Bất đẳng thức trong tích chập và ứng dụng

MỤC LỤC Lời mở đầu Lời cảm ơn Ký hiệu dùng luận văn Chương Một số kết bổ trợ 1.1 Các tích chập dùng luận văn 1.2 Một số mệnh đề định lý Chương Bất đẳng thức ngược cho tích chập 16 2.1 Bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace 16 2.2 Bất đẳng thức ngược cho tích chập Fourier cosine 18 Chương Tính ổn định nguồn nhiệt toán truyền nhiệt ngược 24 3.1 Bài toán truyền nhiệt ngược chiều với nguồn nhiệt không tách biến 24 3.2 Bài toán truyền nhiệt ngược nhiều chiều với nguồn nhiệt tách biến 28 Chương Phục hồi hệ số toán truyền nhiệt ngược 33 4.1 Giới thiệu toán số lưu ý 33 4.2 Cách tìm giá trị riêng 38 4.3 Phương pháp điểm tới hạn 41 4.4 Khôi phục giá trị riêng thiếu 45 4.5 Thuật toán tính 48 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân hướng phát triển sớm nhất, trụ cột giải tích toán học Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trò quan trọng kể đến phép biến đổi Fourier, cosine Fourier, sine Fourier, Laplace, Mellin,… lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân bắt đầu nghiên cứu từ khoảng kỷ 19 có nhiều ứng dụng tính toán tích phân, tính tổng chuỗi, toán Vật lý-Toán, xử lý ảnh,… Do ưu điểm tích chập việc giải toán phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng,… việc giải toán thường nhận nghiệm dạng tích chập, nên xây dựng bất dẳng thức tích chập, bất dẳng thức tích chập ngược để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm, tính ổn định toán ngược hướng nghiên cứu lôi nhiều nhà toán học quan tâm Saitoh S, Vũ Kim Tuấn, Nguyễn Xuân Thảo, Đinh Thanh Đức,… Tuy nhiên, nhận bất đẳng thức ngược cho tích chập, chẳng hạn bất đẳng thức ngược cho tích chập Fourier, tích chập Laplace Vì vậy, từ công trình gần nghiên cứu toán truyền nhiệt ngược phương pháp sử dụng bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace (xem [31]), em chọn đề tài “ Bất đẳng thức tích chập ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace thiết lập bất đẳng thức ngược cho tích chập Fourier cosine, sau ứng dụng kết vào việc đánh giá tính ổn định toán truyền nhiệt ngược Cụ thể, xét phương trình truyền nhiệt u t  u xx  f (x, t),  x  , t  0, đánh giá ổn định nguồn nhiệt f(x, t) không âm từ quan sát u(x, t0) với 00,  >0, 0 }  Lp (A) ,  p   tập hợp hàm số f(x) xác định A, A  R cho p  |f(x)| dx   A 1/ p   || f (x) ||Lp (A)    |f(x)|p dx  A    Lp (A,  ) ,  p   tập hợp hàm số f(x) xác định A, A  R ,  hàm trọng dương, cho p  |f(x)|  (x)dx   A 1/ p     || f (x) ||Lp (A,  )    |f(x)|p  (x)dx  A  L p (A  B) ,  p   tập hợp hàm số f(x, t) xác định A×B, A,B  R  , cho p   |f(x, t)| dxdt   BA 1/ p    || f (x, t) ||Lp (A B)     |f(x, t)|p dxdt  BA   (f  g) (xem trang ) tích chập hàm f, g phép biến đổi Fourier  (f  g) (xem trang ) tích chập hàm f, g phép biến đổi Fc Fourier cosine  (f  g) (xem trang ) tích chập hàm f, g phép biến đổi L Laplace Chương Một số kết bổ trợ 1.1 Các tích chập dùng luận văn Chúng ta dẫn tích chập sử dụng luận văn Trước hết, ta có tích chập Fourier định nghĩa [32]:  (1.1.1) (f  g)(x)   f (y)g(x  y)dy, x  R,  thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F(f  g)(y)  2 (Ff )(y)(Fg)(y), y  R, f ,g  L1 (R), với phép biến đổi Fourier (Ff )(y)  2  e  ixy f (x)dx,  tích chập Fourier cosine định nghĩa [32]: (1.1.2) (f  g)(x)  Fc 2   f (y){g(x+y)+g(| x  y |)}dy, x  R  , thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.1.3) Fc (f  g)(y)  (Fcf )(y)(Fc g)(y), y  R  , f ,g  L1(R  ), Fc với phép biến đổi Fourier cosine (1.1.4) (Fcf )(y)     f (x)cos(xy)dx, cuối cùng, ta có tích chập Laplace định nghĩa [32]: x (f  g)(x)   f (t)g(x  t)dt, x  0, (1.1.5) L thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa L(f  g)(p)  (Lf )(p)(Lg)(p), p  , Re p   , L với phép biến đổi Laplace  (Lf )(p)  e  xp f (x)dx 1.2 Một số mệnh đề định lý Đối với tích chập Fourier (1.1.1) ta có bất đẳng thức Young (1.2.1) || f  g ||r  || f ||p || g ||q , f  L p (R),g  Lq (R), r 1  p 1  q 1  (p, q, r >0) Tuy nhiên, trường hợp điển hình f, g L2(R), bất đẳng thức không Trong tài liệu [26]-[29] (xem thêm [12]) nhận bất đẳng thức không gian Lp (p>1) có trọng cho tích chập Mệnh đề 1.2.1 ([29]) Cho hai hàm không triệt tiêu  j  L1 (R) (j=1, 2), ta có bất đẳng thức tích chập sau: (1.2.2) ((F11 )  (F2  ))( 1   )1/ p1  || F1 ||Lp (R ,|1|) || F2 ||Lp (R ,|2 |) p với Fj  L p (R,|  j |) (j=1, 2) Đẳng thức xảy (1.2.3) Fj  C je x ,  số cho e x  L p (R,|  j |) (j=1, 2) (ngược lại, C1 C2=0) Ở 1/ p    || F ||Lp (R,| |)    | F(x) |p |  (x) | dx     Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức Holder (với 1/p+1/q=1) định lý Fubini ta có:  | (F11 )  (F2  ) |  (F  )(x  t)(F  )(t)dt 1 2     | (F  )(x  t)(F  )(t) | dt 1 2    1/ p  | F (x  t)  (x  t)F2 (t)  21/ p (t) || ( 1 (x  t)  (t))1/ q | dt  1/ p   p     | F1 (x  t) 1 (x  t)F2 p (t)  (t) | dt     1/ q      | 1 (x  t)  (t) | dt     Suy 1/ p   p  | ((F1 1 )  (F2  ))( 1   ) |   | F1 (x  t) 1 (x  t)F2 p (t) 2 (t) | dt          1/ p 1 p ((F11 )  (F2  ))( 1   )     | F1p (x  t) 1 (x  t)F2p (t)  (t) | dt dx L p (R )     1/ p 1    p      | F1 (x  t) 1 (x  t) | dx  | F2p (t)  (t) | dt        p      | F1 (u) 1 (u) | du  | F2p (t)  (t) | dt      || F1 ||Lp p (R ,|1|) || F2 ||Lp p (R ,|2|) Vậy ((F11 )  (F2  ))( 1   )1/ p1 p   || F1 ||Lp (R ,|1|) || F2 ||Lp (R ,|2 |) Không bất đẳng thức Young, bất đẳng thức (1.2.2) trường hợp p=2 Với tích chập khác, nhận bất đẳng thức tích chập có dạng tương tự (1.2.2), xem [33] để biết thêm tích chập khác Tuy nhiên, để xác định trường hợp xảy đẳng thức (1.2.2) cần lập luận tinh tế Xem [12] để biết thêm chi tiết Ngoài ra, ta thường xét trường hợp (1.2.4)  (x)  1, F2 (x)  G(x), Trong G(x   ) hàm Green Khi bất đẳng thức (1.2.2) có dạng (1.2.5) || (F )  G ||p  ||  ||111/ p || G ||p || F ||Lp (R ,| |) ,  , F G hàm cho vế phải (1.2.5) hữu hạn Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Holder (với 1/p+1/q=1) định lý Fubini ta có:  | (F )  G |  | (F )(t)G(x  t) | dt  1/ p   p     | F (t)  (t)G p (x  t) | dt     10 1/ q      |  (t) | dt     A   B (4.2.5) Kết tương tự (4.2.5) thu thông qua cách tiếp cận khác xét đến nhiễu; xem [15, 16] Vấn đề xem xét lý tưởng hóa, cụ thể là, u(0, t) giả định biết với t> hoặc, nhất, với dãy tk tiệm cận vô Trong thực tế, phép đo phải thực thời gian hữu hạn Điều dẫn đến thách thức cổ điển phương pháp giải số toán Sturm-Liouville ngược, cụ thể là, làm để có thông tin tốt có hữu hạn giá trị riêng biết đến với số mức độ xác Chúng ta không vào chi tiết đây, mời độc giả xem [23], nơi mà vấn đề giải với liệu hạn chế toán Sturm-Liouville ngược xem xét Ngoài tài liệu tham khảo liên quan đưa (với số thảo luận) [1, 2] 4.3 Phương pháp điểm tới hạn Bây biết làm để tìm n từ u(0, t), phải đối mặt với câu hỏi tính đầy đủ chúng Do với f  L2 (0,  ) cho trước, có f (x)   c  (x), để tìm tất giá trị riêng  n n n từ (4.2.1) n 0 cần phải đảm bảo c n  với n ≥ Khó khăn n không biết, điều kiện c n  không kiểm tra Ý tưởng sử dụng điều kiện ban đầu đặc biệt, với điểm tới hạn, tức lim f (x)  , để x 0 đảm bảo khai triển chứa gần tất hàm riêng Chúng ta bắt đầu với mệnh đề sau Mệnh đề 4.3.1 ([8]) (Điểm tới hạn) Cho q  L1 (0,  ) , n xác định (4.1.7) f (x)  x  , với   (1/ 2,0) Khi có N> cho c n  với n ≥ N 41 Chứng minh Trước tiên nhớ lại tồn nhân K có đạo hàm cấp khả tích địa phương   x    n (x)  cos x n   K(x, t)cos t n dt Trong trường hợp  (4.3.1) ||  n || c n  f (x) n (x)dx    x    f (x)cos x n dx     K(x, t)cos t n dt f (x)dx 00       x        f (x)cos x n dx   K(x, t)cos t n f (x)dtdx 0       f (x)cos x n dx     K(x, t)f (x)dx  cos t n dt 0 t          f (x)cos x n dx     K(t, x)f (t)dt  cos x n dx 0x                f (x)cos x n dx    K(t, x)f (t)dt cos x n dx 0 x Bây sử dụng tiệm cận n (4.1.9) để suy công thức tiệm cận tích phân (4.3.1) Bằng lý thuyết giá trị trung bình, x cos x n  cos(xn)  (a  o(1))sin(xn ), n   n  n n Khi 42   x (a  o(1)) 1 f (x) (a  o(1))sin(x  )dx  f (x)xdx  O n  , 0 n 0 n n f (x)  x  ,     f (x)cos(xn)dx   x  cos(xn)dx  n  1   (xn) cos(xn)d(xn) Vì   (1/ 2,0), tích phân cosine hội tụ:  n   lim  (xn) cos(xn)d(xn)  lim   cos( )d( )     cos( )d( ) n   n  0  c( )   2 ((  1) / 2) , (  / 2) suy  c( )  f (x)cos(xn)dx  n  1 Do chứng minh   (1/ 2,0), có  x    cos x n dx  c( ) 1  O    1 n n Bằng cách tương tự, tách tích phân thứ hai:  (4.3.2)   K(t, x)f (t)dt cos  x x    n dx    K(t, x)f (t)dt cos(xn)dx x   (a  o(1))  0 x K(t, x)f (t)dtx sin(x n )dx n 43   1    K(t, x)f (t)dt cos(xn)dx  O   n x  Để đánh giá tích phân sử dụng tính chất K(t, x)t  dt liên tục  x tuyệt đối Thật đạo hàm   d K(t, x)t  dt   K(x, x)x   K x (t, x)t  dt,  dx x x với K(x, x)x   L(0,  ) Vì K hàm liên tục   K  x (t, x)t dt  x  x  | K x  x (t, x) | dt  x sup  | K x (t, x) | dt,  0 x  x    suy K x (t, x)t dt  O(x ),  x K x (t, x)t  dt  L(0,  ) x    (1/ 2,0) Vậy  K(t, x)t  dt liên tục tuyệt đối hệ số Fourier thỏa x mãn  1 K(t, x)f (t)dt cos(xn)dx  o   0 x n (4.3.3) n   Trong trường hợp này, kết hợp (4.3.2) (4.3.3) suy  1 1 1 K(t, x)f (t)dt cos x  dx  o  O  O n       0 x n n n   cuối thu 44    x n (x)dx  c( ) 1  O   n 1 n Vì 1/    suy cn n 1 ||  n ||2  c( )  0,  mệnh đề chứng minh Chúng ta lựa chọn f (x)  x  , 1/    , đảm bảo tồn N cho c n  với n ≥ N Giá trị thực tế N xác định theo số O  Phần 4.2 cho phương pháp tìm n từ u x (0, t) với n ≥ N Trong phần cách tìm số giá trị riêng thiếu chọn f cho cn đầu tiên, n = 0,…, N-1, khác không 4.4 Khôi phục giá trị riêng thiếu Để tiến hành cần tìm số giá trị riêng thiếu sau khôi phục lại chúng trước sử dụng định lý Gasymov-Levitan Mặc dù biết tồn N từ phần trước, giá trị thực tế chưa biết sử dụng trực tiếp lý luận đếm Thay vào đó, lấy M số bắt đầu, từ tất giá trị riêng khôi phục lớn (M-1/2)2 nằm khoảng ((k-1/2)2, (k+1/2)2 ), với k ≥ M, quan trọng khoảng chứa xác giá trị riêng khôi phục Sự tồn giá trị M đến từ (4.1.9) mệnh đề 4.3.1, nói sau giá trị N đó, giá trị riêng bị thiếu Do dự đoán bậc giá trị riêng nằm ((k-1/2)2, (k+1/2)2 ), k ≥ M, k , bậc với k ≥ P = max (N, M) Bây giả sử có L giá trị riêng khôi phục (, M ) Vì [ M , P ) chứa P-M giá trị riêng {M , , P 1}, số lượng thực tế giá trị riêng khôi phục ( , P ) L+(P-M) Từ P tăng bậc đúng, phải có 45 P giá trị riêng phía trước P Do đó, M-L giá trị riêng bị thiếu Vì biết M, biết số lượng giá trị riêng thiếu Ví dụ, k = 100, khoảng ((k-1/2)2, (k+1/2)2) chứa xác giá trị riêng khôi phục, không giá trị rơi Vì giá trị riêng bên ((k-1/2)2, (k+1/2)2), k ≥ 100, xếp thứ tự dự kiến k Nếu cách đếm tìm thấy 80 giá trị riêng nhỏ 100 , có nghĩa thiếu 20 giá trị riêng Khó khăn việc xếp thứ tự giá trị riêng thiếu không thực 100 Đó lý điều quan trọng trước tiên phải khôi phục tất giá trị riêng bị thiếu; sau bảng xếp thứ tự hoàn thành Để kết thúc, đề xuất cách để tìm tất giá trị riêng thiếu {0 , , P1} cách chọn điều kiện ban đầu thích hợp để đảm bảo giá trị riêng thiếu thiết phải nhúng hàm đáp ứng uf(0, t) Nói cách khác cần phải tìm điều kiện ban đầu cho đảm bảo c n  với n = 0, , P-1 Chúng ta bắt đầu với quan sát sau  Mệnh đề 4.4.1 ([8]) Cho  j , hệ số c j (k)  x k j (x)dx  với  k=0,…, j Chứng minh Chúng ta giả sử (4.4.1) cj(k)=0 với k=0,…, j Nhớ lại hàm riêng thứ j (4.1.7) có j không điểm, gọi ajk , nên  j (a jk )  với k=0,…, j Cho trước không điểm ajk , phép nội suy xây dựng đa thức 46 j j Pj (x)   j  (x  a jk )   b k x k , (4.4.2) k 0 k 0  j chọn để Pj(0)=1 Do Pj  j có không điểm thỏa mãn Pj (0)   j (0)  , chúng phải có dấu với x  [0,  ]; là, Pj (x) j (x)  x  a jk Do kết luận   P (x) (x)dx  0, (4.4.3) j j mặt khác kết hợp với (4.4.1) (4.4.2) ta có   j j k  Pj (x) j (x)dx   bk  x  j (x)dx   b k c j (k)  0, k 0 k 0  mâu thuẫn với (4.4.3)  xk P 1  Kết cho thấy họ u (0, t) cho ta P giá trị riêng đầu tiên, k 0 không may số P chưa biết Tuy nhiên, sử dụng hiểu biết số giá trị riêng thiếu, ví dụ M-L, quy tắc dừng Do bắt đầu cách xét u x (0, t) để tìm giá trị riêng thiếu Nếu số giá trị riêng thiếu, đến u x (0, t) tiếp theo, chẳng khôi phục tất M-L giá trị riêng thiếu Mệnh đề 4.4.1 đảm bảo trình dừng lại số điểm (nhiều sau P 1 xem xét u x (0, t) ) Sau cuối xếp lại cập nhật bảng xếp thứ tự trước 47 4.5 Thuật toán tính  Thuật toán Bây tóm tắt thuật toán, xây dựng lại q hữu hạn bước Bước Cố định h1 (4.1.1) bắt đầu với điểm tới hạn u(x,0)  x  với   (1/ 2,0) Đọc nhiệt độ u(0, t) sau rút tần số k j Mệnh đề 4.3.1 đảm bảo tất k khôi phục sau giá trị N định Bước Tìm M nhỏ cho M khoảng ((k-1/2)2, (k +1/2)2), k ≥ M, có giá trị riêng khôi phục Bước 1, không giá trị nằm Dự kiến thứ tự k Bước Đếm số lượng giá trị riêng thu từ Bước khoảng (, M ) , ký hiệu L Nó nhỏ M Khi M-L số lượng giá trị riêng không phục hồi Bước Tất M-L giá trị riêng thiếu bây  j  phục hồi u x (0, t) , j = 0, 1, , bước giá trị riêng M-L phát Bước Thay đổi điều kiện biên từ h1 h2 lặp lại bước 1-3 để tìm tập giá trị riêng { k } khác Bước Khi biết hai chuỗi {n } { k } , sử dụng thuật toán lập trình khôi phục q từ hai quang phổ; xem [1, 2, 7, 20, 24]  Tính Bây phép đo xác định q cách Chính xác hơn, có: Định lý 4.5.1 ([8]) Lấy T>0, 1/    , h1  h Với q  L1 (0,  ) tồn N cho q xác định số hữu hạn phép đo  N u x (0, t), u x (0, t),u x (0, t), ,u x (0, t), t  (0,T), xét với hai điều kiện biên 48 khác h = h1 h = h2 Chứng minh Giả sử với N> hai hàm q, q  L1 (0,  ) cho phép đo giống nhau,  N u x (0, t), u x (0, t), u x (0, t), , u x (0, t), t  (0,T), với h = h1 Cho {n } { n (x)} tập giá trị riêng, đánh số theo thứ tự tăng dần, tập hàm riêng chuẩn hóa ( n (0)  1) liên hợp với q Một cách tương tự, cho { n } { n (x)} tập giá trị riêng tập hàm riêng chuẩn hóa liên hợp với q Vì vậy, f ∈ L2(0, π) khai triển thành hai chuỗi Fourier, f (x)   c n n (x)   c n  n (x) n 0 n 0 Hàm q sinh hàm phân phối nhiệt u(x, t)   c n e  n tn (x), n 0 với lượng nhiệt giải phóng điểm đầu mút x = 0: u(0, t)   c n e  n t n 0 Hàm q sinh hàm phân phối nhiệt  t)  c n e  n t  (x), u(x,  n n 0 với lượng nhiệt giải phóng điểm đầu mút x = 0:  t)  c n e   n t u(0,  n 0 Do u(0, t) giải tích với t> 0, phép đo u(0, t) khoảng thời gian hữu hạn (0, T) đủ để khôi phục u(0, t) cho t> Vì vậy, q q cho ta phép đo giống nhau, 49  N u x (0, t),u x (0, t),u x (0, t), ,u x (0, t), t  (0, ), với h=h1 Nói cách khác, (4.5.1) c e n n 0  n t   c n e   n t , t   n 0 Một phân tích mệnh đề 4.2.2 cho biết (4.5.1) xảy cho  k c  c k , ngược n với c n  tồn k cho n   n  k c  c k Vì vậy, lại, cho k với c k  tồn n cho n   n tập {n | c n  0} tập { n | c n  0} Nhưng tập {n | cnf  với f từ x  , xj, j = 0, , N} trùng với tập giá trị riêng {n } , tập f { n | c n  với f từ x  , xj, j = 0, , N} trùng với tập giá trị  n } Tương tự, với điều kiện biên khác h = h2 riêng { n } Vì vậy, {n }  {  } , liên kết với hàm thấy hai tập giá trị riêng { k } { k q q h = h2, Nhưng định lý 4.1.1 nói hàm xác định hai tập giá trị riêng Do q  q định lý chứng minh Như vậy, cách sử dụng điểm tới hạn, điều kiện ban đầu, xác định gần tất ngoại trừ số hữu hạn liệu quang phổ {n } { n } Sau sử dụng thuật toán dựa định lý quang phổ ngược tiếng Gelfand-Levitan-Gasymov toán tử Sturm-Liouville, phục hồi cách hệ số phương trình truyền nhiệt chiều từ tập hữu hạn phép đo Nội dung chương dựa tài liệu [8] 50 Kết luận Trong luận văn này, em nghiên cứu bất đẳng thức ngược cho tích chập phép biến đổi tích phân ứng dụng kết vào việc đánh giá tính ổn định toán truyền nhiệt ngược Ngoài ra, em tìm hiểu phương pháp để phục hồi hệ số phương trình truyền nhiệt ngược chiều từ tập hữu hạn phép đo Nội dung luận văn bao gồm:  Nghiên cứu bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace ứng dụng vào toán truyền nhiệt ngược nhiều chiều  Xây dựng bất đẳng thức ngược cho tích chập Fourier cosine (Định lý 2.2.1) Từ đánh giá ổn định nguồn nhiệt không tách biến f(x, t) toán truyền nhiệt ngược chiều (3.1.1)-(3.1.5) theo biến không gian x thời gian t từ số quan sát ban đầu (Định lý 3.1.1), theo hai biến từ nghiệm quan sát ban đầu (Nhận xét 3.1.1)  Khôi phục hệ số toán truyền nhiệt ngược chiều Trong đó, kết mục thứ hai mới, gửi tới Tạp chí Khoa học Đại học Sư Phạm Hà Nội chờ phản biện Từ kết xuất hướng mở vận dụng chúng đưa lời giải số cho toán truyền nhiệt cụ thể đánh giá ưu điểm phương pháp nhận so với kết có 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Andrew A.L (2005), “Numerov’s method for inverse Sturm-Liouville problems”, Inverse Problems 21, (No 1), pp 223-238 MR2146173 (2006d:65076) Andrew A.L (2006), “Computing Sturm-Liouville potentials from two spectra”, Inverse Problems 22, (No 6), pp 2069-2081 MR2277530 (2007i:34013) Avdonin S.A and Belishev M.I (1996), “Boundary control and dynamical inverse problem for nonselfadjoint Sturm-Liouville operator”, Control and Cybernetics 25, pp 429-440 MR1408711 (97k:93032) Avdonin S.A., Belishev M.I and Rozhkov Yu (1997), “The BC-method in the inverse problem for the heat equation”, J Inv Ill-Posed Probl 5, pp 309-322 MR1473633 (98f:80002) Avdonin S.A., Lenhart S., and Protopopescu V (2005), “Determining the potential in the Schrodinger equation from the Dirichlet to Neumann map by the boundary control method”, Inverse prob-lems: modeling and simulation J Inv Ill-Posed Probl 13, pp 317-330 MR2188615 (2006m:35374) Baudonin L., Mercado A (2008), “An inverse problem for schrodinger equations with discontinuous main coefficient”, Appl Anal, 87, (N 10-11), pp 1145-1165 Boumenir A (1999), “The recovery of analytic potentials”, Inverse Problems 15, (No 6), pp 1405-1423 MR1733208 (2000j:34018) Boumenir A and V K Tuan (2010), “An inverse problem for the heat equation”, Proc Amer Math Soc 138, pp 3911-3921 Cannon J.R (1984), The One-dimensional Heat Equation, Addison-Wesley Reading, Massachusetts 10 Cannon J.R and Esteva S.P (1986), “An inverse problem for the heat equation”, Inverse Problems, 2, pp 395–403 52 11 Cannon J.R and Esteva S.P (1991), “Uniqueness and stability of 3D heat sources”, Inverse Problems, 7, pp 57–62 12 Cwickel M and Kerman R (1996), “On a convolution inequality of Saitoh”, Proc Amer Math Soc., 124, pp 773–777 13 Freiling G and Yurko V (2001), Inverse Sturm-Liouville Problems and Their Applications, Nova Science Publishers, Inc., Huntington, New York, MR2094651 (2005f:34001) 14 Friedman A (1983), Partial Differential Equations of Parabolic Type, Krieger Malabar, Florida 15 Hua Y and Sarkar T.K (1990), “Matrix pencil method for estimating parameters of exponentially damped/undamped sinusoids in noise”, IEEE Transactions of Acoustics, Speech, and Signal Processing 38(5), pp 814824 MR1051029 (91b:93160) 16 Hua Y., Gershman A.B., and Cheng Q (2004), High-Resolution and Robust Signal Processing, Marcel Dekker, New York–Basel 17 Isakov V (1993), “On uniqueness in inverse problems for semilinear parabolic equations”, Arch Ra-tional Mech Anal 124, (No 1), pp 1-12 MR1233645 (94h:35263) 18 Isakov V (1998), Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin 19 Izumino S and Tominaga M (2001), “Estimations in Hölder type inequalities”, Math Inequal Appl., 4, pp 163–187 20 Levitan B.M (1987), Inverse Sturm-Liouville Problems, VNU Science Press, Utrecht, MR933088 (89b:34001) 21 Levitan B.M and Gasymov M.G (1964), “Determination of a differential equation by two of its spectra”, Russ Math Surveys 19, pp 1-62 MR0162996 (29:299) 53 22 Lowe B.D and Rundell W (1994), “The determination of a coefficient in a parabolic equation from input sources”, IMA J Appl Math 52, (No 1), pp 31-50 MR1270801 (95b:35229) 23 Lowe B.D., Pilant M., and Rundell W (1992), “The recovery of potentials from finite spectral data”, SIAM J Math Anal 23, pp 482-504 MR1147873 (93f:34024) 24 McLaughlin J.R (1986), “Analytical methods for recovering coefficients in differential equations from spectral data”, SIAM Rev 28, pp 53-72 MR828436 (87d:34034) 25 Mercado A., Osses A and Rosier L (2008), “Inverse problem for the schrodinger equation via Carleman inequalities with degenerate weight”, Inverse problems, 24, (N 18), pp 15-17 26 Saitoh S (1984), “A fundamental inequality in the convolution of L2 functions on the half line”, Proc Amer Math Soc., 91, pp 285–286 27 Saitoh S (1993), “Inequalities in the most simple Sobolev space and convolutions of L2 functions with weights”, Proc Amer Math Soc., 118, pp 515–520 28 Saitoh S (1999), “Various operators in Hilbert spaces introduced by transform”, International J Appl Math., 1, pp 111–126 29 Saitoh S (2000), “Weighted Lp-norm inequalities in convolutions”, Survey on Classical Inequalities, pp 225–234, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands 30 Saitoh S., V.K Tuan and Yamamoto M (2000), “Reverse weighted Lp-norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems”, J of Inequal Pure and Appl Math., 1(1), Article 31 Saitoh S., V.K Tuan and Yamamoto M (2002), “Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems”, J of Inequal Pure and Appl Math., 3(5), Article 80 54 32 Sneddon I.N (1972), The Use of Integral Transforms, McGray-Hill, New York 33 Srivastava H.M and Buschman R.G (1992), Theory and Applications of Convolution Integral Equations, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands 34 Xiao-Hua, L (1990), “On the inverse of Hölder inequality”, Math Practice and Theory, 1, pp 84–88 55 ... chập Laplace thiết lập bất đẳng thức ngược cho tích chập Fourier cosine 2.1 Bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace Xét bất đẳng thức tích chập ngược (1.2.10), bất đẳng thức dạng tương tự thu... ,|2 |) Không bất đẳng thức Young, bất đẳng thức (1.2.2) trường hợp p=2 Với tích chập khác, nhận bất đẳng thức tích chập có dạng tương tự (1.2.2), xem [33] để biết thêm tích chập khác Tuy nhiên,... chương dựa vào phần tài liệu [29, 30, 31, 32, 34], kiến thức cần để sử dụng chương sau 15 Chương Bất đẳng thức ngược cho tích chập Trong chương này, tìm hiểu bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace