Luận văn sư phạm Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn

Một số phương pháp nghiên cứu toán điểm tới hạn Võ Giang Giai Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM , 2004 Phương Pháp Trường Giả Gradient CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TRƯỜNG GIẢ GRADIENT I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ CƠ SỞ: Trong suốt chương này, không nói thêm ta hiểu X không gian Banach phiếm hàm f : X → R thuộc lớp C Định nghóa 1: Phiếm hàm f gọi thoả điều kiện (C ) , : ⎧⎪{ f (v n )} bị chặn ∀{v n } ⊂ X : ⎨ df (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ ∃{vn } hội tụ k ‰ Đặc biệt: Nếu điều kiện nghiệm f ≥ α > (tương ứng f ≤ −α < ) ta nói f thoả mãn điều kiện (C + ) (tương ứng (C − ) ) ‰ Định lý 2: (a) Nếu f thoả điều kiện (C − ) thì: (∀k , α > 0, ∃r ≥ 0, δ > : ∀v ∈ X ,− k < f (v ) < −α , v > r ⇒ df (v ) > δ ) (1) (b) Giả sử f thoả đồng thời điều kiện sau: (i) (ii) ∀k ,α > 0, ∃ r ≥ 0, δ > : ∀v ∈ X ,− k < f (v ) < −α , v > r ⇒ df (v ) > δ Neáu ∀{v n } ⎧⎪ f (v n ) < 0, ∀n ∈ N * bị chặn ⊂ X : ⎨ df (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ ∃{vn k } hội tụ Khi f nghiệm điều kiện (C − ) Chứng minh: (a) Giả sử f thoả điều kiện (C − ) không thoả (1) Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Vì ∃ k ,α > vaø {v n } ⊂ X cho: ⎧ ⎪− k < f (v n ) < −α ⎪ ⎨ > n ⎪ ⎪ df (v n ) < n ⎩ (2) (3) (∀n ∈ N * ) (4) Từ (2) (4) suy ∃ {vn k } hội tụ (Vì f thoả điều kiện (C − ) ) Cùng với (3) ta có v n ≥ nk ≥ k , ∀k ∈ N * k Do lim v nk = +∞ k → +∞ Điều dẫn đến mâu thuẫn với {vn } hội tụ k (b) Xét daõy {v n } ⊂ X , { f (v n )} bị chặn dưới, f (v n ) ≤ −α < 0, ∀n ∈ N * vaø lim df (v n ) = (5) n → +∞ ta cần chứng minh ∃{vn } hội tụ k Quả vậy, giả sử {v n } không bị chặn, tức là: { } ∃ v nk cho v nk ≥ k , ∀k ∈ N * Goïi − β < chặn { f (v n )} thì: ( ) − β ≤ f v nk ≤ −α , v nk ≥ k , ∀k ∈ N * Theo điều kiện (i) ∃δ > (không phụ thuộc vào k) cho: ( ) > δ , ∀k ∈ N df v nk * Dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện (5) Tức {v n } bị chặn Do theo điều kiện (ii) ∃ {v n } hội tụ k ‰ Hệ 3: Nếu X không gian định chuẩn hữu hạn chiều điều kiện (C − ) tương đương với điều kieän: ∀k, α > 0, ∃r ≥ 0, δ > : ∀v ∈ X,− k < f (v ) < −α, v > r ⇒ df (v ) > δ Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Chứng minh: Ta biết không gian hữu hạn chiều: “Mọi dãy bị chặn tồn dãy hội tụ” Vì vậy, X hữu hạn chiều kết hợp với định lý ta có hệ ‰ Định nghóa 4: Phiếm hàm f gọi riêng, ∀ K tập compact R f −1 (K ) tập compact X ‰ Định lý 5: Nếu f thoả điều kiện (C ) thu hẹp f tập điểm tới hạn riêng Chứng minh: Gọi W = {v ∈ X / df (v ) = 0} K tập compact R Ta cần chứng minh W ∩ f −1 (K ) tập compact X Quả vậy: Xét dãy {vn } ⊂ W ∩ f −1 (K ) ⎧ f (v n ) ⊂ K ⇔⎨ ⎩{v n } ⊂ W ⎧⎪{ f (v n )} bò chaën R ⇒⎨ df (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ Hơn f thoả điều kiện (C ) , nên {vn } hội tụ v ∈ X ( ) k ⎧⎪ f v nk → f (v ) (Vì f thuộc lớp C ) ⇒⎨ df v nk = ⎪⎩df (v ) = klim → +∞ ⎧ f (v ) ∈ K ⇒⎨ ⎩df (v ) = ⎧v ∈ f −1 (K ) ⇔⎨ ⎩v ∈ W ( ) (Vì K tập Compact) ⇔ v ∈W ∩ f Vậy ∃{vn } hội tụ v ∈ W ∩ f −1 (K ) k −1 (K ) ‰ Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Hệ 6: Nếu f thoả điều kiện (C ) vaø W = {v ∈ X / df (v ) = 0} f (W ) tập đóng R Chứng minh: Xét dãy {y n } ⊂ f (W ) , y n → y ⇒ y n = f (v n ) với {v n } ⊂ W ⎧{ f (v n )} bị chặn Như ⎪⎨ df (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ (Vì {y n } hội tụ) (Vì {vn } ⊂ W ) Mặt khác f thoả điều kiện (C ) , nên ∃ {vn } hội tụ v ∈ X k ( ) ⎧⎪ f v nk → f (v ) ⇒⎨ df v nk = ⎪⎩df (v ) = klim → +∞ ( ) (Vì f thuộc lớp C ) ⎧ y n → f (v ) ⇒⎨ k ⎩df (v ) = ⎧ y = f (v ) ⇒⎨ ⎩df (v ) = ⇒ y ∈ f (W ) Vaäy f (W ) tập đóng R ‰ Định lý 7: Cho X không gian Hilbert, f : X → R thuộc lớp C Khi ∀v ∈ X theo định lý Riesz ∃ ! ∇f (v ) ∈ X : df (v )(w) = ∇f (v ), w , ∀w ∈ X Xét toán Cauchy: ⎧ dϕ = −∇f (ϕ ) ⎪ ⎨ dt ⎪⎩ϕ (t ) = v (t ∈ R ) (6) Khi tồn khoảng lớn (ω − , ω + ) ( − ∞ ≤ ω − < ω + ≤ +∞ ) chứa t để (6) có nghiệm (xem [4]) ‰ Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Định lý 8: Cho X không gian Hilbert, f : X → R thuộc lớp C thoả điều kiện (C ) , gọi ϕ nghiệm (6) Khi đó: Hoặc lim f (ϕ (t )) = −∞ (tương ứng lim f (ϕ (t )) = +∞ ) t →ω t →ω (i) + (ii) − (tương ứng ω − = −∞ ) tồn q ∈ X , Hoặc ω + = +∞ ⎧ lim ϕ (t n ) = q dãy t n → +∞ (tương ứng t n → −∞ ) cho: ⎪⎨n→+∞ ⎪⎩df (q ) = Chứng minh: Đặt g (t ) = f (ϕ (t )), t ∈ (ω − , ω + ) Ta coù g , (t ) = − ∇f (ϕ (t )) ≤ ⇒ g giảm (ω − , ω + ) ∗ Neáu c = −∞ ⇒ lim g (t ) = c ∈ [− ∞,+∞ ) t →ω + lim f (ϕ (t )) = −∞ t →ω + ∗ Neáu c > −∞ ⇒ ϕ (t ) − ϕ (s ) = ta coù t dϕ = −∇f (ϕ ) dt ∫ ∇f (ϕ (t )).dr ⎧a ≤ s ≤ t < ω + ⎩a cố định ∈ (ω − , ω + ) ,với ⎨ s t ≤ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr s 1 ⎞ ⎛t ⎞ ⎛t ≤ ⎜⎜ ∫ dr ⎟⎟ ⎜⎜ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr ⎟⎟ (Do bất đẳng thức Holder) ⎠ ⎠ ⎝s ⎝s ⎛ ω+ ⎞ ≤ (t − s ) ⎜ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ 1 Vì ω + < +∞ {ϕ (t )}t∈[a ,ω ) dãy Cauchy X + Do ϕ (t ) → v ∈ X (khi t → ω + ) Điều chứng tỏ nghiệm phương trình (6) kéo dài bên phải ω + (Do định lý kéo dài nghiệm) Dẫn đến mâu thuẫn với định nghóa ω + Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Do ñoù ω + = +∞ Khi ñoù +∞ ∫ ∇fϕ (r ) dr = ω+ ∫ ∇f (ϕ (r )) a dr ∈ [0,+∞ ) a Ta caàn chứng minh tìm dãy t n → +∞ : ∇f (ϕ (t n )) → (7) Thaät vậy, theo định lý trung bình: (n ∈ N ) cho ∃t n ∈ [a + n, a + 2n] ⇒ ≤ ∇f (ϕ (t n )) * ≤ n +∞ ∫ ∇f (ϕ (n )) ∇f (ϕ (t n )) = n a+2n ∫ ∇f (ϕ (r )) dr a+n dr → (khi n → +∞ ) a ⇒ ∇f (ϕ (t n )) → ⇒ ∇f (ϕ (t n )) → Tức (7) Như ta có ⎧ Dãy { f (ϕ (t ))} hội tụ n ⎪ ⎨ ⎪ ∇f (ϕ (t n )) → ⎩ Vì ∃ ϕ (t n ) → q ∈ X k ⇒ ∇f (q ) = (Vì f thoả điều kiện (C ) ) (Vì f thuộc lớp C ) Trong trường hợp t → ω − phép chứng minh tương tự ‰ Hệ 9: Cho X không gian Hilbert, f : X → R thuộc lớp C bị chặn thoả điều kiện (C ) Khi f đạt giá nhỏ X Chứng minh: Do f bị chặn nên ∃ inf { f (v ) / v ∈ X } = c ∈ R ⇒ ∃ {p n } ⊂ X : c ≤ f ( p n ) < c + , ∀n ∈ N * n Gọi ϕ nghiệm (6) thoả ϕ (0 ) = p n Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Khi theo định lyù ⎧df (q n ) = ⎪ ∃ {q n } ⊂ X : ⎨ ⎪⎩c ≤ f (q n ) ≤ f ( p n ) < c + n Do ∃ q n → q (vì f thoả điều kiện (C ) ) ⇒ f (q ) = c (vì c ≤ f (q n ) < c + k k (∀n ∈ N ) * 1 ≤ c + , ∀k ∈ N * ) nk k Vậy f đạt giá trị nhỏ q ∈ X ‰ II ĐỊNH LÝ MINIMAX: Định nghóa 10: w ∈ X gọi vectơ giả gradient f v ∈ X , w thoả đồng thời hai điều kiện sau: (i) (ii) w ≤ df (v ) df (v )(w) ≥ df (v ) ‰ Định nghóa 11: Cho φ ≠ S ⊂ X , Φ : S → X gọi trường vectơ giả gradient f S , ∀v ∈ S Φ (v ) vectơ giả gradient f v ‰ Định lý 12: Cho W = {v ∈ X / df (v ) = 0} X = X \ W ta tìm hàm ~ ~ Φ : X → X Lipschitz địa phương X , đồng thời trường vectơ ~ giả gradient f X ~ Chứng minh: ~ ∀v ∈ X , tacoù df (v ) = inf {df (v )(w) / w ∈ X , w = 1} neân: ~ ) > df (v ) ~∈ X : w ~ = vaø df (v )(w ∃w 3 Khi chọn w = df (v ) w~ ,ta ⎧ ⎪⎪ w ≤ df (v ) ⎨ ⎪df (v )(w) ≥ df (v ) ⎪⎩ (8) Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Hơn df liên tục v df (v ) > , nên tồn cầu mở Bv tâm v: df (v ) ≤ df (u ) ≤ f (v ) , ∀u ∈ Bv 6 (9) Ta lại chọn tiếp wv = w wv = − w để df (u )(w~ ) > ⎧ wv ≤ df (u ) Từ (8) (9) ta có ⎪⎨ ⎪⎩df (u )(wv ) ≥ df (u ) Maø (10) , ∀u ∈ Bv ~ X = ∪ Bv paracompact, nên với (10) suy ~ v∈ X tồn phủ làm mịn hữu hạn {Bv } X wv ∈ X , i ∈ I cho: ~ ~ i i ⎧ wv ≤ df (u ) ⎪ i , ∀u ∈ Bvi ⎨ ( ) ( ) df u w df u ≥ ⎪⎩ vi ~ ⎧ ⎫ ξ i (v ) = inf ⎨ v − w / w ∈ Χ \ B v i ⎬ ⎧ ⎩ ⎭ ~ ⎪ ,v∈ X ⎨ w v i ξ i (v ) ⎪Φ (v ) = ∑ ⎩ i ∑ ξ j (v ) (11) ( ) Đặt j Khi v − wε < ξ i (v ) + ε ~ ∀v1 , v ∈ X vaø ∀ε > , ta luoân ~ ∃wε ∈ X \ Bvi : ⇒ ξ i (v1 ) ≤ v1 − wε ≤ v1 − v + v − wε < ξ i (v ) + ε + v1 − v ⇒ ξ i (v1 ) − ξ i (v ) < ε + v1 − v , ∀ε > ⇒ ξ i (v1 ) − ξ i (v ) ≤ v1 − v Chứng minh tương tự (12) ξ i (v ) − ξ i (v1 ) ≤ v − v1 Từ (12) (13) ta có ξ i (v1 ) − ξ i (v ) ≤ v1 − v (13) (14) Từ (11) (14) ta dễ dàng kiểm tra Φ thoả mãn vấn đề đặt Vậy định lý chứng minh hoàn toàn ‰ Trang 10 Phương Pháp Trường Giả Gradient Định nghóa 13: Cho c ∈ R δ > , ta đặt ⎧ f c = {v ∈ X / f (v ) ≤ c} ⎪ −1 ⎪ f (c ) = {v ∈ X / f (v ) = c} ⎪ ⎨W = {v ∈ X / df (v ) = 0} ⎪W = {v ∈ W / f (v ) = c} = W ∩ f ⎪ c ⎪⎩U δ = {v ∈ X / d (v, Wc ) < δ } −1 (c ) ‰ Bổ đề 14: Cho φ ≠ A ⊂ X Ta coù (i) d:X →R v d (v ) = d (v, A) lieân tục Nếu A đóng d (v ) = ⇔ v ∈ A (ii) Chứng minh: (i) ∀u, v ∈ X , ∀w ∈ A Ta coù: d (u , w ) ≤ d (u , v ) + d (v, w ) ,với d (u , v ) = u − v ⇒ d (u , A) ≤ d (u , w ) ≤ d (u , v ) + d (v, w ) ⇒ d (u , A) − d (u , v ) ≤ d (v, w) ⇒ d (u , A) − d (u , v ) ≤ d (v, A) (Do tính chất cận dưới) ⇔ d (u , A) − d (v, A) ≤ d (u , v ) Chứng minh tương tự d (v, A) − d (u , A) ≤ d (v, u ) Vaäy (ii) d (u , A) − d (v, A) ≤ d (u , v ) , ∀u, v ∈ X Nếu v ∈ A ≤ d (v, A) ≤ d (v, v ) = ⇒ d (v, A) = Ngược lại d (v, A) = ∃{vn } ⊂ A cho: ≤ d (v, v n ) < n ⇒ lim d (v, v n ) = n → +∞ ⇒ → v Maø A đóng nên v ∈ A ‰ Trang 11 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland ⇒ f (v n +1 ) − g (v n +1 ) ≤ − n ⇒ diameterC0 (vn +1 ) ≤ 21− n Như ⇒ ⇒ (Do (3)) ⎧φ ≠ C (v n +1 ) ⊂ C (v n ) ⎨ 1− n ⎩diameterC0 (v n +1 ) ≤ (Do (4)) ⎧⎪φ ≠ C (v n +1 ) ⊂ C (v n ) ⎨ ⎪⎩diameter C (v n ) ≤ 2− n → 0, : n → +∞ ∩ C (v n ) = {u } (5) (Vì X đầy đủ) n∈N Hơn từ v n +1 ∈ C (v n ) , ∀n ∈ N , neân: ∗ v ∈ C (v ) ⇒ ∃ chuyển động u 0+ chứa u 00 = v = u , u 0k = v ∗ v ∈ C (v1 ) ∗ v ∈ C (v ) ⇒ ∃ chuyeån động u chứa u 20 = v , u 2k = v ⇒ ∃ chuyển động u 1+ chứa u10 = v1 , u1k1 = v + v i +1 ∈ C (v i ) ⇒ ∃ chuyeån động u +i chứa u i0 = v i , u ik i = v i +1 ∗ Lúc ta xây dựng chuyển động u + sau: k + phần tử đầu tiên: u 00 , u10 , , u 0k (trích từ k + phần ∗ tử chuyển động u +0 ) k + phần tử (kế laàn 1): u 10 , u 11 , , u 1k1 (trích từ k + phần ∗ tử chuyển động u1+ ) k + phần tử (kế lần 2): u 20 , u12 , , u 2k (trích từ k + phần ∗ tử chuyển động u 2+ ) k i + phần tử (kế lần i): u i0 , u 1i , , u ik i (trích từ k i + phần tử ∗ chuyển ñoäng u +i ) Khi ∀k ∈ N , suy ∃m ∈ N : v m ∈ C (u k ) ⇒ u ∈ C (v m ) ⊂ C (u k ) ⇒ u ∈ C (u k ) (Do (3) vaø (5)) ⇒ u ∈ ∩ C (u k ) k∈N Trang 28 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Vì Nên diameter C (u k ) → (khi k → +∞ ) ∩ C (u k ) = {u } ‰ k ∈N Hệ 7: Cho F tán xạ nửa liên tục ∃ u ∈ X điểm bất biến F , tức F (u ) = {u } Chứng minh: Xét u chuyển động u + định lý (thì u n → u ) Hơn F nửa liên tục u , nên ∀w ∈ F (u ) ta luoân ∃wn ∈ F (u n ) hội tụ tới w Khi wk ∈ C (u n ) , ∀k ≥ n , k, n ∈ N Cho k → +∞ , ta w ∈ C (u n ), ∀n ∈ N ⇒ w ∈ ∩ C (u n ) = {u } ⇒ w =u ⇒ F (u ) = {u } (Vì C (u n ) đóng) (Do định lý 6) n∈N ‰ Hệ 8: Cho F tán xạ liên kết với hàm f Khi đó: ⎧ f (u ) < +∞ ∃u ∈ C (u ) : F (u ) = {u } ⎩C (u ) đóng Nếu u ∈ X : ⎨ Chứng minh: Xét u chuyển động u + định lý Ta có C (u n ) đóng, ∀n ∈ N nên {u } = ∩ C (u n ) n∈N ⇒ u ∈ C (u n ), ∀n ∈ N ⇒ F (u ) ⊂ C (u n ), ∀n ∈ N ⇒ F (u ) ⊂ ∩ C (u n ) = {u } ⇒ F (u ) = {u } n∈N ‰ Trang 29 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Định lý 9: Cho f : X → [0,+∞ ] không đồng với + ∞ Khi hệ thống động học G định G (u ) = {v ∈ X / f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u )} tán xạ liên kết với f G (u ) = C (u ), ∀u ∈ X Chứng minh: Ta có: ∀u ∈ X : u ∈ G (u ) nên G ≠ φ G hệ thống động học tán xạ (Vì ∀u ∈ X , ∀v ∈ G (u ) , ta coù f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) ) Vấn đề lại ta phải chứng minh G (u ) = C (u ), ∀u ∈ X Quaû vậy: ∗ Nếu f (u ) = +∞ ⇒ G (u ) = C (u ) = X ∗ Neáu f (u ) < +∞ , ∀v ∈ G (u ), ∀w ∈ G (v ) ⇒ ⎧ f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) ⎨ ⎩ f (w) + d (v, w) ≤ f (v ) ⇒ f (w ) + d (u , v ) + d (v, w) ≤ f (u ) ⇒ f (w ) + d (u , w ) ≤ f (u ) ⇒ w ∈ G (u ) ⇒ G (v ) ⊂ G (u ), ∀v ∈ G (u ) ⇒ C (u ) ⊂ G (u ) (Vì f (u ) < +∞ nên f (v ), f (w) < +∞ ) Hơn G (u ) ⊂ C (u ) (Do định nghóa) Vậy G (u ) = C (u ) ‰ Hệ 10: Ta có G hệ động học lớn liên kết với f Và u điểm bất biến G u điểm bất biến F (với F hệ động học liên kết với f ) Chứng minh: ∗ ∀u ∈ X , ∀v ∈ F (u ) , ta coù f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) ⇒ v ∈ G (u ) ⇒ F (u ) ⊂ G (u ) Trang 30 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Nếu u điểm bất biến G, đó: ∗ φ ≠ F (u ) ⊂ G (u )⎫ G (u ) = {u } ⎬ ⇒ F (u ) = {u } ⎭ ‰ Định lý 11: Cho f : X → [0,+∞ ] không đồng với + ∞ nửa liên tục dưới, đó: Nếu u ∈ Dom f ∃ v ∈ Dom f cho: f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) (i) f (v ) < f (u ) + d (u , v ), ∀u ≠ v (ii) Chứng minh: Đặt G (u ) = {v ∈ X / f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u )} (như định lý 9) Vì u nửa liên tục nên G (u ) đóng (6) Theo định lý G tán xạ (7) f (u ) < +∞ , nên kết hợp (6),(7) hệ ta suy ra: Hơn ∃v ∈ C (u ) : G (v ) = {v}⎫ ⎬ C (u ) = G (u ) ⎭ ⎧ f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) ⇒⎨ ⎩ f (u ) + d (u , v ) > f (v ), ∀u ≠ v ‰ Nhận xét: Qua việc chứng minh ta nhận thấy định lý hệ (liên quan đến tán xạ trên) ta thay điều kiện f bị chặn bởi điều kiện f bị chặn ‰ Định lý 12 (nguyên lý biến phân Ekeland): Cho f : X → R ∪ {+ ∞} nửa liên tục bị chặn Lấy ε , h > uε ∈ X cho f (u ε ) ≤ ε + inf f ,với inf f = inf { f (u ) / u ∈ X } ∃vε ∈ X thoả: Khi (i) (ii) (iii) f (vε ) ≤ f (u ε ) d (uε , vε ) ≤ h f (u ) > f (vε ) − ε h.d (u , vε ), ∀u ≠ vε Trang 31 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Chứng minh: Áp dụng định lý 11 trường hợp: ⎧ d thay ε h.d = d ' ⎪ ⎪ f thay f − inf f = g ⎨ ⎪ u thay u ε ⎪⎩ ⎧ g (v ) + d ' (u ε , vε ) ≤ g (u ε ) ∃vε ∈ X : ⎨ ε ⎩ g (vε ) < g (u ) + d ' (u , vε ), ∀u ≠ yε ⇒ ⎧ f (vε ) − inf f + ε h.d (u ε , vε ) ≤ f (u ε ) − inf f ⎨ ⎩ f (vε ) − inf f < f (u ) − inf f + ε h.d (u , vε ), ∀u ≠ vε ⇒ ⎧ f (vε ) + ε h.d (u ε , vε ) ≤ f (u ε ) ⎨ ⎩ f (vε ) < f (u ) + ε h.d (u , vε ), ∀u ≠ vε ⇒ ⎧ f (vε ) ≤ f (u ε ) ⎪ ⎨ f (vε ) + ε h.d (u ε , vε ) ≤ f (u ε ) ≤ ε + inf f ≤ ε + f (vε ) ⎪ f (v ) ≤ f (u ) + ε h.d (u , v ), ∀u ≠ v ε ε ⎩ ε ⇒ ⎧ f (vε ) ≤ f (u ε ) ⎪ ⎪ ⎨d (uε , vε ) ≤ h ⎪ ⎪⎩ f (u ) > f (vε ) − ε h.d (u , vε ), ∀u ≠ vε (Vì inf f ∈ R ) ‰ Hệ 13: Cho f : X → R nửa liên tục bị chặn Khi đó: Nếu f khả vi Gateaux tồn {v n } ⊂ X thoả: ⎧ f (v ) → inf f với inf = inf { f (u ) / u ∈ X } n ⎨ ⎩ f ' (v n ) → Chứng minh: Đặt α = inf f > −∞ Khi ∃{u n } ⊂ X : f (u n ) ≤ α + , ∀n ∈ N * n Trang 32 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Theo định lý 12 thì: ∃{v n }∈ X : ⎧ f (v n ) ≤ f (u n ) ⎪ ⎨ ⎪⎩ f (u ) ≥ f (v n ) − n u − v n , ∀u ∈ X ⎧ ⎪ε = ,với ⎨ n ⎪⎩h = ⇒ ⎧ ⎪⎪α ≤ f (v n ) ≤ α + n ⎨ ⎪ f (v + tu ) − f (v ) ≥ − (v + tu ) − v , ∀u ∈ X , ∀t > n n n n n ⎩⎪ ⇒ ⎧ lim f (v n ) = α ⎪n→+∞ ⎨ f (v n + tu ) − f (v n ) u ≥ − , ∀u ∈ X , ∀t > ⎪ t n ⎩ Cho t → + ,ta được: ⎧ lim f (v n ) = α ⎪n→+∞ ⎨ u ⎪ f ' (v n )(u ) ≥ − , ∀u ∈ X n ⎩ ⇒ ⎧⎪ lim f (v n ) = α n → +∞ ⎨ f ' (v n )(u ) ≥ 0, ∀u ∈ X ⎪⎩nlim → +∞ ⇒ ⎧⎪ lim f (v n ) = α n → +∞ ⎨ f ' (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ ‰ Định nghóa 14: Cho f : X → R khả vi Gateaux, phiếm hàm f gọi thoả điều kiện (C ) φ ≠ Ω ⊂ Χ , neáu: ⎧{ f (v n )} ∀{v n } ⊂ Ω : ⎨ ' ⎩ f (v n ) → ∃v ∈ {v n / n ∈ N } : f ' (v ) = ‰ Trang 33 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Định nghóa 15: Cho f : X → R khả vi Gateaux Khi phiếm hàm f gọi thoả điều kiện (C yếu) φ ≠ Ω ∈ X , nếu: bị chặn ⎧{ f (v )} n : ⎪⎨ f ' (v n ) ≠ 0, ∀n ∈ N ⎪ f ' (v ) → n ⎩ ∀{v n } ⊂ Ω ⎧ lim inf f (v n ) ≤ f (v ) ≤ lim sup f (v n ) : ⎪⎨n→+∞ ∃v ∈ X ⎪⎩ f ' (v ) = n → +∞ ‰ Định lý 16: Cho X không gian Banach phản xạ, phiếm hàm f : X → R khả vi Gateaux, lồi, nửa liên tục yếu X vaø f (v ) → +∞ v → +∞ f thoả điều kiện (C yếu) X Chứng minh: bị chặn Gọi ⎧{ f (v n )} {vn } ⊂ X : ⎪⎨ f ' (vn ) ≠ 0, ∀n ∈ N ⎪ f ' (v ) → n ⎩ Xét {vn } dãy cuûa {vn } : nlim sup f (v n ) = lim f (v n ) → +∞ n → +∞ Vì ⎧⎪ f (v ) → +∞, v → +∞ ⎨ ⎪⎩{f (v n, )} bị chặn ⇒ v n, ⇒ ∃{v n,, } (dãy {v n, }) bị chặn ⊂ X ⇒ ∃{vn,,, } (dãy {v n,, }) hội tụ yếu tới v ∈ X +∞ (Vì X không gian Banach phản xaï) ⇒ ( ) lim sup( f (v n )) = lim f v n,,, ≥ f (v ) n → +∞ n → +∞ (Vì f nửa liên tục yếu X) Hơn nữa: f (v n,,, )(v − v n,,, ) + f (v n,,, ) ≤ f (v ), ∀v ∈ X (Vì f lồi khả vi Gateaux) Trang 34 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Cho n → +∞ , ta được: ( ) f (v ) ≤ lim f v n,,, ≤ f (v ), ∀v ∈ X n → +∞ f (v ) ≤ lim sup f (v n ) ≤ f (v ), ∀v ∈ X ⇒ n → +∞ lim sup f (v n ) = f (v ) = inf f (v ) ⇒ n → +∞ (8) v∈X Chứng minh tương tự lim inf f (v n ) = inf f (v ) n → +∞ (9) v∈X Từ (8) (9) ta có lim f (v n ) = inf f (v ) vaø f ' (v ) = n → +∞ v∈X (Vì f (v ) = inf f (v ) f khả vi Gateaux) ‰ v∈X Định lý 17: Cho f : X → R khả vi Gateaux, nửa liên tục bị chặn Nếu f ' liên tục đường thẳng f thoả điều kiện (C yếu) f đạt giá trị nhỏ Chứng minh: Theo hệ 13 ⎧ f (v n ) → inf f ∃{v n } ⊂ X : ⎨ ⎩ f ' (v n ) → Ta xeùt trường hợp: (i) Hoặc ∃{u n } dãy cuûa {v n } : f ' (u n ) ≠ 0, ∀n ∈ N (ii) Hoaëc ∃{u n } dãy {v n } : f ' (u n ) = 0, ∀n ∈ N \ A (với φ ≠ A tập hữu hạn ⊂ N) ∗ Xét trường hợp (i): Vì f thoả điều kiện (C yếu), nên: ∃u ∈ X : lim sup f (u n ) ≥ f (u ) n → +∞ ⇒ inf f ≥ f (u ) ⇒ inf f = f (u ) Điều chứng tỏ định lý 17 ∗ Xét trường hợp (ii): Đặt S = {u ∈ X / f ' (u ) = 0} ≠ φ o Nếu S = X f = const định lý 17 hiển nhiên o Nếu S ≠ X ∃w ∈ X \ S , f ' (w) ≠ Trang 35 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Ta lại coù ϕ (t ) = f ' (tw + (1 − t )u n ) liên tục [0,1] neân: δ ⎞ ⎛ ∃δ n ∈ ⎜ 0, ⎟ : ∀t1 , t ∈ [0,1] : t1 − t < n2 αn ⎝ n +1⎠ ϕ (t1 ) − ϕ (t ) < ⇒ { α (n + 1) n } (Với max max f (tw + (1 − t )u n ) , w − u n ,1 < α n ) t∈[0 ,1] Đặt t n = inf {t / tw + (1 − t )u n ∉ S , t ∈ [0,1]} ⇒ ⎧ ⎪u = t w + (1 − t )u ∈ S n n n ⎪⎪ n 2 2 ∃ ≤ t n ≤ t n ≤ t n ≤ : ⎨u n = t n w + (1 − t n )u n ∉ S ⎪ δ ⎪ t n1 − t n2 < n2 ⎪⎩ αn ⇒ f ' (u 1n ) − f ' (u n2 ) ≤ ⇒ f ' (u n2 ) < ⇒ f u −f u 1 < α (n + 1) n + n n +1 t n2 ( ) ( ) = ∫ f ' (tw + (1 − t )u )(w − u )dt n n n n t 1n ≤ t n2 ∫ f ' (tw + (1 − t )u ) w − u n n dt t 1n t n2 ≤ ∫ max f ' (tw + (1 − t )u n ) α n dt t 1n t∈[0 ,1] ≤ α n2 (t n2 − t n1 ) < δ n < ⇒ f (u 1n ) − f (u n2 ) < t n2 ≤ ∫ α n2 dt t 1n n +1 n +1 Hơn f (u 1n ) = f (u n ) neân f (u n2 ) − f (u n ) < Như ⎧ f u n2 → inf f ⎪ ⎨ f u n ≠ 0, ∀n ∈ N ⎪ ⎩ f ' un → ( ) ( ) ( ) n +1 Keát chứng minh trường hợp (i) Vậy định lý chứng minh ‰ Trang 36 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trị CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ Định nghóa 1: Cho f : X → R , vi phaân f u ∈ X tập hợp xác định bởi: ∂f (u ) = {p ∈ X * / f (u ) − f (u ) ≥ p(u − u ), ∀u ∈ X } ‰ Định lý 2: Nếu f : X → R phiếm hàm lồi liên tục x ∈ X φ ≠ ∂f (x ) tập lồi, compact *yếu lim λ →0 f ( x + λd ) − f ( x ) + λ = max{p(d ) / p ∈ ∂f ( x )}, ∀d ∈ X ‰ Định lý (định lý Minimax): Cho X,Y không gian Banach, φ ≠ M lồi ⊂ X , φ ≠ N lồi ⊂ Y Phiếm hàm f : M × N → R (u, v ) (i) (ii) f (u , v ) thoả đồng thời điều kiện sau: ∀v ∈ N , u f (u , v ) lồi nửa liên tục ∃v0 ∈ N : u f (u , v ) inf compact, tức {u ∈ M / f (u , v0 ) ≤ r} tương đối compact, ∀r ∈ R (iii) ∀u ∈ M , v f (u , v ) loõm nửa liên tục (iv) ∃u ∈ M : v f (u , v ) sup compact, tức {v ∈ N / f (u , v ) ≥ r} tương đối compact ∀r ∈ R sup f (u , v ) = sup inf f (u , v ) Khi u∈inf M ,v∈N v∈N ,u∈M ‰ Nhận xét: ∗ Định lý trình bày [6] ∗ Và định lý trình bày [1], luận văn sử dụng kết mà không chứng minh lại .‰ Trang 37 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trị Định lý (định lý Ambrosetti - Rabinowitz): Cho f : X → R liên tục khả vi Gateaux, f ' : X → X * lieân tục từ tôpô mạnh vào tôpô *yếu đồng thời thoả điều kiện sau: (i) (ii) (iii) ∃α > : m(α ) = inf { f (u ) / u = α } > f (0 ) ∃w ∈ X : w > α : m(α ) > f (w) f thoả điều kiện (C yếu) {u ∈ X / f (u ) ≥ m(α )} ⎧ f (u ) ≥ m(α ) ⎩ f ' (u ) = Khi ∃u ∈ X : ⎨ Chứng minh: Đặt ⎧C = {c / c ∈ C([0,1], X ) , c(0 ) = c(1) = 0} ⎨ ⎩C = {c / c ∈ C([0,1], X ) , c(0 ) = 0, c(1) = w} Khi C , C không gian mêtric đầy đủ với: d (c1 , c ) = max{ c1 (t ) − c (t ) / t ∈ [0,1]} Đặt tiếp I :C → R c I (c ) = max{ f (c(t )) / t ∈ [0,1]} Thì I nửa liên tục Hơn xeùt ϕ (t ) = c(t ) − α , c ∈ C , t ∈ [0,1] Ta coù ⎧ϕ (0) = −α < ⎨ ⎩ϕ (1) = w − α > Do ϕ (0 ).ϕ (1) < neân ∃t α ∈ [0,1] : ϕ(t α ) = ⇔ c(t α ) = α ⇒ I (c ) = max{ f (c(t )) / t ∈ [0,1]} ≥ f (c(tα )) ≥ m(α ) ⇒ I bị chặn m(α ) Vì ∀ε > 0, ta luoân ∃cε ∈ C : I(c ε ) ≤ inf {I(c) / c ∈ C} + ε ⇒ I(c) ≥ I(c ε ) − ε.d (c, c ε ), ∀c ∈ C ⇒ ⎧h > I (cε + hγ ) − I (cε ) ≥ −ε d (cε + hγ , cε ), ∀⎨ ⎩γ ∈ C (Do định lý 12 chương II) Trang 38 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trị ⇒ Mặt khaùc ⎧h > I (cε + hγ ) − I (cε ) ⎪ ≥ −ε , ∀⎨γ ∈ C h ⎪ γ =1 ⎩ I (cε + hγ ) − I (cε ) = max{ f (cε (t ) + hγ (t )) / t ∈ [0,1]} − I (cε ) = max{ f (cε (t )) + hu ' (cε (t ))(γ (t )) + t (h )} − I (cε ) (Với lim h →0 + 0t (h ) h = 0, ∀t ∈ [0,1] ) ≤ max{u (t ) + hv(t ) / t ∈ [0,1]} + 0(h ) − I (cε ) ≤ Φ (u + hv ) − Φ (u ) + 0(h ) Với (thì u ∈ C [0,1] ) ⎧u = f (cε ) treân [0,1] ⎪v = f ' (c )(γ ) [0,1] (thì v ∈ C [0,1] ) ε ⎪⎪ ⎨0(h ) = sup{0 t (h ) / t ∈ [0,1]} ⎪Φ : C [0,1] → R ⎪ θ Φ (θ ) = max{θ (t ) / t ∈ [0,1]} ⎪⎩ Suy Φ laø haøm lồi liên tục C [0,1] và: −ε ≤ Φ(u + hv ) − Φ(u ) 0(h ) + h h (1) Lúc vi phân Φ u là: { ∂Φ(u ) = μ ≥ / ∫ dμ = vaø sup μ ⊂ M (u )} ⎧μ số đo Radon dương [0,1] ⎩M (u ) = {t ∈ [0,1] / u (t ) = Φ (u )} ≠ φ với ⎨ Thật vậy: Nếu μ ≥ 0, ∫ dμ = sup μ ⊂ M (u ) ∀v ∈ C [0,1] , ta coù ∫ (v − u )dμ = ∫ vdμ − ∫ udμ ≤ ∫ Φ(v )dμ − ∫ udμ = Φ (v ) − Φ (u ) ⇒ Φ(v ) − Φ(u ) ≥ ∫ (v − u )dμ ⇒ μ ∈ ∂Φ (u ) Trang 39 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trị Ngược lại, μ ∈ ∂f (u ) thì: − Φ(u ) = Φ(0) − Φ(u ) ≥ ∫ (0 − u )dμ = − ∫ udμ ⇒ Φ(u ) ≤ ∫ udμ ∀w ∈ C [0,1] , ∀λ > , ta coù: Φ(λw + u ) − Φ(u ) ≥ ∫ (λw + u − u )dμ ⇒ Φ(λw + u ) − Φ(u ) ≥ λ ∫ wdμ ⇒ u ⎞ Φ(u ) ⎛ Φ⎜ w + ⎟ − ≥ ∫ wdμ λ⎠ λ ⎝ Cho λ → +∞ , ta Φ(w) ≥ ∫ wdμ ⇒ (với w = u) ⎧Φ(u ) ≥ udμ ∫ ⎪ ⎪ ⎨1 ≥ ∫ dμ ⎪ ⎪⎩− ≥ − ∫ dμ (với w = 1) (với w = -1) ⇒ ⎧Φ(u ) = udμ ∫ ⎪ ⎨ ⎪⎩∫ dμ = ⇒ ⎧ [Φ (u ) − u ]dμ = ⎪∫ ⎨ ⎪⎩∫ dμ = ⇒ ⎧⎪sup μ ⊂ M (u ) ⎨ ⎪⎩∫ dμ = (Vì ≤ θ (t ) = Φ (u ) − u (t ) liên tục [0,1]) Quay lại việc chứng minh định lý, kết hợp (1) định lý ta được: − ε ≤ lim+ h →0 Φ(u + hv ) − Φ(u ) = max ∫ vdμ / μ ∈ ∂Φ(u ) h { { } } ⇒ − ε ≤ max ∫ f ' (cε )(γ )dμ / μ ∈ ∂Φ(u ) ⇒ − ε ≤ inf max ∫ f ' (cε )(γ )dμ / μ ∈ ∂Φ(u ), γ ∈ C , γ = γ μ { = max inf μ γ } {∫ f ' (c )(γ )dμ / μ ∈ ∂Φ(u ), γ ∈ C , γ = 1} ε (Vì (γ , μ ) ∫ f ' (cε )(γ )dμ thoả điều kiện định lý Minimax) Trang 40 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trò { } = max − ∫ f ' (cε ) dμ , μ ∈ ∂Φ(u ) = − min{ f ' (cε (t )) / t ∈ M ( f (cε ))} ⇒ ε ≥ min{ f ' (cε (t )) / t ∈ M ( f (cε ))} ⇒ ε ≥ f ' (cε (t ε )) ,với t ε ∈ M ( f (cε )) Bây ta lấy ε = u n = cε t ε (n ∈ N * ) n ⎧ ⎪⎪ f ' (u n ) ≤ n ⎨ ⎪m(α ) ≤ f (u ) ≤ inf {I (c ) / c ∈ C} + n ⎪⎩ n Và f lại thoả điều kiện (C yếu) Do chứng minh tương tự định lý 17 chương II ta tìm được: u ∈ X : f (u ) = vaø f (u ) ≥ lim inf f (u n ) ≥ m(α ) n → +∞ ‰ Nhận xét: Đặt l = inf max f (c(t )) , theo định lý Moutain Pass với điều kiện nửa liên c∈C t∈[0 ,1] tục l giá trị tới hạn f (Đã chứng minh [5]) ‰ Định lý 5: Cho X = X ⊕ X ∞ , dim X < +∞ , f : X → R liên tục khả vi Gateaux, f ' : X → X * liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô *yếu đồng thời thoả điều kiện sau: (i) (ii) (iii) ∃R > : ∀u ∈ X , u = R ⇒ f (u + ) < ∀u ∞ ∈ X ∞ ⇒ f (0 + u ∞ ) ≥ f thoả điều kiện (C yếu) {u ∈ X / f (u ) ≥ 0} Khi ∃u ∈ X : f ' (u ) = vaø f (u ) ≥ Chứng minh: Đặt: B = {u ∈ X / u ≤ R} (thì B tập compact) S = {u ∈ X / u = R} = ∂B C = {θ ∈ C (B, X ∞ ) / θ (S ) = 0} Trang 41 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trị I: C→R θ I (θ ) = max{ f (u + θ (u )) / u ∈ B} Thì I nửa liên tục bị chặn Vì ∀ε > ∃θ ε ∈ C : I (θ ε ) ≤ inf {I (θ ) / θ ∈ C} + ε ⇒ I (θ ) ≥ I (θ ε ) − ε θ − θ ε , ∀θ ∈ C ⇒ I (θ ε + hγ ) − Φ (θ ε ) ≥ −εh γ , ∀γ ∈ C , ∀h > (Do định lý 12 chương II) Tiếp tục chứng minh tương tự định lý (thay C [0,1] C (B ) ) ⎧0 ≤ f (uε + θ ε (uε )) = max{ f (u + θ ε (u )) / u ∈ B} Thì ta luoân ∃ uε ∈ int B : ⎨ ⎩ f ' (uε + θ ε (uε )) ≤ ε Hôn f lại thoả điều kiện (C yếu) Từ định lý chứng minh ‰ Trang 42 .. .Phương Pháp Trường Giả Gradient CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TRƯỜNG GIẢ GRADIENT I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ CƠ SỞ: Trong suốt... ) ).Φ(v ) với ,v∈ X ⎧ Φ hàm số tìm định lý 12 ⎪ ⎪ ⎧1 ⎪ ,t ≥ ⎨ ( ) t = ξ ⎨t ⎪ ⎪⎩1,0 ≤ t < ⎪⎩ Khi Φ hàm Lipschitz địa phương X Φ(v ) ≤ 1, ∀v ∈ X ~ ~ Trang 13 Phương Pháp Trường Giả Gradient Chứng... họ tập X thoả tính chất ( p )c vaø c = inf sup{ f (v ) / v ∈ F }∈ R , c giá trị tới hạn f X F ∈ℑ Trang 21 Phương Pháp Trường Giả Gradient Chứng minh: c = inf sup{ f (v ) / v ∈ F } Ta coù F ∈ℑ