một vài phương pháp khai thác bài toán

Lập bài toán tương tự Lập bài toán đảo Thêm một số yếu tố Đặc biệt hóa Bớt một số yếu tố Khái quát hóa Thay đổi một số yếu tố MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC BÀI TOÁN NHẰM PHÁP TRIỂN TU

Lập bài toán tương tự Lập bài toán đảo Thêm một số yếu tố (Đặc biệt hóa) Bớt một số yếu tố (Khái quát hóa)

Thay đổi một số yếu tố

MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC BÀI TOÁN

NHẰM PHÁP TRIỂN TU DUY CHO HỌC SINH

A Đặt vấn đề :

Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa và phương thức giảng dạy hiện nay , học sinh trong việc chủ động trong mọi hoạt động học tập và lĩnh hội tri thức, việc kích thích tính học tập chủ động của học sinh là rất cần thiết trong từng tiết dạy lý thuyết và đặc biệt là tiết luyện tập , ôn tập đòi hỏi người giáo viên luôn luôn sáng tạo trong từng bài dạy từng tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức " , ''chữa bài tâp'' qua đó học sinh thấy hứng thú và chủ động tìm tòi cái mới từ cái đã có

Để làm được điều này người giáo viên phải tạo ra được cái mới từ những cái đã

có bằng việc đào sâu mở rộng khai thác một cách triệt để từ những cái ban đầu , có thể khó thì ta làm dễ đi để đơn giản hoặc từ dễ ta tổng hợp lên để nó thích ứng được với từng đối tượng hoặc tạo ra những bài toán có nhiều tình huống gắn được với thực tế

Để đáp ứng những yêu cầu trên sau đây là một vài phương pháp , vài ví dụ nhằm dẫn đến những tình huống mới , những bài toán mới trong các tiết dạy lý thuyết đặc biệt

là tiết luyện tập, ôn tập

B Nội dung:

1) Những con đường :

Một vấn đề đặt ra là nên cấu tạo đề bài toán như thế nào ( với mục đích vận dụng kiến thức , rèn luyện kĩ năng , kiểm tra năng lực toán học v.v ) để phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định hướng tích cực độc lập sáng tạo

Câu trả lời đã trở nên dễ dàng nếu chúng ta xét hệ thống bài tập trong sách giáo khoa mới ở đây tôi chỉ xin trao đổi một số cách thức thông qua một vài ví dụ

1 Đưa ra bài tập tình huống hoặc có nhiều tình huống

2 Xây dựng bài toán mới từ các bài toán ban đầu theo sơ đồ :

2) Nội dung cụ thể :

a) Các bài toán có tình huống :

Đây là những bài toán có thể từ thực tế , có thể có nhiều tình huống nhằm tạo cho các em những hứng thú tốt trong việc tìm kiến thức và tư duy Giáo viên sử dụng trong việc khai thác tiếp cận kiến thức bài mới hoặc trong tiết luyện tập

Ví dụ 1 : ( Bài tập tình huống lớp 7)

Bài toán : Trên một cạnh giấy có hai đường thẳng d

và d' cắt nhau ở bên ngoài ; một điểm M nằm trên trang giấy như hình vẽ Hãy vẽ đường thẳng d'' đi qua M và

đi qua giao điểm của d và d' Nói cách vẽ và giải thích

vì sao như vậy

Đây là tình huống mà học sinh phải vẽ đường thẳng đi qua hai điểm một điểm đã biết còn điểm kia thì lại nằm ngoài trang giấy

Vậy ta phải làm sao khi mà ta không thể vẽ giao điểm của hai đường thẳng d và d' Ta hãy liên hệ đến ba đường đồng quy trong tam giác ở đây ta chỉ có thể vẽ được đường vuông góc qua M

Lời giải :

Cách vẽ : Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với d' cắt d tại

A, qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với d cắt d' tại B , sau

đó ta vẽ đường thẳng d"" vuông góc với AB qua M

Giải thích : Giả sử d cắt d" tại C lúc đó M là trực tâm của tam

giác ABC nên d"" cũng là đường cao nên nó đi qua C ( Dựa vào tính chất 3 đường cao)

Ví dụ 2 : ( ở ví dụ này là các tình huống được giải quyết nhờ định lý Pitago lớp 7 )

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có góc A = 1200 cạnh AB = 5 ,AC = 6 Tính BC ?

Giải :

Kẻ đường cao CD ta có góc DAC = 600

Vậy AD = AC : 2 = 6: 2 = 3 Theo Pitago ta có : CD2 = AC2 - AD2

CD2 = 62 - 32 = 36 - 9 = 27

BD = AB + AD = 5 + 2 =7

BC2 = DC2 + BD2 = 27 + 49 = 76

BC = 76

Bài toán 2 : Có một mảnh ruộng như hình vẽ Hãy tính chu vi của hình đó ?

Giải :

Kéo dài AC và BF cắt nhau tại F ta dễ dàng chứng minh góc F = 900 nhờ các yếu tố song song

Ta có AF = AC+CF = 3

BF = BE + EF = 4

Theo Pitago AB2 = AF2 + BF2 = 25 suy ra AB = 5

Vậy chu vi mảnh ruộng là : AB + BE + ED + DC + CA = 12

Bài toán 3 : Có 3 mảnh đất hình vuông có diện tích là 50 m2 , 20m2 , 10m2 , ở giữa có một cái hồ hình tam giác Một người muốn mua cả cái hồ lẫn 3 mảnh vườn nhưng anh

ta không tính được diện tích cái hồ Bạn hãy giúp người ấy tính diện tích cái hồ

Giải :

Đâylà bài toán tình huống tương đối khó Nhưng bạn hãy để ý rằng :

10 = 32 + 12

20 = 22 + 42

50 = 52 + 52

Từ đó ta vẽ thêm hình D,H,K như hình bên

Lúc đó ta có :

SABD = 1

2AD.DB = 25

2 m2

SAHC = 1

2AH.HC = 4m2

SBCK = 1

2BK.KC = 3

2m2

SHCKD = HC.CK = 2m2

Vậy diện tích cái hồ là :

SABC = SABD - SBKC - SHCKD = 5m2

Bạn thấy chúng có thú vị hay không ?

b) Xây dựng bài toán mới từ bài toán ban đầu

Ở phần này tôi xin giới thiệu tới bạn đọc một số bài toán được tạo ra từ bài toán ban đầu , với cách làm này việc học luyện tập và ôn tập giúp học sinh luôn thấy hứng thú tránh cho giáo viên việc dạy các tiết này chỉ là tiết chữa bài tập , học sinh thấy được

sự đa dạng trong toán học

b1) Lập bài toán tương tự bài toán ban đầu

Cơ sở: Tương tự :

- Có đường lối giải quyết giống nhau , phương pháp giống nhau

- Có những nét giống nhau trong nội dung

- Cùng đề cập đến một vấn đề

Từ việc đối chiếu so sánh các đối tượng có thể đưa ra các giả thuyết tương tự và loại trừ

Ví dụ 1 : ( Toán 7)

Bài toán ban đầu : Trong một tam giác cân có hai đường cao bằng nhau.

Từ sự tương tự giữa đường cao , đường trung tuyến , đường phân giác có thể xây dựng bài toán mới:

- Chứng minh rằng tam giác có hai trung tuyến bằng nhau là tam giác cân

- Chứng minh rằng tam giác có hai phân giác bằng nhau thì tam giác đó cân

Ví dụ 2 ; (Toán 7)

Bài toán ban đầu : Cho a c

b d chứng minh rằng a c

a b c d ta có bài toán mới bằng cách giữ nguyên giả thiết và thay vào các kết luận :

Chứng minh rằng : 2 3 2 3



  , ab a22 b22







Ví dụ 3 : (Toán 6)

Bài toán ban đầu : Cho A = 1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10 Tính B = 3.A

Lời giải 1 : B = (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10).3

= 1.2.3 +2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + + 9.10.3

= 1.2 (3 - 0)+2.3.(4 -1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + + 9.10.(11 - 8)

= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + 9.10.11 - (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + +8.9.10 )

= 9.10.11

= 990

Lời giải 2 : B = (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10 ).3

= (0.1 +1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10).3

=[1(0 +2) + 3 (2 +4) + 5(4 +6)+ +9(8 +10)].3

=(12.2 + 32.2 + 52 2+ +92.2).3

=(12 + 32 + 52+ +92).2.3

= (12 + 32 + 52+ +92).6

Từ đó cho ta cách tính tổng bình phương của các số lẻ :

12 + 32 + 52+ +92 = 9.10.11

6

Từ đó ta có các bài toán :

Bài 1: Tính : P = 12 + 32 + 52+ +(2n+1)2

Bài 2 :Tính : Q = 112 +122 + 132 + +(2n+1)2

Bài 3: Tính : R = 22 +42 + + 2n2

Chú ý: từ cách giải 2 ta cũng có thể duy ra được công thức tính bình phương của tổng các số chẵn

C = (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10 +10.11 ).3

=[2(1 +3) + 4 (3 +5) + 6(5 +7)+ +10(9 +11)].3

= (22 + 42 + 62+ +102).6 Vậy 22 + 42 + 62+ +102 = 10.11.12

6

Bài 4: Tính : M = 12 +22 + 32 + +n2

Bài 5: Tính : N = -12 + 22 - 32 + 42 - -992 + 1002

Bài toán 5 có thể tách làm hai chuối hoặc :

N = (22 -12) + (42 - 32) + +( 1002 - 992)

= 3 + 7 + + 199

= 3 199.50 2



Nếu bạn để ý đến số 3 trong dãy 1.2 trong bài toán ban đầu thì bạn có thể dễ dàng giải quyết bài toán sau :

Bài 6: Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + + 8.9.10 Tính A ? ( HD : Bạn tính B = A.4 =

8.9.10.11

b2) Lập bài toán đảo của bài toán ban đầu

Cơ sở: Thiết lập mệnh đề đảo

Chúng ta xét một bài toán lớp 8

Bài toán ban đầu : Chứng minh rằng nếu tam giác vuông có một góc bằng 300 thì cạnh đối diện với góc ấy bằng một nửa cạnh huyền

Giả sử ABC có góc A =900 , góc B= 300 ta phải chứng minh AC = 1

2BC

Ta có mệnh đề : P( =900)  Q( =300)  R(AC=12BC)

Mệnh đề đảo : R P Q : AC=1

2BC  =900, =300

R P  Q : AC=1

2BC , =900  =300

R Q  P : AC=1

2BC , =300  =900

Trong 3 mệnh đề đảo trên thì chỉ có mệnh đề 2 và 3 là đúng từ đó ta có bài toán mới : Bài toán 1:Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa

cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 300

Bài toán 2 :Chứng minh rằng nếu một tam giác có một góc bằng 300 và một cạnh đối

diện với góc ấy bằng một nửa của một trong hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông

b3) Thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố (Đặc biệt hóa bài toán)

Cơ sở: Từ bài toán ban đầu thêm vào hoặc bớt đi một số yếu tố ở giả thiết , kết luận một số yếu tố để bài toán có thể dễ hơn hoặc khó hơn

Ví dụ 1 : ( Toán 6)

Bài toán ban đầu : Tính tổng : A = 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4   9.10

Để giải bài toán này không khó ta sử dụng tách ra thành hiệu phân số n n.(1 1)  1n n11

với  n N Chúng ta có bài toán mới :

1) Tính : B = 1 1 1 1

20 30 42   132

Nhưng nếu ta thêm vào một yếu tố nữa thì bài toán trên sẽ khó hơn :

2) Tính : C = 3 3 3 3

20 30 42 156

3) Tính : D = 2 2 2 2

1.3 3.5 5.7   9.11

4) Tính : E = 1 1 1 1

24 48 80   n n(  2)

Ví dụ 2 : ( Toán 7)

Bài toán ban đầu : Tìm cặp số nguyên x , y thỏa mãn : x.y = 7 và x>y.

Học sinh có thể giải bài này bằng cách tách như sau : x.y = 1.7 = (-1).(-7)

Ta thêm vào bài toãn một số yếu tố bài toán sẽ trở nên đa dạng hơn :

Tìm cặp số nguyên x , y để :

a) (x -1 ) (y+3) = 7

b) x 1 y 3  7

Ví dụ 3: ( Toán 8)

Từ bài toán 48 chương 1 hình học 8:

Bài toán ban đầu : Cho tứ giác ABCD có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,

BC, CD , DA Chứng minh rằng : Tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lời giải:

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC :

 MN AC và MN = 1

2AC (1)

Ta cũng có PQ là trung tuyến của tam giác ADC :

 PQ AC và PQ = 1

2AC (2)

Từ 1 và 2 suy ra : MN PQ và MN = PQ Như vậy theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành , ta có MNPQ là hình bình hành

Bây giờ ta chỉ cần thêm vào bài toán một số yếu tố thì bài toán sẽ thú vị hơn rất nhiều

Bài toán mới :

1) (Bài 88) Cho tứ giác ABCD có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,

CD , DA Tìm điều kiện về đường chéo củ tứ giác ABCD để :

a) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

b) Tứ giác MNPQ là hình thoi

c) Tứ giác MNPQ là hình vuông

2) Cho tứ giác ABCD có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD , DA Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Chứng minh rằng : OM+ON+OP+OQ bằng nửa chu vi của tứ giác ABCD

3) Cho tứ giác ABCD có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD , DA Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ bằng tổng hai đường chéo AC và BD 4) Chứng minh rằng trong một tứ giác nếu có hai đường chéo vuông góc thì khoảng

cách giứa trung điểm các cạnh đối diện là không đổi

5) Chứng minh rằng trong một tứ giác thì tổng

khoảng cách giữa trung điểm các cạnh đối diện luôn nhỏ hơn hoặc bằng nửa chu

vi của tứ giác đó

HD : Ta luôn có : MP  OM + OP

NQ  ON + OQ

MP + NQ OM + ON + OP + OQ

Từ bài 2 ta sẽ suy ra được điều chứng minh

6) Chứng minh rằng trong một tứ giác thì tổng khoảng cách giữa trung điểm các cạnh đối diện luôn nhỏ hơn tổng hai đường chéo

Ví dụ 4 : ( Toán 9)

Xin cùng các bạn bắt đầu đi từ một bài toán 14 trang 38 trong hình học lớp 9

Bài toán ban đầu : Cho tam giác đều ABC và điểm M thuộc

cung BC ( Không chứa A) của đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng : MA = MB + MC

Lời giải : Trên MA ta lấy điểm N sao cho MN =MB , ta có =

= 600 góc nội tiếp cùng nhìn cung AB Vậy tam giác MBN là

tam giác đều

 BM = BN và = 600

Từ đó ta có : = ( cùng cộng với góc NBC bằng 600)

Ta lại có : AB = BC và BN = BM Vậy ABN = CBM ( c.g.c)  AN = MC

Vậy : MN + NA = MB + MC hay MA = MB + MC

Bài tập này sẽ cho các bạn nhiều bài toán rất hay Chúng ta hãy để ý rằng MA, MB,MC

là 3 đường thẳng tạo với nhau những góc 600 Từ đó ta có bài toán :

Bài toán mới :

1) Cho đường tròn (O) điểm M nằm trong đường tròn , các dây qua M là A1B1 , A2B2,

A3B3 tạo với nhau đôi một những góc 600 Chứng minh rằng : MA1+ MA2 + MA3 =

MB1 + MB2 + MB3 Lời giải :

Để giải bài tập này chúng ta đưa bài toán ban đầu vào:

Để không mất tính tổng quát giả sử O nằm trong góc B1MA3 và Dựng đường tròn (w) tâm O bán kính OM lần lượt cắt A1B1 , A2B2,

A3B3 tại C1 , C2 , C3 Theo bài toán ban đầu ta có :

MC1 = MC2 + MC3

Theo tính chất hai đường tròn đồng tâm ta có :

MA1 = C1B1 , MB3 = C3A3 , MB2 = C2A2

Ta có : MC1 + C1B1 + MB2 + MB3 = MC2+MC3+MA1+C3A3+ C2A2

MB1 + MB2 + MB3 = MA1 + MA2 + MA3

2) Cho tam giác đều ABC và điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 ( Rlà bán kính đường tròng ngoại tiếp tam giác)

Để giải bài toán này chúng ta cần giải quyết một bổđề :

Bổ đề : Cho tam giác ABC có A ˆ 120 0 thì BC2 =AB2 +

AC2 + AB.AC

Kẻ AH  AC tại H ta có AH = 1

2AC , CH = 3

2 AC Theo Pitago tacó :

BC2 =BH2+CH2 = (AB+AH)2 +( 3

2 AC)2

= ( AB+1

2AC)2 + +( 3

2 AC)2= AB2 + AC2 + AB.AC Không mất tính tổng quát , giả sử M thuộc cung BC không chứa A ta có :

ˆ

BMC=1200 Theo bài toán 1 ta có :

MA = MB + MC

MA2 = MB2 +MC2 + 2MB.MC

 MA2+MB2+MC2 = 2(MB2 +MC2 + MB.MC) Theo bổ đề ta có :

MB2+MC2+MB.MC = BC2

 MA2+MB2+MC2 = 2 BC2

Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính R nên BC2 = 3R

Vậy MA2+MB2+MC2 = 6R2

Trên đây chỉ là hai bài toán từ bài tập đó , chúng

ta có thể phát triển thêm những bài toán rộng hơn Vì khuông khổ không cho phép nên tôi chỉ giới thiệu tới bạn đọc và các thầy cô giáo hai bài toán , hi vọng các thầy cô cùng bạn đọc có nhiều ý kiến bổ sung

b 4 ) Bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu ( Khái quát hóa bài toán)

Cơ sở: Khi đề xuất bài toán mới bằng cách bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu , ta có thể bỏ đi một vài dữ kiện đã cho , bỏ đi một vài điều kiện ràng buộc hoặc bỏ

đi một vài đòi hỏi của kết luận Khi đó ta đã mở rộng phạm vi của bài toán tăng độ phức tạp tức là ta đã khái quát bài toán

Bây giờ chúng ta sẽ đi từ bài toán đơn giản :

Ví dụ 1: ( Lớp7)

Bài toán : Tìm x sao cho 2< x< 5 và l x-2 l + 4.l x-5 l = 9

Ta chỉ cần bỏ điều kiện '' 2< x< 5 '' thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn vì phải giải trong 3 khoảng

Ví dụ 2: ( Lớp 7)

Bài toán ban đầu : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường cao BH và CD cắt

nhau tại H Biết CH = AB , tính góc BCA.

Lời giải :

Ta có : ˆB C1  ˆ 1 vì cùng phụ với ˆA , kết hợp với giả thiết CH=AB ta thấy hai tam giác vuông CDH = BDA

 CD = BD hay tam giác CBD vuông cân đỉnh D

 DCBˆ = 450

Vậy đã tính được góc BCA bằng 450

Bây giờ ta bỏ yếu tố nhọn thì bài toán sẽ khó hơn vì rất

có thể học sinh không xét hai trường hợp

Bài toán mới : Cho tam giác ABC có đường cao BH và CD cắt nhau tại H Biết CH =

AB , tính góc BCA

Ta chia làm hai trường hợp :

Trường hợp 1 :Góc C nhọn ta ra bài toán ban đầu đã

tính được góc BCA bằng 450

Trường hợp 2: Góc C tù , ta cũng có hai tam giác vuông

ABD=CHD (ch+gn)

 CD = BD hay tam giác CBD vuông cân đỉnh D

 DCBˆ = 450

 ACBˆ = 1350

Ví dụ 3: ( Lớp 8)

Bài toán ban đầu : Cho tam giác ABC Gọi M là một điểm nào đó thuộc cạnh BC

Lấy điểm D trên AC và E trên AB sao cho MD // AB và ME // AC ( nếu M trùng với B thì lấy D trùng với A , nếu M trùng với C thì lấy E trùng với A) Giả sử diện tích các tam giác MBE và MCD là c2 và b2 Chứng minh rằng : S( ABC) = (b+c)2

Lời giải :

Gọi S(ABC) = x2 Ta dễ dàng chứng minh được : ∆ABC∽∆DMC , ∆ABC∽∆EBM nhờ các yếu tố song song

Theo tính chất đồng dạng ta có :

b

x



c

x



mà MB + MC = BC ta có

x  x  hay b c 1

x



  b+c=x Vậy S(ABC) = (b+c)2 Bây giờ ta bỏ yếu tố " thuộc'' đi thì điểm M nằm trên đường BC , như vậy

ta phải xét thêm hai trường hợp nữa :

M nằm trên tia đối của tia BC :

Làm như trên ta có : MC -MB = BC

x  x  hay b c 1

x



  x = b - c Vậy S(ABC) = (b-c)2

M nằm trên tia đối của tia CB :

Làm như trên ta lại được S(ABC)=(c -b)2

Nếu ta không giới hạn trên đương BC nữa mà mở rộng thêm thành bài toán:

Bài toán mới : Cho tam giác ABC Gọi M là một điểm nào đó Qua M kẻ những

đường thẳng song song với AB cát AB , BC tại D và K , song song với AC cắt AB , BC

tại E và F ; song song BC cắt AB ,AC tại P và Q Giả sử diện tích các tam giác MEP, MDQ và MKF là a2 ,b2 và c2 Tính S(ABC) theo a,b,c

Lời giải :

1 Trường hợp M nằm trong tam giác ABC :

Cách 1 : áp dụng ngay bài toán ban đầu : S(APQ) = (a+c)2

S( EBF) = (a+b)2

S(DKC) = (b+c)2

S(ABC) = S(APQ) +S( EBF) +S(DKC)- S(MPE) -S(MKF) -S(MDQ)

= (a+c)2 +(a+b)2+(b+c)2- a2 - b2- c2

= (a+b+c)2

Cách 2 : Chứng minh trực tiếp :

Gọi S(ABC) = x2 Ta dễ dàng chứng minh được : ∆ABC∽∆EPM , ∆ABC∽∆MKF và

∆ABC∽∆DMQ

Ta có :

b

x

 mà PM = BK ( PMKB là hình bình hành) 

a

x



c

x

 mà MQ = CF ( MQCF là hình bình hành) 

c

x



b

x



mà BC = BK+KF +FC  BC = a BC b BC c BC

x  x  x từ đó 1 a b c

x

 

 hay x= a+b+c

Vậy S(ABC) = (a+b+c)2

Biểu thức thật là đẹp Bạn thấy có thú vị không ? Bạn để ý rằng nếu M nằm trên bất kì