đồng nhất thức và bất đẳng thức trong tam giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNguyễn Thị Út ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC SOME IDENTITIES AND INEQUALITIES OF TRIANGLES Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Nguyễn Thị Út

ĐỒNG NHẤT THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG TAM GIÁC

SOME IDENTITIES AND INEQUALITIES

OF TRIANGLES

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đàm Văn Nhỉ

Thái Nguyên - 2012

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đàm Văn Nhỉ

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Ngày tháng năm 2012

Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Bất đẳng thức qua tam thức bậc hai 4

1.2 Bất đẳng thức Jensen 5

1.3 Bất đẳng thức Karamata, Schur, Muirheard 8

1.4 Một vài hàm tự chọn 12

Chương 2 Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức trong tam giác 14 2.1 Đa thức bậc ba liên quan đến tam giác 14

2.2 Một số bất đẳng thức trong tam giác 25

2.3 Một số bài toán nhận dạng tam giác 37

Chương 3 Trình bày một số kết quả của J.Liu [8] và của Klamkin [7] 43 3.1 Khai thác bài toán véc tơ trong mặt phẳng 43

3.2 Trình bày lại kết quả bài báo của J.Liu 51

3.2.1 Một số định lý 51

3.2.2 Một vài bổ đề 52

3.2.3 Chứng minh ba định lý trên 53

3.3 Trình bày bất đẳng thức của Klamkin 55

Kết luận 59

Tài liệu tham khảo 60

Mở đầu

Đồng nhất thức và bất đẳng thức trong tam giác là một chuyên mụchấp dẫn đối với những người quan tâm tới Hình sơ cấp Đây là một mảnhđất đã được cày xới quá nhiều qua năm tháng Vấn đề đặt ra: Làm thếnào để có đồng nhất thức và bất đẳng thức mới trong tam giác

Tam giác là một hình quen thuộc đối với tất cả mọi người Thôngthường, khi xét bài toán hình học người ta thường phải dùng đến thước

kẻ, compa và giải quyết bài toán ấy qua hình vẽ Nhưng cách làm nhưvậy rất khó phát hiện ra hệ thức mới Chúng ta càng khó xây dựng đượcbài toán với nhiều đại lượng của tam giác Do có quá nhiều kết quả trongtam giác nên xuất hiện câu hỏi thứ nhất: Có thể xây dựng được kết quảmới hay không? Nhiều người sử dụng lượng giác, hình vẽ, phương phápdiện tích,v.v để tạo ra kết quả Theo chúng tôi, những cách xây dựngnhư vậy rất khó đưa ra hệ thức cho tam giác mà có nhiều thành phầntham gia Rất tự nhiên, xuất hiện câu hỏi thứ hai: Xây dựng kết quảnhư thế nào? Bài toán đặt ra: Xây dựng đồng nhất thức và bất đẳngthức trong tam giác Với luận văn này, chúng tôi mong muốn giải quyếtđược một phần nào đó thuộc bài toán trên

Luận văn được chia ra làm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này tập trung trình bày về một số bất đẳng thức Nó bao gồmcác mục: Bất đẳng thức qua tam thức bậc 2, bất đẳng thức Jensen quahàm lồi và bất đẳng thức Muirheard, Karamata Ngoài ra, để phát hiện

ra một số bất đẳng thức khác nữa cho tam giác chúng tôi đã chọn ramột số hàm tương ứng với mục đích đặt ra

Chương 2 Một số đồng nhất thức và bất đẳng thức trongtam giác

Đây là nội dung trọng tâm của luận văn Nó bao gồm các mục sau: Mục

2.1 tập trung xây dựng một số đa thức bậc ba liên quan tam giác Từnhững đa thức này ta đã có thể phát hiện ra một số đồng nhất thức

và bất đẳng thức mới trong tam giác Mục 2.2 tập trung xây dựng vàchứng minh lại một số bất đẳng thức trong tam giác qua việc sử dụngcác kết quả ở Chương 1 Từ các kết quả đạt được chúng ta sẽ phát hiện

ra những tam giác đặc biệt với điều kiện ban đầu đặt ra ở Mục 2.3

Chương 3 Trình bày một số kết quả của J.Liu [8] và củaKlamkin [7]

Chương này dành để trình bày việc khai thác một bài toán véc tơ trongmặt phẳng ở Mục 3.1 Mục 3.2 trình bày lại một số kết quả của J Liutrong bài báo [8] Mục 3.3 trình bày lại kết quả của Klamkin trong [7].Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tìnhcủa PGS,TS Đàm Văn Nhỉ Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫncủa thầy

Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy, Cô giáo trong Trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại họcKhoa học Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao họcToán K4 Trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tôi trong quátrình học tập và làm luận văn này

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân, điều kiện thời gian và khuônkhổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứukhông tránh khỏi những khiếm khuyết.Tác giả rất mong được sự chỉ dạy

và đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo và quý vị bạn đọc đóng góp

ý kiến để luận văn được hoàn thành tốt hơn

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Út

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Bất đẳng thức qua tam thức bậc hai

Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c, a 6= 0, ∆ = b2 − 4ac Ta cócác kết quả sau đây:

Định lý 1.1.1 f (x) > 0 với ∀x khi và chỉ khi  a > 0

1.2 Bất đẳng thức Jensen

Mục này trình bày Bất đẳng thức Jensen Nó sẽ được sử dụng đểchứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác Trước tiên ta chứngminh bất đẳng thức này

Định nghĩa 1.2.1 Hàm số y = f (x) được gọi là hàm lồi, (xuống phíadưới), trong khoảng (a; b) nếu với mọi a < x1, x2 < b và mọi α ∈ (0; 1)luôn có bất đẳng thức:

αf (x1) + (1 − α)f (x2) > f αx1 + (1 − α)x2

Định nghĩa 1.2.2 Hàm số y = f (x) được gọi là hàm lõm, (lên phíatrên), trong khoảng (a; b) nếu với mọi a < x1, x2 < b và mọi α ∈ (0; 1)luôn có bất đẳng thức:

αf (x1) + (1 − α)f (x2) 6 f αx1 + (1 − α)x2

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử y = f (x) xác định và liên tục trong (a; b) với a <

b Hàm y = f (x) là lồi trong khoảng (a; b) khi và chỉ khi f (x) − f (x1)

x − x1 6

f (x2) − f (x)

x2 − x hoặc

1 x1 f (x1)

1 x f (x)

1 x2 f (x2)

... 2

Một số đồng thức bất đẳng thức tam giác< /h3>

Mục tập trung trình bày phương pháp phát đồngnhất thức bất đẳng thức tam giác qua phương trình đa thứcbậc ba

2.1 Đa thức bậc ba... a2b2c5 Bất đẳng thức tương đương vớibất đẳng thức M(6,3,0)(a) > M(5,2,2)(a)

Ví dụ 1.3.5 Với ba số thực dương a, b, c, ta có bất đẳng thức:

a3... class="page_container" data-page="14">

Chứng minh Với n = ta có đẳng thức xảy Giả sử bất đẳng thức? ?úng đến n = k > ta chứng minh bất đẳng thức đến n =

k + Thật ta có (1 + x)k+1 =