau: Xuất phát từ:

(2x-1) +(2y−1) +(2z-1) = ⇔0 4x +4y +4z −4x-4y-4z+3=0

(4x 4y 1) (4y 4z+1) (4z 4x+1)=0

1 x= y-4 2x= 4y-1

1

2 4z-1 y=

z-4

2 4x-1

1 z= x-4

y

z

⎧

⎪

⇔⎨ = ⇔⎨

=

⎩

⎪

⎪⎩

Hoặc

Xuất phát từ: ( 4x− −1 1)2+( 4y− −1 1)2+( 4z− −1 1)2 = 0

2x+2y+2z- 4x− −1 4y− −1 4z− Ta sẽ có hệ phương trình 1

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

= +

−

= +

−

= +

1 y 4 x z

1 x z y

1 z 4 y x

Bằng cách làm này ta có thể xây dựng ra các lớp hệ phương trình không còn đối xứng

c) Hoặc các hệ phương trình mà một phương trình chính là dấu bằng của một bất đẳng thức, các phương trình còn lại chỉ nhằm mục tiêu làm cho BĐT tồn tại

Giải hệ phương trình sau:

2

3

xy

⎧

⎪

⎪

⎨

⎩

Hướng dẫn: Điều kiện: x,y>1

Biến đổi phương trình (1) như sau:

2 2

y+ x = xy ⇔ y+ + x+ = xy +

2(2 1)

xy

x y

+

Vỡ x y+ Cauchy≥ 2 xy ⇔ + + ≥x y 1 2 xy+1

1+x+1+y≥1+ xy

Thực tế là việc nhận dạng phương phỏp giải cỏc phương trỡnh và hệ phương trỡnh là khụng dễ

3 Áp dụng

Bài 6: Giải hệ pt:

2

2

x 4 3x 2 10 2y

y 6 4y 3 11 x

⎪

⎨

⎪⎩

Hướng Dẫn:

Cộng hai vế của hệ rồi biến đổi thành: ( 3x 2 2)− − 2+(x 2)− 2+( 4y 3 3)− − 2+(y 3)− 2= 0

Bài 7: Giải phương trình 2

2

⎛ ⎞

− + − = −⎜ + ⎟

⎝ ⎠

HD: Đk

2 2

2 2

2 2

x

x

⎡

− ≤ ≤ −

⎢

⎢

⎢

≤ ≤

⎢

⎣

Với đk đó, phương trình đã cho tương đương với

phương trình 2 12 1

theo BĐT Bunhiacopxki, ta được

⎪⎪

⎪⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎩

Suy ra Vt(1) 4≤ = Vp (1) Do đó

2

2

x x

x x

⎧ − + =

⎪

⇔ ⎨

⎪

⎩

, nghĩa là dấu bằng trong hệ xảy ra Từ

đó phương trình có nghiệm duy nhất là x =1

Bài 8: : Giải hệ phương trỡnh

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

− +

−

+

= +

+ +

9

2 ) 2 1 ( ) 2 1

(

2 1

2 2

1

1 2

1

1

2 2

x y x x

xy y

Giải

Bỡnh phương hai vế của bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức tương đương

xy y

y x

4 1

1 1

1

2 1

1

2 2

2 2

Theo bất đẳng thức CBS, ta có

xy y

x xy

y x

+

≤ + +

⇒ +

≥ + +

1

2 1

1

2 1

1 1

2 2

2

chỉ cần chứng minh

xy y

x + + ≤ +

2 1

1 1

1

2

2 (**) là xong Nhưng (**), qua các phép biến đổi đại

số đơn giản, tương đương với 0

) 1 )(

1 )(

1 (

) )(

1 (

2 2

2

≥ + +

+

−

−

y x

xy

y x xy

đúng do x, y thuộc [0, 1]

1 Ta có thể làm khác đi một chút bằng cách áp dụng CBS ngay từ đầu:

xy y

x y

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+ +

≤

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

+

4 1

1 1

1 2 1

1 1

1

2 2

2

2

chứng minh Rõ ràng trong hai cách chứng minh trên, ta chỉ cần điều kiện -1 < xy ≤ 1

Bài 9:

2 2

2

xy

x y

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

⎧

⇔

⎪

⎩

2

0

y y

+ = ⎜ + ⎟>

⎝ ⎠

+⎜ + ⎟≥ ⎜ + ⎟ = +

2 2

y

2 2 8xy 16 ( )2 16 2 8xy 0

(x y 4 ()⎡ x y)2 4(x y) 2xy⎤ 0

⇔ + − ⎢ + + + − ⎥=

(x y 4)⎡x2 y2 4(x y)⎤ 0

⇔ + − ⎢ + + + ⎥=

4

x y x+ > + y≥ ⇒ ⇔ x y+ =

2

2

y

⎩

7

4

7

x

y

⎧

=

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪ =

⎪⎩

8 12

x y

⎧ = −

⎨

=

⎩

2

2

Hướng dẫn: Bài toỏn gốc là bất đẳng thức Nesbits

Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: + + ≥

3 2

b c c a a b

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

+

−

=

− +

Bài tập 7: Giải phương trình

2

3

2

x x

−

Bài tập 8: Giải phương trình 2 2 9

x+ + = +

Bài tập 9: Giải phương trình 13 x2−x4 +9 x2+x4 =16

2

1

x

Bài tập 11: Giải phương trỡnh: 3x3+2x2+ + −2 3x3+x2+2x-1 2x= 2+2x+2

Bài tập 12: Giải hệ phương trỡnh:

3 3 (1 )(1 )(1 ) (1 z)

y z

⎪

⎨

⎪⎩

Bài tập 13: Giải hệ phương trỡnh:

(2 )(1 2x)(2 )(1 2 ) 4 10z+1

2xz+2yz+x 1 0

⎪

⎨

⎪⎩

Bài tập 14:

2 2

2x-y+ x-1 2( 1) 2(2x-y) 4x x-1 17 0

x y

⎪

⎨

⎩

Bài tập 15 : Giải hệ phương trỡnh:

3 3 3

3 x -12

9z+2x z 32

x y

y

⎧ + =

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

Bài tập 16: Giải hệ phương trỡnh:

3 3

3x+4

y x

⎧ = − +

⎪

⎨

⎪⎩

Bài tập 17: Giải hệ phương trỡnh:

3 3 3

3x+4

x y

z y x

⎧ + =

⎪⎪

⎨

⎪

+ =

⎪⎩

Bài tập 18: Giải hệ phương trình:

3 3 3

3x-12y+50

z 27 27z

x

y z x

⎧ =

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

-

§ 3: Xây dựng phương trình, hệ phương trình bằng cách sử dụng tính đơn

điệu của hàm số

1 Cơ sở:

Mệnh đề 1: Hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên (a;b) và y=f(x) đơn điệu trên (a;b) Khi đó

phương trình dạng: f u( )= f v( )⇔ =u v, u,v∈(a;b)

Chứng minh:

Không mất tính tổng quát, giả sử y=f(x) là hàm số đồng biến trên (a;b)

<=) Nếu u=v thì hiển nhiên f(u)=f(v)

=>) Nếu f(u)=f(v) ta phải chứng minh u=v Phản chứng giả sử ≠u v

*) u > v

*) u < v đều dẫn đến vô lý Vậy u = v

Mệnh đề 2: hai hàm số y = f(x) và y=g(x) có tính đơn điệu trái ngược nhau trên (a;b)

Nếu phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x0 thuộc (a;b) thì nghiệm đó là duy nhất

Chứng minh:

2 Ví dụ mở đầu

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3− + =3

1 2x-1

Nhận xét: Xét hàm số f(t)=t3+t, t∈ ° , ta có hàm số là đồng biến trên R

Chọn = = 3

; 2x-1

u x v ta xây dựng được phương trình

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:⎧⎪⎨ + + − − =

⎪⎩

2

2 2

(4x 1) ( 3) 5 2 0

(Đại học khối A-2010)

Xét hàm: = 2+ = 3+

( ) ( 1)

f t t t t t là hàm đồng biến; chọn u=2x; v= =v 5 2− y ta nhận được phương trình (1), việc nhân 2 vế phương trình (1)với 2 là không tự nhiên và khó phát hiện

Ví dụ 3: y=2x và y=2-log3x ta có phương trình: 2x=2-log3x

Nhận xét: Bằng cách chọn những hàm f(x) khác nhau và các biến u, v khác nhau ta sẽ nhận được

các phương trình hệ phương trình tương ứng

3 ÁP DỤNG

Bài 11: Giải phương trình: (x+1)(2+ x2+ 2x+4) 2x(2+ 4x-­‐ 2+ 3)=0

Hướng dẫn: f(x+1)=f(2x), với f t( )= t(2+ t2+ 3)

Bài 12: Giải phương trình:: 2(x −3)( 4x-83 + 2x-4) 3x-4=

Bài 13: Giải hệ phương trình :

2

Ô

ÌÔ -­‐ -­‐ = -­‐ -­‐

Ô

Giải

Điều kiện xác định của hệ phương trình là

⎩

⎨

⎧

≤

≤

≤

≤

−

2 0

1 1

y

x

(*)

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

− +

= +

−

+ + +

= +

) 2 ( 2

1 1

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2

3 3

y y

x

x x

y y

Từ(*) ta có [ ]

1 0; 2 0; 2

x

y

⎧ + ∈

⎪

⎨

∈

⎪⎩

Xét: f(t)=t3 +t ; có f'(t)=3t2 +1>0 ∀t

Hàm số f(t)=t3 +t đồng biến trên đoạn [ ]0;2 nên pt(1)⇔ y= x+1,

thế vào pt(2) ta được: 1−x2 +1= 1+x+ 1−x

⇔ x=0⇒ y=1 (thỏa mãn (*))

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) là ( )0;1

a)

2

(x+ 1+x )(y+ 1+y )=1

x 6x+2x 1 4xy+6x+1

⎧⎪

⎨

⎩

b)

x

2y(4y +3x )=x ( 3)

2 ( 2 2x+5 1) 4

x

⎪

⎨

⎪⎩

Hướng dẫn: a) Từ pt(1) dùng PP hàm suy ra x=-y.Thay vào (2):

1 25x

2

x x

x

=

⎡

⎢

⎢⎣

b)

x

2y(4y +3x )=x ( 3)

2 ( 2 2x+5 1) 4

x

⎪

⎨

⎪⎩

Hướng dẫn: ĐK: 2y −2x+5 0≥ Nhận thấy x=0 không thỏa mãn phương trình (1) Ta chia cả hai vế pt(1) cho x3 ta có phương trình

( y) 3 y x 3x

x + x = + , xét hàm f(t)=t

3+3t đây là hàm đồng biến, khi đó từ (1) ta sẽ nhận được:

2

x + x = + ⇔ ⇔ = ⇔ = , thay vào pt(2) ta nhận được phương

trình: 2x− 1( (x 1)2 4 (x 1)) 2

− + − − = (*) Xét hàm f u( ) 2= u( u2+ −4 u)−2;u R∈ có ( 2 )

2

1

4

u

u

+

Vậy f(u) đơn điệu tăng, do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất:

Thấy u=0 là nghiệm, suy ra x=1, suy ra y=1/2

Bài 15: Giải hệ phương trình sau:

2

2 2 1 6 4 1 (2)

⎪

⎨

⎪⎩

Giải ĐK:

1 1 2

x y

≥

⎧

⎪

⎨

≥

⎪⎩

Phương trình (1): (x−1)3+3(x− +1) x− =1 (2y−1)3+3 2( y− +1) 2y− (3) 1

Xét hàm số: f t( )=t3+3t+ t với t ≥0 Vì ( ) 2 1

2

t

= + + > ∀ > nên hàm số f(t) đồng biến trên [0;+∞ Từ pt (3) suy ra ) f x( −1)= f (2y−1)⇔ =x 2y

Thay vào phương trình (2) :

+ Đặt a 4y 1 (a 4)

y

= + ≥ thay vào (4) ta được pt : a=3 a+ , giải được a = 12 4

Với a = 12 ta tìm được 3 2 2 3 2 2

2

y= + ⇒ = +x

+ KL : Hệ cú nghiệm : 3 2 2;3 2 2

2

+

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

B i tập 19: Giải hệ phương trình:

x y

sin x e

sin y

x, y 0;

4

−

⎪

⎪

⎪

⎨

⎛ ⎞

⎪ ∈⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎩

B i tập 20: Giải hệ phương trỡnh: a)

3

⎪

⎨

⎪⎩

⎧

⎪

⎨

⎪⎩

B i tập 21:: Giải hệ phương trỡnh:

2

1 2

2

3

2

x y

xy

−

⎧

− = − −

⎪

⎨

⎩

Bài tập 22: Giải hệ phương trỡnh:

−

−

⎪

⎨

⎪⎩

2x+2 3 1

2 +2 3 1

y

x

Bài tập 23: Giải hệ phương trỡnh: ⎧⎪⎨ − −

⎪⎩

8 4

5x=y 5 1

Bài tập 24: Giải phương trỡnh: 3 (2x + 9x2+3) (4+ x+2)( 1+ +x x2 +1) 0=

Bài tập 25: Giải cỏc phương trỡnh sau:

1

x x

x

x x x

6 2

5 log 2

3 5

3

2

−

−

=

− −

−

5 4 2

3

2

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ +

+

x x

x x

Bài tập 26: Giải phương trỡnh: 2(x −2)( 4x-43 + 2x-2) 3x-1=

Bài tập 27: Giải hệ phương trình:

3

(3 x) 2 x 2y 2y 1 0

⎪

⎨

⎩

Bài tập 28: Giải hệ phương trỡnh:

2

1 1

3log ( 2 6) 2log ( 2 1)

e

y

−

=

⎪

+

⎨

⎩

Bài tập 29:

3 2

2 2x 1-x 3 1-x 2x 1 2xy 1+x

y

⎪

⎨

⎪⎩

Bài tập 30: Giải phương trình: 2 2x-1 27x3 = 3−27x2+13x-2

Bài tập 31: Giải phương trình:

2x+1 3

=

2

1 ( 3 2 1 2

2 8

1

1 2

+

+ +

+

x x

x x

x x

B i tập 33 Giải hệ phương trình:

⎪

⎨

⎪⎩

B i tập 34: Giải hệ phương trình sau :

( )

( )

2

1

5

2

⎪

⎪

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎩

B

1

2 2

2

( 1)

+

⎪⎪

⎪

⎩

-

§ 4: Xây dựng phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp tam thức bậc hai

1 Đặt vấn đề:

a) Xuất phát từ x=y và x=2y ta xây dựng nên phương trình bậc hai:

(x-y)(x-2y)=0 tương đương với x2-3xy+2y2=0 (Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai) Kết hợp với một phương trình 2 biến x; y khác ta có được một hệ phương trình

Nếu x=y và x=y+1, ta xây dựng phương trình bậc hai ẩn x nhận y và y+1 làm nghiệm

(x-y)(x-y-1)=0 tương đương x2-2xy+y2-x+y=0,… và kết hợp với 1 phương trình 2 biến x, y khác

ta cũng nhận được hpt tương ứng

b) Trong một số trường hợp khác khi xem 1 phương trình của hệ là 1 phương trình bậc hai với 1 ẩn x hoặc y ta có biểu thị giữa x và y thông qua công thức nghiệm, trong một số trường hợp khi đặt điều kiện để tồn tại nghiệm x, y, tức delta không âm ta tìm được miền bị chặn của biến còn lại và đó lại là cơ sở để giải quyết bài toán

2 Ví dụ mở đầu

VD1: Giải hệ phương trình:

=x 2

x y y x

⎪

⎨

⎪⎩

(D-2009)

VD2: Giải hệ phương trình:

2

(5x+4)(3 ) 5x 4xy+16x-8y+16=0

y

⎪

⎨

⎪⎩

3 Áp dụng:

Bài 16: Giải hệ phương trình:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

− + + +

= + +

−

− +

0 4

0 2 5

2 2 2

2 2

y x y x

y x y xy x

Hướng dẫn:

Coi phương trình (1) là 1 phương trình bậc hai với ẩn x:

2x +(y−5)x y− + + = có y 2 0 Δ =(y−5)2+8(y2− −y 2) 9= y2−18y+ =9 (3y−3)2

2 4

x

y y

⎡

⎢

+ − − + + = ⇔ ⎢

⎢⎣

Nhận xét: Xuất phát từ liên hệ: 2x-y-1=0 và x+y-2=0 ta nhận được phương trình (1)

Bài 17: Giải hệ phương trình:

2 2

⎪

⎨

⎪⎩

Hướng dẫn:

Trừ vế với vế ta được: 2x2-2y2=3xy+x-2y, coi đây là phương trình bậc hai với ẩn x hoặc y; ta có: x=2y hoặc 2x+y=1

*) TH1: x=2 thì dựa và điều kiện, đánh giá ta nhận được x=2; y=1 không thỏa mãn hệ

*) TH2: Với 2x+y=1 thay vào pt(1) Ta nhận được: 6x2−3x-34+ 2-x+ −2x 0(= x<0)

Nhẩm thấy có nghiệm x=-2, ta biến đổi đưa dạng tích:

Do x<0 nên 3 2x-5( ) 1 2 0

2 x 2 2x 2

− + − + vô nghiệm

KL: x = -2; y = 5 là nghiệm của hệ

Bài 18: Giải hệ phương trình: 2 2

2 2

121

9 3x-4y+4=0

x x

x y xy

⎧

⎨

⎪

⎩

HD: Từ PT(2) coi đó là PT bậc hai với ẩn y, điều kiện để phương trình có nghiệm y là

4

3

x

Δ ≥ ⇔ ≤ ≤ Từ đây đánh giá được 2 2 121 4 4

2x+27

x

x + ≤ ⇒ =x ⇒ y=

Bài 19: Giải hệ phương trình:

2 2

7 (2 1)(2 1) (1)

2 7x-6y+14=0(2)

x y xy

⎧

⎪

⎨

⎪ + + −

⎩

Hướng dẫn:

Coi (2) là phương trình bậc hai với ẩn x thì điều kiện để phương trình này có nghiệm là:

7

3

Δ ≥ ⇔ ∈

Tương tự coi phương trình (1) là phương trình ẩn y ta cũng nhận được:

10

3

Δ ≥ ⇔ ∈

Nhận thấy x=0; y=0 không là nghiệm của pt(1) Ta chia 2 vế của (1) cho xy Ta có:

2

( ) 2

f t t

t

= − ; hàm này đồng biến t>0, mà phương trình

− − = ⇔ = , do điều kiện của x và y nên ta có:

7 ( ) ( ) (2) (1)

2

f x f y ≥ f f = Hệ phương trình có nghiệm (2;1)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 36: Giải hệ phương trình:

2 2

(2x 3x+4)(2 3 4) 18

7x-6y+14=0

x y xy

⎪

⎨

⎪⎩

Bài tập 37: Giải hệ phương trình:

4 2

2 2

698

81

3x-4y+4=0

x y

x y xy

⎧

⎪

⎨

⎪ + + −

⎩

Bài tập 38: Giải hệ phương trình:

2 2

2xy-zx-zy 3 x-2x=-1

x y yz z

⎪

⎨

⎪⎩

Bài tập 39: Giải hệ phương trình:

2

x

y x

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩