Các bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác và ứng dụng.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ TRỌNG HẬU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC H{ Nội – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ TRỌNG HẬU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ng{nh: Phương phá p toá n sơ cá p M~ số: 604640 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LE ĐÌNH ĐỊNH H{ Nội – Năm 2013 MỤC LỤC MỞ ĐÀ U LỜI CẢ M ƠN NHỮNG KÍ HIẸ U DÙ NG TRONG LUẠ N VAN Chương 1: KIÉ N THỨC CHUẢ N BỊ 1.1 Định lí hà m só sin: 1.2 Định lí hà m só cos: 1.3 Định lí hà m só tan: 1.4 Cong thức tính diẹ n tích tam giá c: 10 1.5 Cong thức tính bá n kính: 10 1.6 Cong thức đường trung tuyé n : 11 1.7 Cong thức phan giá c trong: 11 1.8 Cong thức hình chié u: 11 1.9 Mọ t só đả ng thức bả n tam giá c 11 1.10 Một số bất đẳng thức 17 1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy 17 1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) 17 1.10.3 Bất đẳng thức TrêBưSep 18 Chương 2: 20 TÌM MÓ I LIEN HẸ CHO NHỮNG ĐẠ I LƯỢNG TRONG TAM GIÁ C 20 2.1 Đưa v{o thơng số thích hợp cho tam gi|c 20 2.1.1 Đưa thong só mới và o tam giá c 20 2.1.2 Những đại lượng biểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n bất phương trình (2.1.1) 22 2.1.3 Những miền G, tương ứng với tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam gi|c vuông 24 2.1.4 Tìm biểu thức đại lượng tam gi|c thông qua thông số p,x,y 26 2.1.5.Tìm mối liên hệ đại lượng tam gi|c 28 2.2 Phương trình bạ c ba theo cá c yé u tó tam giá c 35 2.2.1 Phương trình bạ c ba theo yé u tó cạ nh củ a tam giá c 35 Chương 3: 60 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 60 3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị h{m số cos v{ sin 60 3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 66 3.3 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 74 3.4 Phương phá p chứng minh bá t đả ng thức tam giá c nhờ bá t đả ng thức Jenxen 81 KẾT LUẬN 94 T{iliệuthamkhảo 95 MỞ ĐÀ U Trong hoạt động dạy v{ học nh{ trường, vấn đề tìm tịi đúc kết n}ng tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ l{m rõ nội dung b{i to|n dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu v{ có nhiều hội s|ng tạo, l{ đổi phương ph|p dạy học L{ gi|o viên giảng dạy môn to|n trung học phổ thông, đ~ gặp nhiều trắc trở công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n bậc phổ thông trung học Vì b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, c|ch giải thể kh|i niệm to|n học Trong c|c c|ch giải kh|c đó, có c|ch giải thể tính hợp lí dạy học, có c|ch giải thể tính s|ng tạo to|n học Những vá n đè lien quan đé n tam giá c luon là vá n đè hay và khó ở phỏ thong đó i với cả người dạ y và người họ c Vì cá c hẹ thức tam giá c rá t nhiè u, phong phú và đa dạ ng Trong luạ n van nà y chú ng toi xin đưa mọ t só cá ch phan loạ i cá c hẹ thức, cá ch tìm cá c hẹ thức tam giá c đẻ người họ c thá y vá n đè bả n chá t Luạ n van được chia là m ba chương: Chương 1: KIé n thức chuẩ n bị - Chương nà y hẹ thó ng lạ i cá c định lí, cong thức và mọ t só đả ng thức, bá t đả ng thức bả n nhá t củ a tam giá c định lí hà m só sin, hà m só cos,…, cá c cong thức tính diẹ n tích, đường cao bá n kính… - Phà n 1.9 hẹ thó ng lạ i những đả ng thức vè yé u tó gó c bả n tam giá c - Phà n 1.10 neu lạ i mọ t só bá t đả ng thức bả n dù ng luạ n van đẻ chứng minh cá c bà i toá n bá t đả ng thức tam giá c Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng tâm giác Trong chương nà y đưa hai cá ch đẻ tìm được cá c hẹ thức tam giá c Cá ch thứ nhá t là đưa và o thong só thích hợp cho tam giá c Cá ch thứ hai là chỉ cá c yé u tó tam giá c là nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba tương ứng từ đó dựa và o tính chá t nghiẹ m tìm cá c hẹ thức tam giá c 2.1 Đưâ vào những thơng sớ thích hợp cho tâm giác Bà ng cá ch đạ t 𝑝 = 𝑎+𝑏+𝑐 𝑥= 4𝑏 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑎+𝑏+𝑐 8𝑏 − 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) 𝑦= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 Ta sẽ xay dựng cá c đả ng thức và bá t đả ng thức tam giá c Thié t lạ p cá c cong thức củ a cá c yé u tó tam giá c gó c, đọ dà i trung tuyé n, đọ dà i đường cao, đọ dà i cá c loạ i bá n kính, cong thú c diẹ n tích Á p dụ ng đẻ giả i mọ t só bá t đả ng thức tam giá c 2.2 Phương trình bậ c bâ theo cấ c yé u tó tâm giấ c Cá c yé u tó tam giá c có thẻ bié n đỏ i theo ba đạ i lượng, có thẻ gọ i là ba đạ i lượng bả n củ a tam giá c đó là R, r, p Ta sẽ chỉ rà ng cá c yé u tó củ a tam giá c (cạ nh, đường cao, hà m só lượng giá c củ a cá c gó c…) là nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba mà hẹ só theo ba yé u tó bả n củ a tam giá c Chương 3Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức tâm giác Chương nà y là dù ng kié n thức phỏ thong, cá c bá t đả ng thức quen thuọ c miè n giá trị củ a hà m sin, hà m cos, bá t đả ng thức Cauchy, bá t đả ng thức Chebyshev, bất đẳng thức Jenxen đẻ chứng minh cũ ng xay dựng cá c bá t đả ng thức tam giá c Phà n nà y là đú c rú t củ a chú ng toi qua quá trình bò i dưỡng , dạ y on thi Đạ i họ c và họ c sinh giỏ i LỜI CẢ M ƠN Luạ n van được hoà n thà nh dưới sự hướng dã n tạ n tình củ a Thà y, Ts Lê Đình Định Thà y đã hé t lò ng giú p đỡ, dạ y bả o, đọ ng vien suó t quá trình họ c tạ p cũ ng là m luạ n văn Toi xin gửi tới Thà y lời cả m ơn sau sá c nhá t! Toi xin bà y tỏ lời cả m ơn chan thà nh đé n tá t cả cá c thà y co khoa toá n – – tin củ a trường ĐHKHTN – ĐHQGHN đã chỉ bả o tạ n tình suó t quá trình toi họ c tạ p tạ i trường Nhan dịp nà y, cho toi bà y tỏ lò ng bié t ơn tới gia đình, cả m ơn tới bạ n bè đã cỏ vũ , đọ ng vien toi suó t quá trình họ c Do thời gian có hạ n, trình đọ bả n than cò n hạ n ché nen luạ n van khong thẻ khong có những thié u só t Toi rá t mong được sự đó ng gó p ý kié n củ a thá y co và cá c bạ n đẻ luạ n van được hoà n thiẹ n Xin chan thà nh cả m ơn Vĩnh Phú c, 10\05\2013 Hà Trọ ng Hạ u NHỮNG KÍ HIẸ U DÙ NG TRONG LUẠ N VĂN ∆ 𝐴𝐵𝐶 ∶ Tam giá c ABC A, B, C : Cá c đỉnh củ a tam giá c hay só đo gó c tam giá c ABC a, b, c : Đọ dà i cá c cạ nh đó i diẹ n cá c gó c A, B, C 𝑙𝑎 , 𝑙𝑏, 𝑙𝑐 : Đọ dà i cá c đường phan giá c xuá t phá t từ A, B, C 𝑅: Đọ dà i bá n kình đường trò n ngoạ i tié p ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑟: Đọ dà i bá n kính đường trò n nọ i tié p ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 , 𝑟𝑐 : Đọ dà i bá n kính đường trò n bà ng tié p cá c gó c A, B, C củ a ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑝: Nửa chu vi 𝑆: Diẹ n tích tam giá c Chương1: KIÉ N THỨC CHUẢ N BỊ 1.1 Định lí hầ m só sin: 𝑎 𝑏 𝑐 = = = 2𝑅 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶 1.2 Định lí hầ m só cos: 𝑎2 = 𝑏 + 𝑐 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏 = 𝑎2 + 𝑐 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐴 1.3 Định lí hầ m só tan: 𝐴−𝐵 𝑎 − 𝑏 𝑡𝑎𝑛 = 𝑎 + 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝐴+𝐵 𝐵−𝐶 𝑏 − 𝑐 𝑡𝑎𝑛 = 𝑏 + 𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝐵+𝐶 𝐶−𝐴 𝑐 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛 = 𝑐 + 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝐶+𝐴 1.4 Công thức tính diẹ n tích tâm giấ c: 1 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑕𝑎 = 𝑏𝑕𝑏 = 𝑐𝑕𝑐 2 1 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑐𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐵 2 = 𝑎𝑏𝑐 = 𝑝𝑟 = (𝑝 − 𝑎)𝑟𝑎 = (𝑝 − 𝑏)𝑟𝑏 = (𝑝 − 𝑐)𝑟𝑐 4𝑅 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) (cong thức He-ron) 1.5 Công thức tính bấ n kính:  Bá n kính đường trò n ngoạ i tié p 𝑅= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 = = = 2𝑠𝑖𝑛𝐴 2𝑠𝑖𝑛𝐵 2𝑠𝑖𝑛𝐶 4𝑆  Bá n kính đường trò n nọ i tié p 𝑟 = (𝑝 − 𝑎)𝑡𝑎𝑛 = 𝐴 𝐵 𝐶 = (𝑝 − 𝑏)𝑡𝑎𝑛 = (𝑝 − 𝑐)𝑡𝑎𝑛 2 𝑆 𝑝  Bá n kính đường trò n bà ng tié p: 𝑟𝑎 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐴 𝑆 = 𝑝−𝑎 𝑟𝑏 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐵 𝑆 = 𝑝−𝑏 𝑟𝑐 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐶 𝑆 = 𝑝−𝑐 Hướng dẫn: 𝑎≥ 𝑏≥ 𝑐 𝑎 ≥ 𝑏+𝑐−𝑎 𝑏 ≥ 𝑎+𝑐−𝑏 𝑐 𝑏+𝑎−𝑐 Bài 3.3.18: Cho ∆𝐴𝐵𝐶thỏa m~n điều kiện: 𝑎𝑡𝑎𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑏𝑡𝑎𝑛 + 𝑐𝑡𝑎𝑛 = 6𝑝𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 2 2 2 Chứng minh ∆𝐴𝐵𝐶 Hướng dẫn: 𝑎≥𝑏≥𝑐 𝐴 𝐵 𝐶 𝑡𝑎𝑛 ≥ 𝑡𝑎𝑛 ≥ 𝑡𝑎𝑛 2 Bài 3.3.19: Cho ∆𝐴𝐵𝐶nhọn, tìm gi| trị lớn của: 𝑎2 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝐸= + + 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑏𝑎 Hướng dẫn: 𝑎2 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 𝑠𝑖𝑛2𝐴 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝐶 3.4 Phương phấ p chứng minh bấ t đẩ ng thức tâm giấ c nhờ bấ t đẩ ng thức Jenxen Trong mụ c nà y ta sử dụ ng tính chá t lò i lõ m củ ahà m só lượng giá c đẻ chứng minh mọ t só dạ ng bá t đả ng thức tam giá c Cũ ng sử dụ ng tính chá t lò i, lõ m củ a hà m lượng giá c và bá t đả ng thức Jenxen đẻ xay dựng cá c bà i toá n bá t đả ng thức tam giá c Định lí 3.4.1Cho0 < 𝑥𝑖 < 𝜋, (𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ta có 𝑛 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑖 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑖=𝑛 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 𝜋 Định lí 3.4.2Cho0 < 𝑥𝑖 < , (𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ta có 𝑛 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑖 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑖=𝑛 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 𝜋 Định lí 3.4.3 Cho0 < 𝑥𝑖 < , (𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ta có 𝑛 𝑛 𝑖=𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑖 ≥ 𝑡𝑎𝑛 𝑛 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 𝜋 Định lí 3.4.4Cho0 < 𝑥𝑖 < , (𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ta có 𝑛 𝑛 𝑖=𝑛 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑖 ≥ 𝑐𝑜𝑡 𝑛 𝑛 𝑥𝑖 𝑖=1 Hẹ 3.4.1Với0 < 𝑥, 𝑦 < 𝜋, chứng minh rà ng 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑥+𝑦 ≤ 𝑠𝑖𝑛 2 Chứ ng minh Ta có 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦 Vì < 𝑥, 𝑦 < 𝜋 ta suy 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 > 0, 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 ≤ 2𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 > 0, suy 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 , (do 𝑐𝑜𝑠 ≤ 1) 2 Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 Hẹ quẩ 3.4.2Với0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < 𝜋, chứng minh rà ng 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≤ 𝑠𝑖𝑛 3 Chứng minh Bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑇 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≤ 4𝑠𝑖𝑛 3 Á p dụ ng hẹ quẩ 3.4.1 ta thu được điè u phả i chứng minh Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.3Với0 < 𝑥, 𝑦 < , chứng minh rà ng 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒚 𝑥+𝑦 ≤ 𝑐𝑜𝑠 2 Chứ ng minh Ta có 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑥+𝑦 2 Vì < 𝑥, 𝑦 < ta suy 𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦 > 0, 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 ≤ 2𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦 > 0, suy 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 , (do 𝑐𝑜𝑠 ≤ 1) 2 Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.4Với0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < , chứng minh rà ng 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≤ 𝑐𝑜𝑠 3 Chứ ng minh Bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑇 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≤ 4𝑐𝑜𝑠 3 Á p dụ ng hẹ quẩ 3.4.3 ta thu được điè u phả i chứng minh Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.5Với < 𝑥, 𝑦 < , chứng minh rà ng 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑥+𝑦 ≤ 𝑡𝑎𝑛 2 Chứ ng minh Giả sử 𝑥 ≥ 𝑦, bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 ↔ 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 ≥ 𝑡𝑎𝑛 − 𝑡𝑎𝑛𝑦 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 ≥ 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 𝜋 Vì 𝑥 ≥ 𝑦, < 𝑥, 𝑦 < ta suy 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 ≥ 0, 𝑐𝑜𝑠 > 0, 𝑐𝑜𝑠𝑦 > 2 Và nhạ n được bá t đả ng thức tương đương 𝑐𝑜𝑠𝑦 ≥ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥 Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 𝜋 Hẹ quả 3.4.6Với0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < , chứng minh rà ng 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 𝑡𝑎𝑛 3 Chứ ng minh Bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑇 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑧 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 4𝑡𝑎𝑛 3 Á p dụ ng hẹ quẩ 3.4.5 ta thu được điè u phả i chứng minh Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.7Với < 𝑥, 𝑦 < , chứng minh rà ng 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑦 𝑥+𝑦 ≤ 𝑐𝑜𝑡 2 Chứ ng minh Giả sử 𝑥 ≥ 𝑦, bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑐𝑜𝑡𝑦 − 𝑐𝑜𝑡 ↔ 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 ≥ 𝑐𝑜𝑡 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦 ≥ 𝑥−𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦 𝜋 Vì 𝑥 ≥ 𝑦, < 𝑥, 𝑦 < ta suy 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 ≥ 0, 𝑠𝑖𝑛 > 0, 𝑠𝑖𝑛𝑦 > 2 Và nạ n được bá t đả ng thức tương đương 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≥ 𝑠𝑖𝑛𝑦 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥 Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 𝜋 Hẹ quẩ 3.4.8Với0 < 𝑥, 𝑦, 𝑧 < , chứng minh rà ng 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑦 + 𝑐𝑜𝑡𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 𝑐𝑜𝑡 3 Chứ ng minh Bá t đả ng thức cà n chứng minh tương đương với 𝑇 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑦 + 𝑐𝑜𝑡𝑧 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 4𝑐𝑜𝑡 3 Á p dụ ng hẹ quẩ 3.4.7 ta thu được điè u phả i chứng minh Dá u bà ng xả y 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 Từ cấ c hẹ quẩ tâ xây dựng được các tập Bài tập 3.4.1 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 3 Bài tậ p 3.4.2 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑠𝑖𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝑠𝑖𝑛 ≤ 2 2 Bài tập 3.4.3 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐶 ≤ Bài tập 3.4.4 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝐵 𝐶 3 + 𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 ≤ 2 2 Bài tập 3.4.5 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c nhọ n ta có : 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝐵 + 𝑡𝑎𝑛𝐶 ≥ 3 Bài tập 3.4.6 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑡𝑎𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 ≥ 2 Bài tập 3.4.7 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c nhọ n ta có : 𝑐𝑜𝑡𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝐵 + 𝑐𝑜𝑡𝐶 ≥ Bài tập 3.4.8 Với A, B, C là ba gó c củ a mọ t tam giá c ta có : 𝑐𝑜𝑡 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑐𝑜𝑡 + 𝑐𝑜𝑡 ≥ 3 2 Bài tập 3.4.9 Tìm gi| trị lớn biểu thức : 𝐶 𝑃 = 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 Hướng dẫn : 𝑃≤4 𝐶 𝐶 2 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝑠𝑖𝑛 Áp dụng hệ quả3.4.1 Bài tập 3.4.10 Chứng minh : (theo B C S) 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 2𝐵 𝐵 + 2𝐶 𝐶 + 2𝐴 + 𝑠𝑖𝑛 + 𝑠𝑖𝑛 3 Hướng dẫn: 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 2𝑠𝑖𝑛𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 2𝐵 Bài tập 3.4.11 Chứng minh rằng: 𝑡𝑎𝑛3 𝐴 + 𝑡𝑎𝑛3 𝐵 + 𝑡𝑎𝑛3 𝐶 ≥ 𝑐𝑜𝑡 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑐𝑜𝑡 + 𝑐𝑜𝑡 2 Trong A,B,C l{ c|c góc nhọn tam gi|c Hướng dẫn: 𝑡𝑎𝑛3 𝐴 + 𝑡𝑎𝑛3 𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝐵 ≥ 2 ≥ 𝑡𝑎𝑛3 𝐴+𝐵 𝐶 = 𝑐𝑜𝑡 2 Bài tập 3.4.12 Chứng minh 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝐴 + 2𝐵 𝐵 + 2𝐶 𝐶 + 2𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 3 Hướng dẫn: 𝑠𝑖𝑛 𝐴𝑠𝑖𝑛 3𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝐴 + 2𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛 3 Bài tập 3.4.13 Tìm gi| trị nhỏ biểu thức 𝑃= Hướng dẫn: 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠 𝐶 𝑃≥ 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝐶 𝑐𝑜𝑠 + ≥ 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝐴 +𝑐𝑜𝑠𝐵 +2𝑐𝑜𝑠 𝐶 ≥ 𝑐𝑜𝑠 4 𝜋 Bài tập 3.4.14 Chứng minh 𝑃 = 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐴 1+ ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐵 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝑠𝑖𝑛3 𝐶 1+ 𝐴+2𝐵 𝑠𝑖𝑛3 1+ 𝐵+2𝐶 𝑠𝑖𝑛3 𝐶+2𝐴 Hướng dẫn: 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐴 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐵 ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛2 𝐵 3 ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴 +2𝑠𝑖𝑛𝐵 3 ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛3 𝐴+2𝐵 Bài tập 3.4.15 Chứng minh 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛2 𝐵 𝐶 𝑠𝑖𝑛3 ≤ 64 Hướng dẫn: 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛2 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 2𝑠𝑖𝑛 + 3𝑠𝑖𝑛 𝐵 𝐶 𝑠𝑖𝑛3 ≤ 6 ≤ 𝑠𝑖𝑛6 𝜋 Bài tập 3.4.16 Với 𝐴, 𝐵, 𝐶 l{ góc tam gi|c nhọn Chứng minh rằng: + 𝑡𝑎𝑛2 𝐴 + + 𝑡𝑎𝑛2 𝐵 + + 𝑡𝑎𝑛2 𝐶 ≤ Hướng dẫn + 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝐵 𝐶 + + 𝑐𝑜𝑠 + + 𝑐𝑜𝑠 2 Vì có + 𝑎2 + + 𝑏 ≥ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑹+ 4+ 𝑎+𝑏 Ta có: + 𝑡𝑎𝑛2 𝐴 + + 𝑡𝑎𝑛2 𝐵 ≥ ≥ + 4𝑡𝑎𝑛2 + 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 𝑡𝑎𝑛𝐵 𝐴+𝐵 𝐶 ≥ + 𝑐𝑜𝑡 2 Nhận xét : Nếu f l{ h{m lồi ta có : 𝑓 𝐴 + 𝑓(𝐵) ≥ 2𝑓 Hoặc 𝐴+𝐵 2 𝐴+𝐵 𝑓 𝐴 𝑓(𝐵 ≥ 𝑓 Đẳng thức xảy v{ khi𝐴 = 𝐵 𝜋 𝐶+ 𝜋 𝑓 𝐶 +𝑓 ≥ 2𝑓 𝜋 Hoặc 𝐶+ 𝜋 𝑓 𝐶 𝑓 ≥ 𝑓 2 Đẳng thức xảy v{ 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 𝑓 𝐴 + 𝑓 𝐵 + 𝑓(𝐶) ≥ 3𝑓 Hoặc 𝑓 𝐴 𝑓 𝐵 𝑓(𝐶) ≥ 𝑓 𝜋 𝜋 3 Đẳng thức xảy v{ 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 Tương tự ta có đẳng thức với chiều ngược lại Xét c|c h{m : 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 = > 0, ∀𝑥 ∈ 0, 𝜋 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝒂) 𝑓 𝑥 = + Có 𝑓 ′′ 𝒃) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛6 𝑥 𝜋 Có 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0, ) 𝒄) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 Có 𝑓 ′′ 𝑥 = − sin 𝑥 + 𝜋 𝜋 < 0, ∀𝑥 ∈ (0, ) 𝒅) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 6𝑡𝑎𝑛𝑥 6𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝜋 ′′ Có 𝑓 𝑥 = + > 0, ∀𝑥 ∈ (0, ) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝒆) 𝑓 𝑥 = 𝑥 (𝑠𝑖𝑛 ) 𝑛 Có 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑥 (𝑠𝑖𝑛 ) 4𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑠𝑖𝑛 𝑥 3𝑛−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 3𝑛 > 0, ∀𝑥 ∈ (0, 𝜋) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 < 0, ∀𝑥 ∈ (0, 𝜋) 4 𝒇) 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 Có 𝑓 ′′ 𝒈) 𝑓 𝑥 = Có 𝑓 ′′ Có 𝑓 𝜋 −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 = > 0, 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝒉) 𝑓 𝑥 = ′′ 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ∀𝑥 ∈ (0, ) 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0, 𝜋) Từ tâ xây dựng được các tập tiếp theo: Bài tập 3.4.17: Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝐻ướ𝑛𝑔 𝑑ẫ𝑛 ∶ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴 1+ 1+ 1+ ≥ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐶 1 1 =1+ + + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥1+ = 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ 1+ = 1+ − cos⁡ (𝐴 + 𝐵) + 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 2 cos 𝐴 − 𝐵 − cos⁡ (𝐴 + 𝐵) 2 = 1+ 𝐴+𝐵 𝑠𝑖𝑛 Suy 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐴 1+ 1 ≥ 1+ 𝐴+𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛 Tương tự 1+ 𝑠𝑖𝑛𝐶 1+ 1 ≥ + 𝐶+60 𝑠𝑖𝑛600 𝑠𝑖𝑛 Bài tập 3.4.18 : Chứng minh tam gi|c ta ln có : 𝑠𝑖𝑛6 Hướng dẫn: 𝐴 𝐵 𝐶 𝑠𝑖𝑛6 𝑠𝑖𝑛6 ≥ 2 64 𝐴 𝑠𝑖𝑛6 𝐵 + 𝑠𝑖𝑛6 2 ≥ 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 𝐵 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 1− 2 cos 𝐴 + 𝐵 cos 𝐴 − 𝐵 = 1− ∙ 2 𝐴+𝐵 = 𝑠𝑖𝑛6 𝐴+𝐵 ≥ − 𝑐𝑜𝑠 Suy 𝑠𝑖𝑛6 𝐴 𝐵 𝐴+𝐵 + 𝑠𝑖𝑛6 ≥ 2𝑠𝑖𝑛6 2 Bài tập 3.4.19: Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta ln có : 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≤ 2 + 4 Hướng dẫn 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2cos⁡ 𝐴 − Nếu max 𝐴, 𝐵, 𝐶 ≥ Nếu max 𝐴, 𝐵, 𝐶 ≤ cos 𝐴 − ≤ 3𝜋 3𝜋 𝜋 cos⁡ 𝐵 − 𝜋 cos⁡ 𝐶 − 𝜋 => xong ! : 𝜋 𝜋 𝜋 cos 𝐵 − = 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 − + 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 4 2 𝜋 + 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 + 2 Suy cos 𝐴 − ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝐴+𝐵 𝜋 − 𝜋 𝜋 𝐴+𝐵 𝜋 cos 𝐵 − ≤ 𝑐𝑜𝑠 − 4 Bài tập 3.4.20Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 𝑡𝑎𝑛3 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝑡𝑎𝑛3 + 𝑡𝑎𝑛3 ≥ 2 3 3 Bài tập 3.4.21Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝑛 + 𝑠𝑖𝑛𝑛 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝑛 ≥ 2𝑛 (𝑛𝑙à 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔) 𝐶 Bài tập 3.4.22Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝐵 𝐶 𝜋 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 + 𝐶𝑐𝑜𝑠 ≤ 1+ 4 4 Bài tập 3.4.23Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 nhọn : 𝜋 𝜋 𝜋 − 𝐴 cos − 𝐵 cos − 𝐶 ≥ + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶 4 2 cos Bài tập 3.4.24Chứng minh với tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta có : 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 ≥ 2+ Hướng dẫn 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ ≥ + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 = ≥ 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 𝐴+𝐵 + 𝑠𝑖𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛 2 Suy 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 1 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ + 𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐵 KẾTLUẬN Khi là m luạ n van vè cá c bá t đả ng thức và đả ng thức tam giá c toi mới thực sự thá y vẻ đẹ p, sự kì diẹ u củ a tam giá c và cá c yé u tó tam giá c Cá c đả ng thức và bá t đả ng thức tam giá c chú ng khong lẻ tẻ , rời rạ c, rieng rẽ mà có mọ t mó i quan hẹ “anh em” nà o đó Toi thạ t sự bị me hoạ c, cà ng nghien cứu cà ng thá y bị cuó n hú t Xay dựng đả ng thức,bá t đả ng thức tam giá c cơbản đượcrấtnhiều ngườinghiên cứuv{s|ngtạo.Việctìmrac|i mớikhơngđơngiản.Trongbảnluậnvănn{yt|cgiảcũngđ~đạtđược mộtsốkếtquảsau: Tá c giả đã hẹ thó ng lạ i được cá c cong thức, tính chá t, định lí bả n và cá c đả ng thức bả n tam giá c Tá c giả đưa hai cá ch đẻ tìm cá c hẹ thức tam giá c Cá ch thứ nhá t là đưa và o thong só thích hợp cho tam giá c(x, y, p) Cá ch thứ hai là chỉ cá c yé u tó tam giá c là nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba tương ứng từ đó dựa và o tính chá t nghiẹ m tìm cá c hẹ thức tam giá c Dù ng kié n thức phỏ thong, cá c bá t đả ng thức quen thuọ c miè n giá trị củ a hà m sin, hà m cos, bá t đả ng thức Cauchy, bá t đả ng thức Chebyshev đẻ chứng minh cũ ng xay dựng cá c bá t đả ng thức tam giá c Sử dụng bất đẳng thức Jenxen để x}y dựng c|c bất đẳng thức tam gi|c v{ sau dùng kiến thức phổ thơng giới hạn thi đại học để giải Mọ t là n nữa, tá c giả xin gửi lời cả m ơn sau sá c tới TS Le Đình Định, cá c thà y co giá o giả ng dạ y tạ i khoa toá n – – tin đã nhiẹ t tình dạ y bả o hướng dã n suó t quá trình tá c giả i họ c tạ p và nghien cứu Hà Trọng Hậu Tàiliệuthamkhảo [1]Nguyễn Hữu Điể n , Những phương pháp điể n hiǹ h giải toán phổ ng thông, nxb Giáo du ̣c - 2001 [2]Nguyễn Văn Hiế n , Bấ t đẳ ng thức tam giác , nxb Hải Phòng 2000 [3]Phan Huy Khải , Tuyể n cho ̣n những bài toán lươ ̣ng giác tập 2, nxb Giáo dục 1998 [4]Phan Huy Khải , 10000 toán sơ cấp bất đẳng thức hình học , nxb Hà Nội, 2001 [5]Phan Huy Khải – Trầ n Hữu Nam , Bấ t đẳ ng thức và ứng du ̣ng , nxb Giáo Du ̣c - 2009 [6]Nguyễn Vũ Lương , Lươ ̣ng giác , tâ ̣p 2: Cực tri ̣và c ác toán tam giác , nxb Giáo du ̣c - 2010 [7]Nguyễn Văn Mâ ̣u , Đàm Văn Nhỉ , Đồng thức phương pháp tọa độ hình học, nxb ĐHQG – 2012 [8] Le Đình Thịnh, Le Đình Định, On luyẹ n toá n sơ cá p, nxb Giá o dụ c - 2011