Lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ NGA LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Hùng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Bùi Thị Nga Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Lí thuyết ổn định hệ phương trình sai phân” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Bùi Thị Nga Mục lục Mở đầu Chương Phương trình hệ phương trình sai phân 1.1 Sai phân 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Đa thức giai thừa 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm phương trình sai phân tuyến tính 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 1.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 11 1.5 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số phụ thuộc n 15 1.6 Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng với hệ số phụ thuộc n 18 Chương Lí thuyết ổn định hệ phương trình sai phân 21 2.1 Khái niệm ổn định 21 2.2 Sự ổn định hệ tuyến tính với hệ số phụ thuộc n 27 2.3 Sự ổn định hệ tuyến tính với hệ số 29 2.4 Phép phân tích khơng gian pha 32 2.5 Phương pháp Liapunov 39 2.6 Phương pháp thứ Liapunov 47 2.7 Ổn định xấp xỉ tuyến tính 49 Chương Một số ứng dụng 58 3.1 Một loài với hai lớp tuổi 58 3.2 Mơ hình chu kì kinh doanh 60 3.3 Nghiên cứu trường hợp loài bọ bột cánh cứng 62 3.4 Mơ hình Nicholson–Bailey 68 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hệ phương trình sai phân ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết mạch, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học xã hội học, Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân vấn đề thời toán học nhiều nhà toán học quan tâm Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình sai phân Nó ứng dụng ngày nhiều lĩnh vực khác nhau, kinh tế khoa học kĩ thuật, sinh thái mơi trường Vì phát triển mạnh mẽ theo lý thuyết ứng dụng Với lý đó, tơi chọn đề tài "Lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân" để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, phương pháp giải số hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp - Luận văn nghiên cứu lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân số ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Nghiên cứu tài liệu khoa học phương trình hệ phương trình sai phân; - Trình bày lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phương trình, hệ phương trình vi phân, phương trình sai phân, ổn định hệ phương trình vi phân Đóng góp luận văn Trình bày ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Chương Phương trình hệ phương trình sai phân Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức phương trình hệ phương trình sai phân Các kiến thức chủ yếu dựa vào [4] từ trang 57 đến trang 153 1.1 Sai phân 1.1.1 Định nghĩa Trong mục ta nghiên cứu hai tốn tử cần thiết cho phương trình sai phân, là: Tốn tử sai phân ∆x(n) = x(n + 1) − x(n) Toán tử dịch chuyển Ex(n) = x(n + 1) → E x(n) = E(Ex(n)) = Ex(n + 1) = x(n + 2) → E k x(n) = x(n + k) 1.1.2 Tính chất Cho I toán tử đồng Ix = x Ta có, ∆ = E − I → E = ∆ + I Do đó, k k k i (−1)i Ck E k−i x(n) ∆ x(n) = (E − I) x(n) = (1.1.1) i=0 k k k i Ck ∆k−i x(n) E x(n) = (∆ + I) x(n) = i=0 (1.1.2) ∆ E toán tử tuyến tính ∆[ax(n) + by(n)] = a∆x(n) + b∆y(n) E[ax(n) + by(n)] = aEx(n) + bEy(n) n−1 ∆x(k) = x(n) − x(n0 ), k=n0 n−1 ∆( x(k)) = x(n) k=n0 Cho P (n) đa thức bậc k, ∆k P (n) = a0 k! (1.1.3) ∆k+i P (n) = 0, ∀i ≥ (1.1.4) Thật vậy, với P (n) = a0 nk + a1 nk−1 + · · · + ak , ta có ∆P (n) = [a0 (n + 1)k + a1 (n + 1)k−1 + · · · + ak ] − [a0 nk + a1 nk−1 + · · · + ak ] = a0 knk−1 + Q1 (n), Q1 (n) đa thức có bậc nhỏ k − Tương tự, ∆2 P (n) = a0 k(k − 1)nk−2 + Q2 (n) Q2 (n) đa thức có bậc nhỏ k − Tiếp tục trình k lần ta thu ∆k P (n) = a0 k! Do đó, ∆k+i P (n) = 0, ∀i ≥ 1.1.3 Đa thức giai thừa Một hàm thú vị tính tốn sai phân đa thức giai thừa x(k) Với x ∈ R x(k) = x(x − 1) (x − k + 1), k ∈ Z+ Nếu x = n ∈ Z+ n ≥ k n(k) = n! n(n) = n! (n − k)! Bây ta xác định ∆ E hàm liên tục ∆f (t) = f (t + 1) − f (t) Ef (t) = f (t + 1) Với f (x) = x(k) ta có ∆x(k) = (x + 1)(k) − x(k) Ex(k) = (x + 1)k Tính chất: cố định k ∈ Z+ x ∈ R ta có (i) ∆x(k) = kx(k−1) ; (ii) ∆n x(k) = k(k − 1) (k − n + 1)x(k−n) ; (iii) ∆k x(k) = k! 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp k có dạng y(n + k) + p1 (n)y(n + k − 1) + · · · + pk (n)y(n) = g(n) (1.2.1) với pi (n), g(n) hàm thực xác định với ∀n ≥ n0 , pk (n) = Nếu g(n) ≡ phương trình (1.2.1) gọi phương trình Từ (1.2.1) ta có y(n + k) = −p1 (n)y(n + k − 1) − · · · − pk (n)y(n) + g(n) (1.2.2) Cho n = ta có y(k) = −p1 (0)y(k−1)−p2 (0)y(k−2)−· · ·−pk (0)y(0)+g(0) Cho n = ta có y(k+1) = −p1 (1)y(k)−p2 (1)y(k−1)−· · ·−pk (1)y(1)+g(1) Bằng cách lặp lại q trình trên, ta tính giá trị tất y(n) với n ≥ k Chương Một số ứng dụng Các ứng dụng trình bày chương dựa theo tài liệu [4] từ trang 229 đến trang 238 3.1 Một loài với hai lớp tuổi Xét loài với hệ hai lớp tuổi X(n) số lượng bé, Y (n) số lượng trưởng thành thời điểm thứ n X(n + 1) = bY (n), Y (n + 1) = cX(n) + sY (n) − DY (n) (3.1.1) DX(n) ˜ ˜ Đặt X = , Y = DX(n) ta có b ˜ ˜ X(n + 1) = Y (n), ˜ ˜ Y (n + 1) = aX(n) + sY (n) − Y (n), (3.1.2) ˜ ˜ ˜ ˜ với a = cb > Điểm cố định không tầm thường (X ∗ , Y ∗ ) với X ∗ = Y ∗ ˜ ˜ ˜ Y ∗ = a + s − Mặt khác, điểm cố định X ∗ Y ∗ phải dương để mơ hình xét có ý nghĩa sinh học, a + s − > ˜ ˜ ˜ ˜ Để dễ dàng xét tính ổn định ta đặt x(n) = X(n)− X ∗ , y(n) = Y (n)− Y ∗ , ta có hệ x(n + 1) = y(n), y(n + 1) = ax(n) + ry(n) − y (n) (3.1.3) ˜ ˜ Điểm cố định (0, 0) tương ứng với điểm cố định (X ∗ , Y ∗ ) Xét hệ tuyến tính x(n + 1) = y(n), y(n + 1) = ax(n) + ry(n) 58 59 Ta có A = , phương trình đặc trưng A λ2 − rλ − a = Theo a r (3.1.1), nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận (i) − r − a > ↔ − (2 − 2a − s) − a > ↔ a + s > (ii) + r − a > ↔ + (2 − 2a − s) − a > ↔ 3a + s < Để tìm miền ổn định nghiệm tầm thường, ta dùng phương pháp hàm Liapunov cho V (x, y) = a2 x2 + 2ar xy + y 1−a Nhớ lại phương trình Ax2 + 2Bxy + Cy = D phương trình ellip AC − B > hay a2 r > ↔ a − < r < − a a − (1 − a)2 Mặt khác, cách nhóm số hạng chứa x, y ta thu được: A x2 + C y = D với A + C = a2 + > 0, A C > Do A , C > hay D > từ V (x, y) > Hơn nữa, ∆V (x, y) = 2ar(r − y) y w(x, y) với w(x, y) = (y − r)2 − 2ax − + a2 − Do đó, 1−a ∆V (x, y) ≤ w(x, y) < 0, (x, y) ∈ G, G = {(x, y) : (y − r)2 − 2ax − 2ar(r − y) + a2 − < 0} 1−a Miền G bị chặn parabol w(x, y) = Hơn nữa, ta biết nghiệm bị chặn G hội tụ tới gốc Xét tập hợp tất điểm G mà hội tụ tới gốc Vmin = min{V (x0 , y0 ) : (x0 , y0 ) ∈ ∂G} ˜ ˜ Jm = {X, Y }, ˜ ˜ ˜ ˜ X = x0 + X ∗ , Y = x0 + Y ∗ V (x(m), y(m)) < Vmin , m = 0, 1, 2, Nếu (x0 , y0 ) ∈ J0 V (x(1), y(1)) ≤ V (x0 , y0 ) < Vmin , (x(1), y(1)) ∈ J0 60 Tương tự ta (x(n), y(n)) ∈ J0 với n = 1, 2, 3, Do (x(n), y(n)) → (0, 0) n → ∞ Nếu (x0 , y0 ) ∈ Jm V (x(m + 1), y(m + 1)) ≤ V (x(m), y(m)) < Vmin Khi ta có (x(n), y(n)) → (0, 0) n → ∞ Như Jm miền ổn định nghiệm tầm thường 3.2 Mơ hình chu kì kinh doanh Một mơ hình tốn học thức Paul Samuelson (1939) Sau mơ hình Sir John Hicks (1950) Cho I(n) vốn đầu tư thời điểm n, Y (n) thu nhập thời điểm n Trong mơ hình Samuelson-Hicks, giả sử vốn đầu tư tỉ lệ với thu nhập I(n) = v[Y (n − 1) − Y (n − 2)] (3.2.1) Tương tự vậy, mức tiêu thụ C(n) tỷ lệ thuận với thu nhập Y (n − 1) chu kì trước, tức là, C(n) = (1 − s)Y (n) (3.2.2) ≤ s ≤ "phần bù" tỉ lệ sử dụng Ta đưa vào đẳng thức kế tốn cho mơ hình kinh tế kín: Y (n) = C(n) + I(n), (3.2.3) từ ta có phương trình sai phân cấp đơn giản sau Y (n) = (1 + v − s)Y (n − 1) − vY (n − 2) (3.2.4) Mơ hình tuyến tính (3.2.4) không biểu diễn đầy đủ cho việc kinh doanh khơng có nghiệm dao động (hoặc chu kì tuần hoàn) ngoại trừ trường hợp đặc biệt v = 61 Xét mơ hình phi tuyến bậc sau I(n) = v(Y (n − 1) − Y (n − 2)) − v(Y (n − 1) − Y (n − 2))3 , C(n) = (1 − s)Y (n − 1) + sY (n − 2) (3.2.5) (3.2.6) Ta đưa vào biến I(n) ˜ Z(n − 1) = = Y (n − 1)) − (Y (n − 2) v (3.2.7) Kết hợp (3.2.5), (3.2.6) sử dụng (3.2.3) ta thu Y (n + 1) = I(n + 1) + C(n + 1) = v(Y (n) − Y (n − 1) + (1 − s)Y (n)) + sY (n − 1) − v(Y (n) − Y (n − 1))3 Trừ Y (n) hai vế ta có ˜ ˜ ˜ Z(n) = (v − s)Z(n − 1) − v Z (n) + ( − 1)sY (n − 1) Đặt ˜ Z(n) = 1+v− s Z(n) v Khi Z(n) = (v − s)Z(n − 1) − (1 + v − s)Z (n − 1) + ( − 1)sY (n − 1) Đặt a = (v − s), ( − 1)s = b, ta có Z(n + 1) = aZ(n) − (1 + a)Z (n) + bY (n) (3.2.8) b = (1 − )s biểu diễn loại tỉ số tiết kiệm mãi Sử dụng (3.2.7) (3.2.8) ta có hệ hai chiều sau Y (n + 1) = Y (n) + Z(n), Z(n + 1) = aZ(n) − (a + 1)Z (n) − bY (n) (3.2.9) Hệ (3.2.9) có điểm cân đơn X ∗ = (Y ∗ , Z ∗ ) = (0, 0) Tính ổn định địa phương đạt cách kiểm tra hệ tuyến tính hóa Y (n + 1) Z(n + 1) = 1 Y (n) −b a Z(n) (3.2.10) 62 Phương trình đặc trưng λ2 − (a + 1)λ + a + b = 0, từ giá trị riêng λ1,2 = a+1± (a − 1)2 − 4b Bằng tiêu chuẩn ổn định, nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận (i) + 2a + b > 0, (ii) b > 0, (iii) − a − b > Từ a > < b < miền ổn định S S = {(b, a) : < b < 1, < a < − b} Như vậy, (b, a) ∈ S, điểm cân X ∗ = (0, 0) ổn định tiệm cận 3.3 Nghiên cứu trường hợp lồi bọ bột cánh cứng Nhóm nhà nghiên cứu gồm R.F Costantino, J.M Cushing, B Dennis, R.A Desharnais, S.M Henson nghiên cứu rộng rãi loài bọ bột cánh cứng Họ tiến hành nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu thực nghiệm phịng thí nghiệm Để mơ tả mơ hình họ, tóm tắt ngắn gọn vịng đời lồi bọ bột cánh cứng Vịng đời bao gồm giai đoạn ấu trùng nhộng lần kéo dài khoảng hai tuần, giai đoạn trưởng thành (xem Hình (3.1)) Như hình (3.1), ăn thịt xảy nhóm khác Con trưởng thành ăn nhộng trứng, ấu trùng ăn trứng Khơng có ấu trùng hay trưởng thành ăn trưởng thành Hơn nữa, ấu trùng không ăn ấu trùng Các ấu trùng bị ăn thịt trưởng thành nhộng ấu trùng giả thiết khơng đáng kể 63 Hình 3.1: Sự ăn thịt xảy nhóm khác Cho L(n) số lượng ấu trùng thời điểm n, cho P (n) số lượng nhộng thời điểm n, cho A(n) số lượng trưởng thành thời điểm n Khi ta có mơ hình ấu trùng -nhộng -con trưởng thành (LAP) cho L(n + 1) = bA(n) exp(−cEA A(n) − cEL L(n)), P (n + 1) = (1 − µL)L(n), (3.3.1) A(n + 1) = P (n) exp(−cP A A(n)) + (1 − µA )A(n), L(0) ≥ 0, P (0) ≥ 0, A(0) ≥ Các số µL , µA tương ứng xác suất ấu trùng trưởng thành bị chết nguyên nhân khác Do ≤ µL ≤ ≤ µA ≤ Số hạng exp(−cEA A(n)) biểu diễn xác suất mà trứng không bị ăn trưởng thành A(n), exp(−cEL L(n)) biểu diễn xác suất mà trứng không bị ăn ấu trùng L(n), exp(−cP A A(n)) xác suất tồn nhộng trưởng thành A(n) Các số CEA ≥ 0, CEL ≥ 0, CP A ≥ gọi hệ số ăn thịt Ta giả thiết trưởng thành ăn nhộng nguyên nhân chủ yếu cho tỷ lệ tử vong nhộng Có hai điểm cân (0, 0, 0)T (L∗ , P ∗ , A∗ ) ∈ R3 , L∗ > 0, P ∗ > 0, A∗ > Điểm cân 64 dương thu cách giải hệ ba phương trình L exp(cEL L) = bA exp(−cEA A) P = (1 − µL )L, (3.3.2) µA exp(cP A A) = P Khử P ta có (1 − µL )L = µA exp(cP A A), L exp(cEL L) = bA exp(−cEA A) Chia phương trình thứ hai cho phương trình đầu ta có exp(cEL L) = b(1 − µL ) exp[(−cEA − cP A )A] µA Số N= (3.3.3) b(1 − µL ) µA gọi số sinh sản rịng vốn có Số N đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính ổn định mơ hình ta xét Quan sát rằng, N < phương trình (3.3.3) khơng có nghiệm ta khơng có điểm cân dương Tuy nhiên, N > phương trình (3.3.3) có nghiệm giao đường cong (1 − µL )L = µA exp(cP A A) đoạn thẳng từ (0, ln N/cEL ) tới (ln N/(cEA + cP A ), 0) mặt phẳng (A, L) biểu diễn phương trình (3.3.3) Để nghiên cứu tính ổn định địa phương điểm cân (L, P, A) (3.3.1), ta tính ma trận Jacobi J,   (−cEA A−cEL L) (−cEL L−−cEA A)(1−−cEA A) −cEL bAe be    (3.3.4) J = − µL 0   e(−cP A A) − µA − cP A P e(−cP A A) Tại điểm cân (0, 0, 0)T ta có  J1 = J|(0,0,0)T  0 b   = 1 − µ L 0    1 − µA 65 Đa thức đặc trưng J1 P (λ) = λ3 − (1 − µA )λ2 − b(1 − µL ) = (3.3.5) hay P (λ) = λ3 + p1 λ2 + p2 λ + p3 = 0, với p1 = −(1 − µA ), p2 = 0, p3 = −b(1 − µL ) Như biết, |λ| < ↔ |p3 + p1 | < + p2 |p2 − p3 p1 | < − p2 Áp dụng điều kiện thứ ta có | − b(1 − µL ) − (1 − µA )| < 1, −b(1 − µL ) + (1 − µA ) < 1, hay N= b(1 − µL ) < µA (3.3.6) Điều kiện thứ hai cho ta | − (1 − µA )(1 − µL )b| < − b2 (1 − µL )2 , b2 (1 − µL )2 + (1 − µA )(1 − µL )b < Nhưng bất đẳng thức dược thỏa mãn ta có (3.3.6) Vậy N < ta có b2 (1 − µL )2 + (1 − µA )(1 − µL )b < µ2 + µA (1 − µA ) = µA ≤ A Như ta kết luận điểm cân tầm thường (0, 0, 0)T ổn định tiệm cận N < Ma trận Jacobi điểm cân dương (L∗ , P ∗ , A∗ ) thỏa mãn (3.3.2):   L∗ ∗ ∗ − cEA L −cEL L  A∗   J2 = J|(L∗ ,P ∗ ,A∗ ) =  − µL  0   ∗ ∗ A exp(cP A ) − µA − A µA cP A Phương trình đặc trưng cho λ3 + (cEL L∗ + µA cP A A∗ − (1 − µA ))λ2 − cEL L∗ (1 − µA )λ− L∗ − ( ∗ − cEA L∗ )(1 − µL ) exp(−cP A A∗ ) = A 66 Điều kiện ổn định điểm cân dương xét trường hợp đặc biệt Trường hợp (i) Nếu cEL = 0, điểm cân dương hút toàn cục < N < e min{1, (cEA /cP A )((1 − µA )/µA )} Trường hợp (ii) Nếu µA = N = b(1 − µL ) phương trình (3.3.1) trở thành L(n + 1) = N A(n) exp(−cEL L(n) − cEA A(n)), − µL P (n + 1) = (1 − µL )L(n) (3.3.7) A(n + 1) = P (n) exp(−cP A A(n)) (3.3.8) Định lý 3.3.1 Với N > 1, điểm cân tầm thường phương trình (3.3.7) khơng ổn định tồn điểm cân dương Điểm cân dương không ổn định với N = + δ, δ đủ nhỏ Một trường hợp trường hợp (ii) trường hợp quỹ đạo đồng Một (L(n), P (n), A(n)) gọi đồng thời điểm n thành phần không thành phần khác khơng Ta thấy từ phương trình (3.3.7), quỹ đạo đồng thời điểm n0 đồng tất n ≥ n0 Chú ý rằng, điểm (L, P, 0)T P, A− mặt phẳng ánh xạ với điểm (0, (1 − µL )L0 , P0 )T N P, A− mặt phẳng, ánh xạ với điểm ( P0 exp(−cEA P0 ), 0, (1− − µL µL )L0 exp(−cP A P0 )T L, A−mặt phẳng Do điểm ánh xạ từ góc phần tư khơng âm mặt phẳng tọa độ tới góc phần tư theo thứ tự Một ba đồng (L(n), P (n), A(n))T gọi đồng hoàn toàn thời điểm n có hai thành phần không Đây trường hợp cho điểm hệ trục tọa độ dương Một quỹ đạo đồng hoàn tồn điểm gốc đồng hồn tồn Khái niệm có nguồn gốc từ thực tế ba giai đoạn vòng đời đồng hóa tạm thời cách mà chúng khơng trùng 67 Kí hiệu ánh xạ (3.3.7) F,   L(n + 1)   P (n + 1) = F   A(n + 1)   L(n)   P (n)   A(n) (3.3.9) Khi F ánh xạ góc phần tư khơng âm mặt phẳng tọa độ vào Một điểm cố định F tương ứng với 3−chu kì F Ánh xạ F xác định phương trình x(n + 1) = N x(n) exp[−cP A y(n) exp(−cP A z(n)) − cEA (1 − µL )x(n) exp(−cP A y(n) exp(−cP A z(n))) N y(n) exp(−cP A y(n) − cEA y(n) exp(−cP A z(n))) − cEL − µL N N z(n) exp(−cEA z(n) exp(−cEA z(n) − cEL − µL − µL − cEL x(n))], y(n + 1) = N y(n) exp[−cP A z(n) − cEA y(n) exp(−cP A z(n)) N − cEA z(n) exp(−cEA z(n) − cEL x(n))], − µL (3.3.10) (3.3.11) z(n + 1) = N z(n) exp[−cEA z(n) − cEL x(n) − cP A (1 − µL )x(n) exp(−cP A y(n) exp(−cP A z(n)))] Nếu (x0 , 0, z0 )T điểm x, z−mặt phẳng, quỹ đạo mô tả qua hệ chiều x(n + 1) = N x(n) exp(−cx(n)), z(n + 1) = [N exp(−αx(n))]z(n) exp(−βz(n)), (3.3.12) (3.3.13) c = cEA (1 − µL ), α = cEL + cP A (1 − µL ), β = cEA Nếu N > 1, (3.3.12) có điểm cân dương x∗ = ln N/c Do đó, tồn 3−chu kỳ đồng hồn tồn phương trình (3.3.7) Nếu 1 < N < e, (x∗ , z ∗ )T = ( ln N, 0)T điểm cân ổn định tiệm c cận phương trình (3.3.12) (3.3.13) Điểm cố định F tương ứng với 3-chu kỳ đồng hoàn toàn mơ hình LPA (3.3.7) 68      ln N 0     cEA (1 − µL )        ln N  →    →  cEA      ln N 0 cEA  (3.3.14) 3.4 Mơ hình Nicholson–Bailey Giả sử H(n) độ loài vật chủ hệ thứ n, P (n) mật độ kí sinh hệ thứ n, f (H(n), P (n)) phần lồi vật chủ khơng có kí sinh λ tỉ lệ sinh sản c số lượng trung bình trứng cách đặt kí sinh vật chủ Ta có H(n + 1) = λH(n)f (H(n), P (n)) P (n + 1) = cH(n)[1 − f (H(n), P (n))] Hệ số gặp gỡ vật chủ vật kí sinh He = aH(n)P (n) (3.4.1) Nếu µ số gặp gỡ lồi vật chủ vật ký sinh xác suất r gặp gỡ e−µ µr p(r) = r! µ= He H(n) Từ phương trình (3.4.1) ta có µ = aP (n) (3.4.2) Với f (H(n), P (n)) = e−aP (n) ta có phương trình H(n + 1) = λH(n)e−aP (n) , (3.4.3) P (n + 1) = cH(n)(1 − e−aP (n) ) (3.4.4) Điểm cân không tầm thường λln λ H = , (1 − λ)ac ∗ P∗ = ln λ a 69 Bằng tuyến tính hóa, thấy (H ∗ , P ∗ ) không ổn định Do ta xét mơ hình thực tế H(n) ) − aP (n)], r > 0, k P (n + 1) = cH(n)(1 − exp(−aP (n))) H(n + 1) = H(n) exp[r(1 − (3.4.5) Các điểm cân nghiệm H∗ = exp[r(1 − ) − aP ∗ ], K Do P ∗ = cH ∗ (1 − exp(−aP ∗ )) H∗ r r ] = (1 − q), P = [1 − a K a ∗ P∗ H = (1 − eap∗ ) ∗ (3.4.6) Do H∗ ) ∗ K = − exp[−r(1 − H )] (3.4.7) acH ∗ K ∗ ∗ Rõ ràng H1 = K, P1 = trạng thái cân Để thực phân tích r(1 − ∗ ∗ ∗ tính ổn định điểm cân (H2 , P2 ) ta đặt H(n) = x(n) + H2 , P (n) = ∗ y(n) + P2 Từ ta có ∗ x(n) + H2 ∗ x(n + 1) = + (x(n) + − ) − a(y(n)) + P2 ], K ∗ ∗ ∗ y(n + 1) = P2 + c(x(n) + H2 )[1 − exp(−a(y(n) + P2 ))] (3.4.8) ∗ −H2 ∗ H2 ) exp[r(1 Bằng tuyến tính hóa quanh điểm (0, 0) ta đạt hệ tuyến tính x(n + 1) y(n + 1) =A x(n) (3.4.9) y(n) với A= − rq −arq c(1 − exp(−r(1 − q)) ϕ − r(1 − q) ∗ H2 q = K ϕ= , (3.4.10) r(1 − q) − exp(−r(1 − q)) Phương trình đặc trưng A λ2 − λ(1 − r + ϕ) + (1 − rq)ϕ + rq(1 − q) = (3.4.11) 70 Bằng tiêu chuẩn ổn định biết |λ| < ↔ |1 − r + ϕ| < + (1 − rq)ϕ + r2 q(1 − q) < Do (1 − rq)ϕ + r2 q(1 − q) < 1, (3.4.12) + (1 − rq)ϕ + r2 q(1 − q) > |1 − r + ϕ| (3.4.13) Phác họa (3.4.12) (3.4.13) ta có miền ổn định tiệm cận điểm gốc qua hình Hình 3.2: Miền ổn định tiệm cận điểm gốc phần in đậm Kết luận Luận văn nghiên cứu phương trình, hệ phương trình sai phân tuyến tính, lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân số ứng dụng lĩnh vực kinh doanh sinh học Những kết luận văn là: Trình bày phương pháp giải số hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp Trình bày lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân tuyến tính Nêu phương pháp ổn định Liapunov ổn định xấp xỉ tuyến tính Nêu ứng dụng lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân lĩnh vực kinh doanh sinh thái học Ngoài số ứng dụng nêu trên, lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn, ứng dụng khơng trình bày Hi vọng rằng, ứng dụng sau nghiên cứu hoàn thiện Mặc dù cố gắng nhiều ủng hộ, giúp đỡ thầy cơ, bạn bè, chắn luận văn cịn thiếu sót Chúng tơi mong đóng góp ý kiến bạn đọc để luận văn đầy đủ hoàn thiện hơn, đồng thời giúp cho tơi có thêm kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy sau 71 Tài liệu tham khảo [1] Lê Đình Định, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2003), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [3] Ravi P Agarwal (2000), Difference equations and inequalities theory, Methods and Applications, Marcel Dekker, Inc, NewYork-Basel [4] Saber N Elaydi (2005), An Introduction to difference Equations, Springer-Verbg, third edition [5] Charles Jordan (1950), Calculus of finite difference, introduction by Harry C Carver, Chelsea publishing company, NewYork 72 ... học phương trình hệ phương trình sai phân; - Trình bày lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình. .. trình sai phân ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phương trình, hệ phương trình vi phân, phương trình sai phân, ổn định hệ phương trình vi phân Đóng góp luận văn Trình bày ổn định. .. Trình bày ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Chương Phương trình hệ phương trình sai phân Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức phương trình hệ phương trình sai phân Các kiến thức