hệ thức lượng giác trong tam giác với phép biến đổi tuyến tính góc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - Phùng Thị Oanh HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH GÓC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 . 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng cơ bản 6 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Biến đổi tuyến tính góc dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Biến đổi tuyến tính góc dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Biến đổi tuyến tính góc dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5 Biến đổi tuyến tính góc dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng tổng quát 45 2.1 Một số biến đổi tuyến tính dạng tổng quát . . . . . . . . . 45 2.2 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 56 Các công trình có liên quan 57 Tài liệu tham khảo 58 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 LỜI NÓI ĐẦU Những bài toán liên quan đến các hệ thức trong tam giác thường có mặt trong các đề thi học sinh giỏi, các đề thi Đại học. Số lượng các hệ thức trong tam giác trong các tài liệu dành cho học sinh phổ thông là rất lớn, vì vậy học sinh dễ bị choáng ngợp, cảm thấy khó khăn khi giải dạng bài toán này. Học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu vì không thấy được mối liên hệ giữa các hệ thức lượng giác. Do đó cần có các phương pháp giúp học sinh phân loại và thấy được mối quan hệ giữa các hệ thức lượng giác trong tam giác. Như vậy số lượng các hệ thức lượng giác trong tam giác cần chứng minh sẽ giảm đi một cách đáng kể. Một trong các phương pháp phân loại và tạo ra hệ thức lượng giác trong tam giác là phương pháp biến đổi tuyến tính góc. Ý tưởng của phương pháp biến đổi tuyến tính góc là (xem [9]): Sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc để tạo ra tam giác mới A 1 B 1 C 1 từ tam giác ABC. Từ một hệ thức đã biết cho tam giác A 1 B 1 C 1 ta sẽ có một hệ thức mới trong tam giác ABC. Dạng tổng quát của phép biến đổi tuyến tính góc là: A 1 = k 11 A + k 12 B + k 13 C + λ 1 π, B 1 = k 21 A + k 22 B + k 23 C + λ 2 π, C 1 = k 31 A + k 32 B + k 33 C + λ 3 π, A 1 + B 1 + C 1 = π, A 1 > 0, B 1 > 0, C 1 > 0. Hệ bốn phương trình và ba bất đẳng thức trên chứa 12 hệ số k ij , λ i (i, j = 1, 2, 3) . Do đó, bằng cách chọn các bộ hệ số, ta sẽ có rất nhiều phép biến đổi tuyến tính góc. Các phép biến đổi tuyến tính góc được khai thác trong luận văn là: 1) A 1 = π − A 2 , B 1 = π − B 2 , C 1 = π − C 2 (A 1 B 1 C 1 nhọn), 2) A 2 = π − 2A, B 2 = π − 2B, C 2 = π − 2C (với ABC nhọn), 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 3) A 3 = A 2 , B 3 = B 2 , C 3 = π + C 2 (A 3 B 3 C 3 tù có góc C 3 > π 2 ), 4) A 4 = 2A, B 4 = 2B, C 4 = 2C − π (với ABC tù có C > π 2 ), 5) A 5 = π 2 − A, B 5 = π 2 − B, C 5 = π − C, Nội dung chính của luận văn gồm hai chương: Chương 1 Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng cơ bản Chương 1 đưa ra một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng cơ bản nhằm tạo mới các hệ thức lượng giác trong tam giác. Các hệ thức trong tam giác được lựa chọn từ các đề thi học sinh giỏi, các tạp chí Toán học, các đề thi Đại học và sáng tạo những bài mới từ những bài đã có. Chương 2 Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng tổng quát. Chương 2 xét các phép biến đổi tuyến tính góc dạng không đối xứng và sáng tạo ra những bài mới dựa trên những bài đã có. Một số phần trong nội dung luận văn đã được đưa vào trong [3] và được thông báo trong [1], [2]. Tất cả các bài tập đều được giải chi tiết trong [3]. Hy vọng Luận văn cũng cung cấp cho các Thầy giáo, các em học sinh một tài liệu về các hệ thức lượng trong tam giác theo phương pháp biến đổi tuyến tính góc, và thông qua đó, học sinh có thể sáng tạo ra nhiều hệ thức mới. Tác giả luận văn cũng hi vọng sẽ tiếp tục bổ sung và hoàn thiện thêm đề tài này trong quá trình giảng dạy toán ở trường phổ thông. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS-TS Tạ Duy Phượng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới người Thầy rất nghiêm khắc và tận tụy với công việc, đã truyền thụ những kiến thức cũng như kinh nghiệm cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài. Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học cùng các Thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học Toán K3 Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, các thầy cô tổ Toán - Tin trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ tôi hoàn thành bản luận văn này. Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên cứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên, do hạn chế về 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 thời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên 2011 Phùng Thị Oanh 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng cơ bản Trong đại dương mênh mông các đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác trong tam giác (và cả trong đại dương các sách về lượng giác hiện nay), chúng ta thường quan sát thấy những “cặp bài trùng”, tức là chúng có vẻ rất giống nhau. Thí dụ, với mọi tam giác ta luôn có: 1) (Vô địch Cộng hoà dân chủ Đức, 1965) cos A + cos B + cos C ≤ 3 2 ; (1.1) 2) (Đại học An ninh, 1996, Khối A) sin A 2 + sin B 2 + sin C 2 ≤ 3 2 ; (1.2) 3) cos A + 3B 4 + cos B + 3C 4 + cos C + 3A 4 ≤ 3 2 ; (1.3) 4) cos π + A 4 + cos π + B 4 + cos π + C 4 ≤ 3 2 ; (1.4) Giải thích như thế nào về sự giống nhau của các bất đẳng thức trên?- Có lẽ có nhiều cách giải thích. Với mỗi cách nhìn, ta có thể phát hiện ra những qui luật ẩn tàng bên trong sự giống nhau về vẻ ngoài của các hệ 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 thức. Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng giải thích sự giống nhau của những cặp bài trùng ấy dựa trên nhận xét sau đây: Thực chất các hệ thức lượng giác trên giống nhau là bởi vì chúng có thể nhận được từ nhau qua một biến đổi đại số, cụ thể là phép biến đổi tuyến tính của góc. Chương 1 xét một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng cơ bản. 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1 A 1 = A + (n − 1)B n , B 1 = B + (n − 1)C n , C 1 = C + (n − 1)A n . Mệnh đề 1.1. Cho A, B, C là ba góc của tam giác. Khi ấy A 1 = A + (n − 1)B n , B 1 = B + (n − 1)C n , C 1 = C + (n − 1)A n với n = 2, 3, cũng là ba góc một tam giác. Chứng minh Thật vậy, vì A, B, C là ba góc của tam giác nên 0 < A, B, C < π và A + B + C = π. Suy ra 0 < A 1 = A + (n − 1)B n < π + (n − 1)π n < π. Tương tự, 0 < B 1 , C 1 < π và A 1 + B 1 + C 1 = A + (n − 1)B n + B + (n − 1)C n + C + (n − 1)A n = π Chứng tỏ A 1 , B 1 , C 1 là ba góc của một tam giác. Mệnh đề 1.2. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Khi ấy A 1 = A + (n − 1)C n , B 1 = B + (n − 1)A n , C 1 = C + (n − 1)B n với n = 2, 3, cũng là ba góc của một tam giác. Mệnh đề 1.3. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Khi ấy A 1 = B + (n − 1)C n , B 1 = C + (n − 1)A n , C 1 = A + (n − 1)B n với n = 2, 3, cũng là ba góc của một tam giác. Với n = 2 ta có 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Hệ quả 1.1. Cho A, B, C là ba góc của tam giác. Khi ấy A 1 = B + C 2 , B 1 = C + A 2 , C 1 = A + B 2 cũng là ba góc của một tam giác. Chú ý 1.1. Vì A 1 = B + C 2 = π − A 2 nên 0 < A 1 = π − A 2 < π 2 và phép biến đổi tuyến tính góc A 1 = B + C 2 , B 1 = C + A 2 , C 1 = A + B 2 cũng là phép biến đổi tuyến tính góc A 2 = π − A 2 , B 2 = π − B 2 , C 2 = π − C 2 và A 2 B 2 C 2 là tam giác có ba góc nhọn. Nhận xét 1.1. Vì A 1 = π − A 2 nên sin A 1 = sin π − A 2 = cos A 2 (cos A 1 = sin A 2 , tan A 1 = cot A 2 , cot A 1 = tan A 2 ). Như vậy, từ một hệ thức chứa sin A 1 , sin B 1 , sin C 1 (tương ứng, chứa cos A 1 , cos B 1 , cos C; tan A 1 , tan B 1 , tan C 1 ; cot A 1 , cot B 1 , cot C 1 đúng cho tam giác A 1 B 1 C 1 ta sẽ suy ra một hệ thức chứa cos A 2 , cos B 2 , cos C 2 (tương ứng, chứa sin A 2 , sin B 2 , sin C 2 , cot A 2 , cot B 2 , cot C 2 , tan A 2 , tan B 2 , tan C 2 ) đúng cho tam giác ABC. Sử dụng Nhận xét 1.1, từ một hệ thức lượng giác trong tam giác đã biết, ta có thể tạo ra ngay một (một số) hệ thức lượng giác khác mà không phải chứng minh theo cách truyền thống (biến đổi lượng giác). Dưới đây là một số ví dụ minh họa. Bài toán 1.1. Chứng minh rằng với mọi tam giác ta luôn có cos A + cos B + cos C ≤ 3 2 Chứng minh Ta có cos A + cos B + cos C ≤ 3 2 ⇔ 3 2 − cos A −cos B −cos C ≥ 0 ⇔ 3 + 2 cos(B + C) − 2 cos B − 2 cos C ≥ 0 ⇔ 3 + 2 cos B cos C −2 sin B sin C − 2 cos B − 2 cos C ≥ 0 ⇔ 1 + sin 2 B + cos 2 B + sin 2 C + cos 2 C + 2 cos B cos C −2 sin B sin C − 2 cos B −2 cos C ≥ 0, luôn đúng. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều. Bài toán 1.2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có sin A 2 + sin B 2 + sin C 2 ≤ 3 2 Chứng minh 1 (Biến đổi lượng giác) sin A 2 + sin B 2 + sin C 2 ≤ 3 2 ⇔ 3 2 − sin A 2 − sin B 2 − sin C 2 ≥ 0 ⇔ 3 − 2 sin π − (B + C) 2 − 2 sin B 2 − 2 sin C 2 ≥ 0 ⇔ 3 − 2 cos B + C 2 − 2 sin B 2 − 2 sin C 2 ≥ 0 ⇔ 1 + sin 2 B 2 + cos 2 B 2 + sin 2 C 2 + cos 2 C 2 − 2(cos B 2 cos C 2 − sin B 2 sin C 2 ) − 2 sin B 2 − 2 sin C 2 ≥ 0 ⇔ (cos B 2 − cos C 2 ) 2 + (1 − sin B 2 − sin C 2 ) 2 ≥ 0, luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều. Chứng minh 2 (Biến đổi tuyến tính góc) Đặt A 1 = π − A 2 , B 1 = π − B 2 , C 1 = π − C 2 . Khi ấy A 1 , B 1 , C 1 là ba góc của một tam giác. Do đó Bài 1.1 đúng cho tam giác A 1 B 1 C 1 . Vì cos A 1 = sin A 2 , cos B 1 = sin B 2 , cos C 1 = sin C 2 nên ta có: sin A 2 + sin B 2 + sin C 2 = cos A 1 + cos B 1 + cos C 1 ≤ 3 2 , (đpcm) . Lời bình: Chứng minh 2 (biến đổi tuyến tính góc) rất đơn giản và gần như không đòi hỏi kiến thức gì, ngoài công thức quan hệ lượng giác của hai góc phụ nhau. Bài toán 1.3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC có ba góc nhọn ta có sin A + sin B + sin C cos A + cos B + cos C ≤ 1 3 (tan A tan B tan C). Chứng minh Không mất tổng quát, giả sử π 2 > A ≥ B ≥ C > 0. Do tính đồng biến của hàm số tan và tính nghịch biến của hàm số cos trên khoảng 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... minh 1 (Biến đổi lượng giác) Ta có sin 2A = − sin(2B − 2C) + sin 2A, suy ra B = C Vậy tam giác ABC cân đỉnh A Chứng minh 2 (Biến đổi tuyến tính góc) Nếu thêm điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn thì A2 = π − 2A, B2 = π − 2B, C2 = π − 2C cũng là ba góc của tam giác Khi đó hệ thức sin 2A = −2 sin 2B cos 2C trở thành sin A2 = 2 sin B2 cos C2 Theo Bài 1.24 tam giác A2 B2 C2 cân đỉnh A2 Do đó tam giác ABC... A = B = C = Vậy ABC là tam giác đều 3 Chứng minh 2 (Biến đổi tuyến tính góc) Nếu thêm điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn thì A2 = π − 2A, B2 = π − 2B, C2 = π − 2C cũng là ba góc của một tam giác Áp dụng Nhận xét 1.2 và Bài 1.1 cho tam giác A2 B2 C2 ta được 3 cos 2A + cos 2B + cos 2C = − cos A2 − cos B2 − cos C2 ≥ − 2 π−A Lời bình Như vậy, bằng phép biến đổi tuyến tính góc A1 = , 2 π−B π−C B1 =... đỉnh B 2 Kết luận: Các ví dụ trên cho thấy, chỉ nhờ một phép biến đổi tuyến tính π−A π−B π−C góc đơn giản A1 = , B1 = , C1 = và một nhận xét 2 2 2 đơn giản (Nhận xét 1.1), từ một hệ thức đã được chứng minh, ta có thể dễ dàng tạo ra và chứng minh một hệ thức mới trong tam giác Có thể tạo ra rất nhiều hệ thức khác nhờ sử dụng biến đổi tuyến tính góc dạng π−B π−C π−A A1 = , B1 = , C1 = Dưới đây là một... ba góc của một tam giác 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 Nhận xét 1.2 Vì cos A2 = cos(π − 2A) = − cos 2A nên từ một hệ thức chứa cos A2 , cos B2 , cos C2 của tam giác A2 B2 C2 ta có một hệ thức chứa cos 2A, cos 2B, cos 2C của tam giác ABC có ba góc nhọn Dựa trên Mệnh đề 1.4 và Nhận xét 1.2, ta dễ dàng tạo ra một hệ thức lượng giác mới trong tam giác. .. X 2 + với X = cos x, 3 2 π 0 < x < , 1 > X > 0 (do tam giác ABC có ba góc nhọn), ta có 2 1 1 5 4 3 f (X) = X − X 2 + ≥ f ( ) = Suy ra 3 2 2 12 4 1 5 3 3 3 (cos A + cos B + cos C) − (cos 2A + cos 2B + cos 2C) ≥ 3 2 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều Chứng minh 2 (Biến đổi tuyến tính góc) Tam giác ABC có ba góc nhọn nên A2 = π−2A, B2 = π−2B, C2 = π−2C là ba góc của một tam giác Áp... mục 1.2) Tuy nhiên, không phải với tam giác nào ta cũng áp dụng được phương pháp biến đổi góc cụ thể nào đó Thí dụ, phép biến đổi tuyến tính góc A2 = π − 2A, B2 = π − 2B, C2 = π − 2C đòi hỏi thêm điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn Bài toán 1.18 Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu 1 1 1 + + = 2 2 sin A sin B sin2 C 1 B C A 2 sin sin sin 2 2 2 Chứng minh Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 1 2 + ≥... trong mọi tam giác ABC ta có sin B sin C sin A + + sin B + sin C + 1 sin A + sin C + 1 sin B + sin A + 1 +(1 − sin A)(1 − sin B)(1 − sin C) ≤ 1 1.3 Biến đổi tuyến tính góc dạng 3 A B π+C , B3 = , C3 = 2 2 2 A Mệnh đề 1.5 Nếu A, B, C là ba góc của tam giác ABC thì A3 = , 2 B π+C B3 = , C3 = cũng là ba góc của tam giác tù A3 B3 C3 với 2 2 π π+C < C3 = < π 2 2 Chứng minh Vì A, B, C là ba góc của tam giác. .. xét 1.2, ta dễ dàng tạo ra một hệ thức lượng giác mới trong tam giác có ba góc nhọn từ một hệ thức đã biết cho tam giác có ba góc bất kì Các ví dụ dưới đây minh họa điều đó Bài toán 1.17 Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây đúng với mọi tam giác ABC 3 cos 2A + cos 2B + cos 2C ≥ − 2 Chứng minh 1 (Biến đổi lượng giác) Với mọi tam giác ABC ta có: 3 cos 2A + cos 2B + cos 2C + 2 3 = 2 cos(A + B) cos(A −... B + C − A nên phép biến đổi A2 = π − 2A, B2 = π − 2B, C2 = π − 2C cũng là phép biến đổi A3 = B + C − A, B3 = C + A − B, C3 = A + B − C Để A3 B3 C3 là ba góc của một tam π giác thì A3 = B + C − A > 0 hay A3 = B + C − A = π − 2A > 0, A < 2 π π Tương tự, B < , C < Vậy để phép biến đổi A3 = B + C − A có nghĩa 2 2 thì ABC phải là tam giác có ba góc nhọn Bài toán 1.26 Chứng minh rằng tam giác ABC cân khi... đẳng thức đúng với mọi tam giácABC Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   π cos(A − B) = 1 C = 4 1 ⇔ cos C = √ A = B = 3π 2 8 Nhận xét 1.5 Vì sin A2 = sin(π−2A) = sin 2A, sin B2 = sin 2B, sin C2 = sin 2C nên từ một hệ thức chứa sin A2 , sin B2 , sin C2 của tam giác A2 B2 C2 ta có một hệ thức chứa sin 2A, sin 2B, sin 2C của tam giác ABC có ba góc nhọn Bài toán 1.23 Chứng minh rằng với mọi tam giác . Một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng cơ bản Chương 1 đưa ra một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng cơ bản nhằm tạo mới các hệ thức lượng giác trong tam giác. Các hệ thức trong tam giác được. pháp biến đổi tuyến tính góc là (xem [9]): Sử dụng phép biến đổi tuyến tính góc để tạo ra tam giác mới A 1 B 1 C 1 từ tam giác ABC. Từ một hệ thức đã biết cho tam giác A 1 B 1 C 1 ta sẽ có một hệ. nhận được từ nhau qua một biến đổi đại số, cụ thể là phép biến đổi tuyến tính của góc. Chương 1 xét một số phép biến đổi tuyến tính góc dạng cơ bản. 1.1 Biến đổi tuyến tính góc dạng 1 A 1 = A + (n