Các bất đẳng thức đẳng thức trong tam giác và ứng dụng

Các bất đẳng thức đẳng thức trong tam giác và ứng dụng Các bất đẳng thức đẳng thức trong tam giác và ứng dụng Các bất đẳng thức đẳng thức trong tam giác và ứng dụng luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ TRỌNG HẬU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC H{ Nội – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ TRỌNG HẬU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ng{nh: Phương phá p toá n sơ cá p M~ số: 604640 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LE ĐÌNH ĐỊNH H{ Nội – Năm 2013 MỤC LỤC MỞ ĐÀ U LỜI CẢ M ƠN NHỮNG KÍ HIẸ U DÙ NG TRONG LUẠ N VAN Chương 1: KIÉ N THỨC CHUẢ N BỊ 1.1 Định lí hà m só sin: 1.2 Định lí hà m só cos: 1.3 Định lí hà m só tan: 1.4 Cong thức tính diẹ n tích tam giá c: 10 1.5 Cong thức tính bá n kính: 10 1.6 Cong thức đường trung tuyé n : 11 1.7 Cong thức phan giá c trong: 11 1.8 Cong thức hình chié u: 11 1.9 Mọ t só đả ng thức bả n tam giá c 11 1.10 Một số bất đẳng thức 17 1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy 17 1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) 17 1.10.3 Bất đẳng thức TrêBưSep 18 Chương 2: 20 TÌM MÓ I LIEN HẸ CHO NHỮNG ĐẠ I LƯỢNG TRONG TAM GIÁ C 20 2.1 Đưa v{o thơng số thích hợp cho tam gi|c 20 2.1.1 Đưa thong só mới và o tam giá c 20 2.1.2 Những đại lượng biểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n bất phương trình (2.1.1) 22 2.1.3 Những miền G, tương ứng với tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam gi|c vuông 24 2.1.4 Tìm biểu thức đại lượng tam gi|c thông qua thông số p,x,y 26 2.1.5.Tìm mối liên hệ đại lượng tam gi|c 28 2.2 Phương trình bạ c ba theo cá c yé u tó tam giá c 35 2.2.1 Phương trình bạ c ba theo yé u tó cạ nh củ a tam giá c 35 Chương 3: 60 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 60 3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị h{m số cos v{ sin 60 3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 66 3.3 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 74 3.4 Phương phá p chứng minh bá t đả ng thức tam giá c nhờ bá t đả ng thức Jenxen 81 KẾT LUẬN 94 T{iliệuthamkhảo 95 MỞ ĐÀ U Trong hoạt động dạy v{ học nh{ trường, vấn đề tìm tịi đúc kết n}ng tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ l{m rõ nội dung b{i to|n dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu v{ có nhiều hội s|ng tạo, l{ đổi phương ph|p dạy học L{ gi|o viên giảng dạy môn to|n trung học phổ thông, đ~ gặp nhiều trắc trở công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n bậc phổ thông trung học Vì b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, c|ch giải thể kh|i niệm to|n học Trong c|c c|ch giải kh|c đó, có c|ch giải thể tính hợp lí dạy học, có c|ch giải thể tính s|ng tạo to|n học Những vá n đè lien quan đé n tam giá c luon là vá n đè hay và khó ở phỏ thong đó i với cả người dạ y và người họ c Vì cá c hẹ thức tam giá c rá t nhiè u, phong phú và đa dạ ng Trong luạ n van nà y chú ng toi xin đưa mọ t só cá ch phan loạ i cá c hẹ thức, cá ch tìm cá c hẹ thức tam giá c đẻ người họ c thá y vá n đè bả n chá t Luạ n van được chia là m ba chương: Chương 1: KIé n thức chuẩ n bị - Chương nà y hẹ thó ng lạ i cá c định lí, cong thức và mọ t só đả ng thức, bá t đả ng thức bả n nhá t củ a tam giá c định lí hà m só sin, hà m só cos,…, cá c cong thức tính diẹ n tích, đường cao bá n kính… - Phà n 1.9 hẹ thó ng lạ i những đả ng thức vè yé u tó gó c bả n tam giá c - Phà n 1.10 neu lạ i mọ t só bá t đả ng thức bả n dù ng luạ n van đẻ chứng minh cá c bà i toá n bá t đả ng thức tam giá c Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng tâm giác Trong chương nà y đưa hai cá ch đẻ tìm được cá c hẹ thức tam giá c Cá ch thứ nhá t là đưa và o thong só thích hợp cho tam giá c Cá ch thứ hai là chỉ cá c yé u tó tam giá c là nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba tương ứng từ đó dựa và o tính chá t nghiẹ m tìm cá c hẹ thức tam giá c 2.1 Đưâ vào những thơng sớ thích hợp cho tâm giác Bà ng cá ch đạ t 𝑝 = 𝑎+𝑏+𝑐 𝑥= 4𝑏 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑎+𝑏+𝑐 8𝑏 − 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) 𝑦= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 Ta sẽ xay dựng cá c đả ng thức và bá t đả ng thức tam giá c Thié t lạ p cá c cong thức củ a cá c yé u tó tam giá c gó c, đọ dà i trung tuyé n, đọ dà i đường cao, đọ dà i cá c loạ i bá n kính, cong thú c diẹ n tích Á p dụ ng đẻ giả i mọ t só bá t đả ng thức tam giá c 2.2 Phương trình bậ c bâ theo cấ c yé u tó tâm giấ c Cá c yé u tó tam giá c có thẻ bié n đỏ i theo ba đạ i lượng, có thẻ gọ i là ba đạ i lượng bả n củ a tam giá c đó là R, r, p Ta sẽ chỉ rà ng cá c yé u tó củ a tam giá c (cạ nh, đường cao, hà m só lượng giá c củ a cá c gó c…) là nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba mà hẹ só theo ba yé u tó bả n củ a tam giá c Chương 3Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức tâm giác Chương nà y là dù ng kié n thức phỏ thong, cá c bá t đả ng thức quen thuọ c miè n giá trị củ a hà m sin, hà m cos, bá t đả ng thức Cauchy, bá t đả ng thức Chebyshev, bất đẳng thức Jenxen đẻ chứng minh cũ ng xay dựng cá c bá t đả ng thức tam giá c Phà n nà y là đú c rú t củ a chú ng toi qua quá trình bò i dưỡng , dạ y on thi Đạ i họ c và họ c sinh giỏ i LỜI CẢ M ƠN Luạ n van được hoà n thà nh dưới sự hướng dã n tạ n tình củ a Thà y, Ts Lê Đình Định Thà y đã hé t lò ng giú p đỡ, dạ y bả o, đọ ng vien suó t quá trình họ c tạ p cũ ng là m luạ n văn Toi xin gửi tới Thà y lời cả m ơn sau sá c nhá t! Toi xin bà y tỏ lời cả m ơn chan thà nh đé n tá t cả cá c thà y co khoa toá n – – tin củ a trường ĐHKHTN – ĐHQGHN đã chỉ bả o tạ n tình suó t quá trình toi họ c tạ p tạ i trường Nhan dịp nà y, cho toi bà y tỏ lò ng bié t ơn tới gia đình, cả m ơn tới bạ n bè đã cỏ vũ , đọ ng vien toi suó t quá trình họ c Do thời gian có hạ n, trình đọ bả n than cò n hạ n ché nen luạ n van khong thẻ khong có những thié u só t Toi rá t mong được sự đó ng gó p ý kié n củ a thá y co và cá c bạ n đẻ luạ n van được hoà n thiẹ n Xin chan thà nh cả m ơn Vĩnh Phú c, 10\05\2013 Hà Trọ ng Hạ u NHỮNG KÍ HIẸ U DÙ NG TRONG LUẠ N VĂN ∆ 𝐴𝐵𝐶 ∶ Tam giá c ABC A, B, C : Cá c đỉnh củ a tam giá c hay só đo gó c tam giá c ABC a, b, c : Đọ dà i cá c cạ nh đó i diẹ n cá c gó c A, B, C 𝑙𝑎 , 𝑙𝑏, 𝑙𝑐 : Đọ dà i cá c đường phan giá c xuá t phá t từ A, B, C 𝑅: Đọ dà i bá n kình đường trò n ngoạ i tié p ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑟: Đọ dà i bá n kính đường trò n nọ i tié p ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 , 𝑟𝑐 : Đọ dà i bá n kính đường trò n bà ng tié p cá c gó c A, B, C củ a ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑝: Nửa chu vi 𝑆: Diẹ n tích tam giá c Chương1: KIÉ N THỨC CHUẢ N BỊ 1.1 Định lí hầ m só sin: 𝑎 𝑏 𝑐 = = = 2𝑅 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶 1.2 Định lí hầ m só cos: 𝑎2 = 𝑏 + 𝑐 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏 = 𝑎2 + 𝑐 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐴 1.3 Định lí hầ m só tan: 𝐴−𝐵 𝑎 − 𝑏 𝑡𝑎𝑛 = 𝑎 + 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝐴+𝐵 𝐵−𝐶 𝑏 − 𝑐 𝑡𝑎𝑛 = 𝑏 + 𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝐵+𝐶 𝐶−𝐴 𝑐 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛 = 𝑐 + 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝐶+𝐴 1.4 Công thức tính diẹ n tích tâm giấ c: 1 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑕𝑎 = 𝑏𝑕𝑏 = 𝑐𝑕𝑐 2 1 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑐𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐵 2 = 𝑎𝑏𝑐 = 𝑝𝑟 = (𝑝 − 𝑎)𝑟𝑎 = (𝑝 − 𝑏)𝑟𝑏 = (𝑝 − 𝑐)𝑟𝑐 4𝑅 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) (cong thức He-ron) 1.5 Công thức tính bấ n kính:  Bá n kính đường trò n ngoạ i tié p 𝑅= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 = = = 2𝑠𝑖𝑛𝐴 2𝑠𝑖𝑛𝐵 2𝑠𝑖𝑛𝐶 4𝑆  Bá n kính đường trò n nọ i tié p 𝑟 = (𝑝 − 𝑎)𝑡𝑎𝑛 = 𝐴 𝐵 𝐶 = (𝑝 − 𝑏)𝑡𝑎𝑛 = (𝑝 − 𝑐)𝑡𝑎𝑛 2 𝑆 𝑝  Bá n kính đường trò n bà ng tié p: 𝑟𝑎 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐴 𝑆 = 𝑝−𝑎 𝑟𝑏 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐵 𝑆 = 𝑝−𝑏 𝑟𝑐 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐶 𝑆 = 𝑝−𝑐 Hướng dẫn: 𝑎≥ 𝑏≥ 𝑐 𝑎 ≥ 𝑏+𝑐−𝑎 𝑏 ≥ 𝑎+𝑐−𝑏 𝑐 𝑏+𝑎−𝑐 Bài 3.3.18: Cho ∆𝐴𝐵𝐶thỏa m~n điều kiện: 𝑎𝑡𝑎𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑏𝑡𝑎𝑛 + 𝑐𝑡𝑎𝑛 = 6𝑝𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 2 2 2 Chứng minh ∆𝐴𝐵𝐶 Hướng dẫn: 𝑎≥𝑏≥𝑐 𝐴 𝐵 𝐶 𝑡𝑎𝑛 ≥ 𝑡𝑎𝑛 ≥ 𝑡𝑎𝑛 2 Bài 3.3.19: Cho ∆𝐴𝐵𝐶nhọn, tìm gi| trị lớn của: 𝑎2 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝐸= + + 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑏𝑎 Hướng dẫn: 𝑎2 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 𝑠𝑖𝑛2𝐴 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝐶 3.4 Phương phấ p chứng minh bấ t đẩ ng thức tâm giấ c nhờ bấ t đẩ ng thức Jenxen Trong mụ c nà y ta sử dụ ng tính chá t lò i lõ m củ ahà m só lượng giá c đẻ chứng minh mọ t só dạ ng bá t đả ng thức tam giá c Cũ ng sử dụ ng tính chá t lò i, lõ m củ a hà m lượng giá c và bá t đả ng thức Jenxen đẻ xay dựng cá c bà i toá n bá t đả ng thức tam giá c Định lí 3.4.1Cho0 < 𝑥𝑖 < 𝜋, (𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ta có 𝑛 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑖 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑖=𝑛 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 𝜋 Định lí 3.4.2Cho0 < 𝑥𝑖 < , (𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ta có 𝑛 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑖 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑖=𝑛 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 𝜋 Định lí 3.4.3 Cho0 < 𝑥𝑖 < , (𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ta có 𝑛 𝑛 𝑖=𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑖 ≥ 𝑡𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 𝜋 Định lí 3.4.4Cho0 < 𝑥𝑖 < , (𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ta có 𝑛 𝑛 𝑖=𝑛 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑖 ≥ 𝑐𝑜𝑡 𝑛 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 Hẹ 3.4.1Với0 < 𝑥, 𝑦 < 𝜋, chứng minh rà ng 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑥+𝑦 ≤ 𝑠𝑖𝑛 2 Chứ ng minh Ta có 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦 Vì < 𝑥, 𝑦 < 𝜋 ta suy 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 > 0, 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 ≤ 2𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 > 0, suy 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 , (do 𝑐𝑜𝑠 ≤ 1) 2 Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 Hẹ quẩ 3.4.2Với0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < 𝜋, chứng minh rà ng 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≤ 𝑠𝑖𝑛 3 Chứng minh Bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑇 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≤ 4𝑠𝑖𝑛 3 Á p dụ ng hẹ quẩ 3.4.1 ta thu được điè u phả i chứng minh Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.3Với0 < 𝑥, 𝑦 < , chứng minh rà ng 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒚 𝑥+𝑦 ≤ 𝑐𝑜𝑠 2 Chứ ng minh Ta có 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑥+𝑦 2 Vì < 𝑥, 𝑦 < ta suy 𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦 > 0, 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 ≤ 2𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦 > 0, suy 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 , (do 𝑐𝑜𝑠 ≤ 1) 2 Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.4Với0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < , chứng minh rà ng 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≤ 𝑐𝑜𝑠 3 Chứ ng minh Bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑇 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≤ 4𝑐𝑜𝑠 3 Á p dụ ng hẹ quẩ 3.4.3 ta thu được điè u phả i chứng minh Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.5Với < 𝑥, 𝑦 < , chứng minh rà ng 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑥+𝑦 ≤ 𝑡𝑎𝑛 2 Chứ ng minh Giả sử 𝑥 ≥ 𝑦, bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 ↔ 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 ≥ 𝑡𝑎𝑛 − 𝑡𝑎𝑛𝑦 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 ≥ 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 𝜋 Vì 𝑥 ≥ 𝑦, < 𝑥, 𝑦 < ta suy 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 ≥ 0, 𝑐𝑜𝑠 > 0, 𝑐𝑜𝑠𝑦 > 2 Và nhạ n được bá t đả ng thức tương đương 𝑐𝑜𝑠𝑦 ≥ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥 Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 𝜋 Hẹ quả 3.4.6Với0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < , chứng minh rà ng 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 𝑡𝑎𝑛 3 Chứ ng minh Bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑇 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑧 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 4𝑡𝑎𝑛 3 Á p dụ ng hẹ quẩ 3.4.5 ta thu được điè u phả i chứng minh Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.7Với < 𝑥, 𝑦 < , chứng minh rà ng 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑦 𝑥+𝑦 ≤ 𝑐𝑜𝑡 2 Chứ ng minh Giả sử 𝑥 ≥ 𝑦, bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑐𝑜𝑡𝑦 − 𝑐𝑜𝑡 ↔ 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 ≥ 𝑐𝑜𝑡 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦 ≥ 𝑥−𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦 𝜋 Vì 𝑥 ≥ 𝑦, < 𝑥, 𝑦 < ta suy 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 ≥ 0, 𝑠𝑖𝑛 > 0, 𝑠𝑖𝑛𝑦 > 2 Và nạ n được bá t đả ng thức tương đương 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≥ 𝑠𝑖𝑛𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥 Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.8Với0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < , chứng minh rà ng 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑦 + 𝑐𝑜𝑡𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 𝑐𝑜𝑡 3 Chứ ng minh Bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑇 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑦 + 𝑐𝑜𝑡𝑧 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 4𝑐𝑜𝑡 3 Á p dụ ng hẹ quẩ 3.4.7 ta thu được điè u phả i chứng minh Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 Từ cấ c hẹ quẩ tâ xây dựng được các tập Bài tập 3.4.1 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 3 Bài tậ p 3.4.2 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑠𝑖𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝑠𝑖𝑛 ≤ 2 2 Bài tập 3.4.3 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐶 ≤ Bài tập 3.4.4 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝐵 𝐶 3 + 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 ≤ 2 2 Bài tập 3.4.5 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c nhọ n ta có : 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑡𝑎𝑛𝐶 ≥ 3 Bài tập 3.4.6 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑡𝑎𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 ≥ 2 Bài tập 3.4.7 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c nhọ n ta có : 𝑐𝑜𝑡𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝐶 ≥ Bài tập 3.4.8 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑐𝑜𝑡 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑐𝑜𝑡 + 𝑐𝑜𝑡 ≥ 3 2 Bài tập 3.4.9 Tìm gi| trị lớn biểu thức : 𝐶 𝑃 = 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 Hướng dẫn : 𝑃≤4 𝐶 𝐶 2 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝑠𝑖𝑛 Áp dụng hệ quả3.4.1 Bài tập 3.4.10 Chứng minh : (theo B C S) 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 2𝐵 𝐵 + 2𝐶 𝐶 + 2𝐴 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝑠𝑖𝑛 3 Hướng dẫn: 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 2𝑠𝑖𝑛𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 2𝐵 Bài tập 3.4.11 Chứng minh rằng: 𝑡𝑎𝑛3 𝐴 + 𝑡𝑎𝑛3 𝐵 + 𝑡𝑎𝑛3 𝐶 ≥ 𝑐𝑜𝑡 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑐𝑜𝑡 + 𝑐𝑜𝑡 2 Trong A,B,C l{ c|c góc nhọn tam gi|c Hướng dẫn: 𝑡𝑎𝑛3 𝐴 + 𝑡𝑎𝑛3 𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝐵 ≥ 2 ≥ 𝑡𝑎𝑛3 𝐴+𝐵 𝐶 = 𝑐𝑜𝑡 2 Bài tập 3.4.12 Chứng minh 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 2𝐵 𝐵 + 2𝐶 𝐶 + 2𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 3 Hướng dẫn: 𝑠𝑖𝑛 𝐴𝑠𝑖𝑛 3𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝐴 + 2𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛 3 Bài tập 3.4.13 Tìm gi| trị nhỏ biểu thức 𝑃= Hướng dẫn: 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 𝐶 𝑃≥ 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝐶 𝑐𝑜𝑠 + ≥ 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝐴 +𝑐𝑜𝑠𝐵 +2𝑐𝑜𝑠 𝐶 ≥ 𝑐𝑜𝑠 4 𝜋 Bài tập 3.4.14 Chứng minh 𝑃 = 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐴 1+ ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐵 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝑠𝑖𝑛3 𝐶 1+ 𝐴+2𝐵 𝑠𝑖𝑛3 1+ 𝐵+2𝐶 𝑠𝑖𝑛3 𝐶+2𝐴 Hướng dẫn: 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐴 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐵 ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛2 𝐵 3 ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴 +2𝑠𝑖𝑛𝐵 3 ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐴+2𝐵 Bài tập 3.4.15 Chứng minh 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛2 𝐵 𝐶 𝑠𝑖𝑛3 ≤ 64 Hướng dẫn: 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛2 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 2𝑠𝑖𝑛 + 3𝑠𝑖𝑛 𝐵 𝐶 𝑠𝑖𝑛3 ≤ 6 ≤ 𝑠𝑖𝑛6 𝜋 Bài tập 3.4.16 Với 𝐴, 𝐵, 𝐶 l{ góc tam gi|c nhọn Chứng minh rằng: + 𝑡𝑎𝑛2 𝐴 + + 𝑡𝑎𝑛2 𝐵 + + 𝑡𝑎𝑛2 𝐶 ≤ Hướng dẫn + 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝐵 𝐶 + + 𝑐𝑜𝑠 + + 𝑐𝑜𝑠 2 Vì có + 𝑎2 + + 𝑏 ≥ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑹+ 4+ 𝑎+𝑏 Ta có: + 𝑡𝑎𝑛2 𝐴 + + 𝑡𝑎𝑛2 𝐵 ≥ ≥ + 4𝑡𝑎𝑛2 + 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝐵 𝐴+𝐵 𝐶 ≥ + 𝑐𝑜𝑡 2 Nhận xét : Nếu f l{ h{m lồi ta có : 𝑓 𝐴 + 𝑓(𝐵) ≥ 2𝑓 Hoặc 𝐴+𝐵 2 𝐴+𝐵 𝑓 𝐴 𝑓(𝐵 ≥ 𝑓 Đẳng thức xảy v{ khi𝐴 = 𝐵 𝜋 𝐶+ 𝜋 𝑓 𝐶 +𝑓 ≥ 2𝑓 𝜋 Hoặc 𝐶+ 𝜋 𝑓 𝐶 𝑓 ≥ 𝑓 2 Đẳng thức xảy v{ 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 𝑓 𝐴 + 𝑓 𝐵 + 𝑓(𝐶) ≥ 3𝑓 Hoặc 𝑓 𝐴 𝑓 𝐵 𝑓(𝐶) ≥ 𝑓 𝜋 𝜋 3 Đẳng thức xảy v{ 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 Tương tự ta có đẳng thức với chiều ngược lại Xét c|c h{m : 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 = > 0, ∀𝑥 ∈ 0, 𝜋 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝒂) 𝑓 𝑥 = + Có 𝑓 ′′ 𝒃) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛6 𝑥 𝜋 Có 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0, ) 𝒄) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 Có 𝑓 ′′ 𝑥 = − sin 𝑥 + 𝜋 𝜋 < 0, ∀𝑥 ∈ (0, ) 𝒅) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 6𝑡𝑎𝑛𝑥 6𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝜋 ′′ Có 𝑓 𝑥 = + > 0, ∀𝑥 ∈ (0, ) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝒆) 𝑓 𝑥 = 𝑥 (𝑠𝑖𝑛 ) 𝑛 Có 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑥 (𝑠𝑖𝑛 ) 4𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝑥 3𝑛−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 3𝑛 > 0, ∀𝑥 ∈ (0, 𝜋) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 < 0, ∀𝑥 ∈ (0, 𝜋) 4 𝒇) 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 Có 𝑓 ′′ 𝒈) 𝑓 𝑥 = Có 𝑓 ′′ Có 𝑓 𝜋 −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 = > 0, 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝒉) 𝑓 𝑥 = ′′ 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ∀𝑥 ∈ (0, ) 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0, 𝜋) Từ tâ xây dựng được các tập tiếp theo: Bài tập 3.4.17: Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐻ướ𝑛𝑔 𝑑ẫ𝑛 ∶ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴 1+ 1+ 1+ ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐶 1 1 =1+ + + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥1+ = 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ 1+ = 1+ − cos⁡ (𝐴 + 𝐵) + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 2 cos 𝐴 − 𝐵 − cos⁡ (𝐴 + 𝐵) 2 = 1+ 𝐴+𝐵 𝑠𝑖𝑛 Suy 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴 1+ 1 ≥ 1+ 𝐴+𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛 Tương tự 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐶 1+ 1 ≥ + 𝐶+60 𝑠𝑖𝑛600 𝑠𝑖𝑛 Bài tập 3.4.18 : Chứng minh tam gi|c ta ln có : 𝑠𝑖𝑛6 Hướng dẫn: 𝐴 𝐵 𝐶 𝑠𝑖𝑛6 𝑠𝑖𝑛6 ≥ 2 64 𝐴 𝑠𝑖𝑛6 𝐵 + 𝑠𝑖𝑛6 2 ≥ 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 𝐵 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 1− 2 cos 𝐴 + 𝐵 cos 𝐴 − 𝐵 = 1− ∙ 2 𝐴+𝐵 = 𝑠𝑖𝑛6 𝐴+𝐵 ≥ − 𝑐𝑜𝑠 Suy 𝑠𝑖𝑛6 𝐴 𝐵 𝐴+𝐵 + 𝑠𝑖𝑛6 ≥ 2𝑠𝑖𝑛6 2 Bài tập 3.4.19: Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta ln có : 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 2 + 4 Hướng dẫn 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2cos⁡ 𝐴 − Nếu max 𝐴, 𝐵, 𝐶 ≥ Nếu max 𝐴, 𝐵, 𝐶 ≤ cos 𝐴 − ≤ 3𝜋 3𝜋 𝜋 cos⁡ 𝐵 − 𝜋 cos⁡ 𝐶 − 𝜋 => xong ! : 𝜋 𝜋 𝜋 cos 𝐵 − = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 − + 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 4 2 𝜋 + 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 + 2 Suy cos 𝐴 − ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝐴+𝐵 𝜋 − 𝜋 𝜋 𝐴+𝐵 𝜋 cos 𝐵 − ≤ 𝑐𝑜𝑠 − 4 Bài tập 3.4.20Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 𝑡𝑎𝑛3 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑡𝑎𝑛3 + 𝑡𝑎𝑛3 ≥ 2 3 3 Bài tập 3.4.21Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝑛 + 𝑠𝑖𝑛𝑛 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝑛 ≥ 2𝑛 (𝑛𝑙à 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔) 𝐶 Bài tập 3.4.22Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝐵 𝐶 𝜋 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 + 𝐶𝑐𝑜𝑠 ≤ 1+ 4 4 Bài tập 3.4.23Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 nhọn : 𝜋 𝜋 𝜋 − 𝐴 cos − 𝐵 cos − 𝐶 ≥ + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 4 2 cos Bài tập 3.4.24Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≥ 2+ Hướng dẫn 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ ≥ + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 = ≥ 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 𝐴+𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛 2 Suy 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ + 𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐵 KẾTLUẬN Khi là m luạ n van vè cá c bá t đả ng thức và đả ng thức tam giá c toi mới thực sự thá y vẻ đẹ p, sự kì diẹ u củ a tam giá c và cá c yé u tó tam giá c Cá c đả ng thức và bá t đả ng thức tam giá c chú ng khong lẻ tẻ , rời rạ c, rieng rẽ mà có mọ t mó i quan hẹ “anh em” nà o đó Toi thạ t sự bị me hoạ c, cà ng nghien cứu cà ng thá y bị cuó n hú t Xay dựng đả ng thức,bá t đả ng thức tam giá c cơbản đượcrấtnhiều ngườinghiên cứuv{s|ngtạo.Việctìmrac|i mớikhơngđơngiản.Trongbảnluậnvănn{yt|cgiảcũngđ~đạtđược mộtsốkếtquảsau: Tá c giả đã hẹ thó ng lạ i được cá c cong thức, tính chá t, định lí bả n và cá c đả ng thức bả n tam giá c Tá c giả đưa hai cá ch đẻ tìm cá c hẹ thức tam giá c Cá ch thứ nhá t là đưa và o thong só thích hợp cho tam giá c(x, y, p) Cá ch thứ hai là chỉ cá c yé u tó tam giá c là nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba tương ứng từ đó dựa và o tính chá t nghiẹ m tìm cá c hẹ thức tam giá c Dù ng kié n thức phỏ thong, cá c bá t đả ng thức quen thuọ c miè n giá trị củ a hà m sin, hà m cos, bá t đả ng thức Cauchy, bá t đả ng thức Chebyshev đẻ chứng minh cũ ng xay dựng cá c bá t đả ng thức tam giá c Sử dụng bất đẳng thức Jenxen để x}y dựng c|c bất đẳng thức tam gi|c v{ sau dùng kiến thức phổ thơng giới hạn thi đại học để giải Mọ t là n nữa, tá c giả xin gửi lời cả m ơn sau sá c tới TS Le Đình Định, cá c thà y co giá o giả ng dạ y tạ i khoa toá n – – tin đã nhiẹ t tình dạ y bả o hướng dã n suó t quá trình tá c giả i họ c tạ p và nghien cứu Hà Trọng Hậu Tàiliệuthamkhảo [1]Nguyễn Hữu Điể n , Những phương pháp điể n hiǹ h giải toán phổ ng thông, nxb Giáo du ̣c - 2001 [2]Nguyễn Văn Hiế n , Bấ t đẳ ng thức tam giác , nxb Hải Phòng 2000 [3]Phan Huy Khải , Tuyể n cho ̣n những bài toán lươ ̣ng giác tập 2, nxb Giáo dục 1998 [4]Phan Huy Khải , 10000 toán sơ cấp bất đẳng thức hình học , nxb Hà Nội, 2001 [5]Phan Huy Khải – Trầ n Hữu Nam , Bấ t đẳ ng thức và ứng du ̣ng , nxb Giáo Du ̣c - 2009 [6]Nguyễn Vũ Lương , Lươ ̣ng giác , tâ ̣p 2: Cực tri ̣và c ác toán tam giác , nxb Giáo du ̣c - 2010 [7]Nguyễn Văn Mâ ̣u , Đàm Văn Nhỉ , Đồng thức phương pháp tọa độ hình học, nxb ĐHQG – 2012 [8] Le Đình Thịnh, Le Đình Định, On luyẹ n toá n sơ cá p, nxb Giá o dụ c - 2011 ... 60 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 60 3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị h{m số cos v{ sin 60 3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi... Nhưng bất đẳng thức biển đổi tương đương với bất đẳng thức hiển nhiên −x2>0 Với