Lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2BÙI THỊ NGA LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ NGA

LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2014

Tác giả

Bùi Thị Nga

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Lí thuyết ổn định của

hệ phương trình sai phân” được hoàn thành bởi nhận thức của bảnthân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2014

Tác giả

Bùi Thị Nga

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Phương trình và hệ phương trình sai phân 3

1.1 Sai phân 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tính chất 3

1.1.3 Đa thức giai thừa 4

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính 6

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 9 1.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 11 1.5 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số phụ thuộc n 15

1.6 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số phụ thuộc n 18

Chương 2 Lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân 21 2.1 Khái niệm sự ổn định 21

2.2 Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số phụ thuộc n 27

2.3 Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số hằng 29

2.4 Phép phân tích không gian pha 32

2.5 Phương pháp Liapunov 39

2.6 Phương pháp thứ 2 của Liapunov 47

2.7 Ổn định bởi xấp xỉ tuyến tính 49

Chương 3 Một số ứng dụng 58

3.1 Một loài với hai lớp tuổi 58

3.2 Mô hình chu kì kinh doanh 60

1

3.4 Mô hình của Nicholson–Bailey 68Kết luận 71Tài liệu tham khảo 72

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hệ phương trình sai phân được ứng dụng nhiều trong các lĩnhvực khác nhau của toán học, chẳng hạn như giải tích số, lý thuyết điềukhiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp,khoa học máy tính, lý thuyết mạch, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học

và xã hội học, Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân là mộtvấn đề thời sự của toán học được nhiều nhà toán học quan tâm

Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyếtđịnh tính phương trình sai phân Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở cáclĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinhthái và môi trường Vì thế nó đang được phát triển mạnh mẽ theo cả lýthuyết và ứng dụng

Với những lý do đó, tôi chọn đề tài "Lý thuyết ổn định của hệphương trình sai phân" để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trìnhđào tạo thạc sĩ của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận vănlà:

- Nghiên cứu các tài liệu khoa học về phương trình và hệ phương trình sai

1

- Trình bày lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và một số ứngdụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của phương trình, hệ phương trình vi phân,phương trình sai phân, sự ổn định của hệ phương trình vi phân

6 Đóng góp mới của luận văn

Trình bày sự ổn định của hệ phương trình sai phân và các ứng dụng

Chương 1 Phương trình và hệ phương trình sai

∆P (n) = [a0(n + 1)k + a1(n + 1)k−1 + · · · + ak]

− [a0nk + a1nk−1 + · · · + ak]

= a0knk−1 + Q1(n), Q1(n) là đa thức có bậc nhỏ hơn k − 1.Tương tự,

1.1.3 Đa thức giai thừa

Một trong những hàm thú vị nhất của tính toán sai phân đó là đa thứcgiai thừa x(k) Với x ∈ R

x(k) = x(x − 1) (x − k + 1), k ∈ Z+

1.2.2 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

Phương trình sai phân tuyến tính với điều kiện ban đầu

y(n + k) + p1(n)y(n + k − 1) + · · · + pk(n)y(n) = g(n), (1.2.3)y(n0) = a0, y(n0 + 1) = a1, , y(n0 + k − 1) = ak−1,

với ai ∈ R có nghiệm duy nhất y(n) Trong phần này ta sẽ nghiên cứuphương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k có dạng

x(n + k) + p1(n)x(n + k − 1) + · · · + pk(n)x(n) = 0 (1.2.4)Định nghĩa 1.2.2 Một hệ gồm k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2.4)được gọi là hệ nghiệm cơ bản các nghiệm

Định nghĩa 1.2.3 Định thức Wronski của hệ nghiệm x1(n), x2(n), , xr(n)là

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bổ đề cho k = 3 Trường hợp tổng quátchứng minh tương tự Gọi x1(n), x2(n), x3(n) là 3 nghiệm độc lập tuyếntính của (1.2.4) Ta có

Hệ quả 1.2.1 Giả sử pk(n) 6= 0, ∀n ≥ n0 thì W (n) 6= 0, ∀n ≥ n0 khi vàchỉ khi W (n0) 6= 0.

Định lý 1.2.1 Hệ nghiệm của (1.2.4) x1(n), x2(n), , xk(n) là một hệ

cơ bản nếu và chỉ nếu tồn tại n0 ∈ Z+ sao cho W (n0) 6= 0

Ví dụ 1.2.2 Hệ {n, 2n} là hệ nghiệm cơ bản của phương trình

Vậy hệ {x1(n), x2(n), · · · , xk(n)} là hệ nghiệm cơ bản của (1.2.4)

Bổ đề 1.2.2 Cho x1(n), x2(n) là hai nghiệm của (1.2.4) Khi đó:

(i) x(n) = x1(n) + x2(n) cũng là nghiệm của (1.2.4);

(ii) ˜x(n) = ax1(n) với a là hằng số bất kì cũng là nghiệm của (1.2.4).Định nghĩa 1.2.4 Cho {x1(n), x2(n), · · · , xk(n)} là hệ nghiệm cơ bản của(1.2.4) Khi đó nghiệm tổng quát của (1.2.4) là:

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với

hệ số hằng

Định nghĩa 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ

số hằng là phương trình có dạng

x(n + k) + p1x(n + k − 1) + p2x(n + k − 2) + · · · + pkx(n) = 0 (1.3.1)với pi là các hằng số và pk 6= 0

Xét phương trình đặc trưng

λk + p1λk−1 + · · · + pk = 0

Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 Giả sử λ1, λ2, · · · , λk đôi một khác nhau Ta sẽ chỉ ra{λn

1, λn2, · · · , λnk} là một hệ nghiệm cơ bản của (1.3.1) Thật vậy, ta sẽ chỉ

Đây là định thức Vandermonde, nên

W (0) = Y

1≤i<j≤k

(λj − λi)

Rõ ràng W (0) 6= 0 do λj 6= λi với i 6= j Như vậy {λn1, λn2, · · · , λnk} là một

hệ nghiệm cơ bản của (1.3.1) Do đó, nghiệm tổng quát của phương trìnhlà

Ta chú ý rằng nếu ψ1(n), ψ2(n), , ψmi(n) là nghiệm của

(E − λi)mix(n) = 0 (1.3.3)thì cũng là nghiệm của (1.3.2) Thật vậy, giả sử ϕs(n) là nghiệm của (1.3.3)thì (E − λi)miϕs(n) = 0 Giả sử ta có thể tìm được một hệ nghiệm cơ bảncủa (1.3.3) với mỗi i, 1 ≤ i ≤ r, khi đó hợp của r hệ nghiệm cơ bản đó là

hệ nghiệm cơ bản của (1.3.2) Thật vậy, xét bổ đề sau

Bổ đề 1.3.1 Tập Gi = {λni, Cn1λn−1i , Cn2λn−2i , , Cmi −1

n λn−mi +1

i } là một hệnghiệm cơ bản của (1.3.3)

Chứng minh Trước hết, ta chỉ ra rằng Cnrλn−ri là nghiệm của (1.3.3) Thậtvậy,

mi−2

i 1

2!3! (mi − 2)!

2!3! (mi − 2)! 6= 0.

Định lý 1.3.1 G = Sr

i=1Gi là một hệ nghiệm cơ bản của (1.3.2)

Chứng minh Theo bổ đề trên, ta có các hàm của G là nghiệm của (1.3.2)

Dễ thấy nghiệm tổng quát của phương trình trên là

Hệ phương trình sai phân đã cho có thể viết dưới dạng ma trận như sau

Nếu từ một giá trị n0 > 0 mà x(n0) = x0 cho trước thì hệ (1.4.1) được gọi

là bài toán có giá trị ban đầu

Bằng quy nạp, ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của hệ phương trình (1.4.1)được cho bởi

x(n, n0, x0) = An−n0x0, (1.4.2)với A0 = I là ma trận đơn vị và x(n0, n0, x0) = x0

Nếu n0 = 0 thì nghiệm trong công thức (1.4.2) có thể viết là x(n, n0)hoặc đơn giản là x(n) Không làm mất tính tổng quát chúng ta có thể giả

Thuật toán Putzer tìm ma trận An.

Định lý 1.4.2 Cho A là một ma trận thực cấp k, có các giá trị riêng

từ (1.4.9) ta có

AM (j − 1) = M (j) + λIM (j − 1) (1.4.15)Bây giờ ta sẽ xây dựng công thức xác định hàm u(n) Từ (1.4.15) và từ(1.4.14) ta có:







với x(0) = (x1(0), x2(0), x3(0))T

1.5 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

với hệ số phụ thuộc n

Xét hệ phương trình sai phân

trong đó A(n) = (aij(n)) là một ma trận cấp k không suy biến Ta chỉ xét

sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.5.1)

Định lý 1.5.1 Với mỗi nghiệm x0 ∈ Rk và n0 ∈ Z+ thì có duy nhất mộtnghiệm x(n, n0, x0) của hệ phương trình (1.5.1) với x(n0, n0, x0) = x0 chotrước

Chứng minh Từ (1.5.1) ta có

x(n0 + 1, n0, x0) = A(n0)x(n0) = A(n0)x0,

x(n0 + 2, n0, x0) = A(n0 + 1)x(n0 + 1) = A(n0 + 1)A(n0)x0

Bằng phương pháp qui nạp toán học, ta có thể kết luận:

Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng khái niệm ma trận cơ sở trong lí thuyết

hệ phương trình sai phân

Định nghĩa 1.5.1 Nghiệm x1(n), x2(n), , xk(n) của hệ phương trìnhsai phân (1.5.1) được gọi là độc lập tuyến tính với n ≥ n0 ≥ 0 nếu:

C1x1(n) + C2x2(n) + · · · + Ckxk(n) = 0, n ≥ n0thì C1 = C2 = · · · = Ck = 0

Giả sử Φ(n) là ma trận cột các nghiệm của hệ phương trình (1.5.1) Taviết

và thỏa mãn (1.5.3) thì nó được gọi là ma trận cơ sở của (1.5.1)

Chú ý rằng Φ(n) là một ma trận cơ sở và C là ma trận hằng số thìCΦ(n) cũng là một ma trận cơ sở của (1.5.1) Như vậy có rất nhiều matrận cơ sở của hệ (1.5.1) trong đó có một ma trận đã biết là

Đặc biệt khi A là ma trận hằng thì Φ(n) = An−n0 nếu n0 = 0 thì Φ(n) = An

Hệ quả 1.5.1 Có duy nhất một ma trận ψ(n) thỏa mãn phương trình(1.5.3) và ψ(n0) = I

Hệ quả 1.5.2 Nghiệm của hệ (1.5.1) với giá trị ban đầu x(n0, n0, x0) = x0

được cho bởi công thức:

x(n, n0, x0) = Φ(n, n0)x0 (1.5.4)

Hệ quả 1.5.3 Nếu trong hệ phương trình (1.5.1), A là ma trận hằng thì

detΦ(n) = [detA(i)]n−n0.detΦ(n0)

Hệ quả 1.5.4 Ma trận cơ sở Φ(n) là không suy biến với mọi n ≥ n0 khi

và chỉ khi Φ(n0) là không suy biến

Như vậy, để kiểm tra tính độc lập tuyến tính của ma trận cơ sở Φ(n)với n ≥ n0, ta chỉ cần chỉ ra rằng nó độc lập tuyến tính tại n = n0

Hệ quả 1.5.5 Các nghiệm x1(n), x2(n), , xk(n) của hệ (1.5.1) độc lậptuyến tính với n ≥ n0 khi và chỉ khi Φ(n0) là không suy biến

Hệ quả 1.5.6 Hệ phương trình sai phân (1.5.1) có k nghiệm độc lập tuyếntính với n ≥ n0

Chứng minh Với mỗi i = 1, 2, , k, đặt ei = (0, 0, , 1, , 0) thì ei

là một véctơ trong Rk Theo định lí 1.5.1, với mỗi ei, 1 ≤ i ≤ k, tồntại nghiệm x(n, n0, ei) của hệ (1.5.1) sao cho x(n0, n0, ei) = ei Khi đóΦ(n0) = I nên Φ(n0) là không suy biến Theo hệ quả (1.5.5) ta thu được

1.6 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần

nhất với hệ số phụ thuộc n.

Xét hệ phương trình sai phân

y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n) (1.6.1)trong đó A(n) = (aij(n)) là ma trận vuông cấp k không suy biến, g(n) ∈ Rk.Định lý 1.6.1 Mọi nghiệm y(n) của hệ phương trình (1.6.1) có thể viếtdưới dạng y(n) = Φ(n)C + yp(n) với C là một véctơ hằng cho trước và

yp(n) là một nghiệm riêng của hệ phương trình (1.6.1)

Chứng minh Giả sử y(n) là một nghiệm bất kì, yp(n) là một nghiệm riêngcủa hệ phương trình (1.6.1) Đặt

x(n) = y(n) − yp(n) n ≥ n0.Khi đó ta có

x(n + 1) = y(n + 1) − yp(n + 1) = A(n)y(n) + g(n) − A(n)yp(n) − g(n)

= A(n) [y(n) − yp(n)]

= A(n)x(n),

do đó, x(n) là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất (1.5.1) Hay

x(n) = Φ(n)Cvới C là véctơ hằng nào đó Như vậy

y(n) − yp(n) = Φ(n)C,hay

y(n) = yp(n) + Φ(n)C

Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng công thức tìm nghiệm riêng yp(n) của hệphương trình (1.6.1)

Bổ đề 1.6.1 Một nghiệm riêng của hệ phương trình (1.6.1) được xác địnhbởi công thức

Do đó yp(n) là nghiệm của hệ phương trình (1.6.1) và yp(n0) = 0

Định lý 1.6.2 Nghiệm duy nhất của hệ phương trình sai phân với giá trịban đầu

y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n), y(n0) = y0 (1.6.2)được cho bởi công thức

Hệ quả 1.6.1 Nếu A là ma trận hằng thì nghiệm của hệ phương trình(1.6.2) được xác định bởi

Ví dụ 1.6.1 Hệ phương trình sai phân

y(n + 1) = Ay(n) + g(n),

trong đó A = 2 1

0 2

!, g(n) = n

1

!, y(0) = 1

0

! Dùng thuật toán Putzer

ta có nghiệm của hệ đã cho là

−→ Rk, f (n, x) liên tục theo x.

Điểm x∗ ∈ Rk được gọi là điểm cân bằng của hệ (2.1.1) nếu f (n, x∗) = x∗với mọi n ≥ n0 x∗ được gọi là nghiệm gốc

Định nghĩa 2.1.1 Điểm cân bằng x∗ của (2.1.1) được gọi là:

(i) Ổn định (S) nếu ∀ > 0, n0 ≥ 0, ∃δ = δ(, n0) sao cho ||x0−x∗|| < δthì ||x(n, n0, x0) − x∗|| < ∀n ≥ n0

Ổn định đều (U S) nếu δ được chọn không phụ thuộc vào n0;

(ii) Hút (A) nếu tồn tại µ = µ(n0) sao cho ||x0 − x∗|| < µ thì

lim

n→∞x(n, n0, x0) = x∗.Hút đều (UA) nếu µ được chọn không phụ thuộc vào n0, tức là tồn tại

µ > 0 sao cho ∀, n0, ∃N = N () không phụ thuộc n0 để

||x(n, n0, x0) − x∗|| < ∀n ≥ n0 + N với ||x0 − x∗|| < µ;

(iii) Ổn định tiệm cận (AS) nếu nó là ổn định và hút

Ổn định tiệm cận đều (UAS) nếu nó là ổn định đều và hút đều;

21

(iv) Ổn định theo cấp độ mũ (ES) nếu ∃δ > 0, M > 0 và η ∈ (0, 1)sao cho

||x(n, n0, x0) − x∗|| ≤ M ||x0 − x∗||ηn−n0;(v) Một nghiệm x(n, n0, x0) được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số

y(n, m0, x0) = x(n − r0, n0, x0)

Do đó δ trong khái niệm ổn định không phụ thuộc n0, ta có điều phảichứng minh.

(ii) và (iii) chứng minh tương tự (i)

Ví dụ 2.1.1 1 Nghiệm của phương trình x(n+1) = x(n) là x(n, n0, x0) =

x0 Do đó, nghiệm gốc là ổn định đều nhưng không ổn định tiệm cận

2 Nghiệm của phương trình x(n + 1) = a(n)x(n) là

với M là hằng số dương không phụ thuộc n0 Điều này đúng nếua(i) = sin(i + 1) Ta có

Nếu |x0| đủ nhỏ thì lim

n→∞x(n) = 0 Do đó nghiệm gốc là hút Tuy nhiên

nó không hút đều Nếu δ > 0, n0 được chọn sao cho (n0 + 1)δ2 > 2 thì với

|x0| = δ, ta có

|x(n0 + 1, n0, x0)| = (n0 + 1

2 )|x0|2 ≥ 1

Bây giờ ta sẽ kiểm tra sự ổn định của nghiệm gốc.

sẽ là đường xoắn ốc hội tụ đến điểm cân bằng (1, 0)

Định lý 2.1.2 Một ánh xạ liên tục f trên đường thẳng thực không thể cóđiểm cố định hút nhưng không ổn định

Bây giờ, nếu x0 ≥ µ thì Gn

µ(x0) = 0, ∀n ≥ 1 Mặt khác, nếu x0 < µ thìtồn tại k ∈ Z+, Gkµ(x0) ≥ µ, do đó

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí 2.1.2

Chứng minh Giả sử cho f là một ánh xạ liên tục trên R, và có một điểm

cố định x∗ là hút toàn cục nhưng không ổn định Điều này dẫn đến phươngtrình f2(x) = x chỉ có một nghiệm x = x∗ Do đó, có hai trường hợp xảyra:

(a) f2(x) > x nếu x < x∗ và f2(x) < x nếu x > x∗;

(b) f2(x) < x nếu x < x∗ và f2(x) > x nếu x > x∗

Theo Định lí 2.1.3, ở trường hợp (a) nghiệm x∗ là ổn định tiệm cận nên bịloại Xét trường hợp (b), giả sử f2(x) < x với x < x∗ Bây giờ cho x0 < x∗,bằng cách lặp đi lặp lại nhiều lần ta có

· · · < f4(x0) < f2(x0) < x0 < x∗

Do đó f2n(x0) không hội tụ tới x∗, điều này mâu thuẫn với tính hút toàncục của x Trường hợp f2(x) > x với x > x∗ xét tương tự cũng dẫn đếnmâu thuẫn Do vậy, điều giả sử là sai, như vậy định lí được chứng minh

2.2 Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số phụ thuộc

n.

Xét hệ phương trình

x(n + 1) = A(n)x(n) n ≥ n0 ≥ 0 (2.2.1)Giả sử A(n) là ma trận không suy biến với mọi n ≥ n0

Nếu φ(n) là ma trận cơ sở bất kì của hệ (2.2.1), ta có

φ(n, m) = φ(n)φ−1(m)

Định lý 2.2.1 Nghiệm gốc của hệ (2.2.1) gọi là:

(i) ổn định nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số dương M sao cho

||φ(n)|| ≤ M với n ≥ n0 ≥ 0; (2.2.2)(ii) ổn định đều nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số dương M sao cho

||φ(n, m)|| ≤ M với n0 ≤ m ≤ n < ∞; (2.2.3)(iii) ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu

(i) Giả sử bất đẳng thức (2.2.2) đúng Ta có

||x(n, n0, x0)|| ≤ M ||x0||,

với  > 0, cho δ < 

M suy ra ||x0|| < δ hay ||x(n, n0, x0)|| <  Do đónghiệm gốc là ổn định Ngược lại, giả sử ||x(n, n0, x0)|| = ||φ(n)x0|| < với ||x0|| < δ Mà ||x0|| < δ nên 1

Ngược lại, giả sử rằng nghiệm gốc là ổn định tiệm cận đều nên nócũng ổn định đều, do đó

Hệ quả 2.2.1 Đối với hệ phương trình (2.2.1), các phát biểu sau là đúng:(i) Nghiệm gốc là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các nghiệm đều bịchặn;

(ii) Nghiệm gốc là ổn định theo cấp độ mũ nếu và chỉ nếu nó là ổnđịnh tiệm cận đều

Hệ quả 2.2.2 Đối với hệ phương trình (2.2.1), mọi tính chất ổn định địaphương của nghiệm gốc kéo theo tính chất ổn định toàn cục tương ứng.Định lý 2.2.2 (i) Nếu

k

P

i=1

|aij(n)| ≤ 1, 1 ≤ j ≤ k, n ≥ n0 thì nghiệmgốc của hệ (2.2.1) là ổn định đều;

(ii) Nghiệm gốc của (2.3.1) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu ρ(A) <1

Chứng minh (i) Cho A = P J P−1, J = diag(J1, J2, , Jr) là dạng Jordancủa A và

Theo Định lí (2.2.1), nghiệm gốc của (2.3.1) là ổn định nếu và chỉ nếu

||An|| = ||P JnP−1|| ≤ M,hay

||Jn|| ≤ ˜M , M =˜ M

||P ||.||P−1||.Hơn nữa Jn = diag(Jn1, Jn2, , Jnr) với

Rõ ràng Jin không bị chặn nếu |λi| > 1 hoặc |λi| = 1 Nếu |λi| < 1 thì

Aξi = λξi + ξi−1,tức là các véctơ riêng tương ứng với λ là nghiệm của phương trình

(A − λJ )mξ = 0

Tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của các véctơ riêng tương ứng với

λ là bất biến và được gọi là không gian riêng Eλ

Nếu A là hyperbolic thì những khẳng định sau là đúng:

(i) Nếu x(n) là một nghiệm của (2.3.1) với x(0) ∈ Ws thì với mỗi

n, x(n) ∈ Ws Ngoài ra, lim

n→∞x(n) = 0

(ii) Nếu x(n) là một nghiệm của (2.3.1) với x(0) ∈ Wu thì với mỗi

n, x(n) ∈ Wu Ngoài ra, lim

n→∞x(n) = 0

Chứng minh (i) Cho x(n) là một nghiệm của (2.3.1) với x(0) ∈ Ws Vì

AEλ = Eλ nên AWs = Ws Do đó x(n) ∈ Ws, ∀n ∈ Z+ Để chứng minhlim

là véctơ riêng tổng quát tương ứng với các phần tử trong ∆s Cho J =

P−1AP là dạng Jordan của A, J có thể viết dưới dạng

(ii) chứng minh tương tự (i)

2.4 Phép phân tích không gian pha

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của hệ tuyến tính cấp 2 với

x(n + 1) = Ax(n), A = a11 a12

a21 a22

!

Ta có x∗ là điểm cân bằng của hệ (2.4.1) nếu Ax∗ = x∗ hay (A − I)x∗ = 0.Nếu (A − I) không suy biến thì x∗ = 0 là một điểm cân bằng duy nhất của

hệ (2.4.1)

Nếu (A − I) suy biến, ta sẽ có một họ điểm cân bằng Trong trường hợpnày ta đặt y(n) = x(n) − x∗ thì (2.4.1) trở thành y(n + 1) = Ay(n) Như

vậy, tính chất ổn định của bất kì một điểm cân bằng x∗ 6= 0 cũng giốngvới điểm cân bằng x∗ = 0 Do đó ta giả sử rằng x∗ là điểm cân bằng duynhất của hệ (2.4.1) Cho J = P−1AP là dạng Jordan của A Khi đó J cómột trong các dạng sau

Nếu x(0) = x0 là điều kiện ban đầu của hệ (2.4.1) thì y(0) = y0 = P−1x0

là điều kiện ban đầu tương ứng của hệ (2.4.4)

TH (a) λ1 6= λ2, J có dạng λ1 0

0 λ2

! Hệ trở thành

y20

!

... đúng:(i) Nghiệm gốc ổn định tất nghiệm bịchặn;

(ii) Nghiệm gốc ổn định theo cấp độ mũ ổn? ?ịnh tiệm cận

Hệ 2.2.2 Đối với hệ phương trình (2.2.1), tính chất ổn định địaphương nghiệm gốc... class="page_container" data-page="20">

1.5 Hệ phương trình sai phân tuyến tính nhất

với hệ số phụ thuộc n

Xét hệ phương trình sai phân

trong A(n) = (aij(n))... địnhbởi cơng thức

Do yp(n) nghiệm hệ phương trình (1.6.1) yp(n0) =

Định lý 1.6.2 Nghiệm hệ phương trình sai phân với giá trịban đầu

y(n + 1) = A(n)y(n)