Một số phương pháp xây dựng phương trình và hệ phương trình

Phương trình, hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT, bài toán giải phương trình, hệ phương trình thường xuyên xuấ t hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và trong đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng. Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình rất phong phú và đã được trình bày trong rất nhiều tài liệu khác nhau, trong bài viết này sẽ đề cập đ ế n một số phương pháp cơ bản để xây dựng một số bài toán phương trình và hệ phương trình. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đào Văn Lương TTCM trường THPT chuyên Lào Cai § 1: Xây dựng phương trình, hệ phương trình từ các đẳng thức. 1. Đặt vấn đề. i) =−= "" ⇔ $$ %% 21 y=1 2x-y=3 xxy ii) ! ! −= − −= # # !! =−= −+= −= !! #### ⇔⇒ ⇔ ⇒ ⇔ && & & & & ## '' '' ## + ## ' ' 22 2 22 2 86 8 32 212x132x8 y -6 y=1 2x-y=3 8 6 4x -4xy+y =9 3y -4xy=-6 3y-4x= 7x-5y= y y yx xy xxyxyy xy x x x 2. Áp dụng. Bài 1: Giải hệ phương trình. ! −= # $ += # % 33 22 35 2x 3 4x-9y xy y Hướng dẫn: !! ! −= −= −= ## # ⇔⇔ %% % += + + ## # && & 33 33 33 22 32 32 3 3 35 35 35 6x 9 12x-27y x - 6x 12x-8=y 9 +27y+27 (x-2) = (y+3) xy xy xy yy Nhận xét: Hệ phương trình trên nhận được bằng cách sau: Xuất phát từ: x-y=5 ⇔−=+⇔ − = + ⇔ − + + + + 3332 32 2 3 ( 2) ( 3) 4x 8x-8=y 6 18 27 xy x y x yy ⇔−− + − −= 33 2 2 4x 8x-6 18 35 0 xy y y Đến đây để có hệ phương trình liên hệ giữa hai ẩn x;y ta chỉ việc: Chọn cho x 3 -y 3 = 35 và liên hệ còn lại là: −+ − =⇔ + = 22 22 4x 8x-6 18 0 2x 3 4x-9y yy y . Kết hợp hai liên hệ giữa x;y ta có hệ phương trình đã cho. Một bài toán được xây dựng theo ý tưởng tương tự. Bài 2: Giải hệ phương trình: ! −= # $ −= − −− # % 44 33 22 240 23(4)4(8) xy xy xy xy (VMO-2010) Lời giải. Nhân phương trình thứ 2 với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất, ta được: x 4 -8x 3 +24x 2 -32x+16 = y 4 -16y 3 +96y 2 -256y+256 ⇔− =− 44 ( 2) ( 4) xy Đáp số: (-4;-2); (4;2) Bài 3: Giải hệ phương trình: ! += + " " # " = " % 22 22 11 2( ) 2 11 2 xy xy yx xy Hng dn: Bi toỏn gc: ! += " # = " % 3 3 ()3 ()1 xy xy ! += " !! +++= += """ $$$ += += "" && " += " & 22 32 23 3 2 32 23 32 22 2 3 3x 3xy 3 3x 2 1 3x 3xy 1 3x 1 3x xy xy y xy x xy y yy y y ! += + " " $ " = " & 22 22 11 2( ) 2 11 2 xy xy yx xy Bi 4: (x 2 -3) 3 -(4x+6) 3 +216 = 18(4x+6)(3-x 2 ) Hng dn: ta ó bit n bi toỏn phõn tớch thnh nhõn t: a 3 +b 3 +c 3 -3abc = 0 (a+b+c)[(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 ] = 0 ! " # =++ =++ 0)ac()cb()ba( 0cba 222 Bng cỏch chn: a = x 2 -3 ; b = -4x-6 ; c = 6, ta nhn c bi toỏn trờn. *) Nếu a+b+c =0 thì khi đó ta có: x 2 -3 - 4x-6+ 6 = 0 x 2 - 4x - 3 = 0 ! ! " # += = 72x 72x 2 1 *) Nếu a = b = c thì khi đó ta có hệ : ! " ! # $ = = =++ 12x4 9x 03x4x 2 2 x = -3 Vậy ph"ơng trình đã cho có 3 nghiệm: ! ! ! ! " # = += = 3x 72x 72x 3 2 1 Bi 5: Gii h phng trỡnh: 33 3 23 3 (2 2 ) 2 3z=15 3 xy xyzz xy z y x ! " ++ = " " += # " " ++ " $ Hng dn: Đặt z = -t ta có: ph"ơng trình (1) trở thành: x 3 +y 3 +t 3 - 3xyt = 0 ! " # =++ =++ )'2(0)xt()ty()yx( 0tyx 222 )(1' Dễ thấy ph"ơng trình (2') có nghiệm: x = y = t = -z < 0 (loại) Ta xét ph"ơng trình (1') x+y = z thay vào ph"ơng trình (2) của hệ ta đ"ợc: z = 4 x+y = 4 Kt hp vi pt(3) suy ra nghim ca h phng trỡnh. BI TP TNG T Bài tập 1: Giải$hệ$phương$trình:$ 4 4 2 1 ()2 4 2 1 ()1 4 xy x xy xy y xy ! + += " + " # + " −= " + % $ Bài tập 2: Giải hệ phương trình: ! += + + " " # " −= − " % 222 2 44 11 (3 )( 3 ) 2 11 2( ) 2 xyx y xy yx xy Bài tập 3: Giải hệ phương trình: ! −= # + # $ # += # + % 12 (1 ) 2 3 12 (1 ) 6 3 x xy y xy Bài tập 4: Giải hệ phương trình: ! += " + " # " −= " + % 1 3(1 ) 2 1 7(1 ) 4 2 x xy y xy (VMO 1996) Bài tập 5: Giải hệ phương trình. ! += " # += " $ 33 22 9 x2 x+4y xy y § 2: Xây dựng phương trình, hệ phương trình từ các bất đẳng thức. 1. Một số mệnh đề cơ bản: a) A 2 +B 2 +…+C 2 =0 b) () (()) () (()) fx Chx gx Chx ≥ " # ≤ % $điều$kiện$để$f(x)=g(x)?$ c)$ () ()fx gx≥ để$có$phương$trình$f(x)=g(x)? 2. Ví dụ mở đầu. Ta muốn xây dựng một phương trình có nghiệm là: x=2. a) Xuất phát từ các bình phương có dấu bằng xảy ra khi x=2. Ví dụ: 22 ( 2) ( 2x-3 1) 0x −+ −= . Từ đây ta có bài toán: Giải phương trình: 2 2x+2=2 2x-3x − Phức tạp hơn ta có thể xuất phát từ: 223 ( 2) ( 2x-3 1) 8 0xx−+ −+ −= . Ta có bài toán. Giải phương trình: 23 2x+2=2 2x-3 8xx−−− b) Muốn xây dựng một hệ phương trình có nghiệm là: 1 2 xyz=== Ta làm như sau: Xuất phát từ: 222 222 (2x-1) (2 1) (2z-1) 0 4x 4 4z 4x-4y-4z+3=0yy+−+ =⇔ + +− 222 (4x 4 1) (4 4z+1) (4z 4x+1)=0yy⇔−++− +− 1 x= y- 4 2x= 4y-1 1 24z-1y=z- 4 24x-1 1 z= x- 4 y z ! " ! " " " "" ⇔= ⇔ $$ "" = "" % " " % Hoặc. Xuất phát từ: 222 (4 11) (4 11) (4 11) 0xyz−− + −− + −− = 2x+2y +2z - 4 1 4 1 4 1xyz−− −− − . Ta sẽ có hệ phương trình. ! ! " ! ! # $ −=+ −=+ −=+ 1y4xz 1x4zy 1z4yx Bằng cách làm này ta có thể xây dựng ra các lớp hệ phương trình không còn đối xứng. c) Hoặc các hệ phương trình mà một phương trình chính là dấu bằng của một bất đẳng thức, các phương trình còn lại chỉ nhằm mục tiêu làm cho BĐT tồn tại. Giải hệ phương trình sau: 2 11 1 51116 3 11 xy xy yx xy xy ! += " ++ + " # " += " −− % Hướng dẫn: Điều kiện: x,y>1 Biến đổi phương trình (1) như sau: 22 11 2 11 1 1 11 xy xy xy x y yx y x xy xy += +++= + ++ + + ++ 2(2 1) 11 (1)( ) 11 1 xy xy xx xy + ++ + = ++ + Vỡ 2121 Cauchy xy xy xy xy+ ++ + V 11 2 11 1 xy xy + ++ + Thc t l vic nhn dng phng phỏp gii cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh l khụng d. 3. p dng. Bi 6: Giải hệ pt: 2 2 x43x2102y y64y311x ! += # $ += # % Hng Dn: Cộng hai vế của hệ rồi biến đổi thành: 22 22 (3x 2 2) (x 2) (4y 3 3) (y 3) 0 + + + = Bi 7: Giải ph"ơng trình 2 2 11 224xx xx !" + =+ $% &' . HD: Đk 2 2 2 2 2 2 x x ! $ $ $ $ % . Với đk đó, ph"ơng trình đã cho t"ơng đ"ơng với ph"ơng trình 2 2 11 22 4(1)xx xx + ++= . theo BĐT Bunhiacopxki, ta đ"ợc 22 2 2 22 22 (2 ) (2 .1 .1) 4 11 1 1 22.1.14 xx x x xx x x ! + = + $ $ % &'& ' + = + $ ()( ) ()( ) $ *+* + , . Suy ra Vt (1) 4 = Vp (1) . Do đó 2 2 22 (1) 11 22 xx xx ! += # % += # & , nghĩa là dấu bằng trong hệ xảy ra. Từ đó ph"ơng trình có nghiệm duy nhất là 1x = . Bi 8: : Gii h phng trỡnh ! ! " ! ! # $ =+ + = + + + 9 2 )21()21( 21 2 21 1 21 1 22 xyxx xy yx (VMO-2009) Gii Bỡnh phng hai v ca bt ng thc, ta c bt ng thc tng ng xy y yx x + + + ++ + + 1 4 1 1 11 2 1 1 2 22 2 Theo bất đẳng thức CBS, ta có xy yx xyyx + ≤ ++ ⇒+≥++ 1 2 1.1 2 11.1 22 22 . Như vậy ta chỉ cần chứng minh xy yx + ≤ + + + 1 2 1 1 1 1 22 (**) là xong. Nhưng (**), qua các phép biến đổi đại số đơn giản, tương đương với 0 )1)(1)(1( ))(1( 22 2 ≥ +++ −− yxxy yxxy đúng do x, y thuộc [0, 1]. 1. Ta có thể làm khác đi một chút bằng cách áp dụng CBS ngay từ đầu: xy yx yx + ≤ " " # $ % % & ' + + + ≤ " " # $ % % & ' + + + 1 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1 22 2 22 (theo (**)). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Rõ ràng trong hai cách chứng minh trên, ta chỉ cần điều kiện -1 < xy ≤ 1. Bài 9: Giải$hệ$phương$trình$ 22 232 8 16 2 83 342 xy xy xy xxxxy yy ! ++ = " + " # " += +− " % $ 1)$Từ$phương$trình$thứ$hai$của$hệ$ta$suy$ra:$ ! ++≥ # > ! ## ⇔ %% +≥ ## & +≥⇔ +≥ # & 2 32 2 2 0 0 832 3 0 2 4 0()0 34 832 xxy y y xy xx xxy yy .$ Mặt$khác,$do$ 223 0 323 4 xy xy !" += + > #$ %& $nên$áp$dụng$bất$đẳng$thức$AMRGM$ta$có:$ 2232 22 2 832 83234 xxy xxyxx yyy !" !" ++≥ += + $% $% &' &' $ Suy$ra$phương$trình$thứ$hai$của$hệ$ 2 2 832 xxy y ⇔=+ $ Từ$phương$trình$(1)$ Ta$có$ 22 2 88 16 ( ) 16 2 0 xy xy xy xy xy xy xy ++ =⇔+ −− + = ++ $ ( ) 2 4( ) 4( )2 0xy xy xy xy !" ⇔+− + + +− = %& '( $ ( ) 22 44()0xy x y xy !" ⇔+− + + + = %& '( $(*)$ Do$ 3 0(*) 4 4 xyx y xy+>+ ≥⇒ ⇔+= $thay$vào$phương$trình$thứ$nhất$của$hệ$ta$có$ Do$đó$hệ$đã$cho$ 2 22 4 4 4 2 2 6, 31612 0 3 832 xy xy xy xxy xyx y x xy y y ! += ! += ! += " "" ⇔⇔ ⇔ $$ $ ==− =+ −− = " "" & & & $ 24 7 4 7 x y ! = " " ⇔ $ " = " % $hoặc$ 8 12 x y ! =− # = $ $là$nghiệm$của$hệ.$ Bài 10: Giải phương trình:$ ++ ++= + ++ + 2 22 12 13 2 3 23 xxx xx xxx x Hướng dẫn: Bài toán gốc là bất đẳng thức Nesbits Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng: ++ ≥ ++ + 3 2 ab c bc ca ab .$Dấu$“=”$có$khi$a=b=c.$ Chọn:$a=x 2 +1;$b=2;$ =+1cxx BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 6:$Gi¶i ph"¬ng tr×nh: 11x6xx42x 2 +−=−+− . Bài tập 7: Gi¶i ph"¬ng tr×nh 2 43 2 3 27332 2 xx xx x x − +−+−+= . Bài tập 8: Gi¶i ph"¬ng tr×nh 22 9 1 xx x +=+ + . Bài tập 9: Gi¶i ph"¬ng tr×nh 24 24 13 9 16xx xx−+ += . Bài tập 10: Giải phương trình: 22 2 22 2 1 1214 xx xx x xx xx −+ + −=− +− ++ +− −+ Bài tập 11: Giải phương trình: 32 32 2 3x 2x 2 3x 2x-1 2x 2x+ 2x+++−++ =+ Bài tập 12: Giải hệ phương trình: 3 3 (1 )(1 )(1 ) (1 z ) x3 xyz xy yz ! +++=+ " # ++= " $ Bài tập 13: Giải hệ phương trình: 222 22 (2 )(1 2x)(2 )(1 2 ) 4 10z+1 2xz+2yz+x 1 0 xyy xyz y ! −− ++= # $ +++ += # % Bài tập 14: 2 2 2x-y+ x-1 2( 1) 2(2x-y) 4x x-1 17 0 x y ! ≥−+ $ % $ +−= & Bài tập 15 : Giải hệ phương trình: 3 3 3 3 x -12 -y+4z 6 9z+2x z 32 xy y ! += " " =− $ " =+ " % Bài tập 16: Giải hệ phương trình: 3 3 3x+4 262 yx xy y ! =− + # $ =−− # % Bài tập 17: Giải hệ phương trình: 3 3 3 3x+4 2y 6 6 2z 9z+8 xy zy x ! += " " += + # " += " $ Bài tập 18: Giải hệ phương trình: 3 3 3 3x-12y+50 y1232 z2727z x yz x ! = " " =+− $ " =+ " % § 3: Xây dựng phương trình, hệ phương trình bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 1. Cơ sở: Mệnh đề 1: Hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên (a;b) và y=f(x) đơn điệu trên (a;b) . Khi đó phương trình dạng: =⇔= ∈() () , u,v (a;b) fu fv u v Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử y=f(x) là hàm số đồng biến trên (a;b). <=) Nếu u=v thì hiển nhiên f(u)=f(v). =>) Nếu f(u)=f(v) ta phải chứng minh u=v. Phản chứng giả sử ≠ uv *) u > v *) u < v đều dẫn đến vô lý. Vậy u = v. Mệnh đề 2: hai hàm số y = f(x) và y=g(x) có tính đơn điệu trái ngược nhau trên (a;b). Nếu phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x 0 thuộc (a;b) thì nghiệm đó là duy nhất. Chứng minh: 2. Ví dụ mở đầu. Ví dụ 1: Giải phương trình: −+= 3 3 12x-1 xx Nhận xét: Xét hàm số f(t)=t 3 +t, ∈ ° t , ta có hàm số là đồng biến trên R. Chọn == 3 ;2x-1 uxv ta xây dựng được phương trình. =⇔+= ⇔−+= 33 333 () (2x-1) 2x-1+ 2x-1 1 2x-1 fx f x x x x .Ta có bài toán: Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ! ++− −= # $ ++ − = # % 2 22 (4x 1) ( 3) 5 2 0 4234x7 xy y xy (Đại học khối A-2010) Xét hàm: =+=+ 23 () ( 1) ft t t t t là hàm đồng biến; chọn u=2x; v= =−52 vy ta nhận được phương trình (1), việc nhân 2 vế phương trình (1)với 2 là không tự nhiên và khó phát hiện. Ví dụ 3: y=2 x và y=2-log 3 x ta có phương trình: 2 x =2-log 3 x. Nhận xét: Bằng cách chọn những hàm f(x) khác nhau và các biến u, v khác nhau ta sẽ nhận được các phương trình hệ phương trình tương ứng. 3. ÁP DỤNG. Bài 11: Giải phương trình: 22 (1)(2 2x+4)2x(2+4x3)=0xx++ + " + Hướng dẫn: f(x+1)=f(2x), với 2 () (2 3)ft t t=+ + Bài 12: Giải phương trình:: 3 2( 3)( 4x-8 2x-4) 3x-4x −+= Bài 13: Giải hệ phương trình : 332 2 342 121 yyx x x xy y Ï Ô += + + + Ô Ô Ì Ô && =&& Ô Ô Ó Giải Điều kiện xác định của hệ phương trình là ! " # ≤≤ ≤≤− 20 11 y x (*) Hệ phương trình đã cho tương đương với: ! " ! # $ −+=+− +++=+ )2(211 )1()1()1( 2 33 yyx xxyy Từ(*) ta có [ ] [ ] 10;2 0; 2 x y ! +∈ # $ ∈ # % . Xét: tttf += 3 )( ; có tttf ∀>+= 013)(' 2 Hàm số tttf += 3 )( đồng biến trên đoạn [ ] 2;0 nên pt(1) 1+=⇔ xy , thế vào pt(2) ta được: xxx −++=+− 1111 2 0=⇔ x 1=⇒ y (thỏa mãn (*)). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) yx; là ( ) 1;0 . Bài%14:%Giải$hệ$phương$trình$:$ a) 22 2 (x+ 1+x )(y+ 1+y )=1 x6x+2x 1 4xy+6x+1 ! " # " += $ b) 2242 x 2y(4y +3x )=x ( 3) 2 ( 2 2x+5 1) 4 x yx ! + " # −−+= " % $ Hướng dẫn: a) Từ pt(1) dùng PP hàm suy ra x=-y.Thay vào (2): 2 2 22 2 1 25x x6x+2x 1 4x+6x+1 6x+2x 1 311 24 2 x x x = ! "# $ +=− ⇔ +− = ⇒ () − $ *+ = $ , b) 2242 x 2y(4y +3x )=x ( 3) 2 ( 2 2x+5 1) 4 x yx ! + " # −−+= " % Hướng dẫn: ĐK: 22x+50y −≥ . Nhận thấy x=0 không thỏa mãn phương trình (1). Ta chia cả hai vế pt(1) cho x 3 ta có phương trình. 33 22 ()3. 3x yy x xx +=+ , xét hàm f(t)=t 3 +3t đây là hàm đồng biến, khi đó từ (1) ta sẽ nhận được: 2 33 22 2y 2y ()3. 3x f( )=f(x) xx 2 yy x xxy xx +=+⇔ ⇔=⇔= , thay vào pt(2) ta nhận được phương trình: ( ) 12 2(1)4(1)2 x xx − −+−−= (*) Xét hàm ( ) 2 () 2 4 2; u fu u u u R=+−−∈ có ( ) 2 2 1 '( ) 2 4 ln 2 0 4 u fu u u u !" =+−− > $% + &' Vậy f(u) đơn điệu tăng, do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất: Thấy u=0 là nghiệm, suy ra x=1, suy ra y=1/2. Bài 15: Giải hệ phương trình sau: ( ) 332 2 2 8312126 21 1(1) 22 1 6 4 1 (2) xyx y yx y x xxy yx y ! −−+ −+= −−− # $ += + + # % Giải. ĐK: 1 1 2 x y ≥ " # $ ≥ # % Phương trình (1): ( ) ( ) ( ) ( ) 33 13 1 121321 21xxxy yy−+ −+−= −+ −+ − (3) Xét hàm số: ( ) 3 3ft t t t=++ với 0t ≥ . Vì ( ) 2 1 '33 0 0 2 ft t t t =++ >∀> nên hàm số f(t) đồng biến trên [ ) 0; +∞ . Từ pt (3) suy ra ( ) ( ) 121 2fx f y x y−= −⇔= . Thay vào phương trình (2) : ( ) ( ) 22 11 4134 414 34 404yy yy y y y yy += + +⇔ +− ++= + Đặt ( ) 1 44ay a y =+ ≥ thay vào (4) ta được pt : 34aa=+ , giải được a = 12 Với a = 12 ta tìm được 322 322 2 yx + =⇒=+ [...]... được một hệ phương trình Nếu x=y và x=y+1, ta xây dựng phương trình bậc hai ẩn x nhận y và y+1 làm nghiệm (x-y)(x-y-1)=0 tương đương x2-2xy+y2-x+y=0,… và kết hợp với 1 phương trình 2 biến x, y khác ta cũng nhận được hpt tương ứng b) Trong một số trường hợp khác khi xem 1 phương trình của hệ là 1 phương trình bậc hai với 1 ẩn x hoặc y ta có biểu thị giữa x và y thông qua công thức nghiệm, trong một số. .. hệ phương trình  :   ⎪   ⎨ 2 x2 − 9 x + 6 2 = y+1 ⎪ −4 x + 18 x − 20 + ⎪ 2 x2 − 9 x + 8 ⎩ § 4: Xây dựng phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp tam thức bậc hai 1 Đặt vấn đề: a) Xuất phát từ x=y và x=2y ta xây dựng nên phương trình bậc hai: (x-y)(x-2y)=0 tương đương với x2-3xy+2y2=0 (Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai) Kết hợp với một phương trình. .. xy − 2 B i tập 21:: Giải hệ phương trình: ⎨ 2 ⎪ x2 y + 2 x − 2 x2 y + 1 − 4 x = 0 ⎩ ⎧ x + x2 − 2x+2 = 3y−1 + 1 ⎪ Bài tập 22: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎪ y + y2 − 2 y+2 = 3x−1 + 1 ⎩ ⎧ x3 − 5x=y3 − 5 y ⎪ Bài tập 23: Giải hệ phương trình: ⎨ 8 4 ⎪ x + y = 1 ⎩ Bài tập 24: Giải phương trình: 3x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 Bài tập 25: Giải các phương trình sau: 2 5− x 1 4 x... lại và đó lại là cơ sở để giải quyết bài toán 2 Ví dụ mở đầu ⎧ xy + x + y =x 2 − 2 y 2 ⎪ VD1: Giải hệ phương trình: ⎨ (D-2009) ⎪ x 2 y − y x − 1=2x-2y ⎩ ⎧ y 2 = (5x+4)(3 − x) ⎪ VD2: Giải hệ phương trình: ⎨ 2 2 ⎪ y − 5x − 4xy+16x-8y+16=0 ⎩ 3 Áp dụng: ⎧2 x 2 + xy − y 2 − 5 x + y + 2 = 0 ⎪ Bài 16: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎪ x 2 + y 2 + x + y − 4 = 0 ⎩ Hướng dẫn: Coi phương trình (1) là 1 phương. .. f ( y) = , do điều kiện của x và y nên ta có: x y 2 2 7 f ( x) f ( y ) ≥ f (2) f (1) = Hệ phương trình có nghiệm (2;1) 2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 36: Giải hệ phương trình: ⎧(2x 2 − 3x+4)(2 y 2 − 3 y + 4) = 18 ⎪ ⎨ 2 2 ⎪ x + y + xy − 7x-6y+14=0 ⎩ Bài tập 37: Giải hệ phương trình: 698 ⎧ 4 2 ⎪ x + y = 81 ⎨ ⎪ x 2 + y 2 + xy − 3x-4y+4=0 ⎩ Bài tập 38: Giải hệ phương trình: ⎧ x 2 + y 2 + z 2 + 2xy-zx-zy... Hướng dẫn: Coi (2) là phương trình bậc hai với ẩn x thì điều kiện để phương trình này có nghiệm là: 7 Δ x ≥ 0 ⇔ y ∈ [1; ] 3 Tương tự coi phương trình (1) là phương trình ẩn y ta cũng nhận được: 10 Δ y ≥ 0 ⇔ x ∈ [2; ] 3 Nhận thấy x=0; y=0 không là nghiệm của pt(1) Ta chia 2 vế của (1) cho xy Ta có: 1 1 7 1 (2 x − )(2 y − ) = Xét hàm f (t ) = 2t − ; hàm này đồng biến t>0, mà phương trình x y 2 t 1 1 7... 2 KL: x = -2; y = 5 là nghiệm của hệ x ⎧ 121 2 2 ⎪ x + 2x= − 27 Bài 18: Giải hệ phương trình: ⎨ 9 ⎪ 2 2 ⎩ x + y + xy − 3x-4y+4=0 HD: Từ PT(2) coi đó là PT bậc hai với ẩn y, điều kiện để phương trình có nghiệm y là x 121 4 4 4 ⇒x= ⇒ y= Δ ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ Từ đây đánh giá được x 2 + 2x+27 2 ≤ 9 3 3 3 7 ⎧ 2 2 ⎪(2 x − 1)(2 y − 1) = xy (1) 2 Bài 19: Giải hệ phương trình: ⎨ ⎪ x 2 + y 2 + xy − 7x-6y+14=0(2)... 1+x ⎩   Bài tập 30: Giải phương trình: 2 2x-1 = 27x3 − 27x2 + 13x-2   3 Bài tập 31: Giải phương trình: B i tập 32: log 2 3 x9 − 9x 2 + 1 = 2x+1   3 8 x + 2 2 x+1 1 + 2 x + 3 = ( x + 1) 2 +2 2 x + 2 x +1 2 +1 2 ⎧8 x3 − y 3 + 6 y 2 − 6 x − 9 y + 2 = 0 B i tập 33 Giải hệ phương trình: ⎪ ⎨ 2 2 ⎪4 x + 1 − 4 x − 3 ( y − 1)(3 − y ) + 1 = 0 ⎩ B i tập 34: Giải hệ phương trình sau : ⎧ xy = yx (1) ⎪ ⎪... Giải phương trình: 2( x − 2)( 3 4x-4 + 2x-2) = 3x-1 ⎧(3 − x) 2 − x − 2y 2y − 1 = 0 ⎪ Bài tập 27: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: ⎨ ⎪2 2 − x − (2y − 1)3 = 1 ⎩ ⎧ y 2 − x2 x 2 + 1 = 2 ⎪e Bài tập 28: Giải hệ phương trình: ⎨ y +1 ⎪3 log ( x + 2 y + 6) = 2 log ( x + y + 2) + 1 ⎩ 2 2 ⎧2 y3 + 2x 1-x = 3 1-x − y ⎪ Bài tập 29: Giải hệ phương trình:   ⎨ 2 ⎪ y = 2x − 1 + 2xy 1+x ⎩   Bài tập 30: Giải phương. .. phương trình bậc hai với ẩn x: 2 x2 + ( y − 5) x − y 2 + y + 2 = 0 có Δ = ( y − 5)2 + 8( y 2 − y − 2) = 9 y 2 − 18 y + 9 = (3 y − 3)2 5 − y + 3y − 3 y +1 ⎡ = ⎢ x = 4 2 2 2 Từ đây: 2 x + ( y − 5) x − y + y + 2 = 0 ⇔ ⎢ ⎢ x = 5 − y − 3 y + 3 = 2 − y ⎢ ⎣ 4 Nhận xét: Xuất phát từ liên hệ: 2x-y-1=0 và x+y-2=0 ta nhận được phương trình (1) ⎧2 x 2 + 2 − x + y − 1 − 34 = 2xy+x ⎪ Bài 17: Giải hệ phương trình: . viết này sẽ đề cập đ ế n một số phương pháp cơ bản để xây dựng một số bài toán phương trình và hệ phương trình. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đào Văn Lương. x 2 -3xy+2y 2 =0 (Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai). Kết hợp với một phương trình 2 biến x; y khác ta có được một hệ phương trình. Nếu x=y và x=y+1, ta xây dựng phương trình bậc hai ẩn x nhận y và. có hệ phương trình. ! ! " ! ! # $ −=+ −=+ −=+ 1y4xz 1x4zy 1z4yx Bằng cách làm này ta có thể xây dựng ra các lớp hệ phương trình không còn đối xứng. c) Hoặc các hệ phương trình mà một