Số tổ hợp suy rộng và một vài phương pháp xây dựng bài toàn tổ hợp

11 377 0
Số tổ hợp suy rộng và một vài phương pháp xây dựng bài toàn tổ hợp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HIỀN SỐ TỔ HỢP SUY RỘNG VÀ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BÀI TỐN TỔ HỢP Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THU HIỀN TỔ HỢP SUY RỘNG VÀ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BÀI TỐN TỔ HỢP Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Chương Tổ hợp suy rộng 1.1 Phép chứng minh quy nạp 1.1.1 Quan hệ tương đương quan hệ thứ tự 1.1.2 Ngun lý quy nạp 1.2 Hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp 1.2.1 Quy tắc đếm 1.2.2 Hốn vị chỉnh hợp 1.2.3 Tổ hợp 1.2.4 Cơng thức khai triển nhị thức Newton 1.3 Hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp suy rộng 1.3.1 Chỉnh hợp có lặp 1.3.2 Tổ hợp có lặp 1.3.3 Hốn vị tập hợp có phần tử giống 1.3.4 Số cách phân bố đồ vật vào hộp 1.4 Xây dựng tốn tổ hợp 1.4.1 Phương pháp đạo hàm tích phân 1.4.2 Phương pháp hệ phương trình 1.4.3 Phương pháp số phức 1.4.4 Phương pháp song ánh Chương Một vài biểu diễn qua tổ hợp 2.1 Định lý Hilbert Định lý Cantor biểu diễn số 2.2 Khai triển đa đơn thức 2.3 Sử dụng số cơng thức chuyển đổi ngược 2.4 Đồng thức Newton 2.5 Định lý Fermat Định lý Wilson Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 12 12 13 17 20 22 22 22 25 26 27 27 30 38 41 45 45 48 50 56 60 Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 64 65 Mở đầu Tổ hợp phần quan trọng Tốn học rời rạc, chun nghiên cứu xếp phân bố đối tượng tính số cách xếp Chủ đề nghiên cứu từ lâu, kỷ 17, xét trò chơi may rủi Thơng thường, số phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thỏa mãn điều kiện định đấy, tùy theo u cầu vấn đề nghiên cứu Do việc đếm đối tượng diễn đạt tốn dạng xếp, có kể thứ tự khơng, phần tử tập hợp, nên ta thường gặp tốn tổ hợp dạng sau: Bài tốn đếm: Đây tốn nhằm trả lời câu hỏi "có cách xếp phần tử thỏa mãn điều kiện nêu?" Phương pháp đếm thường dựa vào số ngun lý số tính tốn khơng q phức tạp Bài tốn liệt kê: Đây tốn xét tất khả nhằm trả lời câu hỏi "thuật tốn vét hết khả xếp có cách xếp phần tử thỏa mãn điều kiện nêu?" Bài tốn tối ưu: Đây tốn xét cách xếp tốt nhất, theo nghĩa đó, số cách xếp Bài tốn tồn tại: Đây tốn xét tồn hay khơng tồn cách xếp phần tử theo u cầu đặt Một vấn đề dễ thấy tốn tổ hợp thường xuất kỳ thi Đại học Cao đẳng, kỳ thi Học sinh giỏi cấp quốc gia hay quốc tế Chúng tốn khó Đặc biệt, để phục vụ tốt cho việc giảng dạy chương "Tổ hợp Xác xuất" lớp 11, giúp học sinh thi Đại học Cao đẳng với mong muốn tìm hiểu sâu tốn tổ hợp nên chúng tơi chọn đề tài "Tổ hợp suy rộng Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ vài phương pháp xây dựng tốn tổ hợp." Luận văn tập trung tìm hiểu Bài tốn đếm Bài tốn liệt kê (dạng đơn giản) Ngồi phần mở đầu, kết luận, luận văn chia làm chương Chương Tổ hợp suy rộng Chương tập trung trình bày phương pháp quy nạp Mục1.1; hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton Mục 1.2; chỉnh hợp tổ hợp suy rộng Mục 1.3; số phương pháp xây dựng tốn tổ hợp trình bày Mục 1.4 Chương Một vài ứng dụng tổ hợp Trong chương chúng tơi tập trung trình bày số ứng dụng tổ hợp để biểu diễn vài tốn Mục 2.1 trình bày cách vận dụng tổ hợp hốn vị để biểu diễn số qua Định lí Hilbert Định lí Cantor Mục 2.2 trình bày cơng thức khai triển đa đơn thức Nó cơng thức khai triển nhị thức Newton tổng qt Trong Mục 2.3 chúng tơi trình bày phương pháp sử dụng số cơng thức chuyển đổi ngược Đồng thức Newton trình bày Mục 2.4 cuối việc chứng minh Định lí Fermat Định lí Wilson Luận văn hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS -TS Đàm văn Nhỉ - Trường ĐHSP1- Hà nội Từ đáy lòng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn Thầy Em xin trân trọng cảm ơn tới Thầy Cơ Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Ngun, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Tốn K5A Trường Đại Học Khoa Học động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tơi xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Hùng An - Huyện Bắc Quang tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành kế hoạch học tập Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tuy nhiên, hiểu biết thân khn khổ luận văn, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận dẫn góp ý Thầy Cơ, bạn bè để tơi hồn thành tốt luận văn Thái Ngun, ngày 02 tháng 04 năm 2013 Tác giả Phạm Thị Thu Hiền Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Tổ hợp suy rộng Nội dung chương tập trung bàn tổ hợp suy rộng Chúng ta bắt đầu chương cách trình bày phương pháp quy nạp 1.1 1.1.1 Phép chứng minh quy nạp Quan hệ tương đương quan hệ thứ tự Giả thiết tập X = ∅ Tích đề X × X định nghĩa đây: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X} Định nghĩa 1.1 Tập S X × X quan hệ hai ngơi X Nếu (x, y) ∈ S ta nói x quan hệ S với y viết xSy Định nghĩa 1.2 Giả thiết X = ∅ S = ∅ quan hệ hai ngơi X Quan hệ S gọi quan hệ tương đương X thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (i) (Phản xạ) Với x ∈ X có xSx (ii) (Đối xứng) Với x, y ∈ X, có xSy có ySx (iii) (Bắc cầu) Với x, y, z ∈ X, có xSy ySz có xSz Khi S quan hệ tương đương X ta thường kí hiệu ∼ thay cho S Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} gọi lớp tương đương với x làm đại diện Dễ dàng tính chất sau: Tính chất 1.1 Giả sử ∼ quan hệ tương đương X Khi đó: (i) Với x ∈ X có x ∈ C(x) (ii) Với y, z ∈ C(x) có y ∼ z, y ∼ x z ∼ x (iii) Với x, y ∈ X, có C(x) ∩ C(y) = ∅ C(x) = C(y) (iv) Tập thương X/ ∼ tập lớp tương đương khơng giao Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ 1.1 Tính tổng tất số gồm chữ số phân biệt lập từ số 1, 2, , 8, Bài giải: Tập số thỏa mãn đầu phân làm lớp phân biệt lực lượng: Lớp C(i) = {a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 i|ak ∈ {1, 2, , 9} \ {i}} gồm tất số lập qua việc viết chữ số i vào cuối số a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 với ak ∈ {1, 2, , 9} \ {i} Thấy lực lượng C(i) 8! Vậy tổng chữ số hàng đơn số thỏa mãn đầu 8!(1 + + · · · + + 9) = 45.8! Từ có tổng số 109 − cần tính S = 45.8!(1 + 10 + · · · + 108 ) = 45.8! = 5(109 − 1).8! Định nghĩa 1.3 Giả thiết X = ∅ S = ∅ quan hệ hai ngơi X Quan hệ S gọi quan hệ thứ tự X thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (i) (Phản xạ) với x ∈ X có xSx (ii) (Phản đối xứng) Với x, y ∈ X, có xSy ySx x = y (iii) (Bắc cầu) Với x, y, z ∈ X, có xSy ySz có xSz Tập X gọi tập xắp thứ tự có quan hệ thứ tự X Khi S quan hệ thứ tự X ta thường viết thay cho S Với x, y ∈ X, thay cho việc viết xSy ta viết x y đọc x nhỏ y viết y x đọc y lớn x Từ ta định nghĩa x < y x y, x = y; y > x y x, y = x Định nghĩa 1.4 Giả thiết X tập xắp thứ tự với quan hệ thứ tự Phần tử a ∈ X gọi phần tử bé X thỏa mãn a x với x ∈ X Phần tử b ∈ X gọi phần tử lớn X thỏa mãn x b với x ∈ X Định nghĩa 1.5 Tập xắp thứ tự X gọi tập xắp thứ tự tốt phận khác rỗng X có phần tử bé Hai kết sau chứng minh giáo trình số học Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mệnh đề 1.1 Tập tất số tự nhiên N quan hệ thứ tự tập xắp thứ tự tốt Mệnh đề 1.2 Nếu tập M ⊂ N có tính chất: ∈ M n + ∈ M n ∈ M, M = N Ví dụ 1.2 Xác định số ngun dương k để cho tập hợp X = {2012, 2012 + 1, 2012 + 2, , 2012 + k} phân làm hai tập A B thỏa mãn A ∩ B = ∅, A ∪ B = X tổng số thuộc tập A tổng số thuộc tập B Bài giải: Trước tiên ta tìm điều kiện cho k Giả sử có hai tập A B thỏa mãn đầu Đặt s tổng tất số thuộc tập A Khi tập B có tổng số s tập X có tổng tất số 2s Vậy 4s = 2[2012 + (2012 + 1) + (2012 + 2) + · · · + (2012 + k)] = 4024(k + 1) + k(k + 1) Như k(k + 1) chia hết cho từ suy k ≡ 3(mod 4) k ≡ 0(mod 4) Xét trường hợp (1): k ≡ 3(mod 4) Dễ dàng suy ra: Số phần tử thuộc tập X phải bội Hiển nhiên, số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 ln thỏa mãn n + n + = n + + n + {n, n + 3} ∩ {n + 1, n + 2} = ∅ Tập X thỏa mãn tính chất đòi hỏi Trường hợp (2): k ≡ 0(mod 4) Trong trường hợp này, số phần tử tập X phải số lẻ Giả sử X phân làm hai tập rời A B A ∩ B = ∅ Ta giả thiết Card(A) > Card(B) Đặt k = 4m với số tự nhiên m Khi Card(A) 2m + 1, Card(B) 2m Ta có s 2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 2m) s < (2012 + 2m + 1) + · · · + (2012 + 4m) Như vậy, ta có 2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 2m) s < (2012 + 2m + 1) + · · · + (2012 + 4m) hay 2012 < 2m.2m hay m 23 k = 4m 23.4 = 92 Khi k = 92 : Ta xét A1 = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 46} với tổng số a1 = 2012 + (2012 + 1) + · · · + (2012 + 46); B1 = {(2012 + 47) + · · · + (2012+92) với tổng số b1 = (2012+47)+· · ·+(2012+92) Ta có b1 − a1 = 46.46 − 2012 = 104 Thế số 2012 + 52 B1 số 2012 số 2012 A1 số 2012+52 Khi A = A1 \{2012}∪{2012+52} B = B1 \ {2012 + 52} ∪ {2012} thỏa mãn đề Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Khi k ≡ 0(mod 4) k > 92 Ta viết X = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 92} ∪ {2012 + 93, , 2012 + 4m} Phân tập X1 = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 92} thành hai tập A B trên; phân tập X2 = {2012 + 93, , 2012 + 4m} với số phần tử chẵn dễ dàng phân làm hai tập C D thỏa mãn C ∩ D = ∅ C ∪ D = X2 với tổng số tập C D Vậy A0 = A ∪ C, B0 = B ∪ D thỏa mãn đầu Tóm lại, k ≡ 3(mod 4) k ≡ 0(mod 4) với k 92 1.1.2 Ngun lý quy nạp Hai ngun lý thường gọi ngun lý thứ ngun lý thứ hai quy nạp tốn học Mệnh đề 1.3 [Ngun lý thứ nhất] Nếu mệnh đề P (n), phụ thuộc vào số tự nhiên n, thỏa mãn: (i) P (α) với α ∈ N (ii) P (n + 1) P (n) đúng, n P (n) với số tự nhiên n α, n ∈ N α Mệnh đề 1.4 [Ngun lý thứ hai] Nếu mệnh đề P (n), phụ thuộc vào số tự nhiên n, thỏa mãn: (i) P (α) với α ∈ N (ii) P (n+1) P (α), P (α+1), , P (n) đúng, n P (n) với số tự nhiên n α, n ∈ N α Bây ta vận dụng hai ngun lý để xét số tốn sơ cấp Ví dụ 1.3 Với số ngun n Pn = n!, chứng minh 2Pn 2n Bài giải: Với n = có 2P2 = = 22 Như kết luận cho n = Giả sử kết luận cho n > Khi 2Pn 2n Xét tích 2Pn+1 = (n + 1).2Pn (n + 1)2n > 2.2n = 2n+1 Từ suy 2Pn 2n , ∀ n Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... k ≡ 0(mod 4) và k > 92 Ta viết X = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 92} ∪ {2012 + 93, , 2012 + 4m} Phân tập X1 = {2012, 2012 + 1, , 2012 + 92} thành hai tập A và B như trên; phân tập X2 = {2012 + 93, , 2012 + 4m} với số phần tử chẵn dễ dàng phân ra làm hai tập C và D thỏa mãn C ∩ D = ∅ và C ∪ D = X2 với tổng các số trong tập C và D bằng nhau Vậy A0 = A ∪ C, B0 = B ∪ D thỏa mãn đầu bài Tóm lại,... n thì P (n) đúng với mọi số tự nhiên n α, n ∈ N α Bây giờ ta sẽ vận dụng hai ngun lý này để xét một số bài tốn sơ cấp Ví dụ 1.3 Với số ngun n 2 và Pn = n!, hãy chứng minh 2Pn 2n Bài giải: Với n = 2 có 2P2 = 4 = 22 Như vậy kết luận đúng cho n = 2 Giả sử kết luận đúng cho n > 2 Khi đó 2Pn 2n Xét tích 2Pn+1 = (n + 1).2Pn (n + 1)2n > 2.2n = 2n+1 Từ đó suy ra 2Pn 2n , ∀ n 2 Số hóa bởi Trung tâm Học... gọi là ngun lý thứ nhất và ngun lý thứ hai của quy nạp tốn học Mệnh đề 1.3 [Ngun lý thứ nhất] Nếu mệnh đề P (n), phụ thuộc vào số tự nhiên n, thỏa mãn: (i) P (α) đúng với một α ∈ N (ii) P (n + 1) đúng khi P (n) đúng, ở đó n thì P (n) đúng với mọi số tự nhiên n α, n ∈ N α Mệnh đề 1.4 [Ngun lý thứ hai] Nếu mệnh đề P (n), phụ thuộc vào số tự nhiên n, thỏa mãn: (i) P (α) đúng với một α ∈ N (ii) P (n+1)

Ngày đăng: 30/09/2016, 23:28

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan