SKKN MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC BÀI TOÁN LỚP 6 NHẰM PHÁP TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH.

MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC BÀI TOÁN LỚP 6 NHẰM PHÁP TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH. A. ĐẶT VẤN ĐỀ : I – LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trong nhiều năm qua, việc nghiên cứu tổng kết các kinh nghiệm giáo dục và các hội nghị điển hình tiên tiến đã đem lại kết quả cao cho công tác giảng dạy và giáo dục. Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy cho giáo viên. Trong việc giảng dạy các môn học theo quy định của Bộ GD & ĐT, môn học nào cũng quan trọng, nó có tác động và hỗ trợ lẫn nhau. Trong các môn học đó, môn Toán là một môn học có vị trí quan trọng. Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa và phương thức giảng dạy hiện nay, học sinh trong việc chủ động trong mọi hoạt động học tập và lĩnh hội tri thức, việc kích thích tính học tập chủ động của học sinh là rất cần thiết trong từng tiết dạy lý thuyết và đặc biệt là tiết luyện tập, ôn tập đòi hỏi người giáo viên luôn luôn sáng tạo trong từng bài dạy từng tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức ", ''chữa bài tập'' qua đó học sinh thấy hứng thú và chủ động tìm tòi cái mới từ cái đã có. Để làm được điều này người giáo viên phải tạo ra được cái mới từ những cái đã có bằng việc đào sâu mở rộng khai thác một cách triệt để từ những cái ban đầu, có thể khó thì ta làm dễ đi để đơn giản hoặc từ dễ ta tổng hợp lên để nó thích ứng được với từng đối tượng, hoặc tạo ra những bài toán có nhiều tình huống gắn được với thực tế. Để đáp ứng những yêu cầu trên sau đây là một vài phương pháp, vài ví dụ nhằm dẫn đến những tình huống mới, những bài toán mới trong các tiết dạy lý thuyết đặc biệt là tiết luyện tập, ôn tập. NguyÔn ThÞ Thu H»ng – trêng thcs lª quý ®«n S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” II. GIỚI HẠN VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Theo tôi với “ một vài phương pháp khai thác bài toán” tôi trình bày sau đây có thể được áp dụng dạy ở tất cả các khối lớp, dạy các đối tượng học sinh. Cho dù đối tượng học sinh nào khi đã được giáo viên dẫn dắt theo phương pháp này đều có thể chủ động giải toán, không những thế mà còn say mê môn toán, khi làm toán còn tự ra cho mình thêm nhiều bài toán mới với những tình huống mới, khiến các em gần và yêu toán hơn. Để đơn giản vấn đề dưới đây tôi chỉ đưa ra các ví dụ áp dụng giới hạn trong chương trình lớp 6. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I. NHỮNG CON ĐƯỜNG KHAI THÁC BÀI TOÁN : Một vấn đề đặt ra là nên cấu tạo đề bài toán như thế nào ( với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra năng lực toán học v.v ) để phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định hướng tích cực độc lập sáng tạo. Câu trả lời đã trở nên dễ dàng nếu chúng ta xét hệ thống bài tập trong sách giáo khoa mới. Ở đây tôi chỉ xin trao đổi một số cách thức thông qua một vài ví dụ xây dựng bài toán mới từ các bài toán ban đầu theo sơ đồ sau: 2 2 BÀI TOÁN BAN ĐẦU BÀI TOÁN MỚI Lập b i toán tà ương tự Lập b i toán ngà ược Thêm một số yếu tố (Đặc biệt hóa) Bớt một số yếu tố (Khái quát hóa) Thay đổi một số yếu tố S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” II. NỘI DUNG CỤ THỂ : Ở phần này tôi xin giới thiệu một số bài toán được tạo ra từ bài toán ban đầu, với cách làm này việc học luyện tập và ôn tập giúp học sinh luôn thấy hứng thú tránh cho giáo viên việc dạy các tiết này chỉ là tiết chữa bài tập, học sinh thấy được sự đa dạng trong toán học. 1. LẬP BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ BÀI TOÁN BAN ĐẦU Đây là những bài toán có thể từ thực tế, có thể có nhiều tình huống nhằm tạo cho các em những hứng thú tốt trong việc tìm kiến thức và tư duy. Giáo viên sử dụng trong việc khai thác tiếp cận kiến thức bài mới hoặc trong 3 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” tiết luyện tập. Cơ sở: Tương tự : - Có đường lối giải quyết giống nhau, phương pháp giống nhau. - Có những nét giống nhau trong nội dung. - Cùng đề cập đến một vấn đề. Từ việc đối chiếu so sánh các đối tượng có thể đưa ra các giả thuyết tương tự và loại trừ. Bài toán ban đầu : Cho A = 1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10 . Tính B = 3.A Lời giải 1 : B = (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10).3 = 1.2.3 +2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + + 9.10.3 = 1.2.(3- 0)+2.3.(4-1) + 3.4.(5- 2) + 4.5.(6 - 3) + + 9.10.(11 - 8) =1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +9.10.11-(1.2.3+2.3.4 +3.4.5+ + 8.9.10 ) = 9.10.11 = 990 Lời giải 2 : B = (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10 ).3 = (0.1 +1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10).3 =[1(0 +2) + 3 (2 +4) + 5(4 +6)+ +9(8 +10)].3 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 .2 3 .2 5 .2 9 .2).3 (1 3 5 9 ).6 = + + + + = + + + + Từ đó cho ta cách tính tổng bình phương của các số lẻ : 4 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” 2 2 2 2 9.10.11 1 3 5 9 6 + + + + = Từ đó ta có các bài toán : Bài 1: Tính : P = 1 2 + 3 2 + 5 2 + + (2n+1) 2 Bài 2 :Tính : Q = 11 2 + 12 2 + 13 2 + + (2n+1) 2 Bài 3: Tính : R = 2 2 + 4 2 + + (2n) 2 Chú ý: Từ cách giải 2 ta cũng có thể duy ra được công thức tính bình phương của tổng các số chẵn. C= (1.2 +2.3 + 3.4 + 4.5 + + 9.10 +10.11 ).3 =[2(1 +3) + 4 (3 +5) + 6(5 +7)+ +10(9 +11)].3 = (2 2 + 4 2 + 6 2 + +10 2 ).6 Vậy: 2 4 2 2 10.11.12 2 4 6 10 6 + + + + = Bài 4: Tính : M = 1 2 +2 2 + 3 2 + + n 2 Bài 5: Tính : N = -1 2 + 2 2 - 3 2 + 4 2 99 2 + 100 2 Bài toán 5 có thể tách làm hai chuỗi hoặc : N = (2 2 -1 2 ) + (4 2 - 3 2 ) + +( 100 2 - 99 2 ) = 3 + 7 + + 199 3 199 .50 2 + = Nếu bạn để ý đến số 3 trong dãy 1.2 trong bài toán ban đầu thì bạn có thể dễ dàng giải quyết bài toán sau : Bài 6: Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + + 8.9.10 . Tính A ? 5 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” 8.9.10.11 : .4 4 B A = = HD 2. LẬP BÀI TOÁN NGƯỢC BÀI TOÁN BAN ĐẦU Cơ sở: Thiết lập mệnh đề đảo Ví dụ 1: Bài toán ban đầu : Để đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 cần viết tất cả bao nhiêu chữ số? Bài giải: Số trang có một chữ số là: 9 ( trang) Số trang có hai chữ số là: 49 – 10 + 1 = 40 ( trang) Số chữ số cần viết là: 9.1 + 40.2 = 89 (chữ số) Từ đó ta có các bài toán “ngược” như sau: Bài 1: Để đánh số trang sách của một quyển sách dùng tất cả 282 chữ số. Hỏi quyển sách đố có bao nhiêu trang ? Bài giải: Để đánh số 9 trang đầu cần: 9-1+1=9 (số có 1 chữ số). Để đánh số các trang từ 10 đến 99 cần: 99 – 10 + 1 =90 (số có hai chữ số). Do đó còn: 282 - (9.1 + 90.2) = 93 (chữ số) để đánh số các trang tiếp theo. Các chữ số này dùng để đánh số các trang có ba chữ số. Số các trang có 3 chữ số là: 93:3=31( số). 6 6 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” Cuốn sách đó có số trang là: 9 + 90 + 31 = 130(trang). Vậy cuốn sách có 130 trang. Bài 2: Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng các chữ số chẵn 2;4;6;8; .Hỏi bạn Lâm cần viết tất cả bao nhiêu chữ số ?. Chữ số thứ 300 là chữ số nào ? Bài 3: Viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1. Hỏi chữ số thứ 2002 là chữ số nào? Bài 4: Viết liền nhau các số tự nhiên lẻ bắt đầu từ 1. Hỏi chữ số thứ 123 là chữ số nào? Bài5: Viết liền nhau liên tiếp:LÊQUYĐÔNLÊQUYĐÔNLÊQUYĐÔN Hỏi chữ cái in hoa thứ 2011 là chữ cái nào ? Ví dụ 2 : Bài toán ban đầu Cho biết a + 4b chia hết cho 13 với a, b là số nhiên. Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13. Bài giải: Đặt a + 4b = x và 10a + b = y. Ta biết x M 13, cần chứng minh y M 13. Cách 1: Xét biểu thức: 10x - y = 10(a + 4b) - (10a + b) = 39b Như vậy 10x – y M 13 Do x M 13 nên 10x M 13 (vì 10;13)=1) Suy ra y M 13 Cách 2: Xét 4y – x = 4(10a + b) – ( a + 4b) = 39a Như vậy 4y – x M 13 7 7 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” Do x M 13 Nên 4y M 13 Mà (4, 13) = 1 Suy ra y M 13 Cách 3: Xét biểu thức 3x + y = 3 (a + 4b) + 10a + b = 13a + 13b=13(a +b) Như vậy 3x + y M 13 Do x M 13 và (3,13)=1 nên 3x M 13 Suy ra y M 13. Cách 4: Xét biểu thức x + 9y = a+ 4b + 9 (10a + b)=91a + 13b = 13(7a + b) Như vậy x + 9y M 13 Mà x M 13 Nên 9y M 13 => y M 13 ( vì (9,13) = 1) Nhận xét: Trong các cách giải trên, ta đưa biểu thức sau khi rút gọn là bội của 13. Trong đó biểu thức ban đầu ( có hai số hạng ) có một số hạng chia hết cho 13. Từ đó ta kết luận số còn lại chia hết cho 13. Hệ số a ở x là 1, Hệ số a ở y là 10 nên ta xét 10x – y nhằm khử a (tức là làm cho hệ số ở a bằng 0), xét hệ số 3x + y nhằm tạo ra hệ số ở a bằng 13. Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 nên xét biểu thức 4y – x nhằm khử b, xét biểu thức x + 9y nhăm tạo ra hệ số của b bằng 13. Từ đó ta lập được bài toán đảo lại liệu có đúng không? Bài toán mới : Cho biết 10a + b chia hết cho 13 với a, b là số nhiên. Chứng minh rằng a + 4b chia hết cho 13. 8 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” (Dựa vào cách chứng minh tương tự ta dễ dàng chứng minh được bài toán ngược luôn đúng.) 3. THÊM VÀO BÀI TOÁN BAN ĐẦU MỘT SỐ YẾU TỐ (ĐẶC BIỆT HÓA BÀI TOÁN) Cơ sở: Từ bài toán ban đầu thêm vào hoặc bớt đi một số yếu tố ở giả thiết , kết luận một số yếu tố để bài toán có thể dễ hơn hoặc khó hơn. Ví dụ1: Bài toán ban đầu : Tính tổng : 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 9.10 A = + + + + Để giải bài toán này không khó ta sử dụng tách ra thành hiệu phân số 1n 1 n 1 )1n.(n 1 + −= + với n N ∀ ∈ . Chúng ta có bài toán mới : Bài1:Tính : 1 1 1 1 20 30 42 132 B = + + + + Nhưng nếu ta thêm vào một yếu tố nữa thì bài toán trên sẽ khó hơn: Bài2:Tính : 3 3 3 3 20 30 42 156 C = + + + + Bài3:Tính : 1 1 1 1 1.3 3.5 5.7 9.11 D = + + + + Bài4:Tính : 9 9 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: “ Mét vµi ph¬ng ph¸p khai th¸c bµi to¸n líp6” 1 1 1 1 24 48 80 ( 2) E n n = + + + + + Bài 5: Tính: 15 15 15 15 90.94 94.98 98.102 146.150 G = + + + + Bài 6: Tính: 10 10 10 10 56 140 260 1400 H = + + + + Bài 7: Tìm x N ∈ biết: 20 20 20 20 3 11.13 13.15 15.17 53.55 11 x − − − − − = Bài 8: Tìm x N ∈ biết: 1 1 1 2 21 28 36 ( 1) x x + + + + + Dựa vào cách làm đó thay đề bài dưới cách hỏi chứng minh để có thêm các bài toán mới đa dạng hơn, khó hơn. Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: 1 1 1 1 1 1.6 6.11 11.16 (5 1)(5 6) 5 6 n n n n + + + + + = + + + Bài 10: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 ) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 4 a + + + + < 36 36 36 36 ) 3 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 b + + + + < 10 10 [...]... 3 5 x 6 6 6 y 3 2 0 Vy cỏc cp s t nhiờn (x,y) cn tỡm l: (6; 3), (6; 2), (6; 0) 16 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài toán lớp6 17 Trng hp 2: Nu 5 y =1 thỡ 7 x l s nguyờn t M x, y l s t nhiờn Ta cú bng: 7x 2 3 5-y 1 1 x 5 4 y 4 4 Vy cỏc cp s t nhiờn (x,y) cn tỡm l: 5 1 2 4 7 1 0 4 (5; 4), ( 4;4), (2; 4), (0; 4) Tr li: Cỏc cp s t nhiờn (x,y) cn tỡm l: (6; 3), (6; 2), (6; 0);... nhiờn a cỏc s: a, a + 4, a + 6, a + 22, a + 12, a + 24, a + 16 ờự l s nguyờn t 17 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài toán lớp6 18 ( Hd a = 7) Bi 9: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n mi s sau u l s nguyờn t: n +1, n + 3, n + 7, n + 13, n + 9, n + 15 Bi 10: Tỡm s nguyờn t p sao cho: a) p + 2 v p + 4 u l s nguyờn t b) p + 10 v p + 14 u l s nguyờn t c) p + 2, p + 6 v p + 8 u l s nguyờn t C./... bi ban u) Hng dn gii: a) xy+3x-7y=21 (xy+3x)-(7y+21)=0 x(y+3)-7(y+3)=0 (x-7)(y+3)=0 x-7=0 hoc y+3=0 Vy x=7 hoc y=-3 b) xy+3x-2y=11 12 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài toán lớp6 13 (xy+3x) 2y=11 x(y+3)-2y -6= 11 -6 x(y+3)-(2y +6) =5 x(y+3)-2(y+3)=5 (x-2)(y+3)=5 =>(x-2),(y+3) l c ca 5 M (5)={-5;-1;1;5} Ta cú bng sau: x-2 -5 -1 1 y+3 -1 -5 5 x -3 1 3 y -4 -8 2 Vy cỏc cp s nguyờn (x,)... kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài toán lớp6 19 Nm hc 2008- 2009 khi tụi cha ỏp dng phng phỏp ny vo ging dy thỡ cht lng i tr t bỡnh quõn huyn, i tuyn hc sinh gii 3 /6= 50% Nm hc 2009- 2010 tụi ó ỏp dng phng phỏp trờn vo dy i tr v bi gii Kt qu: Cht lng i tr vt bỡnh quõn huyn khỏ cao v i tuyn hc sinh gii 100% c gii nht ng i mụn toỏn 6 Vỡ thi gian v khuụn kh khụng cho phộp hn sỏng kin... ban u, ta cú th b i mt vi d kin ó cho, b i mt vi iu kin rng buc hoc b i mt vi ũi hi ca kt lun Khi ú ta ó m rng phm vi ca bi toỏn tng phc tp tc l ta ó khỏi quỏt bi toỏn Bõy gi chỳng ta s i t bi toỏn n gin : Vớ d 1: Bi toỏn ban u : Tỡm x sao cho 2 x 5 v l x-2 l + 4.l x-5 l = 9 (1) Ta cú 2 x 5 13 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài toán lớp6 14 nờn: l x-2 l 0 => l x-2 l=x-2...Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài toán lớp6 11 Bi 11: Chng minh rng: a) 1 1 1 1 + 2 + 2 + + 2 22 3 4 n (n N , n 2) b) 1 1 1 1 + 2 + 2 + + 42 6 8 (2n 2 ) (n N , n 2) c) 2! 2! 2! 2! + + + + 3! 4! 5! n! (n N , n 3) Bi 12: Chng minh rng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = 1- + + + 26 27 28 50 2 3 4 49 50 Vớ d 2: Bi toỏn ban u : Tỡm cp s nguyờn... hn vỡ phi gii trong 3 khong Bi toỏn mi Tỡm x sao cho l x-2 l + 4.l x-5 l = 9 (2) Tht vy: x 2 neu x 2 x2 = 2 - x neu x < 2 x - 5 neu x > 5 x 5 = 5 - x neu x 5 T ú ta cú bng x x 2 x 5 x 2 +4 x 5 2-x 5-x 22-5x Nu xy =>Cỏc cp s nguyờn (x;y) cn tỡm l:(7;1) ; (-1;-7) Ta thờm vo bi toỏn mt s yu t bi toỏn s tr nờn a dng hn Bi 1:Tỡm cp s nguyờn x , y : 11 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài toán lớp6 12 a)(x -1 ).(y+3) = 7 b) x 1 y + 3 = 7 Bi 2: Tỡm cp s nguyờn x , y : a) x(x+3)=0 b) (x-2)(5-x)=0 c) (x-1)(x 2 +1)=0 Bi 3: Tỡm cp s nguyờn x , y : a) (x-3)(2y+1)=7 b) (2x+1)(3y-2)=-55... nghip v bn c úng gúp ý kin bn sỏng kin kinh nghim ca tụi hon thin hn! Xin chõn thnh cm n! XC NHN CA T CHUYấN MễN Ngi vit NGUYN TH THU HNG HONG TH THU H 19 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài toán lớp6 20 XC NHN CA NH TRNG 20 ... ó cho thỡ chc chn bi toỏn s thay i Nhng mc ớch lm gỡ? Cỏc bn cú th tr li ngay cõu hi ny, hc sinh s thy d i, cú th lm c bi toỏn ban u hoc khú i hoc tng hp Bi toỏn ban u: Tỡm s t nhiờn m 7m l s nguyờn t Bi gii: Vi m = 0 thỡ 7m = 0 khụng l s nguyờn t Vi m = 1 thỡ 7m = 7 l s nguyờn t Vi m 2 thỡ 7m l hp s (vỡ ngoi cỏc c 1 v chớnh nú 7m cũn cú 15 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phơng pháp khai thác bài . MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP KHAI THÁC BÀI TOÁN LỚP 6 NHẰM PHÁP TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH. A. ĐẶT VẤN ĐỀ : I – LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trong. thức thông qua một vài ví dụ xây dựng bài toán mới từ các bài toán ban đầu theo sơ đồ sau: 2 2 BÀI TOÁN BAN ĐẦU BÀI TOÁN MỚI Lập b i toán tà ương tự Lập b i toán ngà ược Thêm một số yếu tố (Đặc. BỚT ĐI MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA BÀI TOÁN BAN ĐẦU ( KHÁI QUÁT HÓA BÀI TOÁN) Cơ sở: Khi đề xuất bài toán mới bằng cách bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, ta có thể bỏ đi một vài dữ kiện đã cho,