Các bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác và ứng dụng

Những miền con của G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam gi|c vuông... MỞ ĐA ̀UTrong hoạt động dạy v{ học của nh{ trường, vấn đề tìm tòi đúc kết n}ng tầm giải to|n th

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

HÀ TRỌNG HẬU

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM

GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

H{ Nội – Năm 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

HÀ TRỌNG HẬU

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM

GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ng{nh: Phương pháp toán sơ ca ́p M~ số: 604640

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LE ĐÌNH ĐỊNH

MỤC LỤC

MỞ ĐA ̀U 5

LỜI CẢM ƠN 7

NHỮNG KÍ HIE ̣U DÙNG TRONG 8

LUA ̣N VA N 8

Chương 1: 9

KIE ́N THỨC CHUA ̉N BỊ 9

1.1 Định lí hàm so ́ sin: 9

1.2 Định lí hàm so ́ cos: 9

1.3 Định lí hàm so ́ tan: 9

1.4 Co ng thức tính die ̣n tích tam giác: 10

1.5 Co ng thức tính bán kính: 10

1.6 Co ng thức đường trung tuye ́n : 11

1.7 Co ng thức pha n giác trong: 11

1.8 Co ng thức hình chie ́u: 11

1.9 Mo ̣t so ́ đa ̉ng thức cơ bản trong tam giác 11

1.10 Một số bất đẳng thức cơ bản 17

1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy 17

1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) 17

1.10.3 Bất đẳng thức TrêBưSep 18

Chương 2: 20

TÌM MÓI LIE N HE ̣ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 20

2.1 Đưa v{o những thông số thích hợp cho tam gi|c 20

2.1.1 Đưa tho ng so ́ mới vào tam giác 20

2.1.2 Những đại lượng biểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình (2.1.1) 22

2.1.3 Những miền con của G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam gi|c vuông 24

2.1.4 Tìm biểu thức của những đại lượng cơ bản trong tam gi|c thông qua thông số p,x,y 26

2.1.5.Tìm mối liên hệ giữa những đại lượng trong một tam gi|c 28

2.2 Phương trình ba ̣c ba theo các ye ́u to ́ trong tam giác 35

2.2.1 Phương trình ba ̣c ba theo ye ́u to ́ cạnh của tam giác 35

Chương 3: 60

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 60

3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin 60

3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh c|c bất đẳng thức trong tam gi|c 66

3.3 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh c|c bất đẳng thức trong tam gi|c 74

3.4 Phương pháp chứng minh ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác nhờ ba ́t đa ̉ng thức Jenxen 81

KẾT LUẬN 94

T{iliệuthamkhảo 95

MỞ ĐA ̀U

Trong hoạt động dạy v{ học của nh{ trường, vấn đề tìm tòi đúc kết n}ng tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n

ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học

dễ tiếp thu v{ có nhiều cơ hội s|ng tạo, đó cũng chính l{ đổi mới phương ph|p dạy học

L{ gi|o viên giảng dạy ở bộ môn to|n trung học phổ thông, chúng tôi đ~ gặp nhiều trắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ thông trung học Vì mỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch giải thể hiện kh|i niệm to|n học của nó Trong c|c c|ch giải kh|c nhau đó,

có c|ch giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có c|ch giải thể hiện tính s|ng tạo của to|n học

Những va ́n đe ̀ lie n quan đe ́n tam giác luo n là va ́n đe ̀ hay và khó ở pho ̉ tho ng đo ́i với cả người dạy và người học Vì các he ̣ thức trong tam giác rát nhie ̀u, phong phú và đa dạng Trong lua ̣n va n này chúng to i xin đưa ra mo ̣t

so ́ cách pha n loại các he ̣ thức, cách tìm ra các he ̣ thức trong tam giác đẻ người học tha ́y va ́n đe ̀ bản cha ́t hơn

Lua ̣n va n được chia làm ba chương:

Chương 1: KIe ́n thức chuâ ̉n bị

- Chương này he ̣ tho ́ng lại các định lí, co ng thức và mo ̣t so ́ đa ̉ng thức, ba ́t

đa ̉ng thức cơ bản nha ́t của tam giác như định lí hàm só sin, hàm só cos,…, các co ng thức tính die ̣n tích, đường cao bán kính…

- Pha ̀n 1.9 he ̣ tho ́ng lại những đa ̉ng thức ve ̀ ye ́u to ́ góc cơ bản trong tam giác

- Pha ̀n 1.10 ne u lại mo ̣t so ́ ba ́t đa ̉ng thức cơ bản dùng trong lua ̣n va n đe ̉ chứng minh các bài toán ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác

Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác

Trong chương này đưa ra hai cách đe ̉ tìm được các he ̣ thức trong tam giác

Cách thứ nhát là đưa vào tho ng so ́ thích hợp cho tam giác

Cách thứ hai là chỉ ra các yéu tó trong tam giác là nghie ̣m của phương trình ba ̣c ba tương ứng từ đó dựa vào tính chát nghie ̣m tìm ra các he ̣ thức trong tam giác

2.1 Đưâ vào những thông số thích hợp cho tâm giác

Ta sẽ xa y dựng ra các đa ̉ng thức và ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác Thie ́t la ̣p

ra các co ng thức của các ye ́u to ́ trong tam giác như góc, đo ̣ dài trung

tuye ́n, đo ̣ dài đường cao, đo ̣ dài các loại bán kính, co ng thúc die ̣n tích Áp dụng đẻ giải mo ̣t só bát đảng thức trong tam giác

2.2 Phương trình bâ ̣c bâ theo cấc ye ́u to ́ trong tâm giấc

Các yéu tó trong tam giác có thẻ bién đỏi theo ba đại lượng, có thẻ gọi là

ba đại lượng cơ bản của tam giác đó là R, r, p Ta sẽ chỉ ra ra ̀ng các ye ́u to ́ của tam giác (cạnh, đường cao, hàm só lượng giác của các góc…) là

nghie ̣m của phương trình ba ̣c ba mà he ̣ so ́ theo ba ye ́u to ́ cơ bản của tam giác

Chương 3Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tâm giác

Chương này là dùng kie ́n thức pho ̉ tho ng, các bát đảng thức quen thuo ̣c như mie ̀n giá trị của hàm sin, hàm cos, ba ́t đa ̉ng thức Cauchy, ba ́t đa ̉ng thức Chebyshev, bất đẳng thức Jenxen đẻ chứng minh cũng như xa y dựng các bát đảng thức trong tam giác Pha ̀n này là đúc rút của chúng to i qua quá trình bòi dưỡng , dạy o n thi Đại học và học sinh giỏi

LỜI CẢM ƠN

Lua ̣n va n được hoàn thành dưới sự hướng da ̃n ta ̣n tình của Tha ̀y, Ts Lê Đình Định Tha ̀y đã he ́t lòng giúp đỡ, dạy bảo, đo ̣ng vie n trong suo ́t quá trình học ta ̣p cũng như làm lua ̣n văn To i xin gửi tới Tha ̀y lời cảm ơn sa u

sa ́c nha ́t!

To i xin bày tỏ lời cảm ơn cha n thành đe ́n ta ́t cả các tha ̀y co trong khoa toán – cơ – tin của trường ĐHKHTN – ĐHQGHN đã chỉ bảo ta ̣n tình trong suo ́t quá trình to i học ta ̣p tại trường

Nha n dịp này, cho to i bày tỏ lòng bie ́t ơn tới gia đình, cảm ơn tới bạn bè đã co ̉ vũ, đo ̣ng vie n to i trong suo ́t quá trình học

Do thời gian có hạn, trình đo ̣ bản tha n còn hạn ché ne n lua ̣n va n kho ng the ̉ kho ng có những thiéu sót To i ra ́t mong được sự đóng góp ý kie ́n của tha ́y co và các bạn đe ̉ lua ̣n va n được hoàn thie ̣n hơn Xin cha n thành cảm

ơn

Vĩnh Phúc, 10\05\2013

Hà Trọng Ha ̣u

NHỮNG KÍ HIE ̣U DÙNG TRONG

LUA ̣N VĂN

∆ 𝐴𝐵𝐶 ∶ Tam giác ABC

A, B, C : Các đỉnh của tam giác hay só đo góc trong tam giác ABC

a, b, c : Đo ̣ dài các cạnh đói die ̣n các góc A, B, C

𝑙𝑎, 𝑙𝑏,𝑙𝑐: Đo ̣ dài các đường pha n giác trong xuát phát từ A, B, C

𝑅: Đo ̣ dài bán kình đường tròn ngoại tiép ∆ 𝐴𝐵𝐶

𝑟: Đo ̣ dài bán kính đường tròn no ̣i tiép ∆ 𝐴𝐵𝐶

𝑟𝑎, 𝑟𝑏, 𝑟𝑐: Đo ̣ dài bán kính đường tròn bàng tiép trong các góc A, B, C của

∆ 𝐴𝐵𝐶

𝑝: Nửa chu vi

𝑆: Die ̣n tích tam giác

Chương 1:

KIE ́N THỨC CHUA ̉N BỊ

1.1 Định lí hầm so ́ sin:

𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴 =

𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 =

𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2𝑅.

1.2 Định lí hầm so ́ cos:

1.4 Công thức tính die ̣n tích tâm giấc:

= 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) (co ng thức He-ron)

1.5 Công thức tính bấn kính:

 Bán kính đường tròn ngoại tiép

2𝑠𝑖𝑛𝐴 =

𝑏2𝑠𝑖𝑛𝐵 =

𝑐2𝑠𝑖𝑛𝐶 =

𝑎𝑏𝑐4𝑆

 Bán kính đường tròn no ̣i tiép

= 𝑆𝑝

 Bán kính đường tròn bàng tiép:

1.6 Công thức đường trung tuye ́n :

𝑚𝑎2 =𝑏

2 + 𝑐2

𝑎24

𝑚𝑏2 = 𝑐

2 + 𝑎2

𝑏24

𝑙𝑐 = 2𝑎𝑏

𝑎 + 𝑏𝑐𝑜𝑠

𝐶2

𝑙𝑎 = 2𝑏𝑐

𝑏 + 𝑐𝑐𝑜𝑠

𝐴2

1.8 Công thức hình chie ́u:

1.9Mo ̣t so ́ đâ ̉ng thức cơ bẩn trong tâm giấc

Bài tập 1.9.1Chứng minh ra ̀ng trong mọi ∆𝐴𝐵𝐶 ta luo n có:

Chứng minh

Cách chứng minh của bón bài là tương tự nhau, ta chứng minh bài

1.9.2.3 các bài còn lại tương tự

Bài 1.9.3.6 là bài tỏng quát của bài 1.9.2.1 chứng minh tương tự

bài1.9.3.5

Bài 1.9.3.7 là bài tỏng quát của bài 1.9.2.2

Bài tâ ̣p 1.9.4 Chứng minh ra ̀ng với x, y, z là ba góc ba ́t kì ta có những

đa ̉ng thức sau

1.9.4.1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑧 − 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

Bài tập 1.9.4.2 Chứng minh tương tự bài1.9.4.1

Bài tập 1.9.4.3Ta có 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑧 − 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

=𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 −

𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

= −𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛(𝑦 + 𝑧)𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑧)𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

Bài tâ ̣p 1.9.4.4 tương tựbài1.9.4.3

Nhâ ̣n xét : Thay{ 𝑥, 𝑦, 𝑧} trong các co ng thức của bài ta ̣p 1.9.4 bởi

thức của bài tập 1.9.1; bài tập 1.9.2; bài tập 1.9.3

1.10 Một số bất đẳng thức cơ bản

1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy

Cho n số không }m𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 Ta có bất đẳng thức :

𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛

𝑛 = 𝑎𝑛 1𝑎2… 𝑎𝑛.Dấu đẳng thức xảy ra khi v{ chỉ khi 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛

1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S)

Cho n cặp số bất kỳ 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛; 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛

Ta có bất đẳng thức:

(𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2+ … + 𝑎𝑛𝑏𝑛)2 ≤ (𝑎12+𝑎22+ ⋯ + 𝑎𝑛2)(𝑏12+𝑏22+ ⋯ + 𝑏𝑛2) Hay gọn hơn :

( 𝑎𝑖𝑏𝑖

𝑛 𝑖=1

)2 ≤ ( 𝑎𝑖2

𝑛 𝑖=1

)( 𝑏𝑖2

𝑛 𝑖=1

)

Dấu đẳng thức xảy ra khi v{ chỉ khi :

∃𝑘: 𝑎𝑖 = 𝑘𝑏𝑖 (∗)

Với 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (Nếu 𝑏𝑖 ≠ 0 ∀𝑖 (∗) lược viết : 𝑎1

𝑏1 = 𝑎2

𝑏2 = ⋯ = 𝑎𝑛

𝑏𝑛)

1.10.3 Bất đẳng thức TrêBưSep

Cho hai d~y số sắp thứ tự giống nhau:

≥ (1

𝑛 𝑎𝑖

𝑛 𝑖=1

)(1

𝑛 𝑏𝑖

𝑛 𝑖=1

)( 𝑏𝑖

𝑛 𝑖=1

1.10.4 Bâ ́t đâ ̉ng thức Jenxen

Ba ́t đa ̉ng thức Jenxen là ba ́t đa ̉ng thức áp dụng cho hàm so ́ lo ̀i Trước he ́t xin nha ́c lại định nghĩa hàm lo ̀i

1.10.4.1 Cho hàm so ́ 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định tre n [a, b] Hàm f được gọi là lòi

tre n đó ne ́u thỏa mãn đie ̀u kie ̣n sau đa y :

∀𝑥1,𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏), ∀𝑚, 𝑛 ≥ 0: 𝑚 + 𝑛 = 1, thì

𝑓(𝑚𝑥1 + 𝑛𝑥2) ≤ 𝑚𝑓(𝑥1) + 𝑛𝑓(𝑥2)

1.10.4.2Hàm só 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định tre n [a, b] gọi là lõm tre n đó, ne ́u như

−𝑓(𝑥) là lòi

Đie ̀u kie ̣n đủ dùng đe ̉ xét xem khi nào mo ̣t hàm so ́ là lo ̀i (hoa ̣c lõm)

 Cho f(x) là hàm liên tục đe ́n đạo hàm ca ́p hai tre n (a, b)

*Ne ́u như f’’(x)> 0∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) thì f(x) là hàm lòi tre n (a, b)

*Ne ́u như f’’(x)< 0∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) thì f(x) là hàm lõm tre n (a, b)

1.10.4.3 Ba ́t đa ̉ng thức Jenxen

Cho f (x) là hàm lòi tre n [a, b] Giả sử 𝑥1,𝑥2,………,𝑥𝑛 ∈ [𝑎, 𝑏] và 𝑘𝑖 > 0, 𝑖 =

1, 2, … , 𝑛; 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘𝑛 = 1 Chứng minh ra ̀ng

𝑓 𝑘𝑖𝑥𝑖

𝑛 𝑖=1

≤ 𝑘𝑖𝑓(𝑥𝑖)

𝑛 𝑖=1

He ̣ quẩ: Trong ba ́t đa ̉ng thức Jenxen la ́y𝑘1 = 𝑘2 = … = 𝑘𝑛 = 1

𝑛, khi đó ne ́u f(x) là lòi tre n [a, b], ta có ba ́t đa ̉ng thức sau:

TÌM MỐI LIÊN HỆ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢNG

TRONG TAM GIÁC

2.1 Đưâ vào những thông số thích hợp cho tâm giác

Ta ký hiệu 𝑐 và 𝑎 là độ dài tương ứng cạnh lớn nhất và nhỏ nhất của một tam

giác Còn 𝑏 là cạnh thứ ba của nó Khi đó

3 4𝑏 – (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 𝑏 + 2𝑏 − (𝑎 + 𝑐) < 𝑏 + 2(𝑎 + 𝑐) − (𝑎 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ,

5 Ta nhân ba bất đẳng thức sau 𝑎 − 𝑏 ≤ 0, 𝑐 − 𝑏 ≥ 0, 8 > 0, ta nhận được 8𝑏2 + 8𝑎𝑐 − 8𝑏𝑐 − 8𝑎𝑏 ≤ 0, mà nó có thể viết lại được

5𝑏2 − 3𝑎2 − 3𝑐2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

≤ 2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (3𝑏 − 𝑎 − 𝑐) − (3𝑏 − 𝑎 − 𝑐)2Hoặc là

4 Ta viết bất phương trình 8𝑦 > 8𝑥 vào dạng (𝑥 + 1)2 > 𝑥2 + 10𝑥 + 1 −

8𝑦 hoặc là vì (2.1.3) và (2.1.5) có dạng 𝑥 + 1 > 𝑡, nó có thể viết lại

Ta có thể nói p bằng nửa chu vi tam giác là phần tử tuyến tính Thông số 𝑥 và

𝑦 là những đại lượng góc Với sự cố định một 𝑥 và một 𝑦 thỏa mãn

0 < 𝑥 < 1; 𝑥 < 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2 (2.1.10) Thì tất cả những tam giác (𝑥, 𝑦, 𝑝) là đồng dạng Bất đẳng thức (2.1.10) xác

định trong hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 một miền giới hạn bởi đường thẳng 𝑦 = 𝑥 và

parabol 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, nhưng không tính những điểm nằm trên đoạn OM, còn

những điểm nằm trên cung OM trừ hai điểm đầu đều thuộc tập G tương ứng với vô hạn những tam giác, mà chúng đồng dạng với cùng một tam giác Những điểm của miền G xác định tất cả những tam giác với những lớp đồng dạng

2.1.3 Những miền con củâ G, tương ứng với những tâm giác tù, tâm giác nhọn và tâm giác vuông

Ta ký hiệu 𝐶 là góc lớn nhất của tam giác, ta có

Phần đồ thị của hàm 𝑦 = −7x2− 10x−1

(x−3) 2 , 0 < 𝑥 < 1, nằm trong miền G, thể hiện như một cung đường cong T, mà nó cắt đường parabol 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 tại điểm M và P( 3- 2 2 , 8 2 - 11)

1 Những tam giác vuông nhận được với tất cả những điểm trong miền

3 − 2 2 ≤ 𝑥 < 1, 𝑦 = −7𝑥

2 − 10𝑥 − 1(𝑥 − 3)2

Với những điểm trên cung PM của T trừ điểm M

2 Những tam giác tù nhận được từ những điểm trong miền

0 < 𝑥 < 3 − 2 2, 𝑥 < 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2,

𝑥 = 3 − 2 2, 3 − 2 2 < 𝑦 < 8 2 – 1 (2.1.12)

3 − 2 2 < 𝑥 < 1, 𝑥 < 𝑦 < −7𝑥

2 − 10𝑥 − 1(𝑥 − 3)2

nghĩa là tất những điểm giới hạn bởi đường cong T, đường thẳng 𝑦 = 𝑥, và parabol 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2

3 Những tam giác nhọn nhận được từ những điểm trong miền

3 Bình phương 2 vế đẳng thức trên, ta nhận được dạng

𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 Như vậy ta nhận được cung parabol:

Kết luận, tất cả những tam giác cân tương ứng với những điểm trên cung parabol OM Điểm Q tương ứng với những tam giác đều Đặc biệt những tam giác nhọn đều tương ứng nằm trong miền 3 − 2 2 < 𝑥 < 1, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, những tam giác tù đều tương ứng nằm trong miền 0 < 𝑥 < 3 − 2 2, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, tam giác vuông đều tương ứng tại điểm P

2.1.4 Tìm biểu thức của những đại lượng cơ bản trong tâm giác

thông quâ thông số p,x,y

2.1.4.1.Diện tích S của tam giác theo công thức Heron

2.1.4.7 Những góc của tam giác theo mối liên hệ 𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑎𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝐵 =

Ta nhận được

(𝑥 + 1)( 3 − 𝑥 + 𝑡) , 𝑐𝑜𝑠𝐴 =

𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 3 − 𝑥 𝑡(𝑥 + 1)( 3 − 𝑥 + 𝑡)

2.1.4.8 Bán kính đường tròn ngoại tiếp từ công thức

2.1.5.Tìm mối liên hệ giữa những đại lượng trong một tâm giác

Qua những thông số ta đưa vào có thể tìm ra hang loạt mối liên hệ giữa những đại lượng của một tam giác Hoặc dung các thông số để chứng minh hàng loạt các đẳng thức và bất đẳng thức giữa các đại lượng của một tam giác một

cách giải tích Chú ý rằng khi sử dụng x và y chúng phải thỏa mãn (2.1.10)

Hãy chứng minh rằng trong mọi tam giác đều thỏa mãn những bất đẳng thức sau:

3 Trong trường hợp này vế phải của (2 1.24) có giá trị 5

9, như vậy đẳng thức công thức ta chứng minh chỉ xảy ra khi tam giác đều

Nhưng bất đẳng thức này tương đương với 1 − 𝑥2 > 0 và hiển nhiên đúng

(1 − 𝑥)(3𝑥 − 1)2 ≥ 0 và hiển nhiên đúng Dễ thấy rằng bất đẳng thức ban đầu trở thành đẳng thức khi tam giác đó đều

(x2 – 4x − 1+4y)2 + 3 (x − 1)2t2 ≥ 0 và hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi

𝑥 và 𝑦 thỏa mãn hai phương trình 𝑥2 – 4𝑥 − 1 + 4𝑦 = 0, 𝑥2+10𝑥 + 1 −8𝑦 = 0, mà nó xảy ra khi 𝑥 =1

Nhưng bất phương trình này biến đổi về dạng (2.1.26) và như vậy

đúng, đẳng thức chỉ xảy ra khi tam giác đều

bất đẳng thức này chứng minh như bất đẳng thức (2.1.24)

ví dụ 2.1.8 Trong những tam giác tù bất đẳng thức sau đúng:

Ta cần chứng minh bất đẳng thức (2.1.32) đúng với mọi x và y, mà chúng thỏa mãn (2.1.12)

Với 0 < 𝑥 < 3 − 2 2 bất đẳng thức (2.1.32) đúng nếu bất phương trình sau đúng:

Với 𝑥 > 3 − 2 2 bất đẳng thức (2.1.32) đúng, nếu bất phương trình sau đúng

− 7𝑥

2 − 10𝑥 − 1 (𝑥 − 3)2 < 𝑥

2 + 2𝑥 − 45 + 32 2

2nhưng bất đẳng thức sau cùng biến đổi tương đương vào dạng

( 𝑥 − 3 − 2 2 )[(𝑥 − 2 2 + 1)2 + 16 ( 2 − 1)] > 0

Bài tập áp dụng

Bài tập 2.1.1 Chứng minh những đẳng thức sau:

a.𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 4𝑆(𝑐𝑜𝑡⁡𝐴 + 𝑐𝑜𝑡⁡𝐵 + 𝑐𝑜𝑡⁡𝐶);

b 𝑎𝑏𝑐 = 4𝑟𝑅 𝑟𝑎𝑟𝑏 + 𝑟𝑏𝑟𝑐 + 𝑟𝑐𝑟𝑎 ;

Bài tập 2.1.2 Chứng minh rằng

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 8R2là điều kiện cần và đủ để một tam giác là vuông

Bài tập 2.1.3 Hãy chứng minh những bất đẳng thức sau:

2.2Phương trình bâ ̣c bâ theo cấc ye ́u to ́ trong tâm giấc

Các yéu tó trong tam giác có thẻ bién đỏi theo ba đại lượng, có thẻ gọi là

ba đại lượng cơ bản của tam giác đó là R, r, p Ta sẽ chỉ ra ra ̀ng các yéu tó của tam giác (cạnh, đường cao, hàm só lượng giác của các góc…) là

nghie ̣m của phương trình ba ̣c ba mà he ̣ so ́ theo ba ye ́u to ́ cơ bản của tam giác

2.2.1 Phương trình bâ ̣c bâ theo ye ́u to ́ cậnh củâ tâm giấc

2.2.1.1 Phương trình bâ ̣c bâ củâ bâ cậnh tâm giấc

Theo co ng thức die ̣n tích thìS =abc

tcó được (2.1.1.2)

Từ hai phương trình (2.1.1.1) và (2.1.2.2) và sử dụng tích chát vè

nghie ̣m của phương trình ba ̣c ba ( theo định lí Vi-et), ta thu được các he ̣ thức sau trong mo ̣t tam giác

− 3p

2 + r2 + 2Rr8pR2r2

Đẳng thức 17

Phương trình ba ̣c ba của p − a, p − b, p − c là t3 − pt2 + r(r + 4R)t −

pr2 = 0.(2.1.2.1) Từ đa y de ̃ dàng có được 1

Từ hai phương trình (2.1.2.1) và (2.1.2.2)sử dụng các tính cha ́t ve ̀

nghie ̣m của phương trình ba ̣c ba, ta thu được các he ̣ thức trong tam giác tie ́p theo

Đẳng thức 20

p − c(p − a)(p − b) =

Đẳng thức 31

a(p − a)

(p − b)(p − c)+

b(p − b)(p − c)(p − a)+

c(p − c)(p − a)(p − b) =

2pr

2prc

t ta có đie ̀u phải chứng minh

Từ hai phương trình (2.2.1) và (2.2.2) sử dụng các tính cha ́t ve ̀ nghie ̣m

của phương trình ba ̣c ba ta có các he ̣ thức tiép theo

Đẳng thức 32