- Những thành phần chủ yếu củ at duy toán học:
2.2.2. Một số biện pháp củng cố kiến thức, bồi dõng t duy toán học cho học sinh
củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và bồi dỡng t duy cho học sinh dân tộc.
2.2.1.3. Quan điểm thứ ba: Khai thác vốn văn hóa và đời sống thực tế để kích
thích hứng thú và tâm thế học tập môn Toán của học sinh dân tộc.
2.2.1.4. Quan điểm thứ t: Quan tâm việc phân luồng đối tợng học sinh để bồi d-
ỡng theo nguyện vọng và sở trờng, đáp ứng nhu cầu nguồn nhân lực của vùng Dân tộc.
2.2.1.5. Quan điểm thứ năm: Chú trọng phơng thức kiểm tra đánh giá kết quả
học tập nhằm khảo sát kiến thức của học sinh.
2.2.2. Một số biện pháp củng cố kiến thức, bồi dõng t duy toán học cho họcsinh sinh
2.2.2.1. Biện pháp 1: Thờng xuyên tạo tình huống để học sinh luyện tập các
hoạt động trí tuệ, hoạt động toán học tơng thích với việc củng cố, khắc sâu các khái niệm, định lý để trò nắm vững hệ thống kiến thức Toán học phổ thông.
Quá trình củng cố khái niệm có tác dụng to lớn đối với việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh.
Việc dạy học các khái niệm Toán học phải làm cho học sinh đạt đợc các yêu cầu sau:
- Nắm đợc các đặc điểm, đặc trng cho khái niệm
- Biết nhận dạng khái niệm, đồng thời biết thể hiện khái niệm. - Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
- Biết phân loại khái niệm và nắm đợc mối liên hệ của một khái niệm với những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái niệm.
Để làm đợc điều này, cần tập luyện cho học sinh khả năng nhận dạng và thể hiện khái niệm:
+) Nhận dạng khái niệm: tức là biết phát hiện xem một đối tợng cho trớc có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không.
Ví dụ: Khi nhận dạng khái niệm hình chóp đều, giáo viên nên nêu câu hỏi nh: Phải chăng mọi hình chóp có đáy là đa giác đều luôn là hình chóp đều.
+) Thể hiện khái niệm: nghĩa là tạo ra một đối tợng thuộc phạm vi một khái niệm cho trớc.
Ví dụ: Khi thể hiện khái niệm hình chóp đều, giáo viên nên nêu câu hỏi nh: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’.
Các đờng thẳng AC và BD cắt nhau tại O, Các đờng thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau tại O’.
Hãy vẽ hai hình chóp đều có đáy là hình vuông ABCD.
Khi tập dợt cho học sinh nhận dạng và thể hiện khái niệm cần lu ý:
Đối với những đối tợng thuộc ngoại diên của khái niệm đang xem xét thì cần đa ra những trờng hợp đặ biệt của khái niệm đó. Việc đửâ những trờng hợp đặc biệt, trong đó một đối tợng mang những thuộc tính nổi bật nhng không phải thuộc tính bản chất đối với đối tợng đang xét mới giúp học sinh hiểu biết sâu sắc về đặc trng của khái niệm lại vừa rèn luyện cho các em khả năng trừu tợng hóa, thể hiện ở chỗ biết phân biệt và tách đặc điểm bản chất khỏi đặc điểm không bản chất.
Để củng cố khái niệm cần: Khái quát hóa, tức là mở rộng khái niệm, chẳng hạn từ khái niệm vận tốc tức thời của một chuyển động mở rộng ra khái niệm đạo hàm của hàm số.
Sau khi học xong định lý, giáo viên cần tạo cơ hội cho học sinh nhận dạng và thể hiện định lý; hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những định lý.
+) Nhận dạng định lý: tức là biết phát hiện xem một tình huống, hoàn cảnh cho trớc có thuộc phạm vi một định lý nào đó hay không.
+) Thể hiện định lý: nghĩa là tạo ra một đối tợng thuộc phạm vi một định lý cho trớc.
Nhận dạng và thể hiện định lý là hai dạng hoạt động theo chiều hớng trái ngợc nhau, có tác dụng củng cố định lý, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lý.
Ví dụ: Khi nhận dạng về định lý về hai mặt phẳng vuông góc với nhau, giáo viên có thể nêu bài toán sau.
Cho hình chóp S.ABCD, với SH là đờng cao, SK là đờng cao của tam giác SAB. a) Phải chăng (SAH) vuông góc với (ABCD)
b) Phải chăng (SAK) vuông góc với (ABCD)
Ví dụ: Khi thể hiện định lý hai mặt phẳng song song, giáo viên có thể nêu bài toán sau. B’ A B D C D’ C’ A’ A’ O' O
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang(AB song song với CD). Hãy dựng mặt phẳng chứa AB và song song với (SCD).
Bên cạnh đó ngời giáo viên cần quan tâm đến hoạt động ngôn ngữ cho học sinh, cho học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ:
+) Phát biểu lại định lý bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định lý dới những dạng ngôn ngữ khác nhau.
+) Phân tích, nêu bật những ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định lý một cách tờng minh hay tàng ẩn.
Hoạt động trên có tác dụng củng cố định lý, góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh.
Ngoài ra, cần quan tâm tạo cơ hội cho học sinh biết khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa.
Ví dụ: Với mọi a,b dơng ta có: a+b ≥ ab
2
Vậy điều này có đúng với n số dơng hay không? Hãy phát biểu kết luận tơng tự?
2.2.2.2. Biện pháp 2: Thông qua các tình huống dạy học điển hình luyện
tập cho học sinh phơng pháp lựa chọn các tiền đề, lập luận có căn cứ và khả năng suy diễn.
Tác giả Nguyễn Bá Kim viết: “Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, việc dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan vẫn đang ngự trị” [23, tr. 111].
“Toán học là khoa học suy diễn” [37], “kỹ năng suy luận diễn dịch là kỹ năng đặc trng cho t duy toán học” (dẫn theo [49]). Tuy nhiên, điều đó cha thực sự đợc ý thức một cách thật đầy đủ và đúng mức.
Trong dạy học vẫn nặng về lối “thầy giảng, trò nghe”. Thầy giáo thờng tiến hành những bớc suy diễn mà học sinh cần và có thể tự mình giải quyết đợc. Có những bớc suy diễn mà với thầy giáo thì rất “tầm thờng”, bởi thế, nhầm tởng rằng với HS thì cũng nh vậy, do đó lớt qua rất nhanh, không để cho HS suy nghĩ. Cha sử dụng đợc một hệ thống câu hỏi và bài tập hợp lý, mềm dẻo và linh hoạt với từng đối tợng HS. Nhiều bài tập còn trùng lặp về dạng, chỉ đòi hỏi áp dụng theo công thức. Còn thiếu những câu hỏi và bài tập rèn luyện kỹ năng suy luận diễn dịch, cha khai thác triệt để những tình huống có thể phát triển khả năng suy diễn cho HS.
Muốn hình thành và phát triển kỹ năng suy diễn cho HS, không thể chỉ đơn thuần thầy giáo tiến hành các bớc suy diễn để HS theo dõi, không thể chỉ nêu những câu hỏi và ra những bài tập không tơng thích với mục đích phát triển kỹ năng suy diễn. Lý thuyết tình huống đã khẳng định: “Một môi trờng không có dụng ý s phạm
là không đủ để chủ thể kiến tạo đợc tất cả các kiến thức mà xã hội mong muốn họ lĩnh hội đợc” [23, tr. 211].
Chúng ta biết rằng, dạy Toán là dạy hoạt động toán học [49, tr. 12]. “Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Phát hiện đợc những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung cụ thể là cụ thể hoá đợc mục đích dạy học nội dung đó, chỉ ra đợc cách thực hiện mục đích này, đồng thời vạch đợc một con đờng để ngời học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt đợc những mục đích dạy học khác. Cho nên, điều căn bản của phơng pháp dạy học là khai thác đợc những hoạt động tiềm tàng trong nội dung để đạt đợc mục đích dạy học.
Nh vậy, để phát triển khả năng suy diễn cho HS, ngời thầy giáo nên tạo ra nhiều
cơ hội, nhiều tình huống để HS đợc tập dợt, đợc tiến hành các hoạt động suy diễn. Cần khai thác trên mọi nội dung, trong dạy khái niệm; dạy định lý; dạy giải bài tập (dẫn theo [49]).
Ví dụ 1: Dạy về chiều biến thiên của hàm số bậc hai: y = ax2 + bx + c (a > 0). Sau khi lập tỷ số a(x x ) b x x y y 2 1 1 2 1 2 = + + − −
, không nên đột nhiên thông báo với
HS rằng: Nếu x2 và x1 thuộc − ; +∞ a 2 b thì 1 2 1 2 x x y y − − > 0, mà có thể nêu cho học sinh câu hỏi:
Biểu thức a(x2 + x1) + b sẽ chắc chắn dơng nếu nh x2 và x1 thuộc vào khoảng nào?
Chú trọng khai thác những tình huống, mà ở đó, hoạt động suy diễn sẽ dẫn tới
những áp dụng để giải quyết một số vấn đề có liên quan. Đồng thời lu ý vấn đề gợi động cơ và truyền thụ tri thức phơng pháp trong những trờng hợp này.
Ví dụ 2: Đứng trớc bài toán tìm giao điểm của đờng đờng thẳng d và mặt phẳng (P) giáo viên không đa ra quy trình ngay mà tạo ra câu hỏi mở nh:
Muốn tìm giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳngchúng ta làm nh thế nào?
Thực chất giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng là gì?
Có phải là giao điểm của đờng thẳng với đờng thẳng không? Q d ’ d P
Nếu là giao điểm của đờng thẳng và đờng thẳng thì nó là giao điểm của đờng thẳng nào với đờng thẳng nào?
Từ đó học sinh sẽ tìm tòi và huy động kiến thức đi đến kết luận quy trình tìm giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng nh sau:
Chọn (Q)⊃d :(P)∩(Q)=d' ⇒d'∩d = I ⇒ I =d∩(P).
Cần tập luyện cho học sinh những quy tắc kết luận lôgic thờng dùng, mà những quy tắc này không đợc trình bày một cách tờng minh trong nội dung Toán học phổ thông:
B A A B
A→ , (quy tắc kết luận).
Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc luận lôgic, giáo viên cần phòng tránh những sai lầm do học sinh thờng ngộ nhận:
B A A B A→ ,
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AD = BC, AB = DC Trình bày chứng minh nh sau:
* Nếu hai đờng thẳng song song với nhau thì chúng tạo thành với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau.
AD//BC (theo giả thiết)
Vậy ∠CAD= ∠ACB(so le trong) * Chứng minh tơng tự, ta đợc:
BAC
∠ = ∠ACD(so le trong)
* Nếu hai tam giác có một cạnh nằng nhau kề với hai góc bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác đó bằng nhau.
Hai tam giác ABC và ADC có cạnh AC chung, ∠CAD= ∠ACBvà ∠BAC=
ACD.
∠
Vậy hai tam giác đó bằng nhau (g.c.g)
* Nếu hai tam giác bằng nhau thì đối diện với những góc bằng nhau là những canh bằng nhau.
Vậy AD = BC, AB = DC
Mỗi mắt xích trên là một đoạn áp dụng quy tắc luận lôgic, giáo viên cần nhấn mạnh sơ đồ trên để học sinh lĩnh hội quy tắc đó.
Để củng cố, có thể cho HS giải chẳng hạn các bài toán sau:
1) Tìm m sao cho phơng trình x2 + x + m = 0 có nghiệm duy nhất. B
A D
2) Tìm a để phơng trình x + 1−x = a có nghiệm duy nhất.
(Nếu x0 là nghiệm thì 1 - x0 cũng là nghiệm, suy ra x0 = 1 - x0, suy ra
a = 2. Ngợc lại, nếu a = 2 thì cũng dễ thấy rằng phơng trình có nghiệm duy nhất).
3) Tìm k để phơng trình 1−x2 + 23 1−x2 = k có nghiệm duy nhất.
2.2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh năng lực kết hợp giữa dự đoán
và suy diễn trong quá trình giải quyết vấn đề
Nhà toán học và là nhà s phạm nổi tiếng ngời Mỹ - G. Pôlya - đã phát biểu: “Toán học đợc coi nh là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học hoàn chỉnh, đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh, đợc xem nh chứng minh thuần tuý, chỉ bao gồm các chứng minh. Nhng Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trớc khi bạn chứng minh nó. Bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trớc khi tiến hành chứng minh chi tiết. Nếu việc dạy Toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành Toán học nh thế nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý” [37, tr. 6].
Các tác giả của Giáo dục học môn Toán nhận xét: “Trong việc giảng dạy và học tập môn Toán, việc tách rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn là một nguyên nhân rất cơ bản của việc kìm hãm sự phát triển t duy sáng tạo của HS”.
Tuy nhiên, “trong việc dạy Toán ở nhà trờng hiện nay, do chỉ chú ý truyền thụ kiến thức mà không chú ý dạy cho HS ‘‘tìm tòi” kiến thức nên các phơng pháp thực nghiệm, quy nạp bị coi rất nhẹ” [41, tr. 98].
Thực ra, cho HS dự đoán, tìm tòi, mò mẫm đúng là có tốn thời gian, nhng “sẽ đ- ợc đền bù nhanh chóng khi t duy độc lập của HS đã đợc phát triển” [6, tr. 115].
Xong điều đáng bàn ở đây là GV không nên áp đặt mà nên để cho HS tìm tòi và tự khẳng định mình trong nững tình huống có thể. Nếu HS có thói quen mò mẫm, dự đoán, thì họ sẽ biết thử một số trờng hợp, từ đó hình thành nên một điều dự đoán - mà điều dự đoán ấy sẽ làm cơsở cho việc tìm ra lời giải của bài toán (dẫn theo [49]).
Ví dụ: Nếu ta yêu cầu HS: “Em hãy dự đoán xem, với những giá trị nào của số nguyên dơng n thì 2n > n + 6” thì điều đó là hoàn toàn vừa sức đối với HS, bởi vì trong bài toán này, ta chỉ hạn chế với n nguyên dơng, HS có thể dễ dàng thử n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, ... và đi đến điều dự đoán: Với n ≥ 4.
Trong quá trình tập luyện cho HS dự đoán, cần biết động viên, khích lệ HS nhng đồng thời cũng thể hiện rõ mối quan hệ biện chứng giữa quy nạp và suy diễn.
Nhiều khi thầy giáo yêu cầu HS phải dự đoán về một vấn đề nào đó, rất có thể họ đa ra một câu trả lời mà thầy giáo biết là không đúng. Khi đó, không nên bác bỏ một cách độc đoán, không nên nói những câu nh “Em đã đoán sai!”. Thay vào đó, thầy
giáo nên chỉ ra một phản ví dụ để giúp HS điều chỉnh lại hớng dự đoán của bản thân. “Chỉ có sự hoạt động đợc giáo viên thờng xuyên khích lệ, nhng vẫn luôn luôn tự do
trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đa tới sự độc lập về trí tuệ” (dẫn theo [49]).
Chẳng hạn, khi HS gặp khó khăn trong việc biểu diễn x2 + y2 qua x + y và x - y, có thể dẫn dắt thêm: Hãy để ý đến bậc của x2 + y2, bằng cách nào có thể làm xuất hiện bậc này?.
“Trong tình huống dạy học, sự giúp đỡ của thầy cần đợc kiềm chế tối đa có thể đợc và thực hiện dần dần với liều lợng tăng dần tuỳ theo mức độ cần thiết” [18, tr. 220]. Làm cho HS ý thức đợc ý nghĩa của hoạt động dự đoán.
Qua phân tích ở các phần trên, chúng ta đã thấy đợc vai trò của hoạt động dự đoán trong dạy Toán và học Toán. Tuy nhiên, cha hẳn HS đã ý thức đợc điều này, và do đó họ cũng không biết tiến hành hoạt động dự đoán trong những tình huống thích hợp.
2.2.2.4. Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh biết tiến hành việc phân chia
các trờng hợp riêng trong quá trình giải toán.
Trong Lôgic học, ngời ta quan niệm: “Phân chia khái niệm là thao tác lôgic, chia các đối tợng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thành các nhóm theo những tiêu chuẩn nhất định” [39, tr. 72].
Đứng trớc vô vàn những khái niệm khác nhau, chúng ta luôn nhận ra có những khái niệm giống nhau ở những phơng diện nào đó. Trong nhận thức, con ngời luôn