Hệ thức lượng giác trong tam giác với phép biến đổi tuyến tính góc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phùng Thị Oanh HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH GÓC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời nói đầu Một số phép biến đổi tuyến tính góc 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.2 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.3 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.4 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.5 Biến đổi tuyến tính góc dạng dạng 17 28 32 38 Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng tổng quát 45 2.1 Một số biến đổi tuyến tính dạng tổng quát 45 2.2 Một số toán khác 49 Kết luận 56 Các công trình có liên quan 57 Tài liệu tham khảo 58 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Những toán liên quan đến hệ thức tam giác thường có mặt đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học Số lượng hệ thức tam giác tài liệu dành cho học sinh phổ thông lớn, học sinh dễ bị choáng ngợp, cảm thấy khó khăn giải dạng toán Học sinh thường không không thấy mối liên hệ hệ thức lượng giác Do cần có phương pháp giúp học sinh phân loại thấy mối quan hệ hệ thức lượng giác tam giác Như số lượng hệ thức lượng giác tam giác cần chứng minh giảm cách đáng kể Một phương pháp phân loại tạo hệ thức lượng giác tam giác phương pháp biến đổi tuyến tính góc Ý tưởng phương pháp biến đổi tuyến tính góc (xem [9]): Sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc để tạo tam giác A1 B1 C1 từ tam giác ABC Từ hệ thức biết cho tam giác A1 B1 C1 ta có hệ thức tam giác ABC Dạng tổng quát phép biến đổi tuyến tính góc là: A1 = k11 A + k12 B + k13 C + λ1 π , B1 = k21 A + k22 B + k23 C + λ2 π , C1 = k31 A + k32 B + k33 C + λ3 π , A1 + B1 + C1 = π, A1 > 0, B1 > 0, C1 > Hệ bốn phương trình ba bất đẳng thức chứa 12 hệ số kij , λi (i, j = 1, 2, 3) Do đó, cách chọn hệ số, ta có nhiều phép biến đổi tuyến tính góc Các phép biến đổi tuyến tính góc khai thác luận văn là: π−A π−B π−C 1) A1 = , B1 = , C1 = ( A1 B1 C1 nhọn), 2 2) A2 = π − 2A, B2 = π − 2B, C2 = π − 2C (với ABC nhọn), 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A B π+C π , B3 = , C3 = ( A3 B3 C3 tù có góc C3 > ), 2 π2 4) A4 = 2A, B4 = 2B, C4 = 2C − π (với ABC tù có C > ), π π 5) A5 = − A, B5 = − B, C5 = π − C , 2 Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng Chương đưa số phép biến đổi tuyến tính góc dạng nhằm tạo hệ thức lượng giác tam giác Các hệ thức tam giác lựa chọn từ đề thi học sinh giỏi, tạp chí Toán học, đề thi Đại học sáng tạo từ có Chương Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng tổng quát Chương xét phép biến đổi tuyến tính góc dạng không đối xứng sáng tạo dựa có Một số phần nội dung luận văn đưa vào [3] thông báo [1], [2] Tất tập giải chi tiết [3] Hy vọng Luận văn cung cấp cho Thầy giáo, em học sinh tài liệu hệ thức lượng tam giác theo phương pháp biến đổi tuyến tính góc, thông qua đó, học sinh sáng tạo nhiều hệ thức Tác giả luận văn hi vọng tiếp tục bổ sung hoàn thiện thêm đề tài trình giảng dạy toán trường phổ thông Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS-TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới người Thầy nghiêm khắc tận tụy với công việc, truyền thụ kiến thức kinh nghiệm cho tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học Thầy cô giáo tham gia giảng dạy hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học Toán K3 Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, thầy cô tổ Toán - Tin trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ hoàn thành luận văn Để hoàn thành luận văn này, tác giả tập trung học tập nghiên cứu cách nghiêm túc suốt khóa học Tuy nhiên, hạn chế 3) A3 = 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thời gian, trình độ hiểu biết nên trình thực không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo thầy cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên 2011 Phùng Thị Oanh 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng Trong đại dương mênh mông đẳng thức bất đẳng thức lượng giác tam giác (và đại dương sách lượng giác nay), thường quan sát thấy “cặp trùng”, tức chúng giống Thí dụ, với tam giác ta có: 1) (Vô địch Cộng hoà dân chủ Đức, 1965) cos A + cos B + cos C ≤ ; (1.1) 2) (Đại học An ninh, 1996, Khối A) B C A + sin + sin ≤ ; 2 2 (1.2) A + 3B B + 3C C + 3A + cos + cos ≤ ; 4 (1.3) sin 3) cos 4) cos π+B π+C π+A + cos + cos ≤ ; 4 (1.4) Giải thích giống bất đẳng thức trên?Có lẽ có nhiều cách giải thích Với cách nhìn, ta phát qui luật ẩn tàng bên giống vẻ hệ 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thức Trong luận văn này, cố gắng giải thích giống cặp trùng dựa nhận xét sau đây: Thực chất hệ thức lượng giác giống chúng nhận từ qua biến đổi đại số, cụ thể phép biến đổi tuyến tính góc Chương xét số phép biến đổi tuyến tính góc dạng 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng A + (n − 1)B B + (n − 1)C C + (n − 1)A , B1 = , C1 = n n n Mệnh đề 1.1 Cho A, B, C ba góc tam giác Khi A1 = A1 = A + (n − 1)B B + (n − 1)C C + (n − 1)A , B1 = , C1 = n n n với n = 2, 3, ba góc tam giác Chứng minh Thật vậy, A, B, C ba góc tam giác nên < A, B, C < π A + B + C = π A + (n − 1)B π + (n − 1)π Suy < A1 = < < π n n Tương tự, < B1 , C1 < π A1 + B1 + C1 = A + (n − 1)B B + (n − 1)C C + (n − 1)A + + =π n n n Chứng tỏ A1 , B1 , C1 ba góc tam giác Mệnh đề 1.2 Cho A, B, C ba góc tam giác Khi A1 = A + (n − 1)C B + (n − 1)A C + (n − 1)B , B1 = , C1 = n n n với n = 2, 3, ba góc tam giác Mệnh đề 1.3 Cho A, B, C ba góc tam giác Khi A1 = B + (n − 1)C C + (n − 1)A A + (n − 1)B , B1 = , C1 = n n n với n = 2, 3, ba góc tam giác Với n = ta có 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.1 Cho A, B, C ba góc tam giác Khi B+C C +A A+B A1 = , B1 = , C1 = ba góc tam giác 2 B+C π−A π−A π Chú ý 1.1 Vì A1 = = nên < A1 = < phép 2 2 C +A A+B B+C , B1 = , C1 = biến đổi tuyến tính góc A1 = 2 π−A π−B π−C , B2 = , C2 = phép biến đổi tuyến tính góc A2 = 2 A2 B2 C2 tam giác có ba góc nhọn π−A A π−A nên sin A1 = sin = cos Nhận xét 1.1 Vì A1 = 2 A A A (cos A1 = sin , tan A1 = cot , cot A1 = tan ) Như vậy, từ hệ 2 thức chứa sin A1 , sin B1 , sin C1 (tương ứng, chứa cos A1 , cos B1 , cos C ; tan A1 , tan B1 , tan C1 ; cot A1 , cot B1 , cot C1 cho tam giác A1 B1 C1 A B C A ta suy hệ thức chứa cos , cos , cos (tương ứng, chứa sin , 2 2 B C A B C A B C sin , sin , cot , cot , cot , tan , tan , tan ) cho tam giác 2 2 2 2 ABC Sử dụng Nhận xét 1.1, từ hệ thức lượng giác tam giác biết, ta tạo (một số) hệ thức lượng giác khác mà chứng minh theo cách truyền thống (biến đổi lượng giác) Dưới số ví dụ minh họa Bài toán 1.1 Chứng minh với tam giác ta có cos A + cos B + cos C ≤ Chứng minh Ta có cos A + cos B + cos C ≤ ⇔ − cos A − cos B − cos C ≥ ⇔ + cos(B + C) − cos B − cos C ≥ ⇔ + cos B cos C − sin B sin C − cos B − cos C ≥ ⇔ + sin2 B + cos2 B + sin2 C + cos2 C + cos B cos C − sin B sin C − cos B − cos C ≥ 0, 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC Bài toán 1.2 Chứng minh với tam giác ABC ta có sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 Chứng minh (Biến đổi lượng giác) B C A sin + sin + sin ≤ 2 2 A B C ⇔ − sin − sin − sin ≥ 2 2 π − (B + C) B C ⇔ − sin − sin − sin ≥ 2 B+C B C ⇔ − cos − sin − sin ≥ 2 C C B B + cos + sin + cos2 ⇔ + sin 2 2 C B C B C B − 2(cos cos − sin sin ) − sin − sin ≥ 2 2 2 B C B C ⇔ (cos − cos ) + (1 − sin − sin ) ≥ 0, 2 2 Dấu đẳng thức xảy tam giác ABC Chứng minh (Biến đổi tuyến tính góc) π−A π−B π−C Đặt A1 = , B1 = , C1 = Khi A1 , B1 , C1 ba 2 góc tam giác Do Bài 1.1 cho tam giác A1 B1 C1 Vì A B C cos A1 = sin , cos B1 = sin , cos C1 = sin nên ta có: 2 B C A sin + sin + sin = cos A1 + cos B1 + cos C1 ≤ , (đpcm) 2 2 Lời bình: Chứng minh (biến đổi tuyến tính góc) đơn giản gần không đòi hỏi kiến thức gì, công thức quan hệ lượng giác hai góc phụ Bài toán 1.3 Chứng minh với tam giác ABC có ba góc nhọn ta có sin A + sin B + sin C ≤ (tan A tan B tan C) cos A + cos B + cos C π Chứng minh Không tổng quát, giả sử > A ≥ B ≥ C > Do tính đồng biến hàm số tan tính nghịch biến hàm số cos khoảng 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... số phép biến đổi tuyến tính góc 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.2 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.3 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.4 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1.5 Biến đổi tuyến. .. tạo hệ thức lượng giác tam giác phương pháp biến đổi tuyến tính góc Ý tưởng phương pháp biến đổi tuyến tính góc (xem [9]): Sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc để tạo tam giác A1 B1 C1 từ tam giác. .. đây: Thực chất hệ thức lượng giác giống chúng nhận từ qua biến đổi đại số, cụ thể phép biến đổi tuyến tính góc Chương xét số phép biến đổi tuyến tính góc dạng 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng A +