Phép biến đổi laplace rời rạc với phương trình sai phân

f ∗ (n) [...]... (1) 4 ep ep 1 (4) ) 27 Chữỡng 2 PHìèNG PHP GII PHìèNG TRNH SAI PHN 2.1 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp 1 2.1.1 nh nghắa Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp 1 vợi hằ số hơng cõ dÔng: af (n) + bf (n) = F (n) (1) Trong õ: a, b l cĂc hơng số khĂc 0, F (n) l biu thực chựa n, f (n) l sai phƠn cĐp 1 cừa f(n), f (n) l ân hm Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp 1 vợi hằ số hơng cõ th viát dÔng khĂc... phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cõ nhiãu im chung vợi lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng Chng hÔn nhữ nh lỵ m ta hay sỷ dửng l: nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh sai phƠn khổng thuƯn nhĐt (1.3) ữủc biu diạn dữợi dÔng tờng cừa mởt nghiằm riảng no õ v nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt tữỡng ựng; 1.3 Phữỡng phĂp toĂn tỷ 1.3.1 Mởt số kián thực vã php bián ời Laplace. .. f (n) = F (n) 1.2.2 CĂc nh nghắa v cĂc khĂi niằm liản quan án phữỡng trẳnh sai phƠn 1.2.3.1 Tẵnh thuƯn nhĐt, khổng thuƯn nhĐt Vợi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh dÔng (1.3), náu ta cõ: F (n) = 0 thẳ ta gồi (1.3) l phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt cĐp k vợi hằ số hơng F (n) = 0 thẳ ta gồi (1.3) l phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt cĐp k vợi hằ số hơng 1.2.3.2 Nghiằm, nghiằm... gồi l phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt thuƯn nhĐt Náu F(n) = 0 thẳ phữỡng trẳnh (1), (2) ữủc gồi l phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp 1 khổng thuƯn nhĐt 28 2.1.2 GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp 1 thuƯn nhĐt Phữỡng trẳnh af (n + 1) + bf (n) = 0 (a, b = 0) ữủc giÊi theo cĂc bữợc sau: i) GiÊi phữỡng trẳnh c trững a + b = 0  tẳm ii) Nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh... vo phữỡng trẳnh sai phƠn  cho ta ữủc C(n + 1).3n+1 3.C(n).3n = 2.3n+1 C(n + 1) C(n) = 2 C(n) = 2 = 2n Vêy C(n) = 2n v f (n) = 2n.3n Do õ nghiằm tờng quĂt cõ dÔng f (n) = f (n) = f (n) = C.3n + 2n.3n Vẳ f (0) = 1 nản 1 = C.30 + 2.0.31 hay C = 1 Ta ữủc f (n) = 3n + 2n.3n = (1 + 2n).3n l nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn  cho Vẵ dử 2.4 Tẳm mởt nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn: f (n... riảng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn: 1 f (n + 1) 5f (n) = 5 (n2 3n + 1).n! GiÊi Nghiằm riảng cõ dÔng f (n) = C(n).5n thay vo phữỡng trẳnh sai phƠn ta ữủc 1 C(n + 1).5n+1 5.C(n).5n = 5 (n2 3n + 1).n! 1 n2 3n + 1 n 1 (n + 1)(n + 1)! 1 n C(n) = n n! = ( n n!) .n! = 5 5n+1 5 5 5 5 5n+1 n n.n! n Vêy C(n) = n+1 n! nản f (n) = n+1 n!.5n = 5 5 5 Tẳm mởt nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn : Vẵ dử 2.6... (n) = A sin nx + B cos nx (A, B R) Vẵ dử 2.12 GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn 2f (n + 1) f (n) = sin n , f (0) = 1 4 35 GiÊi Phữỡng trẳnh c trững cõ nghiằm = 1 2 n nản phữỡng trẳnh sai phƠn 1 thuƯn nhĐt cõ nghiằm dÔng f (n) = C( 2 ) Vẳ F (n) = sin n nản ta chồn nghiằm riảng f (n) = A sin n + S cos n 4 4 4 thay vo phữỡng trẳnh sai phƠn ta ữủc 2 Asin (n+1) + B cos n A sin n + B cos n = sin... 4 4 4 4 4 4 4 n n n A cos 4 B sin 4 = sin 4 Suy ra A = 0, B = 1 nản f (n) = cos n 4 n 1 n Do õ phữỡng trẳnh sai phƠn cõ nghiằm dÔng f (n) = C 2 + cos 4 Vẳ f (0) = 1 = C + 1 nản C = 0 n Vêy phữỡng trẳnh sai phƠn  cho cõ nghiằm dÔng f (n) = cos 4 Vẵ dử 2.13 GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn f (n + 1) 2f (n) = GiÊi 1 n 1 n 2 sin + cos vợi f (0) = 1 4 4 2 2 Phữỡng trẳnh c trững cõ nghiằm = 2... quĂt cừa phữỡng trẳnh sai phƠn cõ 4 dÔng n f (n) = C.2n + sin , 4 vẳ f (0) = 1 = C nản phữỡng trẳnh sai phƠn  cho cõ nghiằm n f (n) = 2n + sin 4 d) Náu vá phÊi cõ dÔng F (n) = ta tẳm nghiằm riảng f (n) = m k=1 m Fk (n) Trong trữớng hủp ny, k=1 fk (n) Trong õ fk (n) l nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh a.f (n + 2) + b.f (n + 1) + c.f (n) = Fk (n) Vẵ dử 2.14 GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn f (n + 1) 26f... nghiằm = 1 cừa phữỡng trẳnh c trững 30 Do õ, ta tẳm nghiằm riảng f (n) = C(n), thay vo phữỡng trẳnh sai phƠn  cho ta ữủc C(n + 1) C(n) = (n2 + n + 1).n! hay C(n) = (n2 + 2n + 1 n).n! = (n + 1)2 n! - n.n! = (n + 1)(n + 1).n! - n.n! = (n.n!) Do õ C(n) = n.n! v f (n) = n.n! Nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn cõ dÔng f (n) = f (n)+f (n) = C +n.n! Vẳ f (0) = 1 = C + 0.0! = C nản f (n) = 1 + n.n! Vẵ