Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

Mục đích của luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng là nhằm trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN PGS TS Nguyễn Bích Huy tận tình giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Q thầy trường nhiệt tình giảng dạy trình em học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn Tp HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Nguyễn Thị Thu Hà MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự hình thành từ năm 1940, tiếp tục phát triển hoàn thiện ngày Lý thuyết tìm ứng dụng đa dạng việc chứng minh tồn nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân, tích phân phát sinh Tốn học, Vật lí, Sinh học, … nghiên cứu mơ hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, … Trong lí thuyết phương trình khơng gian có thứ tự lớp phương trình với tốn tử tăng đóng vai trò quan trọng Các kết tốn tử dạng cho phép nghiên cứu tồn tại, xấp xỉ nghiệm phương trình chứa tốn tử khơng liên tục vốn xuất tự nhiên từ tốn thực tế Đã có nhiều định lí điểm bất động ánh xạ tăng, chứng minh phương pháp khác báo Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn Bích Huy, … Để tìm định lí dạng điểm bất động ánh xạ tăng để nghiên cứu lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng cần có nhìn lại, phân tích phương pháp áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng mà chúng tơi tìm hiểu qua báo khoa học Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng Đó là: phương pháp áp dụng nguyên lí đệ qui mở rộng; phương pháp áp dụng dãy qui nạp siêu hạn; phương pháp áp dụng nguyên lí Entropy; phương pháp sử dụng mêtric đặc biệt ánh xạ co Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự ứng dụng việc chứng minh tồn nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân, tích phân phát sinh Tốn học, Vật lí, Sinh học, … nghiên cứu mơ hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, … Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có bốn chương Chương 1: trình bày ngun lí đệ qui mở rộng, ứng dụng việc tìm điểm bất động ánh xạ tăng Chương 2: tìm hiểu ứng dụng số siêu hạn vào toán điểm bất động ánh xạ tăng Chương 3: trình bày ngun lí Entropy ứng dụng vào tốn điểm bất động Chương 4: ứng dụng ánh xạ co suy rộng toán điểm bất động; khảo sát tồn điểm bất động ánh xạ có tính chất lõm Vì khả thời gian có hạn nên luận văn thiếu sót, em mong nhận góp ý q thầy độc giả Chương PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG 1.1 Nguyên lí đệ qui mở rộng Định nghĩa 1.1.1 Cho tập P   ,  P ,   gọi tập thứ tự phần P có quan hệ thứ tự  thỏa: i Phản xạ: x  x x  P ii Đối xứng: Nếu x  y y  x x  y x, y  P iii Bắc cầu: Nếu x  y y  z x  z x, y , z  P Ta kí hiệu x  y x  y x  y Ví dụ  , ,  ,   ,  ,   tập thứ tự Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp P có thứ tự gọi thứ tự tốt tập khác rỗng có phần tử  Với C  P, x  P , ta kí hiệu C x   y  C y  x Mệnh đề 1.1.1 (Nguyên lí đệ qui) Cho D tập hợp tập tập thứ tự  P,   ,   D ánh xạ F : D  P Khi đó, tồn tập tốt C P cho: 1) x  C  x  F  C x  (*) 2) Nếu C  D F  C  cận chặt C (**) Chứng minh Đặt x0  F     P Gọi M tập tất xích tốt C ' P có tính chất:   x  C ' x  F C 'x Ta có M   C '   x0   M Ta chứng minh  C '  M C 'M Bổ đề 1.1.1 Nếu C1 , C2  M C2  C1 C1  C2x với x   C2 \ C1  Chứng minh  Vì x   C2 \ C1  nên C2x  C1 Thật vậy, lấy y  C2x y  C2 y  x Mà x   C2 \ C1  nên y  C2 \ C1 Suy y  C1  Giả sử C1 \ C2x     Đặt y  C1 \ C2x Khi đó, ta có C1y  C2x   C1  C2  (do C2x  C1 ) Ta chứng minh C1y  C2x     Giả sử C1y  C2x Khi tồn z  C2x \ C1y nên C2x Suy C2z  C1y (vì z  x ) z  C1y (1) Mặt khác z  C2x   C1  C2  nên z  C1 Mà z  C1y Do y  z Suy C2y  C2z Ta có C1y  C2x nên C1y  C2y (Lấy z  C1y  C2x  z  C2 , z  y  z  C2y ) Do C1y  C2z (2) Từ (1) (2) suy C2z  C1y     Hay z  F C2z  F C1y  y , mâu thuẫn z  C2x y  C2x     Vậy C1y  C2x hay y  F C1y  F C2x  x , mâu thuẫn y  C1 x  C1 Vậy C1 \ C2x    Ta chứng minh C2x  C1 C1 \ C2x   Do C1  C2x Bổ đề 1.1.2   Giả sử x  F C x , x  y  C  M Khi x  C Chứng minh    Vì y  C  M nên y  F C y Do x  y nên ta có C x  C y     Hơn dấu “=” không xảy x  F C x  y  F C y  Như z  C y \ C x   Ta chứng minh x  z có x  C Trước tiên, ta chứng minh C x  C z  Mà z   C Do z  C y \ C x y \ Cx  nên C  C  suy u  C z x (Thật vậy, lấy u  C z , ta có u  C , u  z  y y \ C x  u C x ) Giả sử dấu “=” không xảy Khi t  C x \ C z Vì t z thuộc C nên chúng so sánh với Và từ cách chọn t , ta có z t  x   Tức z  C x , mâu thuẫn z  C y \ C x Do C x  C z     Suy x  F C x  F C z  z Vậy x  C Chứng minh mệnh đề 1.1.1 Theo bổ đề 1.1.1 hai xích thuộc M chứa Đặt C   C ' C 'M  Chứng minh C tốt Lấy tập A  C , A   Ta chứng minh x  A Chọn C1  M cho A  C1   Do C1 tốt nên x   A  C1  Ta chứng minh x  A Lấy y thuộc A Ta chứng minh x  y, y  A Khi đó, C2  M cho y  C2 Nếu y  C1 y  C1  A x  y Nếu y  C1 C2  C1 nên theo bổ đề 1.1.1 ta có C1  C2k với k   C2 \ C1  Có y  C2 , y  C1 nên y  C2 \ C1 k  y Suy C2k  C2y tức C1  C2k  C2y Do x  C1  C2y nên x  y Vậy x  y, y  A Suy x  A tồn hay C xích tốt  Chứng minh C thỏa (*)  / Lấy x  C tồn C1  M cho x  C1 Lấy y  C x tồn C2  M cho y  C2x Nếu C2  C1 C2x  C1x y  C1x Nếu C2  C1 theo bổ đề 1.1.1 ta có C1  C2k , k   C2 \ C1    Do x  C1 , C1  C2k nên x  C2k Suy x  k  C1x  C2k x  C2x Mà y  C2x nên y  C1x Tức y  C1x , y  C x hay C x  C1x Hiển nhiên ta có C1x  C x Do C1x  C x     Suy x  F C1x  F C x (do C1  M ) Vậy C  M    / Giả sử x  F C x Cần chứng minh x  C Giả sử trái lại x  C Ta chứng minh C  M nên từ bổ đề 1.1.2, ta phải có x  y, y  C (1) Hiển nhiên C x   khơng, ta có x  F     x0  C Đặt C1  C x   x Chứng minh C1 tốt   Với D  C1 , D  , D   x ta có D  C x  D nên theo định nghĩa   1.1.2 ta có C1 tốt ( C x  D tồn C x  D  C x  C , C tốt theo định nghĩa 1.1.2) Do (1) nên C1y  C y , y  C1 Thật vậy, lấy y  C1  C x   x  Nếu y  x C1y  C1x  C x   x  x  Cx  Cy   Nếu y  C x y  x nên ta có C1y  C x   x y  Cy Do C1  M   Nếu y  x y  x  F  C   F  C   F  C  Nếu y  C y  C mà C  M nên y  F  C   F  C  Thật vậy, lấy y  C1 , chứng minh y  F C1y x x y y y y Suy x  C , mâu thuẫn Ta có điều phải chứng minh  Chứng minh C thỏa (**) Thật vậy, C  D a  F  C  cận chặt C , C a  C   Suy F C a  F  C   a Do (*) nên ta có a  C (mâu thuẫn a cận chặt C ) Vậy C thỏa (**) Kết luận: Mệnh đề chứng minh hoàn toàn 1.2 Tập xấp xỉ liên tiếp từ điểm ánh xạ Bổ đề 1.2.1 Cho tập có thứ tự  P ,   , ánh xạ G : P  P a  P Khi tồn xích tốt C P cho    I  a  C a  x  C  x  sup G C x Chứng minh    Xét D    A  P sup G  A  tồn ánh xạ f : D  P xác định f     a f  A   sup G  A  với   A  D Rõ ràng f định nghĩa tốt  Theo mệnh đề 1.1.1 (ngun lí đệ qui) tồn xích tốt C P cho   1) x  C  x  f C x 2) Nếu C  D f  C  cận chặt C  Ta kiểm tra C thỏa  I  Đặt x0  C (vì C tốt nên tồn min)   Ta có x0  C nên theo 1) ta có x0  f C x0  f     a tức a  C     Với a  x C x   Do x  C  x  f C x  sup G C x (định nghĩa f ) Vậy C xích tốt P thỏa điều kiện  I   Điểm bất động g  a   suy F  y   F  z  , y  z  a (do định nghĩa g )  F  y   F  a  , y  a    Ta lại có a  M  F  a   a   F  F  a   F  a  x : F  a  điểm bất động Định nghĩa 3.2.2 Cho kg Banach thực X Nón K gọi nón chuẩn N  :   x  y  x  N y Đoạn u , v :  x  X : u  x  v Hệ 3.2.1 Giả sử F : u , v  X ánh xạ tăng, thỏa mãn i u  Fu , Fv  v ii F  u , v  tập compact tương đối K nón chuẩn Khi đó, F có điểm bất động u, v Chứng minh  M  u , v  X tập đóng xM  u  x  v  u  F u   F  x   F  v   v  F  x  M F  M   M x0  u  M : x0  F  x0  Do hàm F thỏa điều kiện i) định lí 3.2.1   xn   u , v ,  xn  tăng, ta có F  x  có dãy hội tụ n F  xn  tăng, K nón chuẩn (giả thiết ii) Suy F  x  hội tụ n Do hàm F thỏa điều kiện ii) định lí 3.2.1 Vậy F có điểm bất động u , v Định nghĩa 3.2.3 Nón K gọi qui dãy tăng, bị chặn hội tụ Hệ 3.2.2 Giả sử F : u , v  X ánh xạ tăng thỏa i u  Fu , Fv  v ii K nón qui Khi đó, F có điểm bất động u, v Chứng minh  M  u , v  X tập đóng xM  u  x  v  u  F u   F  x   F  v   v  F  x  M F  M   M x0  u  M : x0  F  x0  Do hàm F thỏa điều kiện i) định lí 3.2.1  Ta có  xn   M ,  xn  tăng F  xn   v  n , F  xn  tăng  Suy F  xn  hội tụ (do K nón qui) Do F thỏa điều kiện ii) định lí 3.2.1 Vậy F có điểm bất động u , v Chương PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÊTRIC ĐẶC BIỆT VÀ ÁNH XẠ CO 4.1 Ánh xạ co suy rộng điểm bất động Định nghĩa 4.1.1 Cho  X , d  không gian metric T : X  X Ta có  T ánh xạ co với x  y, d Tx, Ty   d  x, y   Nếu có số  k  cho với x, y thuộc X , d Tx, Ty   kd  x, y  T ánh xạ co hệ số k hay đơn giản T k – co Hiền nhiên T ánh xạ co T liên tục điểm bất động T , có, Định lí 4.1.1 (Ngun lí ánh xạ co Banach) Cho  X , d  không gian mêtric đầy đủ T : X  X ánh xạ k – co Khi đó, T có điểm bất động nhất, ghi x0 lim T n x  x0 với x  X n  kn Hơn d  x0 , T x   d  x, Tx  với x  X 1 k n Chứng minh  Với x  X , đặt x1  Tx, xn1  Txn Với n, p  , ta có d  xn , xn p   d T n x, T n p x   kd T n1 x, T n p 1 x    k n d  x, T p x    k n  d  x, Tx   d Tx, T x    d T p 1 x, T p x    k 1  k  k   k n p 1 1 k p  d  x,Tx   k  k d  x,Tx  n   Vậy  d xn , xn  p  kn d  x, Tx  1 k (1) (do  k     k p  )   Do k  , bất đẳng thức chứng tỏ T n  x   Mà  X , d  đầy đủ nên T n  x   n  n dãy hội tụ Đặt x0  lim T n  x  n  Do T liên tục nên x0  T  x0  Suy x0 điểm bất động T điểm bất động (do T k – co) kn  Từ (1) cho p   , ta d  x0 , T x   d  x, Tx  1 k n Định lí chứng minh Định nghĩa 4.1.2 Ánh xạ T không gian mêtric  X , d  gọi   ,   – co với   tồn   cho   d  x, y      d Tx, Ty    (1) Định lí 4.1.2 (Meir – Keeler) Cho  X , d  không gian mêtric đầy đủ T ánh xạ   ,   – co X Khi đó, T có điểm bất động x với x0  X , ta có T n x0  x n   Chứng minh Nhận xét Mọi ánh xạ   ,   – co thỏa mãn điều kiện Nếu x  y d Tx, Ty   d  x, y  (2) Thật vậy, x  y đặt   d  x, y   ta có   d  x, y      , nên theo (1) ta phải có d Tx, Ty     d  x, y  Lớp ánh xạ thỏa điều kiện (2) thường gọi “co yếu” Hiển nhiên ánh xạ thuộc lớp này, có điểm bất động phải Chứng minh định lí  Lấy x0  X tùy ý Đặt xn1  Txn , cn  d  xn , xn1  , n  0,1,2, Có thể giả thiết cn  Vì T co yếu nên cn  d Txn 1 , Txn   d  xn1 , xn   cn1 , Suy cn  dãy số ko âm giảm (chặn ) Do cn     Nếu   tồn   để có (1) Chọn k  cho n  k cn     Theo (1) cn1   điều vơ lí Vậy   , tức cn   Ta chứng minh  xn  dãy Cauchy phản chứng Giả sử có   cho với k  Chọn k cho i  k ci   tồn m, n  k mà d  xn , xm   2 ,    ,   Chọn m  n  k d  xn , xm   2 Và xét số d  xn , xn 1  , d  xn , xn   , , d  xn , xm  Khoảng cách hai số liên tiếp d  xn , xi   d  xn , xi 1   d  xi , xi 1   ci   Vì d  xn , xn1   cn     Còn d  xn , xm   2 nên tồn j  n, n  1, , m cho    d  xn , x j      3      Vì   d xn , x j     nên theo (1) ta có d Txn , Tx j  d xn1 , x j 1   Từ ta có d  xn , x j   d  xn , xn1   d  xn1 , x j 1   d  x j 1 , x j            Điều mâu thuẫn với d xn , x j     Vậy  xn  dãy Cauchy xn  x  X (do  X , d  đầy đủ)  Do T ánh xạ co yếu, n ta có d  x , Tx   d  x , xn1   d  xn1 , Tx   d  x , xn1   d Txn , Tx   d  x , xn1   d  xn , x    Cho n   ta d x , Tx  , tức x  Tx Vì T co yếu nên x (đpcm) Hệ 4.1.1 Cho không gian metric đầy đủ  X ,   ánh xạ f : X  X thỏa mãn điều kiện c0 suy rộng sau Krasnoselskii: Với cặp số  a  b tồn số q  q  a, b   cho x, y  X ,   x, y    a, b     f  x  , f  y    q   x, y  Khi đó, f có điểm bất động x với x0  Y , dãy lặp xn  f n  x0  hội tụ x Chứng minh Ta chứng minh f thoả mãn định lí Meir – Keeler Cho   , chọn số q  thoả mãn x, y  X ,   x, y    ,   1    f  x  , f  y    q   x, y    1  q   Chọn   1 ,  ta có q   x, y  X ,     x, y         f  x  , f  y     Ví dụ Cho  X , d  không gian metric đầy đủ, T : X  X ánh xạ lipsit   Giả sử tồn p  cho k T p  Khi T có điểm bất động nhất, ghi x0 lim T n  x   x0 , x  X n  Chứng minh    Đặt k  k T p  Với x, y  X , đặt   x, y   p 1  d  T x, T y  i i , T0  I i 0 Thì  mêtric X  Ta có x, y  X  p 1  d  x, y     x, y     k T i   d  x, y   ad  x, y   i 0  Với  a  p 1  k T , i i 0 k T   Vậy d ,  mêtric tương đương    Hơn nữa, ta có  Tx, Ty   p 1  d  T x, T y   d  T i i i 1 p x, T p y     x , y   d  T p x, T p y   d  x, y     x, y   1  k  d  x, y     1 k   1     x, y   k   x, y  a     với k0  1  1 k   1 a  Vậy T :  X ,     X ,   ánh xạ k0 – co  Ta có:  X ,   không gian mêtric đầy đủ T :  X ,     X ,   ánh xạ k0 – co Áp dụng định lí 4.1.1 (ngun lí ánh xạ co), T có điểm bất động x0 lim T n  x   x0  X ,   với x  X n  Do d ,  hai metric tương đương nên lim T n  x   x0  X , d  n  4.2 Điểm bất động lớp ánh xạ lõm Định nghĩa 4.2.1 (Ánh xạ u0 – lõm đều) Cho không gian Banach X nón K u0  K \ 0 Ánh xạ A : K  K gọi u0 – lõm i A ánh xạ tăng ii x  K \ 0  Ax  Ku0 iii   a, b    0,1 ,  c, d    0,   ,   : t   a, b  , x  cu0 , du0  A  tx   1    tAx Lưu ý  Ku0 :  y  K :  ,   ,  u0  y   u0   Với x, y  Ku0 , ta định nghĩa   x  y   x    d  x, y   ln   x, y    x, y     1:  Ta chứng minh d metric tập Ku0 Ta kiểm tra ba điều kiện i d  x, y   d  y, x  Thật vậy, với   1  x  y  x y   1  x  y   x     y x  y   x  1  y  x  y Suy   x, y     y, x  hay d  x, y   d  y, x  ii   x, y   nên d  x, y   d  x, y      x, y   Khi x  y  x  x  y iii d  x, y   d  x, z   d  z , y  Ta có với x, y, z  Ku0 Suy x  z    x, z  x ,   x, z    x, z   1 z  y    z, y  z ,   z, y    z, y   1 x  y    x, z    z , y  x với   x, z    z , y     x, z    z , y  Suy   x, y     x, z    z , y  hay d  x, y   d  x, z   d  z , y  Vậy d metric tập Ku0  Từ định nghĩa d  x, y  ta có e d  x, y  x  y  e d  x, y  x Bổ đề 4.2.1 Nếu K nón chuẩn tập Ku0 với metric d định nghĩa không gian metric đầy đủ Chứng minh Giả sử  xn  dãy Caychy  Ku0 , d  Ta cần chứng minh  xn  hội tụ  Ku0 , d   Chứng minh  xn  bị chặn theo chuẩn   Thật vậy, ta tìm n1 cho d xn , xn1  hay e 1 xn1  xn  exn1 Từ ta suy  xn  bị chặn (do K – nón chuẩn)  Ta có e  e  d  xn , xm   d  xn , xm  xm  xn  e d  xn , xm   xm   xm  xn  xm  e Vì d  xm , xn   (1) d  xn , xm    xm (2)  xn  bị chặn nên dãy hai đầu bất đẳng  m, n    thức (2) hội tụ tới n, m   Do K nón chuẩn nên ta suy lim  xn  xm   n , m Vậy  xn  dãy Cauchy X Đặt x  lim xn  X , n   Ta chứng minh x  lim xn  Ku0 , d  n Cho   , ta tìm n0 cho d  xn , xm    , n, m  n0 Từ (1), ta có e  xm  xn  e xm m, n  n0 Cho m   , ta có e  x  xn  e x n  n0  d  xn , x    n  n0 Vậy lim d  xn , x   hay lim xn  x  Ku0 , d  Định lí 4.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn i K nón chuẩn ii A : K  K toán tử u0 – lõm iii  ,   : Khi  u0  A  u0  , A   u0    u0 A có  u0 ,  u0 điểm bất động với x0   u0 ,  u0 , dãy lặp  An  x0  hội tụ điểm bất động Chứng minh  Đặt Y   u0 ,  u0 Y tập đóng  Ku0 , d  nên Y , d  không gian metric đầy đủ  Ta chứng minh toán tử A ánh xạ c0 theo nghĩa Krasnoselskii d x, y Với  a  b d  x, y    a, b  e    e  b , e  a    0,1  Gọi  số nói điều kiện iii) định nghĩa 4.2.1 tương ứng với e  b , e  a  ,  u0 ,  u0 Ta có e d  x, y  x  y  e d  x, y  x  A e e  d  x, y  d  x, y    x  Ay  A e d  x, y  x  e  Ax 1    Ax  Ay  1  d x, y e     Ax, Ay   1   d  Ax, Ay   d  x, y   ln 1    d x, y  ln 1      d  Ax, Ay   d  x, y  1   , d x y      với d  x, y    a, b  d  Ax, Ay   1   Vậy ánh xạ A thỏa điều kiện co suy rộng Áp dụng bổ đề 4.2.2 ta có đpcm ln 1      d  x, y  b  KẾT LUẬN Để tìm định lí dạng điểm bất động ánh xạ tăng để nghiên cứu lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng cần có nhìn lại, phân tích phương pháp áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng Do đó, luận văn chúng tơi trình bày bốn phương pháp nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ tăng mà chúng tơi tìm hiểu qua báo khoa học Qua q trình làm luận văn tơi thấy kiến thức học phần học giải tích: giải tích hàm nâng cao, giải tích phi tuyến, … giúp ích nhiều cho tơi việc hồn thành luận văn Bước đầu tơi học phương pháp tự học nghiên cứu Tôi hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO I A Bakhtin (1972), Existence of common fixed points for abelian families of discontinuous operators, Siberian Math J 3, 167 – 172 S Carl, S Heikkila (2004), Nonlinear differential equations in ordered space, Chapman & Hall/ CRC S Heikkila (1999), On chain methods used in fixed point theory, Nonlin Stud , 6, 171 – 180 E Zeidler (1985), Nonlinear Funtional Analysis and its Applications, v.1, 3, Springer – Verlag MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG 1.1 Ngun lí đệ qui mở rộng 1.2 Tập xấp xỉ liên tiếp từ điểm ánh xạ 1.3 Điểm bất động ánh xạ tăng 14 Chương PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG DÃY QUI NẠP SIÊU HẠN 21 2.1 Số siêu hạn 21 2.2 Ứng dụng vào toán điểm bất động ánh xạ tăng 24 Chương PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ENTROPY 35 3.1 Nguyên lí Entropy 35 3.2 Ứng dụng vào toán điểm bất động 37 Chương PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG METRIC ĐẶC BIỆT VÀ ÁNH XẠ CO 41 4.1 Ánh xạ co suy rộng điểm bất động 41 4.2 Điểm bất động lớp ánh xạ lõm 46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 ... lí dạng điểm bất động ánh xạ tăng để nghiên cứu lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng cần có nhìn lại, phân tích phương pháp áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình... phương pháp nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng mà chúng tơi tìm hiểu qua báo khoa học Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu điểm bất động ánh xạ tăng Phạm vi nghiên cứu: luận văn. .. số siêu hạn vào toán điểm bất động ánh xạ tăng Chương 3: trình bày ngun lí Entropy ứng dụng vào tốn điểm bất động Chương 4: ứng dụng ánh xạ co suy rộng toán điểm bất động; khảo sát tồn điểm bất