bdt tam giác và ứng dụng

Nội dung bất đẳng thức tam giác là một trong những tính chất quan trọng, nó không chỉ dừng lại ở môn Hình mà còn đợc vận dụng vào trong Đại số.. - Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài này vớ

Phần a Đặt vấn đề

1)Lí do chọn đề tài:

- Trong những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp trong dạy học nói chung ngày càng đợc quan tâm, chú trọng Với Toán học, môn học thu hút đợc nhiều đối tợng quan tâm thì việc đổi mới phơng pháp dạy_học càng là chủ đề sôi nổi hơn Cùng với đổi mới phơng pháp dạy_học thì việc phát hiện và bồi dỡng học sinh có năng khiếu là việc làm thờng xuyên của mỗi thầy cô bộ môn Với chơng trình Hình học 7, học sinh bắt đầu làm quen với những bài toán chứng minh từ cơ bản

và dần đợc nâng cao hơn về tính suy luận lô-gic, hệ thống, chặt chẽ

Do nội dung là cơ sở nền tảng cho các lớp sau nên việc nắm chắc

những kiến thức, tính chất rất quan trọng cho việc học Hình sau này Mỗi tính chất, định lí học sinh không chỉ nắm đợc nội dung lý thuyết thuần tuý mà cần phải biết vận dụng vào giải những bài tập trong những tình huống khác nhau Cùng với nắm bắt đợc những tính chất qua đó còn giúp học sinh rèn khả năng suy luận lô-gic, chặt chẽ

Chính vì vậy mà đối với học sinh khá - giỏi, học sinh có năng khiếu về Toán thì giáo viên càng phải giúp học sinh phát huy đợc năng khiếu của các em Nội dung bất đẳng thức tam giác là một trong những tính chất quan trọng, nó không chỉ dừng lại ở môn Hình mà còn đợc vận dụng vào trong Đại số

- Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài này với mong muốn phần nào giúp các em học sinh khá- giỏi Toán có thể hiểu sâu hơn về bất đẳng thức tam giác, cũng nh giúp các em có khả năng suy luận tốt hơn, vận dụng vào những tình huống có thể và bớc đầu có thói quen nhìn nhận một bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau, có ý thức trong việc liên

hệ giữa Hình học và Đại số

2)Mục đích, đối t ợng, ph ơng pháp :

a)Mục đích:

- yêu cầu đổi mới phơng pháp trong dạy học Toán là cần phát huy khả năng sáng tạo, khả năng t duy, suy luận cũng nh phát huy năng khiếu học Toán cho học sinh

- Khái niệm bất đẳng thức là một khái niệm mới đối với học sinh lớp 7 (các em cha đợc học).Vì vậy đối với những học sinh khá - giỏi thì ta có thể trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức thông qua phần bất đẳng thức tam giác

*) Qua việc dạy bất đẳng thức tam giác giúp học sinh:

-Phát huy đợc khả năng suy luận lôgíc, khả năng vận dụng Toán học vào các tình huống khác nhau cũng nh vận dụng vào giải bài toán

Đại

- Bồi dỡng, khắc sâu, nâng cao kiến thức cho các em giúp các em có vốn kiến thức cho việc học Toán cũng nh các kì thi sau này

b)Đối t ợng nghiên cứu :

Năm học 2005 - 2006

3

- Bất đẳng thức tam giác trong Hình học 7

- Học sinh khá giỏi môn Toán khối 7

c)Ph ơng pháp nghiên cứu :

- Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo:

+ Toán cơ bản và nâng cao 7

+ Tuyển chọn và phân loại toán cấp 2 Hình học

+ SGK_SBT Toán 7

- Phơng pháp thực nghiệm

- Phơng pháp kiểm tra – so sánh, đánh giá

- Trao đổi với đồng nghiệp

Phần b giải quyết vấn đề.

I)Nhắc lại kiến thức “ Bất đẳng thức trong tam giác ”:

1) Định lí:

“Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn

hơn độ dài cạnh còn lại".

Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau

AB + AC > BC

AB + BC > AC

AC + BC > AB

2) Hệ quả :

- “Trong một tam giác hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng

nhỏ hơn độ dài cạnh còn lạ".

- Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức:

AB – AC < BC AB – BC < AC AC – BC < AB

AC – AB < BC BC – AB < AC BC – AC < AB

3) Nhận xét :

Năm học 2005 - 2006

4

- “Trong một tam giác độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu

và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại".

Tam giác ABC chẳng hạn ta luôn có:

AB – AC < BC < AB + AC

4) Kiến thức bổ sung :

- Vì học sinh lớp 7, các em cha đợc học về “Bất đẳng thức" vì vậy

trong quá trình bồi dỡng tôi cũng đ trang bị cho các em những kiến ã trang bị cho các em những kiến

thức cơ bản về “Bất đẳng thức":

+) Định nghĩa: a > b nếu a – b là một số dơng

+) Tính chất:

1 Nếu a > b thì a + c > b + c

2 Nếu a > b và c > 0 thì a.c > b.c

3 Nếu a > b và c < 0 thì a.c < b.c

II)Nội dung ph ơng pháp:

*)Trên cơ sở những kiến thức đó ta có thể bồi dỡng cho học sinh khá

- giỏi với các nội dung nh sau:

1)Những bài tập vận dụng cơ bản:

Qua nội dung bài tập về nhà, giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm những bài tập có thể là trong sách bài tập hoặc bài tập giáo viên tự lựa chọn

Ví dụ 1:

Bài 27(SBT-27)

Cho điểm M nằm trong tam giác ABC

Chứng minh rằng:

MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi của tam giác ABC

Lời giải:

xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC,

theo bất đẳng thức tam giác ta có:

MA + MB > AB

MA + MC > AC

MB + MC > BC

Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của ba bất đẳng thức lại

ta có:

2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC

MA + MB + MC > ABACBC

Ví dụ 2:

Bài 30(SBT-27)

Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của BC

Chứng minh: AM <

2

AC

AB 

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho

MD = MA Dễ dàng chứng minh đợc

Năm học 2005 - 2006

5 D

A

A

C M

B

AMB =DMC (c.g.c)

 CD = AB (hai cạnh tơng ứng) (1)

Xét tam giác ACD theo bất đẳng thức ta có:

AC + CD > AD = 2AM mà CD = AB ( theo (1) )

 AC + AB > 2AM

 AM <

2

AC

AB 

(điều phải chứng minh)

Ví dụ 3:

Cho điểm I nằm trong tam giác ABC

Chứng minh rằng: BI + IC < BA + AC

Lời giải

Kéo dài BI cắt AC tại K

Xét AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)

 BI + IK < AB + AK  BI < AB + AK - IK (1)

Xét KIC có IC < IK + KC (Bất đẳng thức tam giác)

 IC < IK + (AC – AK) (2)

Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của (1) với (2) ta có:

BI + IC < AB + AK – IK + IK + AC – AK

 BI + IC < AB + AC (đpcm)

*)Nhằm khắc sâu hơn về bất đẳng thức tam giác trong quá trình

bồi dỡng tôi đ cho các em làm những bài tập có tính nâng cao hơn:ã trang bị cho các em những kiến

2)Những bài toán nâng cao.

Ví dụ 1:

Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy Từ điểm M nằm

trong góc xOz vẽ MH vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), vẽ MK vuông

góc với Oy( K thuộc Oy )

Chứng minh: MH < MK

Lời giải:

Gọi A là giao điểm của MK với Oz

Vẽ AB Ox ( B thuộc Ox ) Nối B với M

Xét KOA vuông tại K và BOA vuông tại

B có:

OA là cạnh chung

BOA KOA (Oz là tia phân giác)

Do đó KOA = BOA( cạnh huyền – góc nhọn )

 AK = AB ( hai cạnh tơng ứng )

Xét AMB có BM < AB + AM (Bất đẳng thức tam giác)

Do đó BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MK

Mặt khác MH < BM (Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc)

Suy ra MH < MK (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC có AB > AC,

AD là tia phân giác của BAC ( D BC)

M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD

Chứng minh: MB – MC < AB – AC

Năm học 2005 - 2006

6

K

x

M A

B

z

y O

H

K A

C

I B

A

M E

C B

D

Lời giải

Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AC

vì AB > AC nên E nằm giữa A và B suy ra

AE + EB = AB

xét AEM và ACM có:

AE = AC (cách vẽ)

EAMCAM (AD là tia phân giác của Â)

AM là cạnh chung

Do đó AEM = ACM (c.g.c)

Suy ra ME = MC (hai cạnh tơng ứng)

Xét MEB có MB – ME < EB (Bất đẳng thức tam giác)

Vì MC = ME, EB = AB - AC

Do đó MB – MC < AB – AC (điều phải chứng minh)

Ví dụ 3:

Cho tam giác ABC gọi a, b, c lần lợt là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Lời giải

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

a + b – c > 0 => c(a + b – c) > 0 (1)

b + c – a > 0 => a(b +c – a) > 0 (2)

a + c – b > 0 => b(a + c – b) > 0 (3)

Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta đợc:

c(a + b – c) + a(b +c – a) + b(a + c – b) > 0

=> ac + bc – c2 + ab + ac – a2 + ab + bc – b2 > 0

=> 2(ab + bc + ca) – (a2 + b2 + c2) > 0

 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 (điều phải chứng minh)

Ví dụ 4:

Chứng minh rằng nếu:

a = y + z ; b = z + x ; c = x + y thì a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác ( x, y, z lớn hơn 0)

Lời giải

Theo bài ra ta có:

a = y + z

b = z + x => 2(x + y + z) = a + b + c => x + y + z = ( )

2

1

c b

a 

c = x + y

Suy ra x =

2

a c

b 

; y =

2

b c

a 

; z =

2

c b

a 

Năm học 2005 - 2006

7

A

a

C B

Vì x, y, z > 0 =>

2

a c

b 

> 0 ;

2

b c

a 

> 0 ;

2

c b

a 

> 0 => a, b, c thoả m n là độ dài 3 cạnh của một tam giác.ã trang bị cho các em những kiến

Ví dụ 5:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả m n a + b + c = 2.ã trang bị cho các em những kiến

Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1

Lời giải

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Suy ra : a + b > c

b + c > a

a + c > b

mà a + b + c = 2

suy ra a < 1 ; b < 1 ; c < 1

=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0

 (ab - a - b + 1)(c - 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 < 0

 abc + ( a + b + c) - 1 < ab + ac + bc vì a + b + c = 2

=> abc + 1 < ab + ac + bc (điều phải chứng minh)

*) Ngoài việc rèn kỹ năng và khắc sâu kiến thức cho học sinh thì tôi

đ cho học sinh làm những bài tập vận dụng kết hợp“Bất đẳng thức ã trang bị cho các em những kiến

tam giác” với một bài toán Đại

3)Sử dụng bất đẳng thức tam giác

trong việc giải một bài toán Đại

Ví dụ 1:

Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất dài gấp

r-ỡi cạnh thứ 2, cạnh thứ 2 dài gấp rr-ỡi cạnh thứ 3 và nửa chu vi tam giác bằng 9,5 cm

Lời giải

Gọi độ dài cạnh thứ 3 là x (cm)

Theo đề bài độ dài cạnh thứ 2 là x

2

3

(cm) Độ dài cạnh thứ nhất là

4

x x 2

3 2

3

Bất đẳng thức tam giác thoả m n vì: x + ã trang bị cho các em những kiến x

2

3

2

5

x 4 9

Chu vi của tam giác là: x + x

2

3

+ x 4

9

4

19

(cm) Theo bài ra ta có : x

8

19

= 9,5 => x = 4 (cm) => Độ dài ba cạnh của tam giác là : 4cm, 6cm, 9cm

Ví dụ 2

Năm học 2005 - 2006

8

A

b

a c

A C

B

a b

a 

b

A

B

C

b

a  b a

Cho ba số a, b, c > 0 thoả m n aã trang bị cho các em những kiến 2 + b2 = c2

Chứng minh: ab + ac > a2

Lời giải

Vì a, b, c > 0 và thoả m n aã trang bị cho các em những kiến 2 + b2 = c2 theo định lý Py-ta-go đảo ta có

a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: b + c > a

nhân cả hai vế với a ta có : ab + ac > a2 (điều phải chứng minh)

*) Rõ ràng việc vận dụng định lý Py-ta-go và rồi vận dụng bất đẳng

thức tam giác đ làm cho bài toán đã trang bị cho các em những kiến ợc chứng minh dễ dàng, dễ hiểu, gần gũi với đối tợng học sinh lớp 7

Ví dụ 3

Cho hai số a, b > 0 Chứng minh rằng a b ab

Lời giải :

- Gọi a là độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC, b là

độ dài cạnh góc vuông còn lại Khi đó độ dài cạnh huyền chính là

b

a  điều này luôn thoả m n vì:ã trang bị cho các em những kiến

( a)2 + ( b)2 = ( a  b)2(định lý Py- Ta - Go đảo)

Vậy theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AB + AC > BC

=> a b ab(điều phải chứng minh)

Ví dụ 4:

Cho hai số a > b > 0 Chứng minh a - b < a  b

Tơng tự ví dụ 3 : Dựng một tam giác vuông ABC có độ dài cạnh góc vuông AC = b, độ dài cạnh góc vuông AB = a  b khi đó độ dài cạnh huyền chính là a điều đó luôn thoả m n vì:ã trang bị cho các em những kiến

( a )2 - ( b)2 = ( a  b )2 (Định lí Py- Ta- Go)

Vậy theo Bất đẳng thức tam giác ta có:

BC - AC < AB

=> a - b < a  b(điều phải chứng minh)

*) Sau khi học sinh đ làm đ ã trang bị cho các em những kiến ợc bài tập ở ví dụ 3 thì với

ví dụ 4 các em sẽ nghĩ ngay đến ví dụ 3 và có thể vận dụng vào làm

bài Từ cách làm nh 2 ví dụ trên ta có thể cho các em làm bài tập

Năm học 2005 - 2006

9

nâng cao hơn nữa để qua đó các em rèn cho các em t duy suy luận,

đồng thời đảm bảo tính liền mạch trong nội dung kiến thức nh ví dụ sau :

Ví dụ 5

a 16  a  1 3

Giải

Dựng tam giác vuông ABC thoả m n ã trang bị cho các em những kiến

 0

A 90 , AB a , AC 4

Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho

AD = 1, DC = 3

-Xét tam giác ABD và

tam giác ABC vuông tại A

Theo định lý Py - Ta - Go ta có :

BD2 = AB2 + AD2 = ( a )2 + 12 = a2 + 1 => BD = 2

a 1

BC2 = AB2 + AC2 = ( a )2 + 42 = a2 + 16 => BC = 2

a 16

- Xét tam giác BCD có : BC – BD < CD (bất đẳng thức tam giác)

a 16  a  1 3 (đpcm)

Một số bài tập tập tham khảo :

Bài 1: Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC

Chứng minh:

OA + OB + OC < AB + AC + BC < 2(OA + OB + OC)

Bài 2: Cho tam giác ABC M là điểm nằm trên tia phân giác ngoài của góc C Chứng minh: MA + MB > AB + BC

Bài 3: Biết a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a + b + c = 4 Chứng minh rằng: abc + 8 < 2(ab + ac + bc)

Bài 4:Cho a, b, c là 3 số lớn hơn 0, thoả m n: aã trang bị cho các em những kiến 2 - b2 = c2

Chứng minh: ab – ac < a2

Bài 5: Cho a  0 chứng minh:

a 9  2 a 1

II)Kết quả:

Năm học 2005 - 2006

10

A

B

3

a

D

Với nội dung kiến thức nh trên khi áp dụng vào việc bồi dỡng các

em học sinh khá - giỏi, so với năm trớc khi cha áp dụng kết quả thu

đợc nh sau:

- Tất cả các em đều nắm chắc hơn kiến thức về bất đẳng thức tam giác

- Có kỹ năng tốt hơn trong việc giải một bài toán về bất đẳng thức tam giác

- Các em đ đ có ý thức nhìn nhận một bài toán dã trang bị cho các em những kiến ã trang bị cho các em những kiến ới nhiều khía cạnh khác nhau, nhất là tìm mối liên hệ giữa hình học và đại số

III)Hạn chế :

Bên cạnh những kết quả đ đạt đã trang bị cho các em những kiến ợc thì vẫn còn một số hạn chế sau:

- Đây là kiến thức tơng đối khó vì nó liên quan nhiều đến “Bất

đẳng thức” các em cha đợc học(giáo viên phải bổ sung) vì vậy khả năng vận dụng của các em phần nào bị hạn chế

- Đề tài chỉ áp dụng đối với học sinh khá - giỏi – Không có tính th-ờng xuyên

IV) Điều kiện áp dụng:

- Đối với học sinh khá - giỏi Toán 7

- Với phơng pháp vận dụng vào giải những bài toán Đại số có thể áp dụng với học sinh lớp 8 – 9

V) Bài học kinh nghiệm :

- Dù là dạng toán nào và khó đến đâu đi nữa nếu đợc trang bị một cách đầy đủ những kiến cơ bản thì các em sẽ có đủ tự tin để phát huy

t duy sáng tạo của mình

- Với mỗi tính chất toán học ngoài việc hệ thống hoá kiến thức cơ bản giáo viên cần cung cấp cho các em các quy tắc, thuật giải, các

ph-ơng pháp chứng minh cụ thể, dễ hiểu để các em dễ vận dụng

- Trớc mỗi bài toán giáo viên cần rèn cho học sinh kỹ năng phân tích, phán đoán từ đó chọn ra phơng pháp chứng minh đơn giản và hiệu qủa nhất

- Ngoài những phơng pháp giải vận dụng trực tiếp kiến thức đang học, mỗi bài toán cần nhìn nhận ở nhiều khía cạnh khác nhau bài toán hình có thể có phơng pháp giải đại số và ngợc lại

Phần c kết luận và kiến nghị

I.Kết luận.

Trên đây là toàn bộ nội dung đề tài mà tôi đ nghiên cứu và thực ã trang bị cho các em những kiến

nghiệm trong năm học này Đề tài này bớc đầu đ mang lại cho tôi ã trang bị cho các em những kiến

một số kết quả nhất định song nó cha thật hoàn hảo Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo để đề tài đợc hoàn thiện hơn Qua đây tôi rất mong nhận đựơc sự góp ý của tổ

chuyên môn, của đồng nghiệp để cho đề tài của tôi đợc hoàn thiện hơn

Năm học 2005 - 2006

11

II Kiến nghị.

- Với Nhà trờng, Phòng giáo dục : Cần tổ chức nhiều chuyên đề trong một năm học để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau về chuyên môn nghiệp vụ

- Với ngành : Cần có sự chỉ đạo thống nhất trong việc phát hành các loại sách tham khảo tránh tản mạn và trùng lặp giữa các loại sách

Xin trân trọng cảm ơn !

Năm học 2005 - 2006

12