Tài liệu Phần 9: Hệ thức lượng giác trong tam giác pptx

16 960 3
Tài liệu Phần 9: Hệ thức lượng giác trong tam giác pptx

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho ABC Δ có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của    A,B,C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Δ , S là diện tích ABC Δ thì === =+− =+− =+− =+− =+− =+− 222 22 222 22 222 22 abc 2R sin A sin B sin C abc2bccosAbc4S.cotg bac2accosBac4S.cotgB cab2abcosCab4S.cotg A C Bài 184 Cho ABC Δ . Chứng minh: 22 A 2B a b bc =⇔=+ Ta có: 2 2 22 22 2 a b bc 4R sin A 4R sin B 4R sin B.sinC =+⇔ = + ()() ()() ()() () () () () ⇔−= ⇔− −− = ⇔−= ⇔− + − = ⇔+ −= ⇔ −= += > ⇔−=∨−=π− ⇔ = 22 sin A sin B sin B sin C 11 1 cos 2A 1 cos 2B sin B sin C 22 cos 2B cos 2A 2 sin B sin C 2 sin B A sin B A 2 sin B sin C sin B A sin A B sin B sin C sin A B sin B do sin A B sin C 0 ABBAB Bloại A 2B Cách khác: −= ⇔− += +− + − ⇔= 22 sin A sin B sin B sin C (s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C AB AB AB AB 2 cos sin .2 sin co s sin B sin C 22 2 2 ()() () () () () ⇔+ −= ⇔−= +=> ⇔−=∨−=π− ⇔= sin B A sin A B sin B sin C sin A B sin B do sin A B sin C 0 ABBAB Bloại A 2B Bài 185: Cho ABC Δ . Chứng minh: ( ) 22 2 sin A B ab sin C c − − = Ta có −− = 22 22 22 222 ab 4RsinA4RsinB c4RsinC ()() ()() ()() () () () −−− − == −+ − − == +− − == += > 22 22 22 2 11 1 cos 2A 1 cos 2B sin A sin B 22 sin C sin C 2sin A B sin B A cos 2B cos 2A 2sin C 2sin C sin A B .sin A B sin A B sin C sin C do sin A B sin C 0 Bài 186: Cho ABC Δ biết rằng A B1 tg tg 223 ⋅ =⋅ Chứng minh ab 2c += Ta có : ⋅=⇔ = A B1 A B A B tg tg 3sin sin cos cos 223 22 22 A B do cos 0,cos 0 22 ⎛⎞ >> ⎜⎟ ⎝⎠ () A BABA 2sin sin cos cos sin sin 22 22 22 AB AB AB cos cos cos 22 2 AB AB cos 2cos * 22 ⇔=− +− + ⎡⎤ ⇔− − = ⎢⎥ ⎣⎦ −+ ⇔= B Mặt khác: () ab2RsinAsinB+= + () () () +− = ++ = =+ = = A BAB 4R sin cos 22 AB AB 8R sin cos do * 22 4R sin A B 4R sin C 2c Cách khác: () += ⇔+= ab2c 2R sin A sin B 4R sin C +− ⇔= −++ ⎛⎞ ⇔== = ⎜⎟ ⎝⎠ A BAB CC 2sin cos 4sin cos 22 22 A BC AB AB cos 2 sin 2 cos do sin cos 22 2 2 C 2 ⇔+= − ⇔= A BAB AB A cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin 22 22 22 2 AB AB 3sin sin cos cos 22 22 B 2 ⇔⋅= A B1 tg tg 223 Bài 187: Cho ABC Δ , chứng minh nếu tạo một cấp số cộng thì cotgA, cotgB, cotgC 222 a,b,c cũng là cấp số cộng. Ta có: () ⇔+=cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB * Cách 1: ( ) () ()() () ()()() [] ()()() 2 2 22 22 22 2 2 222 sin A C 2cosB Ta có: * sin B 2sin A sin C cos B sin A sin C sin B sinB cosA C cosA C cosA C sin B cos A C cos A C cos A C 1 sin B cos B cos 2A cos 2C 2 1 sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C 2 2sin B sin A sin C + ⇔=⇔= ⇔=− +−−−+ ⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ ⇔= +−− + ⇔=− + ⎡ ⎤ ⇔=− −− +− ⎣ ⎦ ⇔=+ ⇔ 22 2 222 222 222 2b a c 4R 4R 4R 2b a c a , b ,c là câùp số cộng =+ ⇔=+ ⇔• Cách 2: () =+− ⎛⎞ ⇔=+− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔=+− +− = +− +− == +− +− +− ⇔+=⋅ ⇔ =+ 222 222 222 22 2 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 222 Ta có: a b c 2ab cos A 1 abc4bcsinA.cotgA 2 abc4ScotgA bca Do đó cotgA 4S acb abc Tương tự cotgB , cotgC 4S 4S bca abc acb Do đó: * 2 4S 4S 4S 2b a c Bài 188: Cho ABC Δ có 22 sin B sin C 2sin A += 2 Chứng minh  0 BAC 60 . ≤ () 22 2 22 2 22 2 22 2 Ta có: sin B sin C 2sin A bc2a 4R 4R 4R bc 2a* += ⇔+= ⇔+= A Do đònh lý hàm cosin nên ta có 222 abc2bccos =+− ( ) () ()  +−− +− ⇔= = + =≥= ≤ 22 22 22 2 22 0 2b c b c bca cos A ( do * ) 2bc 4bc bc 2bc1 do Cauchy 4bc 4bc 2 Vạây : BAC 60 . Cách khác: đònh lý hàm cosin cho =+− ⇒+=+ 222 222 a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A Do đó (*) a bc cos A a abc cos A ( do Cauchy) bcbc ⇔+ = + ⇔== ≥ 22 222 22 1 242 Bài 189: Cho ABC Δ . Chứng minh : ( ) 222 Ra b c cotgA+cotgB+cotgC abc ++ = +− = +− +− == + +++ ++= = ++ = 22 2 22 2 2 22 222 22 222 bca Ta có: cotgA 4S acb abc Tương tự: cotgB ,cotgC 4S 4S abc abc Do đó cot gA cot gB cot gC abc 4S 4 4R abc R abc 2 Bài 190: Cho ABC Δ có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2. Giả sử A < B < C. Chứng minh: = + 111 abc Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A 24 Mà A B C nên A ,B ,C 77 7 π ππ ++=π = = = Cách 1: += + ⎛⎞ ⎜⎟ =+ ⎜⎟ ππ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ππ + = ππ ππ π π ⎛⎞ =⋅ = ⎜⎟ ππ ⎝⎠ π =⋅ = ππ = 11 1 1 Ta có: b c 2R sin B 2R sin C 11 1 24 2R sin sin 77 42 sin sin 1 77 24 2R sin sin 77 3 2sin .cos 143 77 do sin sin 23 2R 7 7 sin .sin 77 cos 11 7 R2RsinA 2sin .cos 77 1 a Cách 2: =+⇔ = + + ⇔= + = ⇔= = = ππ ===• 111 1 1 1 a b c sin A sin B sin C 11 1sin4Asin2A sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A 1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosA sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A 34 do : sin 3A sin sin sin 4A 77 Bài 191: Tính các góc của ABC Δ nếu sin A sin B sin C 12 3 == Do đònh lý hàm sin: abc 2R sin A sin B sin C === nên : () sin A sin B sin C * 12 3 == abc 2R 4R 2R 3 bc ba3 a 2 3 c2a ⇔= = ⎧ = ⎪ ⇔= =⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ () () 2 22 222 0 0 Ta có: c 4a a 3 a cba Vạây ABC vuông tại C Thay sin C 1 vào * tược sin A sin B 1 12 3 1 sin A 2 3 sin B 2 A30 B60 == + ⇔=+ Δ = == ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ 2 Ghi chú: Trong tam giác ABC ta có a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ = II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cho UABC có trung tuyến AM thì: 2 22 2 BC AB AC 2AM 2 += + hay : 2 22 2 a a cb2m 2 += + Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến,  AMB = α , AC = b, AB = c, S là diện tích UABC. Với 0 < < 90 α 0 a/ Chứng minh: 22 bc cotg − 4S α= b/ Giả sử α= , chứng minh: cotgC – cotgB = 2 0 45 a/ UAHM vuông HM MB BH cotg AHAH − ⇒α= = () aBH cotg 1 2AH AH ⇒α= − Mặt khác: () 22 22 ac2accosBc bc 4S 2AH.a +− − − = 2 Đặt BC = a 22 bc a ccosB a BH 4S 2AH AH 2AH AH − ⇒=−=− (2) Từ (1) và (2) ta được : 22 bc cotg 4S − α= Cách khác: Gọi S 1 , S 2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: +− α= 22 1 2 AMBMc cotg 4S (3) +− −α= 22 2 2 AMCMb cotg 4S (4) Lấy (3) – (4) ta có : − α= 22 bc cotg 4S ( vì S 1 =S 2 = S 2 ) b/Ta có: cotgC – cotgB = HC HB HC HB AHAH AH − −= = ()( ) MH MC MB MH AH +−− = = α= = 0 2MH 2cotg 2cotg45 2 AH Cách khác : p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có: +− = 22 1 BM c AM cotg B 4S 2 (5) +− = 22 2 CM b AM cotg C 4S 2 (6) Lấy (6) – (5) ta có : − −= = 22 bc cotg C cot gB 2 cot g 2S α =2 ( vì S 1 =S 2 = S 2 và câu a ) Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là thỏa b m,m c b c m c 1 bm =≠ . Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC Ta có: 2 2 b 22 c m c bm = () () ()( () ) ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔= ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔+−=+− ⇔−= − ⇔−=− + ⎛⎞ ⇔=+ ≠ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 22 2 2 2 22 44 22 22 2 2 22 22 2 2 4 4 22 2 2 2 2 2 222 1b ac 22 c b 1c ba 22 cb bc ac ab bc 22 1 ac ab c b 2 1 ac b c b c b 2 c 2a c b 1 do 1 b Thay vào (1), ta có (1) thành +=+ 22 2 bca2bccosA = 2 a2bccosA ()() () ⇔== + ⇔= = 222 a4RsinA cos A 2bc 2 2R sin B 2R sin C sin B C cos A sin A 2 sin A sin B sin C sin B sin C + ⇔= =+ sinBcosC sinCcosB 2 cotgA cotgC cotgB sin B sin C Bài 194 : Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’ Vậy 2 ABC 3 ′ = C 22 c 2 222 222 9c 4m c 9c 2 b a 2 5c a b ⇔= ⎛⎞ ⇔= +− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔=+ 22 5c c 2ab cos C ⇔=+ (do đònh lý hàm cos) ()()() 2 2 2c ab cos C 2 2RsinC 2RsinA 2RsinB cosC ⇔= ⇔= ⇔= ⇔= 2 2 sin C sin A sin B cos C 2sinC cosC sin A sin B sin C () + ⇔= 2sin A B cotgC sin A sin B () () + ⇔= ⇔+= 2 sin A cos B sin B cos A cotgC sin A sin B 2 cotg B cotgA cotgC III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Gọi S: diện tích UABC R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC p: nửa chu vi của UABC thì ()()() abc 111 S a.h b.h c.h 222 111 S absinC acsinB bcsinA 222 abc S 4R Spr S ppapbpc === === = = =−−− Bài 195: Cho UABC chứng minh: 2 2S sin 2A sin 2B sin 2C R ++= Ta có: () sin2A+ sin2B + sin2C = sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) = 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) = 2sinA[cosA + cos(B - C)] = 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] = 2sinA.[2sinB.sinC] = 3 abc 1abc = 4. . . 2R 2R 2R 2 R == 32 14RS 2S 2 RR Bài 196 Cho UABC. Chứng minh : S = Diện tích (UABC) = () 22 1 asin2B bsin2A 4 + Ta có : () 1 S = dt ABC absin C 2 Δ= () + 1 =absinAB 2 [] + 1 = ab sin A cos B sinB cos A 2 () ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ + ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ⎡⎤ ⎣⎦ + 22 22 1a b = ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin) 2b a 1 = a sin B cos B+ b sin A cos A 2 1 = a sin 2B b sin 2A 4 Bài 197 : Cho ABC Δ có trọng tâm G và    GAB ,GBC ,GCA .= α=β=γ Chứng minh: ( ) 222 3a b c cotg + cotg +cotg = 4S ++ αβγ Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH AB⊥ AH AMH cos AM BH 2BH BHM cos B MB a Δ⊥⇒α= Δ⊥⇒== Ta có: AB = HA + HB () a cAMcos cosB 2 1a cos c cosB 1 AM 2 ⇔= α+ ⎛⎞ ⇔α= − ⎜⎟ ⎝⎠ Mặt khác do áp dụng đònh lý hàm sin vào AMBΔ ta có : MB AM 1 a sin MBsin B sin B (2) sin sin B AM 2AM =⇔α= = α Lấy (1) chia cho (2) ta được : − − α= a ccosB 2c a cos B 2 cotg = ab sin B a. 22R () ( ) − − +− +− 2 222 222 R4c 2accosB R4c 2acosB = = ab abc 3cba3cba = = abc 4S R [...]... cos >0) 2 2 2 2 b/ Ta có : Tương tự Do đó : Α IK r = ⇒ IA = A 2 IA sin 2 r r IB = ; IC = B C sin sin 2 2 3 r IA.IB.IC = A B C sin sin sin 2 2 2 Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ sin r3 = = 4Rr 2 (do kết quả câu a) r 4R Bà i 1 99: Cho ΔABC có đườ n g trò n nộ i tiế p tiế p xú c cá c cạ n h ΔABC tạ i A’, B’, C’ ΔA 'B 'C ' có cá c cạ n h là a’, b’, c’ và diệ n tích S’ Chứ n g minh: a' b ' C⎛ A B⎞ + = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ a b 2⎝... 4 sin sin 2 sin ⋅ 2 2 2 = 2 sin cos 2 sin B C A ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 C 2 C C cos 2 2 Bà i 200: Cho ΔABC có trọ n g tâ m G và tâ m đườ n g trò n nộ i tiế p I Biế t GI vuô n g gó c vớ i đườ n g phâ n giá c trong củ a BCA Chứ n g minh: a+b+c 2ab = 3 a+b Vẽ GH ⊥ AC, GK ⊥ BC, ID ⊥ AC IG cắ t AC tạ i L và cắ t BC tạ i N Ta có : Dt(ΔCLN) = 2Dt(ΔLIC) =ID.LC = r.LC (1) Mặ t khá c : Dt(ΔCLN) = Dt(ΔGLC) + Dt(ΔGCN) . CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho ABC Δ có a, b, c lần lượt là. α= Cách khác: Gọi S 1 , S 2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: +− α= 22 1 2 AMBMc cotg 4S

Ngày đăng: 13/12/2013, 18:16

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan