Tính ổn định của hệ phương trình sai phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN GVHD: TS Lê Hải Trung SVTH : Ngơ Bùi Thị Hồi Thương Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, với kiến thức tiếp thu từ quý thầy cô giúp em cảm thấy tự tin thực luận văn tốt nghiệp Em xin gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Hải Trung, tận tình giúp đỡ động viên để em hồn thành luận văn từ việc chọn đề tài đến nội dung, hình thức Và em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành đến gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ em thời gian vừa qua Vì thời gian kiến thức hạn chế nên thân cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ Thầy cô bạn Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Sinh viên thực MỤC LỤC MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phạm vi nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu VI Tổng quan cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 Ma trận chuẩn tắc 1.2 Khái niệm ổn định 1.4 Sự ổn định hệ tuyến tính vơi hệ số 10 1.5 Phép phân tích khơng gian pha 12 1.6 Phương pháp Liapunov 18 1.7 Phương pháp thứ hai Lipunov 24 1.8 Sự ổn định xấp xỉ tuyến tính 26 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 32 2.1 Một loài với hai lớp tuổi 32 2.2 Một mơ hình chu kỳ kinh doanh 34 2.3 Mơ hình Nicholson – Bailey 35 2.4 Nghiên cứu điển hình lồi bọ bột cánh cứng 37 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Phương pháp sai phân phương trình sai phân ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học , kĩ thuật Sai phân ứng dụng để giải gần phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh lý thuyết sai phân phương trình sai phân cịn có nhiều ứng dụng khác giải tích, như: tốn tính tổng, tìm số hạng tổng quát dãy số… Hệ phương trình sai phân mở rộng từ phương trình sai phân Lý thuyết hệ phương trình sai phân ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp…Việc nghiên cứu hệ phương trình sai phân vấn đề cần thiết nhiều nhà tốn học quan tâm Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình sai phân Nó ứng dụng ngày nhiều kĩnh vực khác nhau, kinh tế khoa học kĩ thuật, sinh thái mơi trường Vì nghiên cứu phát triển mạnh mẽ theo lý thuyết ứng dụng Bài toán ổn định hệ thống nhiều nhà khoa học nghiên cứu, đặc biệt nhà toán học V Liapunov đến trở thành hướng nghiên cứu thiếu lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Với mong muốn nghiên cứu lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng với gợi ý hướng dẫn khoa học từ TS Lê Hải Trung, em định chọn đề tài “ Lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân” cho luận văn tốt nghiệp II Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân tài liệu tham khảo khác - Nghiên cứu hệ phương trình sai phân, tính ổn định hệ phương trình sai phân - Ứng dụng lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân để nghiên cứu loài với hai lớp tuổi, vật chủ hệ thống kí sinh trùng, mơ hình chu kỳ kinh doanh, mơ hình Nicholson – Bailey, nghiên cứu điển hình lồi bọ bột cánh cứng III Đối tượng nghiên cứu - Phương trình sai phân - Hệ phương trình sai phân - Lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân - Các ứng dụng lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân IV Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình, hệ phương trình sai phân tính ổn định hệ phương trình sai phân V Phương pháp nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến việc thực luận văn thuộc lĩnh vực: Đại số tuyến tính,Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyết hệ phương trình sai phân… VI Tổng quan cấu trúc luận văn Luận văn có cấu trúc sau: Mở đầu Chương Tính ổn định hệ phương trình sai phân chương tập trung trình bày lý thuyết ổn định hệ chương trình sai phân ứng dụng Chương Một số ứng dụng tính ổn định hệ phương trình sai phân Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong chương tác giả trình bày lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân ứng dụng Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [9].Các ví dụ tác giả đưa phần chứng minh định lý trình bày chi tiết rõ ràng tài liệu tham khảo 1.1 Ma trận chuẩn tắc Định nghĩa 1.1 Một hàm thực ||.|| không gian vectơ V gọi chuẩn thỏa mãn điều kiện sau: (i) || x ||  || x ||  x  (ii) ||  x |||  | || x || , x V  tùy ý (iii) || x  y ||  || x ||  || y || , x, y  V Nếu || x || , || x || ' hai dạng định chuẩn khơng gian k tồn số  ,   cho  || x ||  || x || '   || x || , || x || || x || ' gọi tương đương Khi đó, {x n } dãy n   k , ||x n || n   ||x n || '  Tương ứng với vectơ định chuẩn|| || ma trận A cấp k  k với || A ||  max || x||  k toán tử định chuẩn || || || Ax || || x || (1.1) hay || A ||  max || Ax ||  max || Ax || || x|| 1 || x|| 1 Ta có bảng Từ bảng ta suy với tốn tử định chuẩn A  ( A)  || A ||  ( A)  max{|  | } bán kính phổ A ,với  giá trị đặc trưng ma trận A 1.2 Khái niệm ổn định (1.2) Xét hệ phương trình sai phân x(n  1)  f (n, x(n)) , với x(n)  k ,f:   k  k x(n  1)  f (n, x(n)) (1.3) , f (n, x) liên tục theo x Điểm x*  k gọi điểm cân hệ (1.3) f (n, x* )  x* với n  n0 , x* gọi nghiệm gốc Định nghĩa 1.2 Điểm cân x * (1.3) gọi : - Ổn định (S)   0, n0  0,    ( , n0 ) cho: || x0  x* ||   || x(n, n0 , x0 )  x* ||   , n  n0 - Ổn định (US)  chọn không phụ thuộc vào n0 ; Hút (A) tồn    (n0 ) cho || x0  x* ||  , limn x(n, n0 , x0 )  x* Hút (UA)  chọn không phụ thuộc vào n0 , tức tồn   , cho  , n0 , N  N ( ) không phụ thuộc vào n0 : || x(n, n0 , x0 )  x* ||   , n  n0  N với || x0  x* ||   Ổn định tiệm cận (AS) ổn định hút Ổn định tiệm cận (UAS) ổn định hút Ổn định theo cấp độ mũ (ES)   0, M  0,   (0,1) cho || x(n, n0 , x0 )  x* ||  M || x0  x* ||  nn0 , với || x0  x* ||   Một nghiệm x(n, n0 , x0 ) gọi bị chặn tồn số M  cho || x(n, n0 , x0 ) ||  M , n  n0 Hình 1.1 Hệ thống phân cấp khái niệm ổn định Định lí 1.1 Cho hệ phương trình: x(n  1)  f ( x(n)) (1.4) Khi phát biểu sau cho điểm cân x * (i) S  US (ii) AS  UAS (iii) A  UA Chứng minh (i) Cho x(n, n0 , x0 ) y(n, m0 , x0 ) hai nghiệm (1.4) với m0  n0  R0 , R0  Ta có nghiệm x(n, n0 , x0 ) giao với y(n, m0 , x0 ) n  n0 Do tính nghiệm nên: y(n, m0 , x0 )  x(n  R0 , n0 , x0 ) Do  khái niệm ổn định khơng phụ thuộc n0 , ta có điều ohiar chứng minh (ii) (iii) chứng minh tương tự (i) Ví dụ 1.1 a, Nghiệm phương trình x(n  1)  x(n) x(n, n0 , x0 )  x0 Do đó,nghiệm gốc ổn định không ổn định tiệm cận b, Nghiệm phương trình x(n  1)  a(n) x(n)  n1  x(n, n0 , x0 )   a(i)  x0  i n0  (1.5) (i) Nghiệm gốc ổn định n 1 |  a(i) |  M (n0 )  M i  n0 với M số dương phụ thuộc vào n0 Điều kiện a(i)    i ,    Ta có: n 1 x(n, n0 , x0 ) = (n) x0 , (n)   (1  i ) i  n0 Vì   i  exp( i ) nên n 1  n (n)  exp(  )  exp(  )  exp( )  M (n0 )  M 1 n i  n0 i  n0 i Cho   0, n0     2M i | x0 |  Từ đó: x(n, n0 , x0 )  (n) x0   (ii) Nghiệm gốc ổn định (1.6) n 1 |  a(i) |  M (1.7) i  n0 Với M số dương không phụ thuộc n0 Điều a (i )  sin (i  1) Ta có: n 1  (n)   sin(i  1), x(n, n0 , x0 )   (n) x0 , i  n0 hay |  ( n) | Cho   0, n0     | x0 |  , từ suy ra: | x(n, n0 , x0 ) ||  (n) | | x0 |   (iii) Nghiệm gốc ổn định tiệm cận n 1 lim |  a(i) |  0, n  với a(i)  (1.8) i  n0 i 1 Từ i2 n 1  a(i)  i  n0 n0  n 1 , lim  n  n 1 n 1 (iv) Nghiệm gốc ổn định tiệm cận ổn định theo cấp độ mũ n 1 |  a(i) | M  n n0 (1.9) i  n0 với M  0,    Ví dụ 1.2 Nghiệm phương trình  n 1 x(n  1)    x(n)    n  n    n    n0   cho x(n, n0 , x0 )        2      n  n0  ( x0 ) n  n0 x(n0 )  x0 Nếu | x0 | đủ nhỏ lim xn  Do nghiệm gốc hút Tuy nhiên khơng hút n  Nếu   0, n0 chọn cho ( n0  1)   với | x0 |  , ta có:  n 1 | x( n0  1, n0 , x0 ) |   | x0 |    Cuối ta kiểm tra ổn định nghiệm gốc Cho   n0  ,    n0  Nếu | x0 |  x(n, n0 , x0 )   , n  n0 Do  chọn phụ thuộc vào n0 nên nghiệm gốc ổn định khơng ổn định Ví dụ 1.3 Xét phương trình sai phân r (n  1)  r (n), r  0;  (n  1)  2 ( n),    2 Ta điểm cân (1,0) hút, không ổn định.Thật vậy, ta có n r (n)  r02 , r0  r (0);  (n)  (2 )(12 Rõ lim r (n)  ràng n  2 n ) lim  (n)  2 n  n  ,   (0) Bây r0  0, 0  n (r (n),  (n))  ((r0 )2 ,0) hội tụ đến điểm cân (1,0) Tuy nhiên 0   ,    quỹ đạo (r0 ,0 ) đường xoắn ốc hội tụ đến điểm (1,0) Định lí 1.2 Một ánh xạ liên tục f đường thẳng thực khơng thể có điểm cố định hút khơng ổn định Ví dụ 1.4 Xét ánh xạ 2 x , x   G   0 , x   với    Khi phương trình sai phân x(n  1)  G ( x(n)) có nghiệm (2)n x0 , (2) n 1 x0    x(n)  G ( x0 )   , (2)n 1 x0    0 n với x(0)  x0 Bây giờ, x0   Gn ( x0 )  0, n  Mặt khác, x0   tồn k  , Gk ( x0 )   , đó: Gn ( x0 )  0, n  k Do điểm cố định x*  hút toàn cục Tuy nhiên, x*  khơng ổn định Định lí 1.3 Một điểm cố định x * ánh xạ liên tục f ổn định tiệm cận có khoảng ( a, b) chứa x * cho f ( x)  x a  x  x* f ( x)  x x*  x  b Bây ta chứng minh định lí 1.2 n 1   Z (n)  M  Z (n0 )    1Z ( j )  j  n0   Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có n 1 Z (n)  Z (n0 ) 1   1M  j  n0 hay   n y(n)    n y(n0 ) n 1  1   j  n0  y(n)  y(n0 )    M  Chọn   n  n0 1 M  (1.42) (1.43)     M  hay y (n)  y (n0 )   , n  n0  Do đó, nghiệm gốc M (1.33) ổn định theo cấp độ mũ Hệ 1.3 Nếu  ( A)  nghiệm gốc hệ (1.35) ổn định theo cấp độ mũ Hệ 1.4 Nếu f ' (0)  nghiệm gốc hệ (1.35) ổn định theo cấp độ mũ Ta ý A   ( A)   0.5 Ví dụ 1.12 Với ma trận A      ta có 0.5  A   ( A * A)  0.75  Tuy nhiên,  ( A)  Với  1, A    2 ma trận A này, nghiệm gốc hệ x(n  1)  Ax(n)  g ( x( n)) ổn định theo cấp độ mũ Ngoài ra,  ( A)  tồn ma trận không suy biến Q cho Q1 AQ  A  Q 1 AQ 1   0.5   1  1 1   Cho Q    Q AQ     Q   0   0.5  0     Ta có, Q1 AQ    0.5 Nếu chọn   0.5 Q 1 AQ  Tổng quát, ma trận A khối Jordan    A   0 0   1   29 Cho Q  diag 1,  ,  , ,  k 1  , k cấp A Khi     Q 1 AQ     0 0      Q 1 AQ       1, chọn  cho     A  Q 1 AQ , A  1 Ví dụ 1.13 Xét tính ổn định nghiệm gốc hệ ay2 (n)   y1 ( n  1)  1  y ( n)       y ( n  1)  by1 (n)  1  y22 ( n)   Cho f   f1 , f  , f1  T (1.44) ay2 (n) by1 (n) , f2  Khi ma trận Jacobi  y1 (n)  y22 ( n)  f1 (0, 0)  y f |(0,0)     f (0, 0) y  y  f1 (0, 0)  y2   a    f (0, 0)   b  y2  Do hệ (1.44) viết  ay2 (n) y12 (n)     y1 (n  1)   a   y1 (n)    y1 (n)  ,      y2 (n  1)   b   y2 (n)   by1 (n) y2 (n)      y2 ( n )  hay y (n  1)  Ay (n)  g ( y (n)) Các giá trị riêng A 1  ab , 2   ab Do đó, ab  nghiệm gốc phần tuyến tính y (n  1)  Ay (n) ổn định tiệm cận Vì g ( y ) khả vi liên tục (0, 0), g ( y )  o( y ) nên theo định lí (1.14) nghiệm gốc (1.44) ổn định theo cấp độ mũ Định lí 1.15 Các phát biểu sau đúng: (i) Nếu  ( A)  nghiệm gốc (1.35) ổn định không ổn định; (ii) Nếu  ( A)  g ( x)  o( x) x  nghiệm gốc (1.35) khơng ổn định 30 Chứng minh (ii) Giả sử  ( A)  1, tồn ma trận thực đối xứng với B cho BT AB  B  C xác định âm Do hàm Liapunov V ( x)  xT Bx âm Hơn V ( x)   xT Cx  xT AT Bg ( x)  V ( g ( x)) Mặt khác, ta có   cho xT Cx  4 x , x  k Tồn   cho x   Bg ( x)   x V ( g ( x ))   x Do đó, V ( x(n))   x(n) Vậy nghiệm gốc không ổn định 31 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 2.1 Một loài với hai lớp tuổi Xét loài với hệ hai lớp tuổi X ( n) số lượng bé, Y (n) số lượng trưởng thành thời điểm thứ n X (n  1)  bY (n), Y (n  1)  cX (n)  sY (n)  DY (n) (2.1) Đặt X DX (n) , Y  DX (n) b ta có X (n  1)  Y (n), Y (n  1)  a X (n)  sY (n)  DY (n), (2.2)   với a  bc  Điểm cố định không tầm thường X * , Y * với X *  Y * Y *  a  s  Mặt khác, điểm cố định X * Y * phải dương để mơ hình xét có ý nghĩa sinh học, a  s 1  Để dễ dàng xét tính ổn định ta đặt x(n)  X (n)  X * , y(n)  Y (n)  Y * , ta có hệ  x(n  1)  y (n)   y (n  1)  ax(n)  ry (n)  y (n) Điểm cố định (0,0) tương ứng với điểm cố định (2.3) X *  , Y * Xét hệ tuyến tính x(n  1)  y (n), y (n  1)  ax(n)  ry (n)  1 Ta có A    phương trình đặc trưng A   r   a  a r Theo (2.1), nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận (i)  r  a    (2  2a  s)  a   a  s  (ii)  r  a    (2  2a  s)  a   3a  s  Để tìm miền ổn định nghiệm tầm thường, ta dùng phương pháp hàm Liapunov cho V ( x, y)  a x2  2ar xy  y 1 a Để ý phương trình Ax  2Bxy  Cy  D phương trình ellip AC  B  32 hay a2  a2r 1  a    a   r   a Mặt khác, cách nhóm số hạng chứa x, y ta thu được: A' x  C ' y  D với ' ' A'  C '  a   0, AC  Do A' , C '  0, hay D  từ V ( x, y )  Hơn nữa, V ( x, y)  y 2( x, y) với ( x, y)   y  r   2ax  2ar (r  y)  a  1 a Do đó, V ( x, y )   ( x, y )  0, ( x, y )  G, x, y  G 2ar (r  y )   G  ( x, y ) : ( y  r )  2ax   a   0 1 a   Miền G bị chặn parabol  ( x, y )  Hơn nữa, ta biết nghiệm bị chặn G hội tụ gốc Xét tập hợp tất điểm G mà hội tụ tới gốc   J m  X , Y , X  x0  X * , Y  y0  Y * V ( x(m), y(m))  Vmin , m  0,1, 2, Nếu ( x0 , y0 )  J V  x(1), y (1)   V ( x0 , y0 )  Vmin , ( x(1), y(1))  J Tương tự ta  x(n), y (n)   J , n  1, 2,3, Do  x(n), y (n)   (0, 0) n   Nếu ( x0 , y0 )  J V ( x(m  1), y(m  1))  V ( x(m), y(m))  Vmin 33 Khi ta có  x(n), y (n)   (0, 0) n   Như J m miền ổn định nghiệm tầm thường 2.2 Một mơ hình chu kỳ kinh doanh Một mơ hình tốn học thức cho mơ hình kinh doanh cho Paul Samuel-son (1939), sau mơ hình Sir John Hicks (1950) Cho I ( n ) vốn đầu tư thời điểm n, Y (n) thu nhập thời điểm n Trong mơ hình Samuelson-Hicks, giả sử vốn đầu tư tỉ lệ với thu nhập I (n)  v Y (n  1)  Y (n  2)  (2.4) Tương tự vậy, mức tiêu thụ C (n) tỷ lệ thuận với thu nhập Y (n  1) chu kì trước, tức là, C (n)  (1  s )Y (n) (2.5)  s  "phần bù" tỉ lệ sử dụng Ta đưa vào đẳng thức kế toán cho mơ hình kinh tế kín: Y ( n )  C ( n)  I ( n) (2.6) từ ta có phương trình sai phân cấp đơn giản sau Y (n)  (1  v  s )Y (n  1)  vY (n  2) (2.7) Mơ hình tuyến tính (2.7) khơng biểu diễn đầy đủ cho việc kinh doanh khơng có nghiệm dao động (hoặc chu kì tuần hồn) ngoại trừ trường hợp đặc biệt v  Xét mô hình phi tuyến bậc sau I (n)  v Y (n  1)  Y (n  2)  v Y (n  1)  Y (n  2) , (2.8) C (n)  (1  s )Y (n  1)   s Y (n  2) (2.9) Ta đưa vào biến Z (n  1)  I ( n)  Y (n  1)  Y (n  2) y (2.10) Kết hợp (2.8), (2.9) sử dụng (2.6) ta thu Y (n  1)  I (n  1)  C (n  1)  v Y (n)  Y (n  1)  (1  s )Y (n)    s Y (n  1)  v Y (n)  Y (n  1)  Trừ Y (n) hai vế ta có Z (n)  (v   s)Z (n 1)  vZ (n)  ( 1)sY (n 1) Đặt Z (n)  1 v   s Z (n) v Khi Z (n)  (v   s) Z (n 1)  (1  v   s) Z (n 1)  ( 1) sY (n 1) 34 Đặt a  (v   s), b     1 s, ta có Z (n  1)  aZ (n)  (1  a)Z (n)  bY (n) (2.11) b  1    s biểu diễn loại tỉ số tiết kiệm mãi Sử dụng (2.10) (2.11) ta có hệ hai chiều sau Y (n  1)  Y (n)  Z (n), Z (n  1)  aZ (n)  (a  1)Z (n)  bY (n) (2.12) Hệ (2.2) có điểm cân đơn X *  Y * , Z *   (0, 0) Tính ổn định địa phương đạt cách kiểm tra hệ tuyến tính hóa  Y (n  1)   1  Y (n)       Z (n  1)   b a  Z (n)  (2.13) Phương trình đặc trưng   (a  1)  a  b  0, từ giá trị riêng 1,2  a 1  a  1  4b Bằng tiêu chuẩn ổn định, nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận (i)  2a  b  0, (ii) b  0, (iii)  a  b  Từ a   b  miền ổn định S S   b, a  :  b  1,  a   b Như vậy, (b, a )  S , điểm cân X *  (0,0) ổn định tiệm cận 2.3 Mơ hình Nicholson – Bailey Giả sử H ( n) mật độ loài vật chủ hệ thứ n, P (n) mật độ kí sinh hệ thứ n, f ( H (n), P (n)) phần lồi vật chủ khơng có kí sinh,  tỉ lệ sinh sản, c số lượng trung bình trứng cách đặt ký sinh vật chủ Ta có H (n  1)   H (n) f ( H ( n), P( n)) P (n  1)  cH (n) 1  f ( H (n), P (n))  Hệ số gặp gỡ vật chủ vật kí sinh H c  aH (n) P(n) (2.14) Nếu  số gặp gỡ lồi vật chủ vật ký sinh xác suất r gặp gỡ p(r )  He e   R , r! H (n) 35 Từ phương trình (2.14) ta có   aP (n) (2.15) Với f ( H (n), P(n))  e aP ( n ) ta có phương trình H (n  1)   H (n)e aP ( n ) , (2.16) P(n  1)  eH (n) 1  e aP ( n )  (2.17) Điểm cân không tầm thường  ln  H  , P*  ln  (1   )ac a * Bằng tuyến tính hóa, thấy  H * , P*  không ổn định Do ta xét mơ hình thực tế   H ( n)   H (n  1)  H (n) exp  r 1    aP(n)  , r  0, k     P (n  1)  cH (n) 1  exp(  aP ( n))  (2.18) Các điểm cân nghiệm   H*   * * *  exp  r 1    aP  , P  cH  exp  aP  K       Do P*  r  H*  r P* *   (1  q ), H  * a  K  a  e aP (2.19) Do  H*  r 1     H *  K     exp  r 1   acH * K    (2.20) Rõ ràng H1*  K , P1*  trạng thái cân Để thực phân tích tính ổn định điểm cân  H 2* , P2*  ta đặt H ( n)  x( n)  H 2* , P ( n)  y ( n)  P2* Từ ta có,   x(n)  H 2*   * x(n  1)   H 2*  ( x(n)  H 2* ) exp  r 1    a( y (n))  P2  , K     36 y(n  1)  P2*  c( x(n)  H 2* ) 1  exp(a( y(n)  P2* ))  (2.21) Bằng tuyến tính hóa quanh điểm (0,0) ta đạt hệ tuyến tính  x(n  1)   x ( n)     A   y (n  1)   y ( n)  (2.22) với  rq  A  e  exp  r 1  q     arq      r 1  q   (2.23) H 2* r (1  q)   q  exp(r (1  q)) K Phương trình đặc trưng A    (1  r   )  (1  r )  r (1  q)  (2 24) Bằng tiêu chuẩn ổn định biết     r     (1  rq)  r q(1  q)  Do (1  rq)  r q(1  q)  1,  (1  rq )  r q (1  q )   r   (2.25) (2.26) Phác họa (2.25) (2.26) ta có miền ổn định tiệm cận điểm gốc qua hình Hình 2.1 2.4 Nghiên cứu điển hình lồi bọ bột cánh cứng Nhóm nhà nghiên cứu gồm R.F Costantino, J.M Cushing, B Den-nis, R.A Desharnais, S.M Henson nghiên cứu rộng rãi loài bọ bột cánh cứng Họ tiến hành nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu thực nghiệm phịng thí nghiệm Để mơ tả mơ hình họ, tóm tắt ngắn gọn vịng đời lồi bọ bột cánh cứng Vòng đời bao gồm giai đoạn ấu trùng nhộng lần kéo dài khoảng hai tuần, giai đoạn trưởng thành (xem Hình (2.2)) Như hình (2.2), ăn thịt xảy nhóm khác Con trưởng thành ăn nhộng trứng, ấu trùng ăn trứng Khơng có ấu trùng hay trưởng thành ăn trưởng thành Hơn 37 nữa, ấu trùng không ăn ấu trùng Các ấu trùng bị ăn thịt trưởng thành nhộng ấu trùng giả thiết không đáng kể Hình 2.2 Sự ăn thịt xảy nhóm khác Cho L(n) số lượng ấu trùng thời điểm n, cho P (n) số lượng nhộng thời điểm n, cho A(n) số lượng trưởng thành thời điểm n Khi ta có mơ hình ấu trùng – nhộng – trưởng thành (LAP) cho  L(n  1)  bA(n)exp  cEA A(n)  cEL L(n)  ,   P(n  1)  1   L  L(n),   A(n  1)  P(n)exp  cPA A(n)   1   A  A(n) (2.27) L(0)  0, A(0)  0, P(0)  Các số  ,  tương ứng xác suất ấu trùng trưởng thành bị chết ngun nhân khác Do  L    A  Số hạng exp(cEA A(n)) biểu diễn xác suất mà trứng không bị ăn trưởng thành A(n), exp(cEL L(n)) xác suất tồn nhộng trưởng thành A(n) Các số cEA  0, cEL  0, cPA  gọi hệ số ăn thịt Ta giả thiết trưởng thành ăn nhộng nguyên nhân chủ yếu cho tỷ lệ tử vong nhộng Có hai điểm cân (0, 0, 0)T  L* , P* , A*   , L*  0, P*  0, A*  Điểm cân L A dương thu cách giải hệ ba phương trình  L exp  cEL L   bA exp( cEA A),   P  (1   L ) L,   exp(c A)  P PA  A (2.28) Khử P ta có  (1   L ) L   A exp(cPA A),    L exp  cEL L   bA exp(cEA A) Chia phương trình thứ hai cho phương trình đầu ta có exp  cEL L   b(1   L ) A exp  (cEA  cPA ) A Số 38 (2.29) N b(1   L ) A gọi số sinh sản rịng vốn có Số N đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính ổn định mơ hình ta xét Quan sát rằng, N  phương trình (2.29) khơng có nghiệm ta khơng có điểm cân dương Tuy nhiên, N  phương trình (2.29) có nghiệm giao đường cong (1  L ) L   A exp(cPA A) đoạn thẳng từ  0, ln N / cEL  tới  ln N /  cEA  cPA  ,  mặt phẳng  A, L  biểu diễn phương trình (2.29) Để nghiên cứu tính ổn định địa phương điểm cân  L, P, A  (2.27) ta tính ma trận Jacobi J,  cELbAe  cAE AcEL L   J   L   0 e  cPA A be  cAE AcEL L 1cEA A       A  cPA Pe  cPA A  (2.30) Tại điểm cân (0, 0, 0)T ta có   J1  J |(0,0,0)T  1   L   b   0  1   A  Đa thức đặc trưng J P( )    (1   A )  b(1   L )  hay P( )    p1  p2  p3  với p1   (1   A ), p2  0, p3  b (1  L ) (2.31) Như biết,    p3  p1   p2 p2  p3 p1   p32 Áp dụng điều kiện thứ ta có b (1   L )  (1   A )  1,  b (1   L )  (1   A ), hay N b (1   L ) A  (2.32) Điều kiện thứ hai cho ta  (1   A )(1   L )b   b (1   L ) , b (1   L )2  (1   A )(1   L )b  Nhưng bất đẳng thức thỏa mãn ta có (2.32) Vậy N  ta có b2 (1  L )2  (1   A )(1   L )b   A2   A (1   A )   A  Như ta kết luận điểm cân tầm thường (0, 0, 0)T ổn định tiệm cận N  Ma trận Jacobi điểm cân dương  L* , P* , A*  thỏa mãn (2.32) 39  *  cELbL  J  J | L* , P* , A*     L             A  A*  AcPA A    L*  cEA L* A* 0 A*e cPA A Phương trình đặc trưng cho  L*   cEA L*  1   L  exp  cPA A*   * A     cEL L*   AcPA A*  1   A     cEL L* 1   A     Điều kiện ổn định điểm cân dương xét trường hợp đặc biệt Trường hợp (i) Nếu cEL  0, điểm cân dương hút toàn cục    N  e 1,  cEA / cPA   1   A  /  A  Trường hợp (ii) Nếu  A  N  b 1   L  phương trình (2.27) trở thành L(n  1)  N A(n) exp  cEA A(n)  cEL L(n)  ,  L P (n  1)  1   L  L( n), (2.33) A(n  1)  P(n) exp(cPA A(n)) (2.34) Định lí 2.1 Với N  , điểm cần tầm thường phương trình (2.33) không ổn định tồn điểm cân dương Điểm cân dương không ổn định với N     đủ nhỏ Một trường hợp trường hợp (ii) trường hợp quỹ đạo đồng Một  L(n), P(n), A(n)  gọi đồng thời điểm n thành phần khơng thành phần khác khơng Ta thấy từ phương trình (2.33), quỹ đạo đồng thời điểm n0 đồng tất n  n0 Chú ý rằng, điểm T  L, P,  P, A – mặt phẳng ánh xạ với điểm  0, (1  L ) L0 , P0  T P, A – mặt phẳng, ánh xạ với điểm T  N  P0 exp(cEA P0 ), 0, (1   L ) L0 exp(cPA P0 )     L  L, A – mặt phẳng Do điểm ánh xạ từ góc phần tư khơng âm mặt phẳng tọa độ tới góc phần tư theo thứ tự Một ba đồng T  L(n), P(n), A(n)  gọi đồng hoàn toàn thời điểm n có hai thành phần không Đây trường hợp cho điểm hệ trục tọa độ dương Một quỹ đạo đồng hồn tồn điểm gốc đồng hồn tồn Khái niệm có nguồn gốc từ thực tế ba giai đoạn vòng đời đồng hóa tạm thời cách mà chúng khơng trùng Kí hiệu ánh xạ (2.33) F , 40  L(n  1)   L(n)       P(n  1)   F  P(n)  ,  A(n  1)   A(n)      (2.35) F ánh xạ góc phần tư không âm mặt phẳng tọa độ vào Một điểm cố định F tương ứng với 3-chu kỳ F Ánh xạ F xác định phương trình x(n  1)  Nx(n) exp[  cPA y (n) exp(cPA z (n))   cEA (1   L ) x(n) exp( cPA y (n) exp(cPA z (n)))   cEL  cEL N y (n) exp(cPA y (n)  cEA y (n) exp(cPA z (n)))  (1   L ) N N z (n) exp(cEA z (n) exp(cEA z (n)  cEL x(n)))] (1   L ) (1   L ) y (n  1)  Ny (n) exp[  cPA z (n)  cEA y (n) exp(cPA z (n))   cEA z (n) N exp(cEA z (n)  cEL x(n))] (1   L ) z (n  1)  Nz (n) exp[  cEA z (n)  cEL x(n)   cPA x(n)(1   L ) exp(cPA y (n) exp(cPA z (n)))] Nếu  x0, 0, z0  điểm x, z - mặt phẳng, quỹ đạo mô tả qua T hệ chiều x(n  1)  Nx(n) exp( cx(n)), (2.36) z (n  1)   Nexp   x(n)   z (n) exp(  z (n)), (2.37) c  cEA (1  L ),   cEL  cPA (1  L ),   cEA Nếu N  1, (2.36) có điểm cân dương x*  ln N / c Do đó, tồn 3-chu kỳ đồng hồn tồn phương trình (2.33) Nếu  N  e, T T  x* , z*    1c ln N ,  điểm cân ổn định tiệm cận phương trình (2.36) (2.37) Điểm cố định F tương ứng với 3-chu kỳ đồng hồn tồn mơ hình LPA (2.33)  ln N       c (1   L )       EA      ln N          cEA        ln N       c  EA    41 (2.38) KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: - Trình bày cách chi tiết khái niệm, định lí, hệ lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân - Chứng minh lại cách chi tiết định lí lý thuyết ổn định so với tài liệu tham khảo - Trình bày ví dụ minh họa cụ thể cho phần kiến thức ổn định hệ phương trình sai phân, phép phân tích khơng gian pha… - Trình bày rõ ràng ứng dụng lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân thực tế Trong trình thực đề tài, thân có nhiều cố gắng khơng tránh khỏi sai lầm thiếu sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để đề tài hồn thiện Sinh viên thực 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2000), “ Giải tích số”, Tạp chí Khoa học Giáo dục, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương ( Chủ biên ) (2000) , “Giải tích số”, NXB Giáo dục [3] Lê Đình Định, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2003), “ Phương trình sai phân số ứng dụng”, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Thế Toàn, Phạm Phu (2007), “Cơ sở phương trình sai phân lý thuyết ổn định”, NXB Giáo dục [5] Lê Đình Thịnh (2004), “ Phương pháp sai phân”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [6] Charles Jordan (1950), “Caculus of finite difference” introduction by Harry C Carver, Chelsea publishing company, New York [7] Ravi P.Agarwal (2000), “Difference equations and inequalities theory, Methods and Applications”, Marcel Dekker, Inc, New York- Basel [8] Ronald E.Mickens (2015), “Difference Equations: Theory and Applications”, Taylor Francis Publisher , France [9] Saber Elaydi (2005), “ An Introduction to difference Equations”, Springer Publisher, New York [10] Sharkovsky (1993) “Difference Equations and Their Applications”, Springer Publisher, New York 43 ... Đối tượng nghiên cứu - Phương trình sai phân - Hệ phương trình sai phân - Lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân - Các ứng dụng lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân IV Phạm vi nghiên... - Hệ thống lại kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân tài liệu tham khảo khác - Nghiên cứu hệ phương trình sai phân, tính ổn định hệ phương trình sai phân - Ứng dụng lý thuyết ổn. .. phân phương trình sai phân cịn có nhiều ứng dụng khác giải tích, như: tốn tính tổng, tìm số hạng tổng qt dãy số… Hệ phương trình sai phân mở rộng từ phương trình sai phân Lý thuyết hệ phương trình