Xét một loài duy nhất với hệ hai lớp tuổi. X(n) là số lượng con còn bé,
Y(n) là số lượng con đã trưởng thành ở thời điểm thứ n. X(n+ 1) = bY(n), Y(n+ 1) = cX(n) + sY(n)−DY2(n). (3.1.1) Đặt X˜ = DX(n) b , ˜ Y = DX(n) ta có ˜ X(n+ 1) = ˜Y(n), ˜ Y(n+ 1) = aX˜(n) + sY(n)−Y2(n), (3.1.2) với a = cb > 0. Điểm cố định không tầm thường là ( ˜X∗,Y˜∗) với X˜∗ = ˜Y∗
và Y˜∗ = a+ s− 1. Mặt khác, điểm cố định X˜∗ và Y˜∗ phải dương để mô hình đang xét có ý nghĩa sinh học, do đó a+s−1> 0.
Để dễ dàng xét tính ổn định ta đặtx(n) = ˜X(n)−X˜∗, y(n) = ˜Y(n)−Y˜∗,
ta có hệ
x(n+ 1) = y(n),
y(n+ 1) = ax(n) +ry(n)−y2(n). (3.1.3) Điểm cố định (0,0) tương ứng với điểm cố định ( ˜X∗,Y˜∗). Xét hệ tuyến tính
x(n+ 1) = y(n),
y(n+ 1) = ax(n) +ry(n).
Ta có A= 0 1
a r
!
, phương trình đặc trưng của A là λ2−rλ−a = 0. Theo (3.1.1), nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu
(i) 1−r −a > 0 ↔1−(2−2a−s)−a > 0 ↔a+s > 1
(ii) 1 +r −a > 0↔ 1 + (2−2a−s)−a > 0 ↔3a+s < 3.
Để tìm miền ổn định của nghiệm tầm thường, ta dùng phương pháp hàm Liapunov cho
V(x, y) =a2x2 + 2ar
1−axy +y
2.
Nhớ lại rằng phương trình Ax2 + 2Bxy + Cy2 = D là phương trình của một ellip nếu AC −B2 > 0 hay
a2 − a
2r2
(1−a)2 > 0↔ a−1< r < 1−a.
Mặt khác, bằng cách nhóm số hạng chứa x, y ta thu được:
A0x2 +C0y2 = D với A0 +C0 = a2 + 1 > 0, A0C0 > 0.
Do đó A0, C0 > 0 hay D > 0 từ đó V(x, y) > 0. Hơn nữa, ∆V(x, y) =
y2w(x, y) với w(x, y) = (y − r)2 − 2ax − 2ar(r−y) 1−a + a 2 − 1. Do đó, ∆V(x, y) ≤ 0 nếu w(x, y) < 0,(x, y) ∈ G, G = {(x, y) : (y −r)2 −2ax− 2ar(r −y) 1−a +a 2 −1 < 0}.
Miền G bị chặn bởi parabol w(x, y) = 0. Hơn nữa, ta đã biết mọi nghiệm bị chặn trong G sẽ hội tụ tới gốc.
Xét tập hợp tất cả các điểm trong G mà hội tụ tới gốc.
Vmin = min{V(x0, y0) : (x0, y0) ∈ ∂G}
Jm = {X,˜ Y˜}, X˜ = x0 + ˜X∗,Y˜ = x0 + ˜Y∗ V(x(m), y(m)) < Vmin, m = 0,1,2, . . . .
Nếu (x0, y0) ∈ J0 thì V(x(1), y(1)) ≤V(x0, y0) < Vmin, do đó
Tương tự như vậy ta có thể chỉ ra rằng
(x(n), y(n)) ∈ J0 với n = 1,2,3, . . . .
Do đó (x(n), y(n)) → (0,0) khi n → ∞. Nếu (x0, y0) ∈ Jm thì
V(x(m+ 1), y(m + 1)) ≤V(x(m), y(m)) < Vmin.
Khi đó ta cũng có (x(n), y(n)) → (0,0) khi n → ∞. Như vậy Jm là miền ổn định của nghiệm tầm thường.