Luận văn: Một số phương pháp nghiên cứu bài toán điểm tới hạn giới thiệu tới các bạn những nội dung về phương pháp trưởng giả Gradient; phương pháp sử dụng nguyên lý biến phân Ekeland; phương pháp sử dụng ánh xạ đa trị.
Một số phương pháp nghiên cứu toán điểm tới hạn Võ Giang Giai Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM , 2004 Phương Pháp Trường Giả Gradient CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TRƯỜNG GIẢ GRADIENT I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ CƠ SỞ: Trong suốt chương này, không nói thêm ta hiểu X không gian Banach phiếm hàm f : X → R thuộc lớp C Đònh nghóa 1: Phiếm hàm f gọi thoả điều kiện (C ) , : ⎧⎪{ f (v n )} bò chặn ∀{v n } ⊂ X : ⎨ df (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ ∃{vn } hội tụ k Đặc biệt: Nếu điều kiện nghiệm f ≥ α > (tương ứng f ≤ −α < ) ta nói f thoả mãn điều kiện (C + ) (tương ứng (C − ) ) Đònh lý 2: (a) Nếu f thoả điều kiện (C − ) thì: (∀k , α > 0, ∃r ≥ 0, δ > : ∀v ∈ X ,− k < f (v ) < −α , v > r ⇒ df (v ) > δ ) (1) (b) Giả sử f thoả đồng thời điều kiện sau: (i) (ii) ∀k ,α > 0, ∃ r ≥ 0, δ > : ∀v ∈ X ,− k < f (v ) < −α , v > r ⇒ df (v ) > δ Neáu ∀{v n } ⎧⎪ f (v n ) < 0, ∀n ∈ N * bò chặn ⊂ X : ⎨ df (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ ∃{vn k } hội tụ Khi f nghiệm điều kiện (C − ) Chứng minh: (a) Giả sử f thoả điều kiện (C − ) không thoả (1) Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Vì ∃ k ,α > vaø {v n } ⊂ X cho: ⎧ ⎪− k < f (v n ) < −α ⎪ ⎨ > n ⎪ ⎪ df (v n ) < n ⎩ (2) (3) (∀n ∈ N * ) (4) Từ (2) (4) suy ∃ {vn k } hội tụ (Vì f thoả điều kiện (C − ) ) Cùng với (3) ta có v n ≥ nk ≥ k , ∀k ∈ N * k Do lim v nk = +∞ k → +∞ Điều dẫn đến mâu thuẫn với {vn } hội tụ k (b) Xét daõy {v n } ⊂ X , { f (v n )} bò chặn dưới, f (v n ) ≤ −α < 0, ∀n ∈ N * vaø lim df (v n ) = (5) n → +∞ ta cần chứng minh ∃{vn } hội tụ k Quả vậy, giả sử {v n } không bò chặn, tức là: { } ∃ v nk cho v nk ≥ k , ∀k ∈ N * Goïi − β < chặn { f (v n )} thì: ( ) − β ≤ f v nk ≤ −α , v nk ≥ k , ∀k ∈ N * Theo điều kiện (i) ∃δ > (không phụ thuộc vào k) cho: ( ) > δ , ∀k ∈ N df v nk * Dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện (5) Tức {v n } bò chặn Do theo điều kiện (ii) ∃ {v n } hội tụ k Hệ 3: Nếu X không gian đònh chuẩn hữu hạn chiều điều kiện (C − ) tương đương với điều kieän: ∀k, α > 0, ∃r ≥ 0, δ > : ∀v ∈ X,− k < f (v ) < −α, v > r ⇒ df (v ) > δ Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Chứng minh: Ta biết không gian hữu hạn chiều: “Mọi dãy bò chặn tồn dãy hội tụ” Vì vậy, X hữu hạn chiều kết hợp với đònh lý ta có hệ Đònh nghóa 4: Phiếm hàm f gọi riêng, ∀ K tập compact R f −1 (K ) tập compact X Đònh lý 5: Nếu f thoả điều kiện (C ) thu hẹp f tập điểm tới hạn riêng Chứng minh: Gọi W = {v ∈ X / df (v ) = 0} K tập compact R Ta cần chứng minh W ∩ f −1 (K ) tập compact X Quả vậy: Xét dãy {vn } ⊂ W ∩ f −1 (K ) ⎧ f (v n ) ⊂ K ⇔⎨ ⎩{v n } ⊂ W ⎧⎪{ f (v n )} bò chaën R ⇒⎨ df (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ Hơn f thoả điều kiện (C ) , nên {vn } hội tụ v ∈ X ( ) k ⎧⎪ f v nk → f (v ) (Vì f thuộc lớp C ) ⇒⎨ df v nk = ⎪⎩df (v ) = klim → +∞ ⎧ f (v ) ∈ K ⇒⎨ ⎩df (v ) = ⎧v ∈ f −1 (K ) ⇔⎨ ⎩v ∈ W ( ) (Vì K tập Compact) ⇔ v ∈W ∩ f Vậy ∃{vn } hội tụ v ∈ W ∩ f −1 (K ) k −1 (K ) Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Hệ 6: Nếu f thoả điều kiện (C ) vaø W = {v ∈ X / df (v ) = 0} f (W ) tập đóng R Chứng minh: Xét dãy {y n } ⊂ f (W ) , y n → y ⇒ y n = f (v n ) với {v n } ⊂ W ⎧{ f (v n )} bò chặn Như ⎪⎨ df (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ (Vì {y n } hội tụ) (Vì {vn } ⊂ W ) Mặt khác f thoả điều kiện (C ) , nên ∃ {vn } hội tụ v ∈ X k ( ) ⎧⎪ f v nk → f (v ) ⇒⎨ df v nk = ⎪⎩df (v ) = klim → +∞ ( ) (Vì f thuộc lớp C ) ⎧ y n → f (v ) ⇒⎨ k ⎩df (v ) = ⎧ y = f (v ) ⇒⎨ ⎩df (v ) = ⇒ y ∈ f (W ) Vaäy f (W ) tập đóng R Đònh lý 7: Cho X không gian Hilbert, f : X → R thuộc lớp C Khi ∀v ∈ X theo đònh lý Riesz ∃ ! ∇f (v ) ∈ X : df (v )(w) = ∇f (v ), w , ∀w ∈ X Xét toán Cauchy: ⎧ dϕ = −∇f (ϕ ) ⎪ ⎨ dt ⎪⎩ϕ (t ) = v (t ∈ R ) (6) Khi tồn khoảng lớn (ω − , ω + ) ( − ∞ ≤ ω − < ω + ≤ +∞ ) chứa t để (6) có nghiệm (xem [4]) Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Đònh lý 8: Cho X không gian Hilbert, f : X → R thuộc lớp C thoả điều kiện (C ) , gọi ϕ nghiệm (6) Khi đó: Hoặc lim f (ϕ (t )) = −∞ (tương ứng lim f (ϕ (t )) = +∞ ) t →ω t →ω (i) + (ii) − (tương ứng ω − = −∞ ) tồn q ∈ X , Hoặc ω + = +∞ ⎧ lim ϕ (t n ) = q dãy t n → +∞ (tương ứng t n → −∞ ) cho: ⎪⎨n→+∞ ⎪⎩df (q ) = Chứng minh: Đặt g (t ) = f (ϕ (t )), t ∈ (ω − , ω + ) Ta coù g , (t ) = − ∇f (ϕ (t )) ≤ ⇒ g giảm (ω − , ω + ) ∗ Neáu c = −∞ ⇒ lim g (t ) = c ∈ [− ∞,+∞ ) t →ω + lim f (ϕ (t )) = −∞ t →ω + ∗ Neáu c > −∞ ⇒ ϕ (t ) − ϕ (s ) = ta coù t dϕ = −∇f (ϕ ) dt ∫ ∇f (ϕ (t )).dr ⎧a ≤ s ≤ t < ω + ⎩a cố đònh ∈ (ω − , ω + ) ,với ⎨ s t ≤ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr s 1 ⎞ ⎛t ⎞ ⎛t ≤ ⎜⎜ ∫ dr ⎟⎟ ⎜⎜ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr ⎟⎟ (Do bất đẳng thức Holder) ⎠ ⎠ ⎝s ⎝s ⎛ ω+ ⎞ ≤ (t − s ) ⎜ ∫ ∇f (ϕ (r )) dr ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ 1 Vì ω + < +∞ {ϕ (t )}t∈[a ,ω ) dãy Cauchy X + Do ϕ (t ) → v ∈ X (khi t → ω + ) Điều chứng tỏ nghiệm phương trình (6) kéo dài bên phải ω + (Do đònh lý kéo dài nghiệm) Dẫn đến mâu thuẫn với đònh nghóa ω + Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Do ñoù ω + = +∞ Khi ñoù +∞ ∫ ∇fϕ (r ) dr = ω+ ∫ ∇f (ϕ (r )) a dr ∈ [0,+∞ ) a Ta caàn chứng minh tìm dãy t n → +∞ : ∇f (ϕ (t n )) → (7) Thaät vậy, theo đònh lý trung bình: (n ∈ N ) cho ∃t n ∈ [a + n, a + 2n] ⇒ ≤ ∇f (ϕ (t n )) * ≤ n +∞ ∫ ∇f (ϕ (n )) ∇f (ϕ (t n )) = n a+2n ∫ ∇f (ϕ (r )) dr a+n dr → (khi n → +∞ ) a ⇒ ∇f (ϕ (t n )) → ⇒ ∇f (ϕ (t n )) → Tức (7) Như ta có ⎧ Dãy { f (ϕ (t ))} hội tụ n ⎪ ⎨ ⎪ ∇f (ϕ (t n )) → ⎩ Vì ∃ ϕ (t n ) → q ∈ X k ⇒ ∇f (q ) = (Vì f thoả điều kiện (C ) ) (Vì f thuộc lớp C ) Trong trường hợp t → ω − phép chứng minh tương tự Hệ 9: Cho X không gian Hilbert, f : X → R thuộc lớp C bò chặn thoả điều kiện (C ) Khi f đạt giá nhỏ X Chứng minh: Do f bò chặn nên ∃ inf { f (v ) / v ∈ X } = c ∈ R ⇒ ∃ {p n } ⊂ X : c ≤ f ( p n ) < c + , ∀n ∈ N * n Gọi ϕ nghiệm (6) thoả ϕ (0 ) = p n Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Khi theo đònh lyù ⎧df (q n ) = ⎪ ∃ {q n } ⊂ X : ⎨ ⎪⎩c ≤ f (q n ) ≤ f ( p n ) < c + n Do ∃ q n → q (vì f thoả điều kiện (C ) ) ⇒ f (q ) = c (vì c ≤ f (q n ) < c + k k (∀n ∈ N ) * 1 ≤ c + , ∀k ∈ N * ) nk k Vậy f đạt giá trò nhỏ q ∈ X II ĐỊNH LÝ MINIMAX: Đònh nghóa 10: w ∈ X gọi vectơ giả gradient f v ∈ X , w thoả đồng thời hai điều kiện sau: (i) (ii) w ≤ df (v ) df (v )(w) ≥ df (v ) Đònh nghóa 11: Cho φ ≠ S ⊂ X , Φ : S → X gọi trường vectơ giả gradient f S , ∀v ∈ S Φ (v ) vectơ giả gradient f v Đònh lý 12: Cho W = {v ∈ X / df (v ) = 0} X = X \ W ta tìm hàm ~ ~ Φ : X → X Lipschitz đòa phương X , đồng thời trường vectơ ~ giả gradient f X ~ Chứng minh: ~ ∀v ∈ X , tacoù df (v ) = inf {df (v )(w) / w ∈ X , w = 1} neân: ~ ) > df (v ) ~∈ X : w ~ = vaø df (v )(w ∃w 3 Khi chọn w = df (v ) w~ ,ta ⎧ ⎪⎪ w ≤ df (v ) ⎨ ⎪df (v )(w) ≥ df (v ) ⎪⎩ (8) Trang Phương Pháp Trường Giả Gradient Hơn df liên tục v df (v ) > , nên tồn cầu mở Bv tâm v: df (v ) ≤ df (u ) ≤ f (v ) , ∀u ∈ Bv 6 (9) Ta lại chọn tiếp wv = w wv = − w để df (u )(w~ ) > ⎧ wv ≤ df (u ) Từ (8) (9) ta có ⎪⎨ ⎪⎩df (u )(wv ) ≥ df (u ) Maø (10) , ∀u ∈ Bv ~ X = ∪ Bv paracompact, nên với (10) suy ~ v∈ X tồn phủ làm mòn hữu hạn {Bv } X wv ∈ X , i ∈ I cho: ~ ~ i i ⎧ wv ≤ df (u ) ⎪ i , ∀u ∈ Bvi ⎨ ( ) ( ) df u w df u ≥ ⎪⎩ vi ~ ⎧ ⎫ ξ i (v ) = inf ⎨ v − w / w ∈ Χ \ B v i ⎬ ⎧ ⎩ ⎭ ~ ⎪ ,v∈ X ⎨ w v i ξ i (v ) ⎪Φ (v ) = ∑ ⎩ i ∑ ξ j (v ) (11) ( ) Đặt j Khi v − wε < ξ i (v ) + ε ~ ∀v1 , v ∈ X vaø ∀ε > , ta luoân ~ ∃wε ∈ X \ Bvi : ⇒ ξ i (v1 ) ≤ v1 − wε ≤ v1 − v + v − wε < ξ i (v ) + ε + v1 − v ⇒ ξ i (v1 ) − ξ i (v ) < ε + v1 − v , ∀ε > ⇒ ξ i (v1 ) − ξ i (v ) ≤ v1 − v Chứng minh tương tự (12) ξ i (v ) − ξ i (v1 ) ≤ v − v1 Từ (12) (13) ta có ξ i (v1 ) − ξ i (v ) ≤ v1 − v (13) (14) Từ (11) (14) ta dễ dàng kiểm tra Φ thoả mãn vấn đề đặt Vậy đònh lý chứng minh hoàn toàn Trang 10 Phương Pháp Trường Giả Gradient Đònh nghóa 13: Cho c ∈ R δ > , ta đặt ⎧ f c = {v ∈ X / f (v ) ≤ c} ⎪ −1 ⎪ f (c ) = {v ∈ X / f (v ) = c} ⎪ ⎨W = {v ∈ X / df (v ) = 0} ⎪W = {v ∈ W / f (v ) = c} = W ∩ f ⎪ c ⎪⎩U δ = {v ∈ X / d (v, Wc ) < δ } −1 (c ) Bổ đề 14: Cho φ ≠ A ⊂ X Ta coù (i) d:X →R v d (v ) = d (v, A) lieân tục Nếu A đóng d (v ) = ⇔ v ∈ A (ii) Chứng minh: (i) ∀u, v ∈ X , ∀w ∈ A Ta coù: d (u , w ) ≤ d (u , v ) + d (v, w ) ,với d (u , v ) = u − v ⇒ d (u , A) ≤ d (u , w ) ≤ d (u , v ) + d (v, w ) ⇒ d (u , A) − d (u , v ) ≤ d (v, w) ⇒ d (u , A) − d (u , v ) ≤ d (v, A) (Do tính chất cận dưới) ⇔ d (u , A) − d (v, A) ≤ d (u , v ) Chứng minh tương tự d (v, A) − d (u , A) ≤ d (v, u ) Vaäy (ii) d (u , A) − d (v, A) ≤ d (u , v ) , ∀u, v ∈ X Nếu v ∈ A ≤ d (v, A) ≤ d (v, v ) = ⇒ d (v, A) = Ngược lại d (v, A) = ∃{vn } ⊂ A cho: ≤ d (v, v n ) < n ⇒ lim d (v, v n ) = n → +∞ ⇒ → v Maø A đóng nên v ∈ A Trang 11 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland ⇒ f (v n +1 ) − g (v n +1 ) ≤ − n ⇒ diameterC0 (vn +1 ) ≤ 21− n Như ⇒ ⇒ (Do (3)) ⎧φ ≠ C (v n +1 ) ⊂ C (v n ) ⎨ 1− n ⎩diameterC0 (v n +1 ) ≤ (Do (4)) ⎧⎪φ ≠ C (v n +1 ) ⊂ C (v n ) ⎨ ⎪⎩diameter C (v n ) ≤ 2− n → 0, : n → +∞ ∩ C (v n ) = {u } (5) (Vì X đầy đủ) n∈N Hơn từ v n +1 ∈ C (v n ) , ∀n ∈ N , neân: ∗ v ∈ C (v ) ⇒ ∃ chuyển động u 0+ chứa u 00 = v = u , u 0k = v ∗ v ∈ C (v1 ) ∗ v ∈ C (v ) ⇒ ∃ chuyeån động u chứa u 20 = v , u 2k = v ⇒ ∃ chuyển động u 1+ chứa u10 = v1 , u1k1 = v + v i +1 ∈ C (v i ) ⇒ ∃ chuyeån động u +i chứa u i0 = v i , u ik i = v i +1 ∗ Lúc ta xây dựng chuyển động u + sau: k + phần tử đầu tiên: u 00 , u10 , , u 0k (trích từ k + phần ∗ tử chuyển động u +0 ) k + phần tử (kế laàn 1): u 10 , u 11 , , u 1k1 (trích từ k + phần ∗ tử chuyển động u1+ ) k + phần tử (kế lần 2): u 20 , u12 , , u 2k (trích từ k + phần ∗ tử chuyển động u 2+ ) k i + phần tử (kế lần i): u i0 , u 1i , , u ik i (trích từ k i + phần tử ∗ chuyển ñoäng u +i ) Khi ∀k ∈ N , suy ∃m ∈ N : v m ∈ C (u k ) ⇒ u ∈ C (v m ) ⊂ C (u k ) ⇒ u ∈ C (u k ) (Do (3) vaø (5)) ⇒ u ∈ ∩ C (u k ) k∈N Trang 28 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Vì Nên diameter C (u k ) → (khi k → +∞ ) ∩ C (u k ) = {u } k ∈N Hệ 7: Cho F tán xạ nửa liên tục ∃ u ∈ X điểm bất biến F , tức F (u ) = {u } Chứng minh: Xét u chuyển động u + đònh lý (thì u n → u ) Hơn F nửa liên tục u , nên ∀w ∈ F (u ) ta luoân ∃wn ∈ F (u n ) hội tụ tới w Khi wk ∈ C (u n ) , ∀k ≥ n , k, n ∈ N Cho k → +∞ , ta w ∈ C (u n ), ∀n ∈ N ⇒ w ∈ ∩ C (u n ) = {u } ⇒ w =u ⇒ F (u ) = {u } (Vì C (u n ) đóng) (Do đònh lý 6) n∈N Hệ 8: Cho F tán xạ liên kết với hàm f Khi đó: ⎧ f (u ) < +∞ ∃u ∈ C (u ) : F (u ) = {u } ⎩C (u ) đóng Nếu u ∈ X : ⎨ Chứng minh: Xét u chuyển động u + đònh lý Ta có C (u n ) đóng, ∀n ∈ N nên {u } = ∩ C (u n ) n∈N ⇒ u ∈ C (u n ), ∀n ∈ N ⇒ F (u ) ⊂ C (u n ), ∀n ∈ N ⇒ F (u ) ⊂ ∩ C (u n ) = {u } ⇒ F (u ) = {u } n∈N Trang 29 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Đònh lý 9: Cho f : X → [0,+∞ ] không đồng với + ∞ Khi hệ thống động học G đònh G (u ) = {v ∈ X / f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u )} tán xạ liên kết với f G (u ) = C (u ), ∀u ∈ X Chứng minh: Ta có: ∀u ∈ X : u ∈ G (u ) nên G ≠ φ G hệ thống động học tán xạ (Vì ∀u ∈ X , ∀v ∈ G (u ) , ta coù f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) ) Vấn đề lại ta phải chứng minh G (u ) = C (u ), ∀u ∈ X Quaû vậy: ∗ Nếu f (u ) = +∞ ⇒ G (u ) = C (u ) = X ∗ Neáu f (u ) < +∞ , ∀v ∈ G (u ), ∀w ∈ G (v ) ⇒ ⎧ f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) ⎨ ⎩ f (w) + d (v, w) ≤ f (v ) ⇒ f (w ) + d (u , v ) + d (v, w) ≤ f (u ) ⇒ f (w ) + d (u , w ) ≤ f (u ) ⇒ w ∈ G (u ) ⇒ G (v ) ⊂ G (u ), ∀v ∈ G (u ) ⇒ C (u ) ⊂ G (u ) (Vì f (u ) < +∞ nên f (v ), f (w) < +∞ ) Hơn G (u ) ⊂ C (u ) (Do đònh nghóa) Vậy G (u ) = C (u ) Hệ 10: Ta có G hệ động học lớn liên kết với f Và u điểm bất biến G u điểm bất biến F (với F hệ động học liên kết với f ) Chứng minh: ∗ ∀u ∈ X , ∀v ∈ F (u ) , ta coù f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) ⇒ v ∈ G (u ) ⇒ F (u ) ⊂ G (u ) Trang 30 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Nếu u điểm bất biến G, đó: ∗ φ ≠ F (u ) ⊂ G (u )⎫ G (u ) = {u } ⎬ ⇒ F (u ) = {u } ⎭ Đònh lý 11: Cho f : X → [0,+∞ ] không đồng với + ∞ nửa liên tục dưới, đó: Nếu u ∈ Dom f ∃ v ∈ Dom f cho: f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) (i) f (v ) < f (u ) + d (u , v ), ∀u ≠ v (ii) Chứng minh: Đặt G (u ) = {v ∈ X / f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u )} (như đònh lý 9) Vì u nửa liên tục nên G (u ) đóng (6) Theo đònh lý G tán xạ (7) f (u ) < +∞ , nên kết hợp (6),(7) hệ ta suy ra: Hơn ∃v ∈ C (u ) : G (v ) = {v}⎫ ⎬ C (u ) = G (u ) ⎭ ⎧ f (v ) + d (u , v ) ≤ f (u ) ⇒⎨ ⎩ f (u ) + d (u , v ) > f (v ), ∀u ≠ v Nhận xét: Qua việc chứng minh ta nhận thấy đònh lý hệ (liên quan đến tán xạ trên) ta thay điều kiện f bò chặn bởi điều kiện f bò chặn Đònh lý 12 (nguyên lý biến phân Ekeland): Cho f : X → R ∪ {+ ∞} nửa liên tục bò chặn Lấy ε , h > uε ∈ X cho f (u ε ) ≤ ε + inf f ,với inf f = inf { f (u ) / u ∈ X } ∃vε ∈ X thoả: Khi (i) (ii) (iii) f (vε ) ≤ f (u ε ) d (uε , vε ) ≤ h f (u ) > f (vε ) − ε h.d (u , vε ), ∀u ≠ vε Trang 31 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Chứng minh: Áp dụng đònh lý 11 trường hợp: ⎧ d thay ε h.d = d ' ⎪ ⎪ f thay f − inf f = g ⎨ ⎪ u thay u ε ⎪⎩ ⎧ g (v ) + d ' (u ε , vε ) ≤ g (u ε ) ∃vε ∈ X : ⎨ ε ⎩ g (vε ) < g (u ) + d ' (u , vε ), ∀u ≠ yε ⇒ ⎧ f (vε ) − inf f + ε h.d (u ε , vε ) ≤ f (u ε ) − inf f ⎨ ⎩ f (vε ) − inf f < f (u ) − inf f + ε h.d (u , vε ), ∀u ≠ vε ⇒ ⎧ f (vε ) + ε h.d (u ε , vε ) ≤ f (u ε ) ⎨ ⎩ f (vε ) < f (u ) + ε h.d (u , vε ), ∀u ≠ vε ⇒ ⎧ f (vε ) ≤ f (u ε ) ⎪ ⎨ f (vε ) + ε h.d (u ε , vε ) ≤ f (u ε ) ≤ ε + inf f ≤ ε + f (vε ) ⎪ f (v ) ≤ f (u ) + ε h.d (u , v ), ∀u ≠ v ε ε ⎩ ε ⇒ ⎧ f (vε ) ≤ f (u ε ) ⎪ ⎪ ⎨d (uε , vε ) ≤ h ⎪ ⎪⎩ f (u ) > f (vε ) − ε h.d (u , vε ), ∀u ≠ vε (Vì inf f ∈ R ) Hệ 13: Cho f : X → R nửa liên tục bò chặn Khi đó: Nếu f khả vi Gateaux tồn {v n } ⊂ X thoả: ⎧ f (v ) → inf f với inf = inf { f (u ) / u ∈ X } n ⎨ ⎩ f ' (v n ) → Chứng minh: Đặt α = inf f > −∞ Khi ∃{u n } ⊂ X : f (u n ) ≤ α + , ∀n ∈ N * n Trang 32 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Theo đònh lý 12 thì: ∃{v n }∈ X : ⎧ f (v n ) ≤ f (u n ) ⎪ ⎨ ⎪⎩ f (u ) ≥ f (v n ) − n u − v n , ∀u ∈ X ⎧ ⎪ε = ,với ⎨ n ⎪⎩h = ⇒ ⎧ ⎪⎪α ≤ f (v n ) ≤ α + n ⎨ ⎪ f (v + tu ) − f (v ) ≥ − (v + tu ) − v , ∀u ∈ X , ∀t > n n n n n ⎩⎪ ⇒ ⎧ lim f (v n ) = α ⎪n→+∞ ⎨ f (v n + tu ) − f (v n ) u ≥ − , ∀u ∈ X , ∀t > ⎪ t n ⎩ Cho t → + ,ta được: ⎧ lim f (v n ) = α ⎪n→+∞ ⎨ u ⎪ f ' (v n )(u ) ≥ − , ∀u ∈ X n ⎩ ⇒ ⎧⎪ lim f (v n ) = α n → +∞ ⎨ f ' (v n )(u ) ≥ 0, ∀u ∈ X ⎪⎩nlim → +∞ ⇒ ⎧⎪ lim f (v n ) = α n → +∞ ⎨ f ' (v n ) = ⎪⎩nlim → +∞ Đònh nghóa 14: Cho f : X → R khả vi Gateaux, phiếm hàm f gọi thoả điều kiện (C ) φ ≠ Ω ⊂ Χ , neáu: ⎧{ f (v n )} ∀{v n } ⊂ Ω : ⎨ ' ⎩ f (v n ) → ∃v ∈ {v n / n ∈ N } : f ' (v ) = Trang 33 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Đònh nghóa 15: Cho f : X → R khả vi Gateaux Khi phiếm hàm f gọi thoả điều kiện (C yếu) φ ≠ Ω ∈ X , nếu: bò chặn ⎧{ f (v )} n : ⎪⎨ f ' (v n ) ≠ 0, ∀n ∈ N ⎪ f ' (v ) → n ⎩ ∀{v n } ⊂ Ω ⎧ lim inf f (v n ) ≤ f (v ) ≤ lim sup f (v n ) : ⎪⎨n→+∞ ∃v ∈ X ⎪⎩ f ' (v ) = n → +∞ Đònh lý 16: Cho X không gian Banach phản xạ, phiếm hàm f : X → R khả vi Gateaux, lồi, nửa liên tục yếu X vaø f (v ) → +∞ v → +∞ f thoả điều kiện (C yếu) X Chứng minh: bò chặn Gọi ⎧{ f (v n )} {vn } ⊂ X : ⎪⎨ f ' (vn ) ≠ 0, ∀n ∈ N ⎪ f ' (v ) → n ⎩ Xét {vn } dãy cuûa {vn } : nlim sup f (v n ) = lim f (v n ) → +∞ n → +∞ Vì ⎧⎪ f (v ) → +∞, v → +∞ ⎨ ⎪⎩{f (v n, )} bò chặn ⇒ v n, ⇒ ∃{v n,, } (dãy {v n, }) bò chặn ⊂ X ⇒ ∃{vn,,, } (dãy {v n,, }) hội tụ yếu tới v ∈ X +∞ (Vì X không gian Banach phản xaï) ⇒ ( ) lim sup( f (v n )) = lim f v n,,, ≥ f (v ) n → +∞ n → +∞ (Vì f nửa liên tục yếu X) Hơn nữa: f (v n,,, )(v − v n,,, ) + f (v n,,, ) ≤ f (v ), ∀v ∈ X (Vì f lồi khả vi Gateaux) Trang 34 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Cho n → +∞ , ta được: ( ) f (v ) ≤ lim f v n,,, ≤ f (v ), ∀v ∈ X n → +∞ f (v ) ≤ lim sup f (v n ) ≤ f (v ), ∀v ∈ X ⇒ n → +∞ lim sup f (v n ) = f (v ) = inf f (v ) ⇒ n → +∞ (8) v∈X Chứng minh tương tự lim inf f (v n ) = inf f (v ) n → +∞ (9) v∈X Từ (8) (9) ta có lim f (v n ) = inf f (v ) vaø f ' (v ) = n → +∞ v∈X (Vì f (v ) = inf f (v ) f khả vi Gateaux) v∈X Đònh lý 17: Cho f : X → R khả vi Gateaux, nửa liên tục bò chặn Nếu f ' liên tục đường thẳng f thoả điều kiện (C yếu) f đạt giá trò nhỏ Chứng minh: Theo hệ 13 ⎧ f (v n ) → inf f ∃{v n } ⊂ X : ⎨ ⎩ f ' (v n ) → Ta xeùt trường hợp: (i) Hoặc ∃{u n } dãy cuûa {v n } : f ' (u n ) ≠ 0, ∀n ∈ N (ii) Hoaëc ∃{u n } dãy {v n } : f ' (u n ) = 0, ∀n ∈ N \ A (với φ ≠ A tập hữu hạn ⊂ N) ∗ Xét trường hợp (i): Vì f thoả điều kiện (C yếu), nên: ∃u ∈ X : lim sup f (u n ) ≥ f (u ) n → +∞ ⇒ inf f ≥ f (u ) ⇒ inf f = f (u ) Điều chứng tỏ đònh lý 17 ∗ Xét trường hợp (ii): Đặt S = {u ∈ X / f ' (u ) = 0} ≠ φ o Nếu S = X f = const đònh lý 17 hiển nhiên o Nếu S ≠ X ∃w ∈ X \ S , f ' (w) ≠ Trang 35 Phương Pháp Sử Dụng Nguyên Lý Biên Phân Ekeland Ta lại coù ϕ (t ) = f ' (tw + (1 − t )u n ) liên tục [0,1] neân: δ ⎞ ⎛ ∃δ n ∈ ⎜ 0, ⎟ : ∀t1 , t ∈ [0,1] : t1 − t < n2 αn ⎝ n +1⎠ ϕ (t1 ) − ϕ (t ) < ⇒ { α (n + 1) n } (Với max max f (tw + (1 − t )u n ) , w − u n ,1 < α n ) t∈[0 ,1] Đặt t n = inf {t / tw + (1 − t )u n ∉ S , t ∈ [0,1]} ⇒ ⎧ ⎪u = t w + (1 − t )u ∈ S n n n ⎪⎪ n 2 2 ∃ ≤ t n ≤ t n ≤ t n ≤ : ⎨u n = t n w + (1 − t n )u n ∉ S ⎪ δ ⎪ t n1 − t n2 < n2 ⎪⎩ αn ⇒ f ' (u 1n ) − f ' (u n2 ) ≤ ⇒ f ' (u n2 ) < ⇒ f u −f u 1 < α (n + 1) n + n n +1 t n2 ( ) ( ) = ∫ f ' (tw + (1 − t )u )(w − u )dt n n n n t 1n ≤ t n2 ∫ f ' (tw + (1 − t )u ) w − u n n dt t 1n t n2 ≤ ∫ max f ' (tw + (1 − t )u n ) α n dt t 1n t∈[0 ,1] ≤ α n2 (t n2 − t n1 ) < δ n < ⇒ f (u 1n ) − f (u n2 ) < t n2 ≤ ∫ α n2 dt t 1n n +1 n +1 Hơn f (u 1n ) = f (u n ) neân f (u n2 ) − f (u n ) < Như ⎧ f u n2 → inf f ⎪ ⎨ f u n ≠ 0, ∀n ∈ N ⎪ ⎩ f ' un → ( ) ( ) ( ) n +1 Keát chứng minh trường hợp (i) Vậy đònh lý chứng minh Trang 36 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trò CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ Đònh nghóa 1: Cho f : X → R , vi phaân f u ∈ X tập hợp xác đònh bởi: ∂f (u ) = {p ∈ X * / f (u ) − f (u ) ≥ p(u − u ), ∀u ∈ X } Đònh lý 2: Nếu f : X → R phiếm hàm lồi liên tục x ∈ X φ ≠ ∂f (x ) tập lồi, compact *yếu lim λ →0 f ( x + λd ) − f ( x ) + λ = max{p(d ) / p ∈ ∂f ( x )}, ∀d ∈ X Đònh lý (đònh lý Minimax): Cho X,Y không gian Banach, φ ≠ M lồi ⊂ X , φ ≠ N lồi ⊂ Y Phiếm hàm f : M × N → R (u, v ) (i) (ii) f (u , v ) thoả đồng thời điều kiện sau: ∀v ∈ N , u f (u , v ) lồi nửa liên tục ∃v0 ∈ N : u f (u , v ) inf compact, tức {u ∈ M / f (u , v0 ) ≤ r} tương đối compact, ∀r ∈ R (iii) ∀u ∈ M , v f (u , v ) loõm nửa liên tục (iv) ∃u ∈ M : v f (u , v ) sup compact, tức {v ∈ N / f (u , v ) ≥ r} tương đối compact ∀r ∈ R sup f (u , v ) = sup inf f (u , v ) Khi u∈inf M ,v∈N v∈N ,u∈M Nhận xét: ∗ Đònh lý trình bày [6] ∗ Và đònh lý trình bày [1], luận văn sử dụng kết mà không chứng minh lại . Trang 37 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trò Đònh lý (đònh lý Ambrosetti - Rabinowitz): Cho f : X → R liên tục khả vi Gateaux, f ' : X → X * lieân tục từ tôpô mạnh vào tôpô *yếu đồng thời thoả điều kiện sau: (i) (ii) (iii) ∃α > : m(α ) = inf { f (u ) / u = α } > f (0 ) ∃w ∈ X : w > α : m(α ) > f (w) f thoả điều kiện (C yếu) {u ∈ X / f (u ) ≥ m(α )} ⎧ f (u ) ≥ m(α ) ⎩ f ' (u ) = Khi ∃u ∈ X : ⎨ Chứng minh: Đặt ⎧C = {c / c ∈ C([0,1], X ) , c(0 ) = c(1) = 0} ⎨ ⎩C = {c / c ∈ C([0,1], X ) , c(0 ) = 0, c(1) = w} Khi C , C không gian mêtric đầy đủ với: d (c1 , c ) = max{ c1 (t ) − c (t ) / t ∈ [0,1]} Đặt tiếp I :C → R c I (c ) = max{ f (c(t )) / t ∈ [0,1]} Thì I nửa liên tục Hơn xeùt ϕ (t ) = c(t ) − α , c ∈ C , t ∈ [0,1] Ta coù ⎧ϕ (0) = −α < ⎨ ⎩ϕ (1) = w − α > Do ϕ (0 ).ϕ (1) < neân ∃t α ∈ [0,1] : ϕ(t α ) = ⇔ c(t α ) = α ⇒ I (c ) = max{ f (c(t )) / t ∈ [0,1]} ≥ f (c(tα )) ≥ m(α ) ⇒ I bò chặn m(α ) Vì ∀ε > 0, ta luoân ∃cε ∈ C : I(c ε ) ≤ inf {I(c) / c ∈ C} + ε ⇒ I(c) ≥ I(c ε ) − ε.d (c, c ε ), ∀c ∈ C ⇒ ⎧h > I (cε + hγ ) − I (cε ) ≥ −ε d (cε + hγ , cε ), ∀⎨ ⎩γ ∈ C (Do đònh lý 12 chương II) Trang 38 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trò ⇒ Mặt khaùc ⎧h > I (cε + hγ ) − I (cε ) ⎪ ≥ −ε , ∀⎨γ ∈ C h ⎪ γ =1 ⎩ I (cε + hγ ) − I (cε ) = max{ f (cε (t ) + hγ (t )) / t ∈ [0,1]} − I (cε ) = max{ f (cε (t )) + hu ' (cε (t ))(γ (t )) + t (h )} − I (cε ) (Với lim h →0 + 0t (h ) h = 0, ∀t ∈ [0,1] ) ≤ max{u (t ) + hv(t ) / t ∈ [0,1]} + 0(h ) − I (cε ) ≤ Φ (u + hv ) − Φ (u ) + 0(h ) Với (thì u ∈ C [0,1] ) ⎧u = f (cε ) treân [0,1] ⎪v = f ' (c )(γ ) [0,1] (thì v ∈ C [0,1] ) ε ⎪⎪ ⎨0(h ) = sup{0 t (h ) / t ∈ [0,1]} ⎪Φ : C [0,1] → R ⎪ θ Φ (θ ) = max{θ (t ) / t ∈ [0,1]} ⎪⎩ Suy Φ laø haøm lồi liên tục C [0,1] và: −ε ≤ Φ(u + hv ) − Φ(u ) 0(h ) + h h (1) Lúc vi phân Φ u là: { ∂Φ(u ) = μ ≥ / ∫ dμ = vaø sup μ ⊂ M (u )} ⎧μ số đo Radon dương [0,1] ⎩M (u ) = {t ∈ [0,1] / u (t ) = Φ (u )} ≠ φ với ⎨ Thật vậy: Nếu μ ≥ 0, ∫ dμ = sup μ ⊂ M (u ) ∀v ∈ C [0,1] , ta coù ∫ (v − u )dμ = ∫ vdμ − ∫ udμ ≤ ∫ Φ(v )dμ − ∫ udμ = Φ (v ) − Φ (u ) ⇒ Φ(v ) − Φ(u ) ≥ ∫ (v − u )dμ ⇒ μ ∈ ∂Φ (u ) Trang 39 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trò Ngược lại, μ ∈ ∂f (u ) thì: − Φ(u ) = Φ(0) − Φ(u ) ≥ ∫ (0 − u )dμ = − ∫ udμ ⇒ Φ(u ) ≤ ∫ udμ ∀w ∈ C [0,1] , ∀λ > , ta coù: Φ(λw + u ) − Φ(u ) ≥ ∫ (λw + u − u )dμ ⇒ Φ(λw + u ) − Φ(u ) ≥ λ ∫ wdμ ⇒ u ⎞ Φ(u ) ⎛ Φ⎜ w + ⎟ − ≥ ∫ wdμ λ⎠ λ ⎝ Cho λ → +∞ , ta Φ(w) ≥ ∫ wdμ ⇒ (với w = u) ⎧Φ(u ) ≥ udμ ∫ ⎪ ⎪ ⎨1 ≥ ∫ dμ ⎪ ⎪⎩− ≥ − ∫ dμ (với w = 1) (với w = -1) ⇒ ⎧Φ(u ) = udμ ∫ ⎪ ⎨ ⎪⎩∫ dμ = ⇒ ⎧ [Φ (u ) − u ]dμ = ⎪∫ ⎨ ⎪⎩∫ dμ = ⇒ ⎧⎪sup μ ⊂ M (u ) ⎨ ⎪⎩∫ dμ = (Vì ≤ θ (t ) = Φ (u ) − u (t ) liên tục [0,1]) Quay lại việc chứng minh đònh lý, kết hợp (1) đònh lý ta được: − ε ≤ lim+ h →0 Φ(u + hv ) − Φ(u ) = max ∫ vdμ / μ ∈ ∂Φ(u ) h { { } } ⇒ − ε ≤ max ∫ f ' (cε )(γ )dμ / μ ∈ ∂Φ(u ) ⇒ − ε ≤ inf max ∫ f ' (cε )(γ )dμ / μ ∈ ∂Φ(u ), γ ∈ C , γ = γ μ { = max inf μ γ } {∫ f ' (c )(γ )dμ / μ ∈ ∂Φ(u ), γ ∈ C , γ = 1} ε (Vì (γ , μ ) ∫ f ' (cε )(γ )dμ thoả điều kiện đònh lý Minimax) Trang 40 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trò { } = max − ∫ f ' (cε ) dμ , μ ∈ ∂Φ(u ) = − min{ f ' (cε (t )) / t ∈ M ( f (cε ))} ⇒ ε ≥ min{ f ' (cε (t )) / t ∈ M ( f (cε ))} ⇒ ε ≥ f ' (cε (t ε )) ,với t ε ∈ M ( f (cε )) Bây ta lấy ε = u n = cε t ε (n ∈ N * ) n ⎧ ⎪⎪ f ' (u n ) ≤ n ⎨ ⎪m(α ) ≤ f (u ) ≤ inf {I (c ) / c ∈ C} + n ⎪⎩ n Và f lại thoả điều kiện (C yếu) Do chứng minh tương tự đònh lý 17 chương II ta tìm được: u ∈ X : f (u ) = vaø f (u ) ≥ lim inf f (u n ) ≥ m(α ) n → +∞ Nhận xét: Đặt l = inf max f (c(t )) , theo đònh lý Moutain Pass với điều kiện nửa liên c∈C t∈[0 ,1] tục l giá trò tới hạn f (Đã chứng minh [5]) Đònh lý 5: Cho X = X ⊕ X ∞ , dim X < +∞ , f : X → R liên tục khả vi Gateaux, f ' : X → X * liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô *yếu đồng thời thoả điều kiện sau: (i) (ii) (iii) ∃R > : ∀u ∈ X , u = R ⇒ f (u + ) < ∀u ∞ ∈ X ∞ ⇒ f (0 + u ∞ ) ≥ f thoả điều kiện (C yếu) {u ∈ X / f (u ) ≥ 0} Khi ∃u ∈ X : f ' (u ) = vaø f (u ) ≥ Chứng minh: Đặt: B = {u ∈ X / u ≤ R} (thì B tập compact) S = {u ∈ X / u = R} = ∂B C = {θ ∈ C (B, X ∞ ) / θ (S ) = 0} Trang 41 Phương Pháp Sử Dụng Ánh Xạ Đa Trò I: C→R θ I (θ ) = max{ f (u + θ (u )) / u ∈ B} Thì I nửa liên tục bò chặn Vì ∀ε > ∃θ ε ∈ C : I (θ ε ) ≤ inf {I (θ ) / θ ∈ C} + ε ⇒ I (θ ) ≥ I (θ ε ) − ε θ − θ ε , ∀θ ∈ C ⇒ I (θ ε + hγ ) − Φ (θ ε ) ≥ −εh γ , ∀γ ∈ C , ∀h > (Do đònh lý 12 chương II) Tiếp tục chứng minh tương tự đònh lý (thay C [0,1] C (B ) ) ⎧0 ≤ f (uε + θ ε (uε )) = max{ f (u + θ ε (u )) / u ∈ B} Thì ta luoân ∃ uε ∈ int B : ⎨ ⎩ f ' (uε + θ ε (uε )) ≤ ε Hôn f lại thoả điều kiện (C yếu) Từ đònh lý chứng minh Trang 42 .. .Phương Pháp Trường Giả Gradient CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TRƯỜNG GIẢ GRADIENT I CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ CƠ SỞ: Trong suốt... ) ).Φ(v ) với ,v∈ X ⎧ Φ hàm số tìm đònh lý 12 ⎪ ⎪ ⎧1 ⎪ ,t ≥ ⎨ ( ) t = ξ ⎨t ⎪ ⎪⎩1,0 ≤ t < ⎪⎩ Khi Φ hàm Lipschitz đòa phương X Φ(v ) ≤ 1, ∀v ∈ X ~ ~ Trang 13 Phương Pháp Trường Giả Gradient Chứng... họ tập X thoả tính chất ( p )c vaø c = inf sup{ f (v ) / v ∈ F }∈ R , c giá trò tới hạn f X F ∈ℑ Trang 21 Phương Pháp Trường Giả Gradient Chứng minh: c = inf sup{ f (v ) / v ∈ F } Ta coù F ∈ℑ