Các bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác và ứng dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N IẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIỌC QUỐC GIA HÀ NỘIỐC GIA HÀ NỘIỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNG Đ I H C KHOA H C T NHIÊNẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNỰ NHIÊN -

HÀ TR NG H UỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNẬU

CÁC B T Đ NG TH C, Đ NG TH C TRONGẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONGẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONGỨC, ĐẲNG THỨC TRONGẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONGỨC, ĐẲNG THỨC TRONGTAM GIÁC VÀ NG D NGỨC, ĐẲNG THỨC TRONGỤNG

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H CẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Đ I H C QU C GIA HÀ N IẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIỌC QUỐC GIA HÀ NỘIỐC GIA HÀ NỘIỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNG Đ I H C KHOA H C T NHIÊNẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNỰ NHIÊN -

HÀ TR NG H UỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNẬU

CÁC B T Đ NG TH C, Đ NG TH C TRONGẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONGẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONGỨC, ĐẲNG THỨC TRONGẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONGỨC, ĐẲNG THỨC TRONGTAM GIÁC VÀ NG D NGỨC, ĐẲNG THỨC TRONGỤNG

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H CẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:I HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:NG D N KHOA H C:ẪN KHOA HỌC: ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

M CL CỤNG ỤNG

́

5M ĐAUỞĐAUL I C M N ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:7NH NG KÍHI U DÙNG TRONG 8

LU N VAN ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI8Ch ng 1: ương pháp toán sơ cap9́ ́ .

9KIEN TH C CHUAN BỨC CHUAN BỊỊNH1.1 Đ nh líhàm soịnh líhàm sosin: 9

1.2 Đ nh líhàm soịnh líhàm socos: 9

1.3 Đ nh líhàm soịnh líhàm sotan: 9

1.4 Cong th c tính di n tích tam giác: 10

1.5 Cong th c tính bán kính: 10

́111.6 Cong th c đưng trung tuyen :

1.7 Cong th c pha n giác trong: 11

́111.8 Cong th c hình chieu:

́́111.9 M t so đang th c c b n trong tam giác ơng pháp toán sơ cap1.10 M t s b t đ ng th c c b n ội – Năm 2013 ố:ơng pháp toán sơ cap171.10.1 B t đ ng th c Cauchy 17

1.10.2 B t đ ng th c Bunhiacopxki (B.C.S) 17

1.10.3 B t đ ng th c TrêB Sep ư18Ch ng 2: ương pháp toán sơ cap20TÌM MÓI LIEN H CHO NH NG Đ I LẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Ư!NG TRONG TAM GIÁC 20

2.1 Đ a v{o nh ng thông s thích h p cho tam gi|c ư"ố:#202.1.1 Đ a thong soưm i vào tam giác $ 20

2.1.2 Nh ng đ i l"% ư#ng bi u di n công th c (2.1.4) th a m~n nh ng b t phểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trìnhễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trìnhỏa m~n những bất phương trình"ương pháp toán sơ capng trình(2.1.1) 22

2.1.3 Nh ng mi n con c a G, t")ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamương pháp toán sơ capng ng v i nh ng tam gi|c tù, tam gi|c nh n v{ tam$"gi|c vuông 24

2.1.4 Tìm bi u th c c a nh ng đ i lểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trìnhủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam"% ư#ng c b n trong tam gi|c thông qua thông s p,x,yơng pháp toán sơ capố: 26

2.1.5.Tìm m i liên h gi a nh ng đ i lố:+ ""% ư#ng trong m t tam gi|c ội – Năm 201328́́352.2 Phương pháp toán sơ capng trình b c ba theo các yeu to trong tam giác %

352.2.1 Phương pháp toán sơ capng trình b c ba theo yeu to c nh c a tam giác %%ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamCh ng 3: ương pháp toán sơ cap60

CÁC PHƯNG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C TRONG TAM GIÁCỨC CHUAN BỊẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCẲNG THỨC TRONG TAM GIÁCỨC CHUAN BỊ 60

3.1 Phương pháp toán sơ capng ph|p ch ng minh b t đ ng th c d a v{o mi n gi| tr c a h{m s cos v{ sinựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin)ịnh líhàm so ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamố: 60

́

M ĐAỞĐÀU

Trong ho t đ ng d y v{ h c c a nh{ tr% ội – Năm 2013 % ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ư ng, v n đ tìm tòi đúc k t n}ng ) ết n}ng t m gi i to|n theo h3 ư$ng t ng qu|t, t đó l{m rõ n i dung nh ng b{i to|nổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ừ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ội – Năm 2013 "ở d ng đ c bi t, giúp cho vi c d y có đ nh h% ặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người + + % ịnh líhàm so ư$ng c th , logic, ng0 ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình ư ih c d ti p thu v{ có nhi u c h i s|ng t o, đó cũng chính l{ đ i m i phễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình ết n}ng ) ơng pháp toán sơ cap ội – Năm 2013 % ổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n $ ương pháp toán sơ capng

L{ gi|o viên gi ng d y b môn to|n trung h c ph thông, chúng tôi đ~% ở ội – Năm 2013 ổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|ng p nhi u tr c tr trong công t|c gi ng d y nhi u d ng to|n b c ph ặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người ) ắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ ở % ) % ở ậc phổ ổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|nthông trung h c Vì m i b{i to|n có nhi u c|ch gi i kh|c nhau, m i c|ch ỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch ) ỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch gi i th hi n kh|i ni m to|n h c c a nó Trong c|c c|ch gi i kh|c nhau đó,ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình + + ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamcó c|ch gi i th hi n tính h p lí trong d y h c, có c|ch gi i th hi n tính ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình + # % ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình +s|ng t o c a to|n h c.% ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

Nh ng van đe lie n quan đen tam giác luon làvan đe hay ́ "

vàkhó phoở

Lu n va n đ% ư#c chia làm ba chương pháp toán sơ capng:

Chương 1: KIen thức chuân bịng 1: KIen th c chuân bức chuân bịị

- Chương pháp toán sơ capng này h thon l i các đ nh lí,cong th c vàm t sóđan th c, baǵ lại các định lí,cong thức vàmọt sóđang̉ thức, bat́ % ịnh líhàm so g tđan th c c b n nha c a tam giác nh đ nh líhàm sósin, hàm sócos,…,g ơng pháp toán sơ cap t ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ư ịnh líhàm so

- Pha 1.9 h thon l i nh ng đan th c vèyeú tógóc c b n trong tam@ ǵ lại các định lí,cong thức vàmọt sóđang̉ thức, bat́ % " g ơng pháp toán sơ capgiác

- Phan 1.10 ne u l i m t so bat đang th c c b n dùng trong lu n

van đe

Chương 1: KIen thức chuân bịng 2: Tìm m i liên h cho nh ng đ i lối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giácệ cho những đại lượng trong tâm giácững đại lượng trong tâm giácại lượng trong tâm giác ượng trong tâm giácng trong tâm giác

Cách th hai làch ra các yéu tótrong tam giác lànghi m c a phA ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ capng trình b c ba t% ương pháp toán sơ capng ng t đód a vào tính chát nghi m tìm ra các h th c trong ừ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sintam giác.

2.1 Đ â vào nh ng thông s thích h p cho tâm giácưững đại lượng trong tâm giácối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giácợng trong tâm giác

2.2 Phương 1: KIen thức chuân bịng trình b c bâ theo c c yeu to trong tâm gi cậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấcấc yeu to trong tâm giấcấc yeu to trong tâm giấc

Các yéu tótrong tam giác cóth bién đ i theo ba đ i lẻ ỏa m~n những bất phương trình % ư#ng, cóth g i làẻ

ba đ i l% ư#ng c b n c a tam giác đólàơng pháp toán sơ capủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamR, r, p Ta sẽch ra ran các yeú tóAg

c a tam giác (c nh, đủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam % ư ng cao, hàm sólư#ng giác c a các góc…) làủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

nh mien giátr c a hàm sin, hàm cos, bat đang th c Cauchy, bat đangư ịnh líhàm so ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

các bát đ ng th c trong tam giác Phan này làđúc rút c a chúng toi qua ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamquátrình bòi dưỡng , dạy on thi Đại học vàhọc sinh giỏi.ng , d y on thi Đ i h c vàh c sinh gi i.% % ỏa m~n những bất phương trình

L I C M NỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ẢM ƠN ƠN

Lu n va n đ% ư#c hoàn thành dư$ ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin ư$i s h ng dañ t n tình c a Thaỳ, Ts Lê% ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamĐình Đ nh Thaỳ đãhe lòng giúp đ ,d y b o, đ ng vie n trong suo quáịnh líhàm so t ỡng , dạy on thi Đại học vàhọc sinh giỏi % t

Do th i gian cóh n, trình đ b n tha n còn h n chéne n lu n va n khong% % %

ýkien c aủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

c m n.ơng pháp toán sơ cap

Vĩnh Phúc, 10\05\2013

NH NG KÍHI U DÙNG TRONGỮNG KÍHIẸU DÙNG TRONGẸU DÙNG TRONGLU N VĂNẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

A, B, C : Các đ nh c a tam giác hay sóđo góc trong tam giác ABCA ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

: Đ dài bán kình đưng tròn ngo i tiép %∆: Đ dài bán kính đưng tròn n i tiép ∆

, , : Đ dài bán kính đưng tròn bàng tiép trong các góc A, B, C c aủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ∆

: Di n tích tam giác

Chương 1: KIen thức chuân bịng 1:́

KIEN TH C CHUAN BỨC, ĐẲNG THỨC TRONGỊ

1.1 Đ nh líh m soịầm sosin:

1.4 Công th c tính di n tích tâm gi c:ức chuân bịẹn tích tâm giấc:ấc yeu to trong tâm giấc

1.5 Công th c tính b n kính:ức chuân bịấc yeu to trong tâm giấc

́1.6 Công th c đức chuân bịường trung tuyen :ng trung tuyen :

1.9M t so đâng th c c b n trong tâm gi cọt so đâng thức cơ bẩn trong tâm giấcức chuân bị ơng 1: KIen thức chuân bị ẩn trong tâm giấcấc yeu to trong tâm giấc

Bài t p 1.9.1ập 1.9.1Ch ng minh rang trong m i ∆ ta luon có:

1.9.1.2 2+2+2=4

Ch ng minhứng minh

Cách ch ng minh c a bón bài làtủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ capng t nhau, ta ch ng minh bàiựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin

1.9.2.3 các bài còn l i t% ương pháp toán sơ capng t ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sinTa có

Bài 1.9.3.2 ; 1.9.3.3 ; 1.9.3.4: lan lư#t làbài tong quát c aủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài1.9.1.2;

1.9.1.4; 1.9.1.5 cách ch ng minh tương pháp toán sơ capng tựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sinbài1.9.3.1.

Bài 1.9.3.5 làbài t ng quát c aỏa m~n những bất phương trình ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài1.9.2.4

Bài 1.9.3.6 làbài t ng quát c aỏa m~n những bất phương trình ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài 1.9.2.1 ch ng minh tương pháp toán sơ capng tựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin

bài1.9.3.5.

Bài 1.9.3.7 làbài t ng quát c aỏa m~n những bất phương trình ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài 1.9.2.2

Bài t p 1.9.4.2 ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc Ch ng minh tương pháp toán sơ capng tựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sinbài1.9.4.1.

Bài t p 1.9.4.3ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc Ta có ++−( ++ )

(++)( + )

( + )=

(+) (+) (+)

Bài t p 1.9.4.4 ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc tương pháp toán sơ capng tựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sinbài1.9.4.3.

Nh n xét : ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấcThay{ , , } trong các cong th c c a bài t pủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam % 1.9.4 b iở { , , }; {(2 +1) ,(2 +1) ,(2 +1) };

1.10.2 B t đ ng th c Bunhiacopxki (B.C.S)ấc yeu to trong tâm giấcẳng thức trong ức chuân bị

Cho n c p s b t kỳ ặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, ngườiố:1,2,…, ; 1,2,…,

V i $ = 1,2, … , (N uết n}ng ≠ 0 ∀ (∗) lư#c vi t :ết n}ng

1.10.3 B t đ ng th c TrêB Sepấc yeu to trong tâm giấcẳng thức trong ức chuân bịư

Cho hai d~y s s p th t gi ng nhau:ố: ắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin ố:

th c Jenxenức chuân bị

Bat đang th c Jenxen làbat đang th c áp d ng cho hàm so loi.

1.10.4.1 Cho hàm só = ( ) xác đ nh tre nịnh líhàm so

tre n đóneú th a mãn đieù ki n sau đay :ỏa m~n những bất phương trình

1.10.4.3 Bat đang th c Jenxen

= 1 Ch ng minh rang

Chương 1: KIen thức chuân bịng 2:

TÌM M I LIÊN H CHO NH NG Đ I LỐI LIÊN HỆ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢN TRONG Ệ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢN TRONG ỮNG KÍHIẸU DÙNG TRONGẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ƯỢN TRONG N TRONG TAM GIÁC

2.1 Đ â vào nh ng thông s thích h p cho tâm giácưững đại lượng trong tâm giácối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giácợng trong tâm giác

Ta ký hiệu và là độ dài tương ứng cạnh lớn nhất và nhỏ nhất của một tam

8 hoặc là vì (2.1.3) và (2.1.5) có dạng+ 1 > , nó có thể viết lại

những điểm nằm trên cung OM trừ hai điểm đầu đều thuộc tập G tương ứngvới vô hạn những tam giác, mà chúng đồng dạng với cùng một tam giác Những điểm của miền G xác định tất cả những tam giác với những lớp đồngdạng.

2.1.3 Nh ng mi n con c â G, tững đại lượng trong tâm giácền con củâ G, tương ứng với những tâm giác tù, ủâ G, tương ứng với những tâm giác tù, ương 1: KIen thức chuân bịng ng v i nh ng tâm giác tù, ức chuân bịớivào tâm giấcững đại lượng trong tâm giáctâm

giác nh n và tâm giác vuông.ọt so đâng thức cơ bẩn trong tâm giấc

Và suy ra tam giác tù , tam giác nhọn , tam giác vuông phụ thuộc vào biểu thức 2 + 2 − 2> 0, = 0 hoặc< 0.

hiện như một cung đường cong T, mà nó cắt đường parabol = 2 − 2 tại điểm M và P( 3- 2 2 , 8 2 - 11).

1 Những tam giác vuông nhận được với tất cả những điểm trong miền

3−2 2≤ <1,=−

( −3)2

Với những điểm trên cung PM của T trừ điểm M.

2 Những tam giác tù nhận được từ những điểm trong miền

(x−3)2

nghĩa là tất những điểm giới hạn bởi đường cong T, đường thẳng = , và parabol = 2 − 2.

3 Những tam giác nhọn nhận được từ những điểm trong miền

< ≤ 2 − 2 (2.1.13)

( −3)

Nghĩa là tất cả những điểm giới hạn bởi đường T và cung PQM của parabol =2−2.

4 Ta tìm những điểm trong G tương ứng với những tam giác cân:

Từ = , ta tìm được 1 − 3 = 2 + 10 + 1 − 8 , mà nó chỉ có khả năng với x ≤ 1 Bình phương 2 vế đẳng thức trên, ta nhận đượcdạng

= 2 − 2 Như vậy ta nhận được cung parabol:

Kết luận, tất cả những tam giác cân tương ứng với những điểm trên cung parabol OM Điểm Q tương ứng với

+20 −8 +18−6(3− ) ,= 12 + 2 − 8 + 9,(2.1.19)

= 2 (2.1.20)

=(3− −)

2.1.5.Tìm m i liên h gi a nh ng đ i lối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giácệ cho những đại lượng trong tâm giác ững đại lượng trong tâm giácững đại lượng trong tâm giácại lượng trong tâm giác ượng trong tâm giácng trong m t tâm giácột số bất đẳng thức cơ bản

Qua những thông số ta đưa vào có thể tìm ra hang loạt mối liên hệ giữa nhữngđại lượng của một tam giác Hoặc dung các thông số để chứng minh hàng

loạt các đẳng thức và bất đẳng thức giữa các đại lượng của một tam giác một

cách giải tích Chú ý rằng khi sử dụng x và y chúng phải thỏa mãn (2.1.10).

Hãy chứng minh rằng trong mọi tam giác đều thỏa mãn những bất đẳng thứcsau:

(3 − 4) ≤ 0, mà nó hiển nhiên đúng, đẳng thức chỉ xảy ra khi = 1

Trong trường hợp này vế phải của (2 1.24) có giá trị

5, như vậy đẳng thức công thức ta chứng minh chỉ xảy ra khi tam giác đều.

Nhưng bất đẳng thức này tương đương với 1 − 2 > 0 và hiển nhiên đúng.

Với > 7, bất đẳng thức đúng nếu bất đẳng thức sau đúng

Với < 7 , bất đẳng thức (2.1.26) được thỏa mãn nếu bất đẳng thức sau đúng

Nhưng bất đẳng thức này biến đổi vào dạng tương đương

(1 − )(3 − 1)2 ≥ 0 và hiển nhiên đúng Dễ thấy rằng bất đẳng thức ban đầu trở thành đẳng thức khi tam giác đó đều.

Ví dụ 2.1.4.

1≥

Với = 35 , bất đẳng thức dễ dàng kiểm tra đúng.

Với > 3 , bất đẳng thức đúng nếu bất đẳng thức sau đúng

(x – 4x − 1+4y) + 3 (x − 1)t ≥ 0 và hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi và thỏa mãn hai phương trình – 4 − 1 + 4 = 0, +10 + 1 −

Ví dụ 2.1.6 5 – ≥ 3.

Bất đẳng thức (2.1.30) đúng nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức sau:

9− 14 2 –++ 5 ≥ 4 ( vì có (2.1.28)(2.1.31)

Nhưng bất phương trình này biến đổi về dạng (2.1.26) và như vậy

đúng, đẳng thức chỉ xảy ra khi tam giác đều.

bất đẳng thức này chứng minh như bất đẳng thức (2.1.24)

ví dụ 2.1.8 Trong những tam giác tù bất đẳng thức sau đúng:

Ta cần chứng minh bất đẳng thức (2.1.32) đúng với mọi x và y, mà chúngthỏa mãn (2.1.12).

Với 0 < < 3 − 2 2 bất đẳng thức (2.1.32) đúng nếu bất phương trình sau đúng:

<1(2+2−45+32 2 )

Nhưng bất đẳng thức sau cùng biến đổi tương đương vào dạng [3(3−2 2 − +4 3 2 −4 ](3−2 2 − )>0

Với = 3 − 2 2 bất đẳng thức (2.1.32) đưa về dạng < 8 2 − 11 và hiển nhiên đúngVới > 3 − 2 2 bất đẳng thức (2.1.32) đúng, nếu bất phương trình sau đúng

( −3)22

nhưng bất đẳng thức sau cùng biến đổi tương đương vào dạng

Bài tập áp dụng

Bài tập 2.1.1 Chứng minh những đẳng thức sau:

a 2 + 2 +2= 4 ( + + );

Bài tập 2.1.2 Chứng minh rằng

2 + 2 + 2 = 8R2là điều kiện cần và đủ để một tam giác là vuông.

Bài tập 2.1.3 Hãy chứng minh những bất đẳng thức sau:

f.(tan 2)2 + (tan 2)2 + (tan 2)2 ≥ 1;

2.2Phương 1: KIen thức chuân bịng trình b c bâ theo c c yeu to trong tâm gi cậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấcấc yeu to trong tâm giấcấc yeu to trong tâm giấc

ba đ i l% ư#ng c b n c a tam giác đólàơng pháp toán sơ capủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamR, r, p Ta sẽch ra ràng các yéu tó c a tam giác (c nh, đAủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam%ưng cao, hàm sólư#ng giác c a các góc…) làủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

nghi m c a phủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ capng trình b c ba màh sotheo ba yeu to c b n c a tam% ơng pháp toán sơ cap ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamgiác.

T hai phừ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ương pháp toán sơ capng trình (2.1.1.1) và(2.1.2.2) vàs d ng tích chát vè / 0

nghi m c a phủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ capng trình b c ba ( theo đ nh líVi-et), ta thu đ% ịnh líhàm so ư#c các h th c sau trong m t tam giác.

Đ ng th c 1ẳng thức trong ức chuân bị