Một số dạng bất đẳng thức cơ bản trong tam giác và các ứng dụng

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ BÍCH PHƯỢNG MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 29 tháng năm 2011 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở đầu Lý chọn đề tài Từ Euler thiết lập bất đẳng thức R ≥ 2r vào năm 1765, bất đẳng thức hình học liên quan đến yếu tố R, r, p thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Vào năm 1851, Rouché đưa bất đẳng thức 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rr ≤ p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r) R2 − 2Rr Chúng ta biết bất đẳng thức đưa điều kiện cần đủ để tồn tam giác theo yếu tố R, r, p, gọi "bất đẳng thức tam giác" Đây bất đẳng thức quan trọng lớp bất đẳng thức hình học tam giác Đến có nhiều báo nghiên cứu phương pháp chứng minh, ứng dụng bất đẳng thức để thiết lập bất đẳng thức hình học cho tam giác Trong báo [7] (2008), Shan-He Wu đưa dạng "chặt" bất đẳng thức sau: 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rrcosφ ≤ p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r) R2 − 2Rrcosφ, với φ = {| A − B |, | B − C |, | A − C |} Sau đó, vào năm 2009, Shan-He Wu Mihály Benzce đưa dạng tương đương bất đẳng thức báo [8] Luận văn "Một số dạng bất đẳng thức tam giác Footer Page of 126 ứng dụng" trình bày cách chi tiết kết hai báo Header Page of 126 ứng dụng Hơn nữa, sử dụng bất đẳng thức để thiết lập bất đẳng thức liên hệ (R, r, p) yếu tố khác tam giác Đề tài phù hợp với sở thích thân, nội dung quan trọng chương trình môn Toán trung học phổ thông Nó có đóng góp thiết thực cho việc dạy học bất đẳng thức tam giác trường phổ thông, đem lại niềm đam mê kích thích tư sáng tạo học sinh Mục đích nghiên cứu Trình bày chi tiết kiến thức bất đẳng thức tam giác, từ thiết lập lớp bất đẳng thức theo (R, r, p) tam giác Hệ thống dạng bất đẳng thức tam giác, đặc biệt trình bày chi tiết dạng "chặt", dạng tương đương ứng dụng Nâng cao lực tư cho học sinh việc nhận dạng, chứng minh sáng tác bất đẳng thức tam giác từ bất đẳng thức tam giác dạng tương đương Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bất đẳng thức tam giác, dạng " chặt ", dạng tương đương ứng dụng chúng Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp, hệ thống kiến thức từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, bạn học viên lớp cung cấp; tài liệu sưu tầm trang web Toán học; báo sách có liên quan đến Footer Page of 126 bất đẳng thức tam giác Header Page of 126 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài nghiên cứu số dạng bất đẳng thức tam giác ứng dụng chúng, nội dung quan trọng bất đẳng thức tam giác, phần thiếu chương trình Toán trung học phổ thông, thi học sinh giỏi nước quốc tế Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh bậc phổ thông trung học, đặc biệt học sinh khối chuyên toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm ba chương Chương Phương trình bậc ba hệ thức tam giác Trong chương này, nêu Định lý Viète số tính chất nghiệm phương trình bậc ba Đồng thời, xây dựng phương trình bậc ba nhận biểu thức theo (R, r, p) làm hệ số nhận ba (a, b, c), (sinA, sinB, sinC), (ha , hb , hc), làm nghiệm Vận dụng Định lý Viète phương trình đưa hệ thống đẳng thức tam giác Các đẳng thức sử dụng việc thiết lập bất đẳng thức tam giác Chương Chương Một số dạng bất đẳng thức tam giác Trong chương này, phát biểu, chứng minh mô tả hình học bất đẳng thức tam giác Ngoài ra, xây dựng lớp bất đẳng thức quan trọng tam giác có dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) Chúng trình bày dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác đề cập báo [7] ShanHe Wu Phần cuối chương, trình bày dạng tương đương bất đẳng thức bản, đặc biệt ý Footer Page of 126 đến dạng tương đương Shan-He Wu Mihály Benzce trình Header Page of 126 bày báo [8] Chương Một số ứng dụng Từ hệ thống đẳng thức tam giác Chương 1, sử dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) thiết lập Chương 2, trình bày hàng loạt bất đẳng thức theo (R, r, p) yếu tố tam giác (a, b, c), (sinA, sinB, sinC), (ha , hb , hc) thể việc hình thành sáng tạo bất đẳng thức tam giác thông qua ví dụ tiêu biểu cho dạng cụ thể Bên cạnh đó, trình bày lớp bất đẳng thức liên quan đường phân giác cạnh tam giác áp dụng bất đẳng thức tam giác Hơn nữa, trình bày chứng minh bất đẳng thức Garfunkel - Bankoff phát triển bất đẳng thức Leuenberger áp dụng dạng tương đương bất đẳng thức Shan-He Wu Mihály Benzce trình bày báo [8] Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Phương trình bậc ba hệ thức tam giác Trong chương này, nêu Định lý Viète số tính chất nghiệm phương trình bậc ba Vận dụng Định lý Viète, xây dựng hệ thống đẳng thức tam giác ([2],[6]) Các kiến thức sử dụng chương sau 1.1 Phương trình bậc ba số tính chất nghiệm 1.1.1 Định lý Viète nghiệm phương trình bậc ba 1.1.2 Một số tính chất nghiệm phương trình bậc ba 1.2 Phương trình bậc ba số hệ thức tam giác 1.2.1 Phương trình bậc ba với nghiệm ba theo độ dài cạnh tam giác Định lý 1.2.1 ([2],[6]) Các cạnh a, b, c tam giác ABC ba nghiệm phương trình Footer Page of 126 x3 − 2px2 + (p2 + r2 + 4Rr)x − 4pRr = (1.6) Header Page of 126 Định lý 1.2.3 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có p − a, p − b, p − c nghiệm phương trình x3 − px2 + r(4R + r)x − pr2 = (1.8) 1.2.2 Phương trình bậc ba với nghiệm ba theo số đo góc tam giác Định lý 1.2.5 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có sinA, sinB, sinC ba nghiệm phương trình 4R2 x3 − 4Rpx2 + (p2 + r2 + 4Rr)x − 2pr = (1.10) Định lý 1.2.7 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có cosA, cosB, cosC ba nghiệm phương trình 4R2x3 − 4R(R + r)x2 + (p2 + r2 − 4R2)x + (2R + r)2 − p2 = (1.12) 16R2x3 − 8R(2R − r)x2 + (p2 + r2 − 8Rr)x − r2 = (1.14) 16R2x3 − 8R(4R + r)x2 + [p2 + (4R + r)2]x − p2 = (1.16) 2prx3 − (p2 − r2 − 4Rr)x2 + 2prx + (2R + r)2 − p2 = (1.18) [p2 − (2R + r)2]x3 − 2prx2 + (p2 − 4Rr − r2)x − 2pr = (1.19) Định lý 1.2.9 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có sin2 A2 , sin2 B2 , sin2 C2 ba nghiệm phương trình Định lý 1.2.11 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có cos2 A2 , cos2 B2 , cos2 C2 ba nghiệm phương trình Định lý 1.2.13 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có cotA, cotB, cotC ba nghiệm phương trình Định lý 1.2.14 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có tanA, tanB, tanC ba nghiệm phương trình Định lý 1.2.15 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , tan A2 , tan B2 , tan C2 ba nghiệm phương trình Footer Page of 126 px3 − (4R + r)x2 + px − r = (1.20) Header Page of 126 Định lý 1.2.16 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , cot A2 , cot B2 , cot C2 ba nghiệm phương trình rx3 − px2 + (4R + r)x − p = (1.21) 1.2.3 Phương trình bậc ba với nghiệm ba theo yếu tố khác tam giác Định lý 1.2.17 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có ra, rb, rc ba nghiệm phương trình x3 − (4R + r)x2 + p2 x − p2 r = (1.22) Định lý 1.2.19 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có , hb , hc ba nghiệm phương trình 2Rx3 − (p2 + r2 + 4Rr)x2 + 4p2rx − 4p2r2 = (1.24) Kết luận Chương 1: Chúng xây dựng phương trình bậc ba nhận ba theo cạnh, góc, đường cao, làm nghiệm biểu thức theo (R, r, p) làm hệ số Bằng cách áp dụng Định lý Viète tính chất nghiệm phương trình bậc ba, ta sáng tác (đồng thời phương pháp chứng minh) hàng loạt đẳng thức tam giác Các đẳng thức thể mối quan hệ (a, b, c), (sinA, sinB, sinC), (ha, hb , hc ), với (R, r, p) Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Chương Một số dạng bất đẳng thức tam giác Trong Chương 1, tất yếu tố tam giác nghiệm phương trình bậc ba với hệ số chứa ba yếu tố (R, r, p) Lớp bất đẳng thức liên quan đến yếu tố thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Bất đẳng thức xem bất đẳng thức làm móng lớp bất đẳng thức hình học tam giác Rouché đưa vào năm 1851, gọi bất đẳng thức tam giác Trong chương này, trình bày bất đẳng thức tam giác, dạng "chặt" số dạng tương đương 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức tam giác Bất đẳng thức tam giác Định lý 2.1.1 ([6])(Bất đẳng thức tam giác) Điều kiện cần đủ để tồn tam giác theo yếu tố (R, r, p) 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rr ≤ p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r) R2 − 2Rr (2.1) Dấu "=" xảy bất đẳng thức (2.1) tam giác cân Dấu "=" xảy hai bất đẳng thức (2.1) tam Footer Page 10 of 126 giác 10 Header Page 12 of 126 Định lý 2.1.3 ([5]) Bất đẳng thức (2.6) xảy tam giác (a) ν ≥ −5 λ ≤ 0, (b) (ν + 5)2 ν < −5 λ ≤ 4(ν + 1) Bất đẳng thức (2.7) xảy tam giác (c) ν ≤ λ ≥ 4, (d) ν > λ ≥ (ν + 5)2 4(ν + 1) Nhận xét 2.3 Trong [4], Bludon khẳng định bất đẳng thức Gerretsen mạnh lớp bất đẳng thức q(R, r) ≤ p2 ≤ Q(R, r), q(R, r), Q(R, r) dạng toàn phương theo R, r > với hệ số thực Từ Định lý 2.1.3, ta thấy rõ phát biểu Bludon sai Thật vậy, giả sử từ (2.6) lấy λ = −0, 1, ν = −6, ta có p2 ≥ −0, 1R2 + 16, 7Rr − 6r2 (2.8) Nếu R ≥ 5r vế trái bất đẳng thức Gerretsen (2.3) mạnh (2.8) 2r < R < 5r (2.8) mạnh Ngoài ra, ta xét tam giác vuông có cạnh 6, 8, 10 Khi R = 5, r = 2, p = 12 (2.8) trở thành p2 ≥ 140, mạnh vế trái (2.3) p2 ≥ 140 Tương tự, từ (2.7) lấy λ = 4, 75, ν = ta bất đẳng thức p2 ≤ 4, 75R2 + 0, 5Rr + 7r2 (2.9) Bất đẳng thức (2.9) yếu vế phải bất đẳng thức Gerretsen (2.3) R > 8r 2r < R ≤ 8r3 (2.9) mạnh Footer Page 12 of 3126 Từ Định lý 2.1.3, ta dễ dàng suy định lý sau 11 Header Page 13 of 126 Định lý 2.1.4 ([6]) a) Một bất đẳng thức (2.6) xảy tam giác có dạng p2 ≥ (1 − ω 2)−1[−4ω 2R2 + 4(4 + ω − ω 2)Rr − (5 + 8ω + 3ω 2)r2] − r(R − 2r), (2.10) ≤ ω < ≥ b) Một bất đẳng thức (2.7) xảy tam giác có dạng p2 ≤ (1−θ2)−1[4R2 +4(1−θ−4θ2)Rr+(3+8θ+5θ2)r2]+ r(R−2r), (2.11) ≤ θ < ≥ Hệ 2.1.1 Cho ABC tam giác tùy ý Ta có √ √ 3r ≤ p ≤ 2R + (3 − 4)r, (2.12) dấu "=" bất đẳng thức xảy tam giác ABC Nhận xét 2.4 Bất đẳng thức (2.12) mạnh lớp bất đẳng thức tuyến tính λ R + µ r ≤ p ≤ λR + µr Việc chứng minh thể phần mô tả hình học Thay θ = ω = = vào (2.10) (2.11) ta bất đẳng thức Gerretsen Định lý 2.1.4 gọi dạng tổng quát hóa bất đẳng thức Gerretsen Thay giá trị θ, ω, thích hợp vào bất đẳng thức (2.10), (2.11) Định lý 2.1.4 ta thu nhiều bất đẳng thức đẹp theo (R, r, p) Hệ thể số bất đẳng thức tiêu biểu theo (R, r, p) thường sử dụng việc sáng tác bất đẳng thức tam giác Hệ suy từ bất đẳng thức Gerretsen bất đẳng Footer Page 13 of 126 thức Euler 12 Header Page 14 of 126 Hệ 2.1.2 Cho tam giác ABC tùy ý Ta có 27r2 ≤ 11r2 + 8Rr ≤ 27 r(r + 2R) ≤ 3r2 + 12Rr ≤ r(7r + 10R) ≤ 27 Rr ≤ 14Rr − r2 ≤ 16Rr − 5r2 ≤ p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 ≤ ≤ 4R2 + r2 + 5Rr ≤ R2 + r2 + 4Rr ≤ 5R2 + 2Rr + 3r2 ≤ (r + 4R)2 27 2 ≤ 5R + 4Rr − r ≤ ≤ 6R2 + 3r2 ≤ R2 ≤ 2 2 ≤ 8R − r − 2Rr ≤ 9R − r − 4Rr (2.13) ≤ Dấu "=" bất đẳng thức xảy ABC tam giác 2.1.2 Mô tả hình học y √ 3 √ y = 3x √ y = (3 − 4)x + A C E y= √ 3(x + 1) O B x Hình 2.3: Mô tả hình học bất đẳng thức tam giác 2.2 Dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác Từ Nhận xét 2.1, biết bất đẳng thức tốt lớp bất đẳng thức f (R, r) ≤ p2 ≤ F (R, r), với f (R, r), F (R, r) Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 hàm thực bậc hai theo R, r > cho trước Vậy, liệu có dạng "chặt" khác (2.1) ta không xét với lớp hàm không? Câu hỏi Shan-He Wu trả lời báo [7] Ông đưa dạng "chặt " bất đẳng thức (2.1) cách đưa thêm tham số vào biểu thức theo R, r Đây nội dung trình bày mục Để cho gọn trình bày, sử dụng kí hiệu để tích tuần hoàn, chẳng hạn f (A) = f (A)f (B)f (C) Trước tiên, ta xét bổ đề sau Bổ đề 2.1 ([7]) Cho tam giác ABC Nếu A ≥ B ≥ C ta có bất đẳng thức sau 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rrcos(B − C) ≤ p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r) R2 − 2Rrcos(A − B) (2.16) Dấu "=" bất đẳng thức bên trái xảy B = C Dấu "=" bất đẳng thức bên phải xảy A = B Định lý 2.2.1 ([7]) Cho φ = {| A − B |, | B − C |, | A − C |} Khi với tam giác ABC bất kì, ta có 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rrcosφ ≤ p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r) R2 − 2Rrcosφ (2.24) Dấu "=" (2.24) xảy tam giác ABC Nhận xét 2.6 Từ bất đẳng thức Euler R − 2r ≥ bất đẳng thức cosφ ≤ bất đẳng thức (2.24) dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác (2.1) 2.3 Một số dạng tương đương bất đẳng thức tam giác Trong mục 2.1, ta có (2.2) (2.14) dạng tương đương bất đẳng thức (2.1) Bằng phép biến đổi đơn giản với (2.1) Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 sử dụng công thức S = pr, ta có số dạng tương đương khác bất đẳng thức tam giác Định lý 2.3.1 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có (2.25) p4 − 2(2R2 + 10Rr − r2 )p2 + r(4R + r)3 ≤ Dấu "=" (2.25) xảy tam giác cân Định lý 2.3.2 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có (r2 + p2 )2 + 12Rr3 − 20Rrp2 + 48R2r2 − 4R2p2 + 64R3r ≤ (2.26) Dấu "=" (2.26) xảy tam giác cân Định lý 2.3.3 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có (2.27) S − 2r2(2R2 + 10Rr − r2 )S + r5(4R + r)3 ≤ Dấu "=" (2.27) xảy tam giác cân Định lý 2.3.4 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có p4 − 2(2R2 + 10R S S2 S S − )p + (4R + )3 ≤ p p p p (2.28) Dấu "=" (2.28) xảy tam giác cân Định lý 2.3.5 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có r[2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rr] ≤ S ≤ r[2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r) R2 − 2Rr] (2.29) Dấu "=" bất đẳng thức (2.29) xảy tam giác cân Dấu "=" hai bất đẳng thức (2.29) xảy tam giác Định lý 2.3.6 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có 4R(R − Footer Page 16 of 126 10RS S2 2S ) ≥ (p2 + − 2R2 − ) p p p Dấu "=" (2.30) xảy tam giác cân (2.30) 15 Header Page 17 of 126 Tiếp theo trình bày dạng tương đương bất đẳng thức Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng việc chứng minh số bất đẳng thức quen thuộc trình bày chương sau Định lý 2.3.7 ([8]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có p2 1 δ(4 − δ)3 ≤ ≤ (2 − δ)(2 + δ)3, R (2.31) δ = − − 2r R Dấu "=" xảy bất đẳng thức tam giác cân Kết luận Chương 2: Trong chương phát biểu, chứng minh mô tả hình học bất đẳng thức tam giác Hơn nữa, từ bất đẳng thức tam giác xây dựng lớp bất đẳng thức dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) Nội dung chương trình bày dạng "chặt" bất đẳng thức (2.1) đưa tác giả Shan-He Wu báo [7] dạng tương đương bất đẳng thức (2.1) đưa tác giả Shan-He Wu Mihály Bencze báo [8] Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 Chương Một số ứng dụng Bằng phép biến đổi đại số sơ cấp kết hợp với hệ thức tam giác trình bày Chương 1, thiết lập đẳng thức tổng quát sau F (f1(u1, v1, w1), f2(u2, v2, w2), , fn(un, vn, wn)) = G(R, r, p), (3.1) fi (ui, vi, wi), (i = 1, , n) biểu thức đối xứng theo ba (a, b, c), (ha, hb , hc ), (sinA, sinB, sinC), G(R, r, p) biểu thức theo (R, r, p) Giả sử G(R, r, p) = g(H(R, r), K(p)), g hàm không giảm theo biến thứ hai Từ bất đẳng thức tam giác ta thiết lập bất đẳng thức M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) Chương Như ta có g(H(R, r), M(R, r)) ≤ G(R, r, p) ≤ g(H(R, r), N (R, r)) Thay bất đẳng thức vào đẳng thức (3.1) ta thu bất đẳng thức g(H(R, r), M(R, r)) ≤ F (f1(u1, v1, w1), f2(u2, v2, w2), , fn(un, vn, wn)) ≤ g(H(R, r), N (R, r)) Trong chương này, trình bày ứng dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức có dạng Bên cạnh đó, từ dạng tương đương (2.31) bất đẳng thức Footer Page 18 of 126 trình bày mục 2.3, tìm hiểu ứng dụng việc 17 Header Page 19 of 126 chứng minh bất đẳng thức quen thuộc Garfunkel - Bankoff phát triển bất đẳng thức Leuenberger 3.1 Một số ứng dụng bất đẳng thức tam giác Áp dụng bất đẳng thức (2.1) kết hợp với bất đẳng thức (2.12), (2.13) bất đẳng thức Euler thay vào đẳng thức tam giác trình bày Chương ta thu hàng loạt bất đẳng thức tam giác thể mối liên hệ (R, r, p) yếu tố tam giác Trong dạng cụ thể, trình bày ví dụ tiêu biểu Trong phần này, dấu "=" bất đẳng thức ví dụ xảy tam giác ABC Để cho gọn trình bày, không nhắc lại điều Đồng thời, sử dụng kí hiệu để tích tổng tuần hoàn, chẳng hạn f (a, b) = f (a, b)f (b, c)f (c, a), f (a, b) = f (a, b) + f (b, c) + f (c, a) 3.1.1 Một số bất đẳng thức liên hệ (R, r, p) cạnh tam giác Ví dụ 3.1 Cho tam giác ABC, chứng minh 36r2 ≤ 18Rr ≤ 12r(2R − r) ≤ R2 + 3Rr − r2 − (R − 2r) R2 − 2Rr ≤ ≤ a2 + b2 + c2 ≤ R2 + 3Rr − r2 + (R − 2r) R2 − 2Rr ≤ ≤ 8R2 + 4r2 ≤ 9R2 Nhận xét 3.1 Nếu sử dụng Định lý 2.1.4 để tìm bất đẳng thức tổng quát hóa dạng Footer Page 19 of 126 a2 + b2 + c2 ≤ uR2 + vRr + wr2 (u, v, w ∈ R) 18 Header Page 20 of 126 a2 + b2 + c2 ≥ u R2 + v Rr + w r2(u , v , w ∈ R) Ta kết sau a2 + b2 + c2 ≤4(1 − θ2)−1[2R2 − 2Rrθ(1 + 3θ) + r2(1 + 4θ + 3θ2)] + r(R − 2r) (0 ≤ θ < 1, ≥ 0), a2 + b2 + c2 ≥4(1 − ω )−1[−2ω 2R2 + 2Rr(3 + ω) − r2(3 + 4ω + ω )] − r(R − 2r) (0 ≤ ω < 1, ≥ 0) Từ kết ta đưa hàng loạt bất đẳng thức có dạng ứng với giá trị ω, θ, cụ thể Tương tự, ta áp dụng Định lý 2.1.4 cho đẳng thức Chương để đưa hàng loạt bất đẳng thức với dạng cụ thể Ví dụ 3.2 Cho tam giác ABC số thực k, (0 < k ≤ 9) Tam giác ABC thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = kR2 gọi k− tam giác Khi đó, chứng minh rằng: "Điều kiện cần đủ để tồn k− tam giác theo yếu tố (R, r, p) p2 = r2 + 4Rr + 12 kR2 với < k ≤ 9" Hơn nữa, tam giác ABC tam giác tù < k < 8, vuông k = 8, nhọn < k < và k = Nhận xét 3.2 Từ Ví dụ phân loại tam giác tù, vuông, nhọn tam giác tùy theo k ∈ (0; 9] Ngoài ra, ta rút nhận xét sau: "Tam giác ABC không tù (tam giác góc lớn π2 ) p ≥ 2R + r; tam giác ABC không nhọn (tam giác có góc lớn π2 ) p ≤ 2R + r Dấu "=" bất đẳng thức xảy tam giác ABC vuông." Dựa Footer Page 20 of 126 vào kết đẳng thức Chương ta sáng tác 19 Header Page 21 of 126 hàng loạt bất đẳng thức cho tam giác tù, vuông, nhọn, 3.1.2 Một số bất đẳng thức liên hệ (R, r, p) góc tam giác Ví dụ 3.9 Cho tam giác ABC, chứng minh √ 15 r2 5R2 − 3Rr + r2 − (R − 2r) R2 − 2Rr ≤2− ≤ ≤ 2R2 2R2 √ − 3Rr + r + (R − 2r) R2 − 2Rr B 5R A ≤ ≤ (sin4 + cos4 ) ≤ 2 2R2 r2 r < ≤3 1− + R 2R2 3.1.3 Một số bất đẳng thức liên hệ (a, b, c), (A, B, C) (R, r, p) Ví dụ 3.11 Cho tam giác ABC, chứng minh √ R2 + 7Rr − (R − 2r) R2 − 2Rr r )≤ ≤ asinB+ 9r ≤ 10r(1 − 5R R √ R2 + 7Rr + (R − 2r) R2 − 2Rr 2(R + r)2 9R + bsinC + csinA ≤ ≤ ≤ R R 3.1.4 Một số bất đẳng thức liên hệ (R, r, p) yếu tố khác tam giác Ví dụ 3.16 Cho tam giác ABC, chứng minh 32Rr2 ≤ 4r2(9R − 2r) ≤ 24Rr2 + 4R2r − 4r(R − 2r) R2 − 2Rr ≤ ≤ (r + )(r + rb )(r + rc ) ≤ 24Rr2 + 4R2r + 4r(R − 2r) R2 − 2Rr ≤ 4r(2R2 + 3Rr + 2r2) ≤ 8R3 3.1.5 Một lớp bất đẳng thức liên quan đến đường phân giác góc cạnh tam giác Định lý 3.1.1 ([9]) Trong tam giác ABC bất kì, bất đẳng thức sau xảy p √ + ≤ r Footer Page 21 of 126 √ √ √ a p ≤ +2 6−3 la r (3.9) 20 Header Page 22 of 126 Dấu "=" (3.9) xảy tam giác ABC Hơn √ nữa, 21 22 hệ số tốt (3.9) Nhận xét 3.4 Từ bất đẳng thức tổng quát (3.9) λ √ √ p + −3 r λ a ≤k la ≤ √ √ √ p + − 3 , (λ ≤ , k ≥ ) r k 2 kết hợp với bất đẳng thức dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) (trong Chương 2) ta thu hàng loạt bất đẳng thức tam giác Hệ 3.1.1 ([9]) Trong tam giác ABC bất kì, ta có √ 2r 3+ 1− R ≤ √ √ a R ≤2 3+2 −1 la 2r (3.20) Dấu "=" (3.20) xảy tam giác ABC Hơn √ nữa, 2 hệ số tốt vế phải bất đẳng thức (3.20) 3.2 Một số ứng dụng dạng tương đương bất đẳng thức tam giác Trong mục này, trình bày số ứng dụng dạng tương đương (2.31) bất đẳng thức tam giác Shan-He Wu Mihály Bencze nêu báo [8] 3.2.1 Một chứng minh bất đẳng thức Garfunkel Bankoff Định lý 3.2.1 ([8])(Bất đẳng thức Garfunkel - Bankoff) Cho tam giác ABC bất kì, ta có tan2 B C A B C A + tan2 + tan2 ≥ − 8sin sin sin 2 2 2 (3.23) Dấu "=" (3.23) xảy tam giác ABC Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 3.2.2 Một phát triển bất đẳng thức Leuenberger Định lý 3.2.2 ([4])(Bất đẳng thức Leuenberger) Cho tam giác ABC bất kì, bất đẳng thức sau √ 1 + + ≥ a b c R (3.24) Dấu "=" xảy tam giác ABC Bất đẳng thức nhiều nhà toán học quan tâm phát triển, Steinig đưa bất đẳng thức chặt sau (xem [4]) √ 1 3 + + ≥ a b c 2(R + r) (3.25) Mitrinovic đưa bất đẳng thức chặt khác (3.24) (xem [6]) 5R − r 1 √ + + ≥ a b c 2R2 + (3 − 4)Rr (3.26) Trong định lý đây, trình bày dạng phát triển bất đẳng thức (3.25) (3.26) Shan-He Wu Mihály Bencze đưa Định lý 3.2.3 ([8]) Với tam giác ABC bất kì, bất đẳng thức sau √ 25Rr − 2r2 4Rr Dấu "=" xảy tam giác ABC 1 + + ≥ a b c (3.27) Nhận xét 3.5 Bất đẳng thức (3.27) mạnh bất đẳng thức (3.24), (3.25) (3.26) theo bất đẳng thức Euler R ≥ 2r ta dễ dàng kiểm tra bất đẳng thức sau cho tam giác 1 + + ≥ a b c 1 Footer Page 23 of 126 + + ≥ a b c √ √ 25Rr − 2r2 5R − r √ ≥ ≥ , 4Rr R 2R2 + (3 − 4)Rr √ √ √ 25Rr − 2r2 3 ≥ ≥ 4Rr 2(R + r) R 22 Header Page 24 of 126 Kết luận Chương 3: Từ hệ thống đẳng thức tam giác Chương 1, sử dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) thiết lập Chương xây dựng hàng loạt bất đẳng thức theo (R, r, p) yếu tố tam giác (a, b, c), (sinA, sinB, sinC), (ha, hb , hc) Bên cạnh đó, trình bày lớp bất đẳng thức liên quan đường phân giác cạnh tam giác áp dụng bất đẳng thức (2.1) Hơn nữa, trình bày chứng minh bất đẳng thức Garfunkel - Bankoff phát triển bất đẳng thức Leuenberger áp dụng dạng tương đương (2.31) bất đẳng thức trình bày mục 2.3 Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 Kết luận Luận văn tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình bậc ba có ba nghiệm ba cạnh tam giác (Tính chất 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3) Sử dụng Định lý Viète phương trình bậc ba, xây dựng hệ thống hệ thức tam giác Phát biểu, chứng minh mô tả hình học bất đẳng thức tam giác (Định lý 2.1.1, mục 2.1.2), chứng minh bất đẳng thức (2.1) bất đẳng thức mạnh dạng bất đẳng thức f (R, r) ≤ p2 ≤ F (R, r) (f (R, r), F (R, r) hàm thực bậc hai với R, r > 0) (Nhận xét 2.1) Từ bất đẳng thức bản, xây dựng lớp bất đẳng thức dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) (Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.4), đưa số bất đẳng thức thuộc dạng thường sử dụng cho việc sáng tác bất đẳng thức tam giác (Hệ 2.1.1, Hệ 2.1.2) Trình bày dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác đưa thêm tham số vào biểu thức theo R, r đề cập báo [7] Shan-He Wu (Định lý 2.2.1) Bằng phép biến đổi đơn giản với bất đẳng thức (2.1), đưa số dạng tương đương bất đẳng thức tam giác (các định lý 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.6) bên cạnh dạng tương đương (2.2) (2.14) Ngoài ra, trình Footer Page 25 of 126 bày dạng tương đương bất đẳng thức Shan-He 24 Header Page 26 of 126 Wu Mihály Bencze đưa báo [8] (Định lý 2.3.7) Từ hệ thống đẳng thức Chương 1, áp dụng bất đẳng thức bất đẳng thức dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) xây dựng Chương 2, trình bày việc hình thành sáng tác bất đẳng thức tam giác liên quan (R, r, p) yếu tố (a, b, c), (sinA, sinB, sinC), (ha, hb , hc), thông qua ví dụ cho dạng cụ thể (các ví dụ mục 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4) Trong ví dụ này, bắt gặp lại bất đẳng thức tam giác thường có mặt tài liệu ôn thi đại học ôn thi học sinh giỏi Không thế, Luận văn mở rộng làm mạnh bất đẳng thức Ngoài ra, trình bày lớp bất đẳng thức liên quan đường phân giác cạnh tam giác áp dụng bất đẳng thức (2.1) (Định lý 3.1.1) Sử dụng dạng tương đương (2.31) bất đẳng thức tam giác (Định lý 2.3.7), trình bày chứng minh bất đẳng thức Garfunkel - Bankoff (Định lý 3.2.1) phát triển bất đẳng thức Leuenberger (Định lý 3.2.3) Trong trình thực đề tài, nhận thấy số hướng mở cần nghiên cứu tiếp sau: • Nghiên cứu bất đẳng thức tam giác hình học phi Euclide • Dùng nguyên lý tam giác cân - PIT tính chất cực trị toàn cục Giải tích để thiết lập bất đẳng thức tam giác theo cách hoàn toàn Trong thời gian tới, tập trung tìm hiểu kĩ lưỡng sâu sắc vấn đề Chúng hy vọng luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học sinh quan tâm Footer Page 26 of 126 đến bất đẳng thức tam giác vấn đề liên quan ... triển bất đẳng thức Leuenberger 3.1 Một số ứng dụng bất đẳng thức tam giác Áp dụng bất đẳng thức (2.1) kết hợp với bất đẳng thức (2.12), (2.13) bất đẳng thức Euler thay vào đẳng thức tam giác. .. xảy tam giác ABC Nhận xét 2.6 Từ bất đẳng thức Euler R − 2r ≥ bất đẳng thức cosφ ≤ bất đẳng thức (2.24) dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác (2.1) 2.3 Một số dạng tương đương bất đẳng thức tam giác. .. toán học Bất đẳng thức xem bất đẳng thức làm móng lớp bất đẳng thức hình học tam giác Rouché đưa vào năm 1851, gọi bất đẳng thức tam giác Trong chương này, trình bày bất đẳng thức tam giác, dạng