Xét hệ phương trình sai phân
x(n+ 1) = f(x(n)) (2.5.1) trong đó f :G −→ Rk là hàm liên tục và G ⊂Rk.
Giả sử x∗ là một điểm cân bằng của (2.5.1), tức là f(x∗) = x∗. Cho
V :Rk −→R là hàm số nhận giá trị thực. Biến phân của V đối với (2.5.1) được xác định bởi
∆V(x) =V(f(x))−V(x)
và ∆V(x(n)) =V(f(x(n)))−V(x(n)) = V(x(n+ 1))−V(x(n)).
Định nghĩa 2.5.1. Hàm V được gọi là hàm Liapunov trên tập con H của
Rk nếu:
(i) V liên tục trên H;
(ii) ∆V(x) ≤ 0 với x, f(x) ∈ H.
Hàm V được gọi là xác định dương tại x∗ nếu (i) V(x∗) = 0;
(ii) V(x) > 0 với mọi x ∈ B(x∗, r), x 6= x∗, r > 0,
trong đó B(x, r) = {y ∈ Rk|||y −x|| < r} là hình cầu mở tâm x bán kính
r trong Rk.
Hình cầu B(0, r) được kí hiệu là B(r).
Định lý 2.5.1. (Định lí ổn định Liapunov)
Nếu V là một hàm Liapunov của (2.5.1) trong một lân cận H của điểm cân bằng x∗ và V xác định dương tại x∗ thì x∗ là ổn định. Nếu thêm
∆V(x) < 0,∀x, f(x) ∈ H và x 6= x∗ thì x∗ là ổn định tiệm cận. Ngoài ra, nếu
G = H = Rk và V(x) → ∞ khi ||x|| → ∞ (2.5.2)
thì x∗ là ổn định tiệm cận toàn cục.
Chứng minh. Chọn α1 > 0sao cho B(x∗, α1) ⊂ G∩H. Vì f là liên tục nên
∃α2 > 0 sao cho nếu x ∈ B(x∗, α2) thì f(x) ∈ B(x∗, α1).
Cho 0 < ≤ α2, xác định ψ() = min{V(x)| ≤ ||x − x∗|| ≤ α1}, khi đó ∃0 < δ < sao cho V(x) < ψ(),∀x mà ||x − x∗|| < δ. Ta sẽ chứng minh rằng, nếu x0 ∈ B(x∗, δ) thì x(n) ∈ B(x∗, ),∀n≥ 0. Thật vậy, giả sử
∃x0 ∈ B(x∗, δ) và m ∈ Z+ sao cho
x(r) ∈ B(x∗, )∀1≤ r ≤ m và x(m+ 1) ∈/ B(x∗, ).
Vì x(m) ∈ B(x∗, ) ⊂ B(x∗, α2) hay x(m + 1)∈ B(x∗, α1). Do đó
V(x(m+ 1)) ≥ ψ().
Nhưng V(x(m + 1)) ≤ · · · ≤ V(x0) < ψ(), điều này là mâu thuẫn. Như vậy x∗ là ổn định.
Để chứng minh x∗ là ổn định tiệm cận, giả sử x0 ∈ B(x∗, δ), khi đó
x(n) ∈ B(x∗, ),∀n≥ 0. Nếu {x(n)} không hội tụ tới x∗ thì nó có một dãy con {x(ni)} hội tụ tới y ∈ Rk. Cho E ⊂ B(x∗, α1) là một lân cận mở của
y với x∗ ∈/ E. Xác định hàm
h(x) = V(f(x))
ta có thể thấy h là xác định và liên tục, hơn nữa h(x) < 1 ∀x ∈ E. Nếu η ∈ (h(y),1) thì ∃α > 0 sao cho x ∈ B(y, α) thì h(x) ≤ η. Do đó ∃ni đủ lớn V(f(x(ni)))≤ ηV(x(ni −1)) ≤ η2V(x(ni −2))≤ · · · ≤ ηniV(x0). Do đó lim ni→∞V(x(ni)) = 0. Nhưng lim ni→∞V(x(ni)) = V(y) nên V(y) = 0, hay y = x∗.
Để chứng minh x∗ là ổn định tiệm cận toàn cục, ta chứng minh rằng tất cả các nghiệm đều bị chặn. Thật vậy, giả sử tồn tại nghiệm x(n) không bị chặn, khi đó tồn tại dãy con {x(ni)} → ∞ khi ni → ∞. Từ (2.5.2) ta có: V(x(ni)) → ∞ khi ni → ∞, điều này là mâu thuẫn do V(xi) > V(x(ni)),∀i.
Định lý 2.5.2. Nếu V là một hàm Liapunov trên tập {x ∈ Rk|||x|| > α}
với α > 0, V(x) → ∞ khi ||x|| → ∞ thì tất cả các nghiệm của (2.5.1) đều bị chặn.
Ví dụ 2.5.1. Xét phương trình sai phân cấp 2:
x(n+ 1) = αx(n−1)
1 +βx2(n), β > 0.
Gọi x∗ là điểm cân bằng của phương trình, khi đó ta có
αx∗ 1 +β(x∗)2 = x∗ ⇐⇒ x∗ = 0 hoặc x∗ = ± r α−1 β , (α > 1). Đặt y1(n) =x(n−1), y2(n) =x(n) ta thu được hệ y1(n+ 1) = y2(n) y2(n+ 1) = αy1(n) 1 +βy22(n).
Ta xét tính ổn định của điểm cân bằng (0,0). Chọn hàm Liapunov
Rõ ràng V liên tục và xác định dương trên R2. Ta có ∆V(y1(n), y2(n)) = y12(n+ 1) +y22(n+ 1)−y12(n)−y22(n) ∆V(y1(n), y2(n)) = α2 [1 +βy22(n)]2 −1 y21(n) ≤(α2 −1)y21(n) (2.5.3) Nếu α2 ≤ 1 thì ∆V ≤ 0, khi đó x∗ = 0 là điểm cân bằng duy nhất. Theo định lí 2.5.1 thì x∗ là ổn định. Nhưng do lim
||x||→∞V(x) =∞ nên theo định lí 2.5.2, tất cả các nghiệm đều bị chặn. Hơn nữa ∆V = 0 tại tất cả các điểm trên trụcy2 nên không xác định được tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình này. Tình huống này là điển hình trong hầu hết những vấn đề của ứng dụng khoa học và kĩ thuật. Do đó, yêu cầu đặt ra là phải phân tích được tốt hơn và chính xác hơn, từ đó dẫn đến nguyên tắc bất biến Lasalle. Một số khái niệm
(i) Cho tập con G ⊂ Rk, x là một điểm giới hạn của G nếu tồn tại một dãy {xi} trong G sao cho xi → x khi i → ∞;
(ii) Bao đóng G là hợp của G và tất cả các điểm giới hạn của G;
(iii) Xét phương trình x(n + 1) = f(x(n)) (2.5.1), quĩ đạo dương
O+(x0) được xác định
O+(x0) = {x(n,0, x0)|n ∈ Z+}.
Vì ta chỉ xét quĩ đạo dương nên O+(x0) được kí hiệu là O(x0).;
(iv) Tập giới hạn dương Ω(x0) là tập tất cả các điểm giới hạn dương của x0 :
Ω(x0) = {y ∈ Rk|x(ni) → y khi ni → ∞,{ni} ⊂ Z+};
(v) Một tập hợp A được gọi là bất biến chắc chắn nếu
O(x0) ⊂A ∀x0 ∈ A.
Định lý 2.5.3. Cho x0 ∈ Rk và Ω(x0) là tập giới hạn của nó trong (2.5.1). Khi đó những phát biểu sau là đúng
(i) Ω(x0) = ∞ T i=0 ∞ S n=i {fn(x0)} = ∞ T i=0 ∞ S n=i {xn}; (ii) Nếu fj(x0) = y0, j ∈ Z+ thì Ω(y0) = Ω(x0); (iii) Ω(x0) là đóng và bất biến;
(iv) Nếu quĩ đạo O(x0) là bị chặn thì Ω(x0) là khác φ và bị chặn. Chứng minh. (i) Cho y ∈ Ω(x0), do đó fni(x0) → y khi ni → ∞. Với mỗi
i tồn tại một số nguyên dương Ni sao cho
fnj(x0) ∈ ∞ [ i=0 {fi(x0)} ∀nj ≥ Ni. Do đó y ∈ ∞ [ n=i {fn(x0)} ∀N =⇒y ∈ ∞ \ i=0 ∞ [ n=i {fn(x0)}.
Ngược lại, cho y ∈
∞ T i=0 ∞ S n=i {fn(x0)}. Do đó, với mỗi i, y ∈ ∞ S n=i {fn(x0)}. Như vậy, với mỗi i,∃fni(x0) ∈ By(x0) với n1 < n2 < n3 < · · · và ni → ∞ khi
i → ∞. Rõ ràng fni(x0) →y khi nN → ∞, do đó y ∈ Ω(x0).
(ii) Vì bao đóng của một tập là đóng nên
∞
S
n=i
{xn} là đóng. Hơn nữa,
Ω(x0) là giao của tất cả các tập đóng nên Ω(x0) là đóng.
Ta chỉ ra rằng Ω(x0) là bất biến. Thật vậy, cho y ∈ Ω(x0), khi đó
fni(x0) → y khi ni → ∞. Vì f là liên tục nên fni+1(x0) =f nên fni(x0) → f(y). Do đó f(y) ∈ Ω(x0) hay Ω(x0) là bất biến.
Bây giờ cho V là một hàm Liapunov xác định dương trên một tập con
G⊂ Rk, E = {x ∈ G|∆V(x) = 0}, gọi M là tập con bất biến lớn nhất của
E. Khi đó M là hợp của tất cả các tập con bất biến của E.
Định lý 2.5.4. (Nguyên tắc bất biến Lasalle)
Cho V là một hàm Liapunov xác định dương của (2.5.1) trong G ⊂ Rk.
Khi đó với mỗi nghiệm bị chặn x(n) của (2.5.1) trong G ∀n ∈ Z+, luôn tồn tại số c sao cho x(n) → M ∩V−1(c) khi n → ∞.
Chứng minh. Cho x(n) là một nghiệm bị chặn của (2.5.1) với x(0) = x0
và x(n) bị chặn ở trong G. Theo định lí 2.5.3 ta có φ 6= Ω(x0) ⊂ G. Do đó, nếu y ∈ Ω(x0) thì x(ni) → y khi ni → ∞,{ni} ⊂ Z+. Vì V(x(n)) là không tăng và bị chặn dưới nên lim
n→∞V(x(n)) = c. Hơn nữa, do tính liên tục của V nên V(x(ni)) → V(y) khi ni → ∞. Như vậy, V(y) = c hay
V(Ω(x0)) = c, do đó Ω(x0) ⊂ V−1(c). Ngoài ra, ∆V(y) = 0 ∀y ∈ Ω(x0)
nên Ω(x0) ⊂ E. Nhưng do Ω(x0) là bất biến nên Ω(x0) ⊂ M. Như vậy
x(n) → Ω(x0) ⊂M ∩V−1(c) khi n → ∞.
Ví dụ 2.5.2. Xét hệ phương trình sai phân
x1(n+ 1) = x21(n)−x22(n)
x2(n+ 1) = 2x1(n)x2(n).
Đặt x1(n) =r(n) cosθ(n), x2(n) =r(n) sinθ(n), khi đó
r(n+ 1) cosθ(n+ 1) = r2(n) cos2θ(n)−r2(n) sin2θ(n) =r2(n) cos 2θ(n)
(2.5.4) và
r(n+ 1) sinθ(n+ 1) = 2r2(n) sinθ(n) cosθ(n) = r2(n) sin 2θ(n). (2.5.5) Chia (2.5.4) cho (2.5.5) ta được θ(n+ 1) = 2θ(n). Thay vào (2.5.4) ta có
r(n+ 1) = r2(n). Do đó ta có thể viết nghiệm là r(n) = [r(0)]2n, θ(n) = 2nθ(0). Điểm cân bằng là (0,0) và (1,0). + Nếu r(0) < 1 thì lim n→∞r(n) = 0, khi đó nghiệm gốc là ổn định tiệm cận; + Nếu r(0) > 1 thì lim
n→∞r(n) = ∞, khi đó điểm cân bằng (1,0)
+ Nếu r(0) = 1, r(n) = 1, ∀n ≥0, khi đó nghiệm là một vòng tròn bất biến. Nghiệm sẽ bắt đầu tại điểm (1,π
4) và tiến tới điểm cân bằng (1,0),(1,π 4),(1, π 2),(1, π),(1,0). Ví dụ 2.5.3. Xét hệ x1(n+ 1) = 2x2(n)−2x2(n)x21(n) x2(n+ 1) = 1 2x1(n) + x1(n)x 2 2(n).
Gọi x∗ là điểm cân bằng, ta có
2x∗ −2x∗3 = x∗ ⇐⇒ 2x∗3 −x∗ = 0 ⇐⇒ x∗(2x∗2 −1) = 0⇐⇒ x∗ = 0 hoặc x∗ = ±√1 2. Ta có 3 điểm cân bằng (0,0),(√1 2, 1 √ 2),(−√1 2,−√1 2). Chúng ta sẽ xét sự
ổn định của điểm (0,0). Chọn V(x1, x2) =x21 + 4x22, khi đó
∆V(x1(n), x2(n)) = 4x22(n)−8x22(n)x21(n) + 4x22(n)x41(n) +x21(n) + 4x21(n)x22(n) + 4x21(n)x42(n)−x21(n)−4x22(n) = 4x21(n)x22(n)[x21(n) +x22(n)−1].
Nếu x21 +x22 ≤ 1 thì ∆V(x1, x2) ≤ 0. Cho a ∈ R bất kì, nghiệm với giá trị ban đầu x0 = a
0
!
là tuần hoàn với chu kì 2 với quĩ đạo
a 0 ! , 0 a 2 ,
nghiệm với giá trị ban đầu x2 = 0
a
!
cũng tuần hoàn với chu kì 2. Do đó nghiệm gốc không thể là ổn định tiệm cận. Tuy nhiên, nó ổn định theo định lí 2.5.1.
Định lý 2.5.5. Nếu ∆V là xác định dương trong một lân cận của điểm gốc và tồn tại dãy con {ai}, ai → 0 với V(ai) > 0 thì nghiệm gốc của (2.5.1) là không ổn định.
Chứng minh. Cho ∆V(x) > 0 với x ∈ B(η), x 6= 0, V(0) = 0. Ta sẽ chứng ming định lí bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử nghiệm gốc là ổn định. Khi
đó, cho < η thì tồn tại δ < sao cho ||x0|| < δ thì ||x(n,0, x0)|| < , n ∈
Z+. Vì ai → 0, chọn x0 = aj với j nào đó mà ∆V(x0) > 0 và ||x0|| < δ.
Do O(x0) ⊂ B() ⊂ B(η) là tập đóng và bị chặn (compact). Vì miền xác định của nó là compact nênV(x(n)) cũng compact, do đó bị chặn trên, mà
V(x(n)) tăng nên V(x(n)) → c. Theo chứng minh của nguyên lí bất biến Lasalle, ta có lim
n→∞x(n) = 0. Như vậy 0 < V(x0) < lim
n→∞x(n) = 0, điều này là vô lí. Vậy nghiệm gốc là không ổn định.
Kết luận của định lí cũng đúng nếu ∆V xác định âm và V(ai) < 0.
Ví dụ 2.5.4. Xét hệ x1(n+ 1) = 4x2(n)−2x2(n)x21(n) x2(n+ 1) = 1 2x1(n) + x1(n)x 2 2(n). Cho V(x1, x2) = x21 + 16x22, khi đó ∆V = (4x2 −2x2x21)2 + 16[x1 +x1x22]2 −x21 −16x22 hay ∆V(x1(n), x2(n)) = 3x21(n) + 16x21(n)x42(n) + 4x21x22 > 0,
nếu x1(n) 6= 0. Theo định lí 2.5.5, nghiệm gốc là không ổn định. Ví dụ 2.5.5. Xét hệ
x1(n+ 1) = x1(n) +x22(n) +x21(n)
x2(n+ 1) = x2(n). (2.5.6) Ta thấy (0,0) là một điểm cân bằng của hệ. Xét thành phần tuyến tính của hệ xác định bởi x(n+ 1) = Ax(n). x1(n+ 1) = x1(n) x2(n+ 1) = x2(n) với A = 1 0 0 1 ! có ρ(A) = 1. Cho V = x1 +x2, khi đó ∆V(x(n)) = x1(n) +x21(n) +x21 +x2(n)−x1(n)−x2(n) = x21(n) +x22(n) > 0 nếu (x1, x2) 6= (0,0).
Theo định lí 2.5.5, nghiệm gốc của hệ không ổn định. Bây giờ ta xét hệ sau có thành phần tuyến tính tương tự (2.5.6)
x1(n+ 1) = x1(n)−x31(n)x22(n)
x2(n+ 1) = x2(n). (2.5.7) Cho V = x21 +x22 là một hàm Liapunov của hệ (2.5.7).
∆V(x(n)) = [x1(n)−x31(n)x22(n)]2 +x22 −x21 −x22
= −2x41x22 +x61x42
= x41x22(x21x22 −2).
Do đó ∆V(x(n)) ≤ 0 nếu x21x22 ≤ 2. Theo định lí 2.5.1, nghiệm gốc của hệ (2.5.7) là ổn định.