Một số dạng bất đẳng thức cơ bản trong tam giác và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ BÍCH PHƯỢNG MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 2011 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 29 tháng năm 2011 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Mở đầu Lý chọn đề tài Từ Euler thiết lập bất đẳng thức R ≥ 2r vào năm 1765, bất đẳng thức hình học liên quan đến yếu tố R, r, p thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Vào năm 1851, Rouché đưa bất đẳng thức p 2R + 10Rr − r − 2(R − 2r) R2 − 2Rr 2 p ≤ p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r) R2 − 2Rr Chúng ta biết bất đẳng thức đưa điều kiện cần đủ để tồn tam giác theo yếu tố R, r, p, gọi "bất đẳng thức tam giác" Đây bất đẳng thức quan trọng lớp bất đẳng thức hình học tam giác Đến có nhiều báo nghiên cứu phương pháp chứng minh, ứng dụng bất đẳng thức để thiết lập bất đẳng thức hình học cho tam giác Trong báo [7] (2008), Shan-He Wu đưa dạng "chặt" bất đẳng thức sau: p 2R + 10Rr − r − 2(R − 2r) R2 − 2Rrcosφ p ≤ p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R − 2r) R2 − 2Rrcosφ, 2 với φ = {| A − B |, | B − C |, | A − C |} Sau đó, vào năm 2009, Shan-He Wu Mihály Benzce đưa dạng tương đương bất đẳng thức báo [8] Luận văn "Một số dạng bất đẳng thức tam giác ứng dụng" trình bày cách chi tiết kết hai báo ứng dụng Hơn nữa, chúng tơi sử dụng bất đẳng thức để thiết lập bất đẳng thức liên hệ (R, r, p) yếu tố khác tam giác Đề tài phù hợp với sở thích thân, nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng Nó có đóng góp thiết thực cho việc dạy học bất đẳng thức tam giác trường phổ thông, đem lại niềm đam mê kích thích tư sáng tạo học sinh Mục đích nghiên cứu Trình bày chi tiết kiến thức bất đẳng thức tam giác, từ thiết lập lớp bất đẳng thức theo (R, r, p) tam giác Hệ thống dạng bất đẳng thức tam giác, đặc biệt trình bày chi tiết dạng "chặt", dạng tương đương ứng dụng Nâng cao lực tư cho học sinh việc nhận dạng, chứng minh sáng tác bất đẳng thức tam giác từ bất đẳng thức tam giác dạng tương đương Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bất đẳng thức tam giác, dạng " chặt ", dạng tương đương ứng dụng chúng Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp, hệ thống kiến thức từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, bạn học viên lớp cung cấp; tài liệu sưu tầm trang web Tốn học; báo sách có liên quan đến bất đẳng thức tam giác Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài nghiên cứu số dạng bất đẳng thức tam giác ứng dụng chúng, nội dung quan trọng bất đẳng thức tam giác, phần khơng thể thiếu chương trình Tốn trung học phổ thông, thi học sinh giỏi nước quốc tế Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh bậc phổ thông trung học, đặc biệt học sinh khối chuyên toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm ba chương Chương Phương trình bậc ba hệ thức tam giác Trong chương này, nêu Định lý Viète số tính chất nghiệm phương trình bậc ba Đồng thời, chúng tơi xây dựng phương trình bậc ba nhận biểu thức theo (R, r, p) làm hệ số nhận ba (a, b, c), (sinA, sinB, sinC), (ha , hb , hc), làm nghiệm Vận dụng Định lý Viète phương trình chúng tơi đưa hệ thống đẳng thức tam giác Các đẳng thức sử dụng việc thiết lập bất đẳng thức tam giác Chương Chương Một số dạng bất đẳng thức tam giác Trong chương này, phát biểu, chứng minh mơ tả hình học bất đẳng thức tam giác Ngồi ra, chúng tơi xây dựng lớp bất đẳng thức quan trọng tam giác có dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) Chúng tơi trình bày dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác đề cập báo [7] ShanHe Wu Phần cuối chương, chúng tơi trình bày dạng tương đương bất đẳng thức bản, chúng tơi đặc biệt ý đến dạng tương đương Shan-He Wu Mihály Benzce trình bày báo [8] Chương Một số ứng dụng Từ hệ thống đẳng thức tam giác Chương 1, sử dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) thiết lập Chương 2, chúng tơi trình bày hàng loạt bất đẳng thức theo (R, r, p) yếu tố tam giác (a, b, c), (sinA, sinB, sinC), (ha , hb , hc) thể việc hình thành sáng tạo bất đẳng thức tam giác thơng qua ví dụ tiêu biểu cho dạng cụ thể Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày lớp bất đẳng thức liên quan đường phân giác cạnh tam giác áp dụng bất đẳng thức tam giác Hơn nữa, chúng tơi trình bày chứng minh bất đẳng thức Garfunkel - Bankoff phát triển bất đẳng thức Leuenberger áp dụng dạng tương đương bất đẳng thức Shan-He Wu Mihály Benzce trình bày báo [8] Chương Phương trình bậc ba hệ thức tam giác Trong chương này, nêu Định lý Viète số tính chất nghiệm phương trình bậc ba Vận dụng Định lý Viète, xây dựng hệ thống đẳng thức tam giác ([2],[6]) Các kiến thức sử dụng chương sau 1.1 Phương trình bậc ba số tính chất nghiệm 1.1.1 Định lý Viète nghiệm phương trình bậc ba 1.1.2 Một số tính chất nghiệm phương trình bậc ba 1.2 Phương trình bậc ba số hệ thức tam giác 1.2.1 Phương trình bậc ba với nghiệm ba theo độ dài cạnh tam giác Định lý 1.2.1 ([2],[6]) Các cạnh a, b, c tam giác ABC ba nghiệm phương trình x3 − 2px2 + (p2 + r2 + 4Rr)x − 4pRr = (1.6) Định lý 1.2.3 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có p − a, p − b, p − c nghiệm phương trình x3 − px2 + r(4R + r)x − pr2 = (1.8) 1.2.2 Phương trình bậc ba với nghiệm ba theo số đo góc tam giác Định lý 1.2.5 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có sinA, sinB, sinC ba nghiệm phương trình 4R2 x3 − 4Rpx2 + (p2 + r2 + 4Rr)x − 2pr = (1.10) Định lý 1.2.7 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có cosA, cosB, cosC ba nghiệm phương trình 4R2x3 − 4R(R + r)x2 + (p2 + r2 − 4R2)x + (2R + r)2 − p2 = (1.12) 16R2x3 − 8R(2R − r)x2 + (p2 + r2 − 8Rr)x − r2 = (1.14) 16R2x3 − 8R(4R + r)x2 + [p2 + (4R + r)2]x − p2 = (1.16) 2prx3 − (p2 − r2 − 4Rr)x2 + 2prx + (2R + r)2 − p2 = (1.18) [p2 − (2R + r)2]x3 − 2prx2 + (p2 − 4Rr − r2)x − 2pr = (1.19) Định lý 1.2.9 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có sin2 A2 , sin2 B2 , sin2 C2 ba nghiệm phương trình Định lý 1.2.11 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có cos2 A2 , cos2 B2 , cos2 C2 ba nghiệm phương trình Định lý 1.2.13 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có cotA, cotB, cotC ba nghiệm phương trình Định lý 1.2.14 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có tanA, tanB, tanC ba nghiệm phương trình Định lý 1.2.15 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , tan A2 , tan B2 , tan C2 ba nghiệm phương trình px3 − (4R + r)x2 + px − r = (1.20) Định lý 1.2.16 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , cot A2 , cot B2 , cot C2 ba nghiệm phương trình rx3 − px2 + (4R + r)x − p = (1.21) 1.2.3 Phương trình bậc ba với nghiệm ba theo yếu tố khác tam giác Định lý 1.2.17 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có ra, rb, rc ba nghiệm phương trình x3 − (4R + r)x2 + p2 x − p2 r = (1.22) Định lý 1.2.19 ([2],[6]) Cho tam giác ABC , ta có , hb , hc ba nghiệm phương trình 2Rx3 − (p2 + r2 + 4Rr)x2 + 4p2rx − 4p2r2 = (1.24) Kết luận Chương 1: Chúng xây dựng phương trình bậc ba nhận ba theo cạnh, góc, đường cao, làm nghiệm biểu thức theo (R, r, p) làm hệ số Bằng cách áp dụng Định lý Viète tính chất nghiệm phương trình bậc ba, ta sáng tác (đồng thời phương pháp chứng minh) hàng loạt đẳng thức tam giác Các đẳng thức thể mối quan hệ (a, b, c), (sinA, sinB, sinC), (ha, hb , hc ), với (R, r, p) Chương Một số dạng bất đẳng thức tam giác Trong Chương 1, tất yếu tố tam giác nghiệm phương trình bậc ba với hệ số chứa ba yếu tố (R, r, p) Lớp bất đẳng thức liên quan đến yếu tố thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Bất đẳng thức xem bất đẳng thức làm móng lớp bất đẳng thức hình học tam giác Rouché đưa vào năm 1851, gọi bất đẳng thức tam giác Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức tam giác, dạng "chặt" số dạng tương đương 2.1 2.1.1 Bất đẳng thức tam giác Bất đẳng thức tam giác Định lý 2.1.1 ([6])(Bất đẳng thức tam giác) Điều kiện cần đủ để tồn tam giác theo yếu tố (R, r, p) p 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rr p ≤ p ≤ 2R + 10Rr − r + 2(R − 2r) R2 − 2Rr 2 (2.1) Dấu "=" xảy bất đẳng thức (2.1) tam giác cân Dấu "=" xảy hai bất đẳng thức (2.1) tam giác 10 Định lý 2.1.3 ([5]) Bất đẳng thức (2.6) xảy tam giác (a) ν ≥ −5 λ ≤ 0, (b) (ν + 5)2 ν < −5 λ ≤ 4(ν + 1) Bất đẳng thức (2.7) xảy tam giác (c) ν ≤ λ0 ≥ 4, (d) ν > λ0 ≥ (ν + 5)2 4(ν + 1) Nhận xét 2.3 Trong [4], Bludon khẳng định bất đẳng thức Gerretsen mạnh lớp bất đẳng thức q(R, r) ≤ p2 ≤ Q(R, r), q(R, r), Q(R, r) dạng tồn phương theo R, r > với hệ số thực Từ Định lý 2.1.3, ta thấy rõ phát biểu Bludon sai Thật vậy, giả sử từ (2.6) lấy λ = −0, 1, ν = −6, ta có p2 ≥ −0, 1R2 + 16, 7Rr − 6r2 (2.8) Nếu R ≥ 5r vế trái bất đẳng thức Gerretsen (2.3) mạnh (2.8) 2r < R < 5r (2.8) mạnh Ngồi ra, ta xét tam giác vng có cạnh 6, 8, 10 Khi R = 5, r = 2, p = 12 (2.8) trở thành p2 ≥ 140, mạnh vế trái (2.3) p2 ≥ 140 Tương tự, từ (2.7) lấy λ0 = 4, 75, ν = ta bất đẳng thức p2 ≤ 4, 75R2 + 0, 5Rr + 7r2 (2.9) Bất đẳng thức (2.9) yếu vế phải bất đẳng thức Gerretsen (2.3) R > 8r3 2r < R ≤ 8r3 (2.9) mạnh Từ Định lý 2.1.3, ta dễ dàng suy định lý sau 11 Định lý 2.1.4 ([6]) a) Một bất đẳng thức (2.6) xảy tam giác có dạng p2 ≥ (1 − ω 2)−1[−4ω 2R2 + 4(4 + ω − ω 2)Rr − (5 + 8ω + 3ω 2)r2] − r(R − 2r), (2.10) ≤ ω <  ≥ b) Một bất đẳng thức (2.7) xảy tam giác có dạng p2 ≤ (1−θ2)−1[4R2 +4(1−θ−4θ2)Rr+(3+8θ+5θ2)r2]+r(R−2r), (2.11) ≤ θ <  ≥ Hệ 2.1.1 Cho ABC tam giác tùy ý Ta có √ √ 3r ≤ p ≤ 2R + (3 − 4)r, (2.12) dấu "=" bất đẳng thức xảy tam giác ABC Nhận xét 2.4 Bất đẳng thức (2.12) mạnh lớp bất đẳng thức tuyến tính λ0 R + µ0 r ≤ p ≤ λR + µr Việc chứng minh thể phần mơ tả hình học Thay θ = ω =  = vào (2.10) (2.11) ta bất đẳng thức Gerretsen Định lý 2.1.4 gọi dạng tổng quát hóa bất đẳng thức Gerretsen Thay giá trị θ, ω,  thích hợp vào bất đẳng thức (2.10), (2.11) Định lý 2.1.4 ta thu nhiều bất đẳng thức đẹp theo (R, r, p) Hệ thể số bất đẳng thức tiêu biểu theo (R, r, p) thường sử dụng việc sáng tác bất đẳng thức tam giác Hệ suy từ bất đẳng thức Gerretsen bất đẳng thức Euler 12 Hệ 2.1.2 Cho tam giác ABC tùy ý Ta có 27r2 ≤ 11r2 + 8Rr ≤ 27 r(r + 2R) ≤ 3r2 + 12Rr ≤ r(7r + 10R) ≤ 27 Rr ≤ 14Rr − r2 ≤ 16Rr − 5r2 ≤ p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 ≤ ≤ 4R2 + r2 + 5Rr ≤ R2 + r2 + 4Rr ≤ 5R2 + 2Rr + 3r2 ≤ (r + 4R)2 27 2 ≤ 5R + 4Rr − r ≤ ≤ 6R2 + 3r2 ≤ R2 ≤ 2 2 ≤ 8R − r − 2Rr ≤ 9R − r − 4Rr (2.13) ≤ Dấu "=" bất đẳng thức xảy ABC tam giác 2.1.2 Mơ tả hình học y √ 3 √ y = 3x √ y = (3 − 4)x + A C E y= √ 3(x + 1) O B x Hình 2.3: Mơ tả hình học bất đẳng thức tam giác 2.2 Dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác Từ Nhận xét 2.1, biết bất đẳng thức tốt lớp bất đẳng thức f (R, r) ≤ p2 ≤ F (R, r), với f (R, r), F (R, r) 13 hàm thực bậc hai theo R, r > cho trước Vậy, liệu có dạng "chặt" khác (2.1) ta không xét với lớp hàm không? Câu hỏi Shan-He Wu trả lời báo [7] Ông đưa dạng "chặt " bất đẳng thức (2.1) cách đưa thêm tham số vào biểu thức theo R, r Đây nội dung chúng tơi trình bày mục Để cho gọn trình bày, Q chúng tơi sử dụng kí hiệu để tích tuần hồn, chẳng hạn Q f (A) = f (A)f (B)f (C) Trước tiên, ta xét bổ đề sau Bổ đề 2.1 ([7]) Cho tam giác ABC Nếu A ≥ B ≥ C ta có bất đẳng thức sau p 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rrcos(B − C) p 2 ≤ p ≤ 2R + 10Rr − r + 2(R − 2r) R2 − 2Rrcos(A − B) (2.16) Dấu "=" bất đẳng thức bên trái xảy B = C Dấu "=" bất đẳng thức bên phải xảy A = B Định lý 2.2.1 ([7]) Cho φ = {| A − B |, | B − C |, | A − C |} Khi với tam giác ABC bất kì, ta có p 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rrcosφ p 2 ≤ p ≤ 2R + 10Rr − r + 2(R − 2r) R2 − 2Rrcosφ (2.24) Dấu "=" (2.24) xảy tam giác ABC Nhận xét 2.6 Từ bất đẳng thức Euler R − 2r ≥ bất đẳng thức cosφ ≤ bất đẳng thức (2.24) dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác (2.1) 2.3 Một số dạng tương đương bất đẳng thức tam giác Trong mục 2.1, ta có (2.2) (2.14) dạng tương đương bất đẳng thức (2.1) Bằng phép biến đổi đơn giản với (2.1) 14 sử dụng cơng thức S = pr, ta có số dạng tương đương khác bất đẳng thức tam giác Định lý 2.3.1 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có p4 − 2(2R2 + 10Rr − r2 )p2 + r(4R + r)3 ≤ (2.25) Dấu "=" (2.25) xảy tam giác cân Định lý 2.3.2 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có (r2 + p2 )2 + 12Rr3 − 20Rrp2 + 48R2r2 − 4R2p2 + 64R3r ≤ (2.26) Dấu "=" (2.26) xảy tam giác cân Định lý 2.3.3 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có S − 2r2(2R2 + 10Rr − r2 )S + r5(4R + r)3 ≤ (2.27) Dấu "=" (2.27) xảy tam giác cân Định lý 2.3.4 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có p4 − 2(2R2 + 10R S S2 S S − )p + (4R + )3 ≤ p p p p (2.28) Dấu "=" (2.28) xảy tam giác cân Định lý 2.3.5 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có p r[2R2 + 10Rr − r2 − 2(R − 2r) R2 − 2Rr] p 2 ≤ S ≤ r[2R + 10Rr − r + 2(R − 2r) R2 − 2Rr] (2.29) Dấu "=" bất đẳng thức (2.29) xảy tam giác cân Dấu "=" hai bất đẳng thức (2.29) xảy tam giác Định lý 2.3.6 ([6]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có 4R(R − 10RS S2 2S ) ≥ (p2 + − 2R2 − ) p p p Dấu "=" (2.30) xảy tam giác cân (2.30) 15 Tiếp theo chúng tơi trình bày dạng tương đương bất đẳng thức Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng việc chứng minh số bất đẳng thức quen thuộc trình bày chương sau Định lý 2.3.7 ([8]) Cho tam giác ABC bất kì, ta có p2 1 δ(4 − δ)3 ≤ ≤ (2 − δ)(2 + δ)3, (2.31) R q δ = − − 2r R Dấu "=" xảy bất đẳng thức tam giác cân Kết luận Chương 2: Trong chương phát biểu, chứng minh mô tả hình học bất đẳng thức tam giác Hơn nữa, từ bất đẳng thức tam giác xây dựng lớp bất đẳng thức dạng M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) Nội dung chương trình bày dạng "chặt" bất đẳng thức (2.1) đưa tác giả Shan-He Wu báo [7] dạng tương đương bất đẳng thức (2.1) đưa tác giả Shan-He Wu Mihály Bencze báo [8] 16 Chương Một số ứng dụng Bằng phép biến đổi đại số sơ cấp kết hợp với hệ thức tam giác trình bày Chương 1, thiết lập đẳng thức tổng quát sau F (f1(u1, v1, w1), f2(u2, v2, w2), , fn(un, vn, wn)) = G(R, r, p), (3.1) fi (ui, vi, wi), (i = 1, , n) biểu thức đối xứng theo ba (a, b, c), (ha, hb , hc ), (sinA, sinB, sinC), G(R, r, p) biểu thức theo (R, r, p) Giả sử G(R, r, p) = g(H(R, r), K(p)), g hàm khơng giảm theo biến thứ hai Từ bất đẳng thức tam giác ta thiết lập bất đẳng thức M(R, r) ≤ K(p) ≤ N (R, r) Chương Như ta có g(H(R, r), M(R, r)) ≤ G(R, r, p) ≤ g(H(R, r), N (R, r)) Thay bất đẳng thức vào đẳng thức (3.1) ta thu bất đẳng thức g(H(R, r), M(R, r)) ≤ F (f1(u1, v1, w1), f2(u2, v2, w2), , fn(un, vn, wn)) ≤ g(H(R, r), N (R, r)) Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức có dạng Bên cạnh đó, từ dạng tương đương (2.31) bất đẳng thức trình bày mục 2.3, tìm hiểu ứng dụng việc 17 chứng minh bất đẳng thức quen thuộc Garfunkel - Bankoff phát triển bất đẳng thức Leuenberger 3.1 Một số ứng dụng bất đẳng thức tam giác Áp dụng bất đẳng thức (2.1) kết hợp với bất đẳng thức (2.12), (2.13) bất đẳng thức Euler thay vào đẳng thức tam giác trình bày Chương ta thu hàng loạt bất đẳng thức tam giác thể mối liên hệ (R, r, p) yếu tố tam giác Trong dạng cụ thể, chúng tơi trình bày ví dụ tiêu biểu Trong phần này, dấu "=" bất đẳng thức ví dụ xảy tam giác ABC Để cho gọn trình bày, chúng tơi khơng nhắc lại điều Đồng thời, sử dụng Q P kí hiệu để tích tổng tuần hoàn, chẳng hạn Q P f (a, b) = f (a, b)f (b, c)f (c, a), f (a, b) = f (a, b) + f (b, c) + f (c, a) 3.1.1 Một số bất đẳng thức liên hệ (R, r, p) cạnh tam giác Ví dụ 3.1 Cho tam giác ABC, chứng minh i h p 2 36r ≤ 18Rr ≤ 12r(2R − r) ≤ R + 3Rr − r − (R − 2r) R − 2Rr ≤ i h p 2 2 2 ≤ a + b + c ≤ R + 3Rr − r + (R − 2r) R − 2Rr ≤ ≤ 8R2 + 4r2 ≤ 9R2 Nhận xét 3.1 Nếu sử dụng Định lý 2.1.4 để tìm bất đẳng thức tổng quát hóa dạng a2 + b2 + c2 ≤ uR2 + vRr + wr2 (u, v, w ∈ R) 18 a2 + b2 + c2 ≥ u0R2 + v Rr + w0 r2(u0 , v 0, w0 ∈ R) Ta kết sau a2 + b2 + c2 ≤4(1 − θ2)−1[2R2 − 2Rrθ(1 + 3θ) + r2(1 + 4θ + 3θ2)] + r(R − 2r) (0 ≤ θ < 1,  ≥ 0), a2 + b2 + c2 ≥4(1 − ω )−1[−2ω 2R2 + 2Rr(3 + ω) − r2(3 + 4ω + ω )] − r(R − 2r) (0 ≤ ω < 1,  ≥ 0) Từ kết ta đưa hàng loạt bất đẳng thức có dạng ứng với giá trị ω, θ,  cụ thể Tương tự, ta áp dụng Định lý 2.1.4 cho đẳng thức Chương để đưa hàng loạt bất đẳng thức với dạng cụ thể Ví dụ 3.2 Cho tam giác ABC số thực k, (0 < k ≤ 9) Tam giác ABC thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = kR2 gọi k− tam giác Khi đó, chứng minh rằng: "Điều kiện cần đủ để tồn k− tam giác theo yếu tố (R, r, p) p2 = r2 + 4Rr + 12 kR2 với < k ≤ 9" Hơn nữa, tam giác ABC tam giác tù < k < 8, vuông k = 8, nhọn < k < và k = Nhận xét 3.2 Từ Ví dụ phân loại tam giác tù, vuông, nhọn tam giác tùy theo k ∈ (0; 9] Ngồi ra, ta cịn rút nhận xét sau: "Tam giác ABC không tù (tam giác khơng có góc lớn π2 ) p ≥ 2R + r; tam giác ABC khơng nhọn (tam giác có góc lớn π2 ) p ≤ 2R + r Dấu "=" bất đẳng thức xảy tam giác ABC vuông." Dựa vào kết đẳng thức Chương ta sáng tác ... xảy tam giác ABC Nhận xét 2.6 Từ bất đẳng thức Euler R − 2r ≥ bất đẳng thức cosφ ≤ bất đẳng thức (2.24) dạng "chặt" bất đẳng thức tam giác (2.1) 2.3 Một số dạng tương đương bất đẳng thức tam giác. .. ứng dụng bất đẳng thức tam giác Áp dụng bất đẳng thức (2.1) kết hợp với bất đẳng thức (2.12), (2.13) bất đẳng thức Euler thay vào đẳng thức tam giác trình bày Chương ta thu hàng loạt bất đẳng thức. .. Vận dụng Định lý Viète phương trình chúng tơi đưa hệ thống đẳng thức tam giác Các đẳng thức sử dụng việc thiết lập bất đẳng thức tam giác Chương Chương Một số dạng bất đẳng thức tam giác Trong