04 bài giảng số 4 phép biến đổi tuyến tính trực giao

http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Bài giảng số PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO I Tóm lược lý thuyết Định nghĩa 4.1: Ánh xạ tuyến tính  : E  F không gian véc tơ Euclide E F gọi trực giao bảo tồn tích vô hướng, nghĩa là:  ( x),  ( y )  x, y với x, y  E Tính chất 4.2: Một ánh xạ tuyến tính  : E  F từ không gian véc tơ Euclide thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F ánh xạ tuyến tính trực giao  ( x)  x , x  E Tính chất 4.3: Một ánh xạ tuyến tính  : E  F từ không gian véc tơ Euclide thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F ánh xạ tuyến tính trực giao ảnh sở trực chuẩn E qua ánh xạ tuyến tính  sơ trực chuẩn F Tính chất 4.4: Ánh xạ tuyến tính trực giao  : E  F đơn cấu Tính chất 4.5: Tích phép biến đổi trực giao phép biến đổi trực giao Định nghĩa 4.6: Một phép biến đổi tuyến tính  không gian véc tơ Euclide thực E gọi phép biến đổi trực giao  ( x),  ( y )  x, y với x, y  E Nhận xét 4.7: a) Một phép biến đổi tuyến tính  không gian véc tơ Euclide thực E phép biến đổi trực giao  ( x)  x , x  E b) Một phép biến đổi tuyến tính  không gian véc tơ Euclide thực E phép biến đổi trực giao ảnh sở trực chuẩn E qua phép biến đổi  sở trực chuẩn E Tính chất 4.8: Mọi phép biến đổi trực giao đẳng cấu (song ánh tuyến tính) Tính chất 4.9: Nếu A ma trận phép biến đổi trực giao  sở trực chuẩn E A ma trận trực giao Tính chất 4.10: Tập phép biến đổi trực giao không gian véc tơ Euclide E làm thành nhóm gọi nhóm biến đổi trực giao E Định nghĩa 4.11: Cho F không gian không gian véc tơ Euclide E Phép biến đổi tuyến tính p E gọi phép chiếu trực giao lên không gian F dọc F  Im p = F ker p  F  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Nhận xét 4.12: Nếu p phép chiếu trực giao lên F ta có p2 = p với x  F Định nghĩa 4.13: Phép biến đổi tuyến tính  không gian véc tơ Euclide thực E phép biến đổi đối xứng   ( x), y    x,  ( y ) , x, y  E Tính chất 4.14: Ma trận phép biến đổi đối xứng  E sở trực chuẩn ma trận đối xứng Tính chất 4.15: Nếu  ,  hai giá trị riêng phân biệt phép biến đổi đối xứng  E giá trị riêng tương ứng  ,  trực giao với Tính chất 4.16: Mỗi phép biến đổi đối xứng không gian véc tơ Euclide thực E có véc tơ riêng II Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1:  5 1    4 Cho  :    ánh xạ xác định :       ,       1  5  1    Hỏi ánh xạ  có phép biến đổi trực giao không? Tìm ma trận  sở chuẩn tắc  Hãy mô tả dạng hình học ánh xạ  Giải: Gọi sở chuẩn tắc  {e1, e2 }, ta có: 5 8     5 (e1 )   (e2 ),     8 (e1 )   (e2 ) Theo giả thiết ta có: 1  1  5 (e1 )   (e2 )  e1  5e2  8 (e1 )   (e2 )  4e1  7e2 Giải hệ phương trình ta có: 12   (e1 )  13 e1  13 e2   (e )   12 e  e  13 13 Vậy ma trận  sở trực chuẩn {e1, e2} có dạng:   13 A  12   13 12  13     13  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Dễ thấy véc tơ cột A tạo thành sở trực chuẩn  nên A ma trận trực giao Vậy  phép biến đổi trực giao Ví dụ 2: Cho E không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều Giả sử a  E véc tơ đơn vị Xét ánh xạ  : E  E xác định  ( x)  x   a, x  a 1) Chứng minh  phép biến đổi trực giao 2) Chứng minh     Id E 3) Thử lại  (a)   a  ( x )  x với  x  a  v  E :  v, a   0 4) Hãy tìm ma trận  E =  a  ( 1 , , ) với tích vô 3 hướng chuẩn tắc Giải 1) Dễ thấy  phép biến đổi tuyến tính với x, y  E ,  ,    , ta có:  ( x   y )   x   y   a,  x   y  a   x   y  2  a, x  a    a, y  a   ( x   a, x  a )   ( y   a, y  a   ( x )   ( y ) Với x, y  E , xét tích vô hướng:   ( x),  ( y )    x   a, x  a, y   a, y  a    x, y    a , y  x, a    a, x  a, y    a, x  a, y  a, a  Vì a véc tơ đơn vị nên  a, a   1, ta có:   ( x),  ( y )   x, y    a, x  a, y    a, x  a, y    x, y  Vậy  phép biến đổi trực giao 2) Với x  E , ta có: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide    ( x )   ( ( x))   ( x )   a,  ( x )  a  x   a, x  a   a, x   a, x  a  a  x   a, x  a   a, x  a   a, x  a, a  a  x   a , x  a   a, x  a  x  id E ( x ) Vậy     Id E 3)  (a)  a   a, a  a  a  2a  a  Với x  a ta có:  ( x)  x   a, x  a  x (Vì = 0) 4) Khi E   , ta xét sở trực chuẩn {e1, e2, e3} E Ta có:  (e1 )  e1   a, e1  a  (1, 0, 0)  1 1 2 ( , , )( , , ) 3 `3 3 3 2  e1  e2  e3 3 2 2 Tương tự, ta có:  (e2 )   e1  e2  e3  (e3 )   e1  e2  e3 3 3 3 Vậy ma trận phép biến đổi trực giao  có dạng:    A        3   2    2  3    Ví dụ 3: Cho phép biến đổi tuyến tính f  xác định bởi: f ( x )  1e1  2e2  3e3  4e4 , x  1e1  2e2  3e3  4e4 véc tơ tuỳ ý e1 , e2 , e3 , e4  sở chuẩn tắc  , f có phép biến đổi trực giao không? Giải: Xét độ dài véc tơ f ( x ), ta có: f ( x)  f ( x ), f ( x)  1e1  2e2  3e3  4e4 , 1e1  2 e2  3e3  4e4  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide = 12  22  32  42  x  f ( x)  x Vậy f phép biến đổi trực giao Ví dụ 4: Chứng minh phép biến đổi trực giao  phép đồng phép đối xứng tâm O phép đối xứng trục phép quay Chỉ phép biến đổi trực giao  tích nhiều hai phép đối xứng trục Giải: Xét phép biến đổi tuyến tính  , f :    , xác định f(x, y) = (ax +by, cx +dy) (với a, b, c, d số thực) Khi ma trận f sở chuẩn tắc {e1, e2 } có dạng: a b A  c d phép biến đổi f trực giao A ma trận trực giao, tức là:  ab  cd   2 a  c  b  d   (I) Đặt: a  cos  , c  sin  b  cos  , d  sin  , hệ (I) tương đương với cos  cos   sin  sin    cos(   )     k       k 2 Với k  2n  1, ta có cos    sin  , sin   cos  Khi ma trận A có dạng     cos   sin   A   sin  cos   Với k  2n, ta có cos   sin  , sin    cos  Khi ma trận A có dạng:  cos  A  sin  sin    cos   Biện luận: 1 0 1   , phép biến +) Nếu   k 2 , ta có A   A      1 0 1 đổi trực giao tương ứng phép đồng phép đối xứng qua trục Ox Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide  1   1  +) Nếu     k 2 , ta có A   A     ,  1     phép biến đổi trực giao tương ứng phép đối xứng tâm phép đối xứng qua trục Oy +) Với trường hợp khác phép biến đổi trực giao tương ứng với ma  cos   sin    phép quay tâm O góc quay  , phép biến đổi trực trận A    sin  cos    cos  sin    cos   sin    giao với ma trận tương ứng A    =  sin  cos   1  sin   cos       tích phép đối xứng qua trục Ox phép quay tâm O góc quay  Ví dụ 5: Trong không gian véc tơ Euclide 3 với sở tắc e1 , e2 , e3 , cho phép biến đổi tuyến tính đối xứng T :   3 , kí hiệu T (u )  Au, A ma trận vuông cấp ba với hệ số thực T thoả mãn điều kiện: i) T (ei ), ei  với i = 1, 2, 3; ii) Ba véc tơ T (ei ) có độ dài nhau; iii) thành phần toạ độ T (ei ) không âm 1) Chứng minh ma trận A có dạng 0 a a  a a  ( a  0)   a a 0   2) Hãy tìm điều kiện thành phần toạ độ x, y, z véc tơ u để T(u) trực giao với u Khi chứng minh u tạo với véc tơ riêng ứng với trị riêng đơn A góc không đổi Giải 1) Vì T phép biến đổi tuyến tính đối xứng sở tắc nên ma trận T sở có dạng: b a c  A   a d e  c e f    Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Vì T (ei ), ei  (i  1, 2, 3) nên ta có Aei , ei  (i  1, 2, 3) Ae1 , e1   b =0 , Ae2 , e2   d =0 Ae3 , e3   f  Theo (ii), ta có a  c  a  e2  c  e2  a  c  e2 Theo (iii) ta có: a  c  e Vậy ma trận T có dạng: 0 a a A   a a  (a  0) a a 0    a a  x   a ( y  z )     2) Giả sử u ( x, y, z ) , ta có T (u )  Au   a a   y    a ( x  z )   a a  z   a ( x  y )       T (u )  u  T (u), u   ax( y  z )  ay ( x  z )  az ( x  y )   xy  yz  zx  Đa thức đặc trưng ma trận A có dạng:  a A  I   a a  a   a a 0   a a  a a a a  a a  a a 0    (  a )  a (  a )  a ( a   )   (  a )(  a  2a )   (  a) (  2a )    a     2a   2a nghiệm đơn đa thức đặc trưng Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   2a nghiệm hệ:  2ax1  ax2  ax3    ax1  ax2  ax3   x1  x2  x3  ax  ax  2ax   Nghiệm riêng hệ v(1, 1, 1) Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Góc u , v thoả mãn: cos(u , v )    u, v   u v x yz x2  y2  z2  x yz ( x  y  z )2 x yz  x yz 3 ( xy  yz  zx   ( x  y  z )  x  y  z ) Vậy góc u v không đổi Ví dụ 6: Cho p phép chiếu E , tính chất sau tương đương: i) p phép chiếu trực giao ii) ( x, y )  E ,  p ( x), y    x, p ( y )  Giải: (i)  (ii) Giả sử p phép chiếu trực giao nghĩa p  p  p Ker ( p )  (Im( p ))  Giả sử ( x, y )  E , ta có:  p( x ), y   p( x), y  p( y )    p( x), p( y )   p( x ), p( y )  (vì p( x )  Im( p) y  p( y )  ker( p) ) Tương tự:  x, p( y )   x  p( x), p( y )    p( x), p( y )   p( x), p( y ) ,  x, p( y )   p( x), y  đó: (ii )  (i) Giả sử ( x, y )  E ,  x, p ( y )   p ( x ), y  Khi với ( x, y)  Ker ( p)  Im( p), ta có:  x, y    x, p( y )   p( x), y    0, y   Vậy p phép chiếu trực giao III Bài tập tự giải Bài 1: Trong không gian véc tơ Euclide  , xét phép biến đổi tuyến tính  3 xác định bởi:  ( x1 , x2 , x3 )  ( 1 1 1 1 x2  x3 , x1  x2  x3 ,  x1  x2  x3 ) 2 2 2 2 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Chứng minh  phép biến đổi trực giao Tìm ma trận  sở tắc 3 chéo hoá ma trận Bài 2: Giả sử {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } sở trực chuẩn không gian véc tơ Euclide E Chứng minh A phép biến đổi tuyến tính trực giao E nếu: Ae1  e1 , Ae2  e2 , Ae3  e3 cos  e4 sin  , Ae4  e3 sin   e4 cos  , Ae5  e5 cos   e6 sin  , Ae6  e5 sin   e6 cos  Bài 3: Cho không gian véc tơ Euclide ba chiều E với sở trực chuẩn {e1 , e2 , e3} Xét phép biến đổi tuyến tính f thoả mãn điều kiện:  1 1 e1  e2  e3  f (e1 )  3   1 1 e1  e2  e3  f (e2 )  3   e1   e2   e3  f (e3 )    Tìm  ,  ,  để f phép biến đổi trực giao Bài 4: Cho  tự đồng cấu không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều E Chứng minh tương đương mệnh đề sau: i)  phép chiếu trực giao ii)      Ker ( )  Im( ) iii)      v   (v)   (v) với  v  E iv) v   (v)  Im( ), v  E Bài 5: Chứng minh phép biến đổi tuyến tính f :    , xác định biểu thức: f ( x, y , z )  ( x cos  y sin  , x sin   y cos , z ) phép biến đổi trực giao Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục ... x Vậy f phép biến đổi trực giao Ví dụ 4: Chứng minh phép biến đổi trực giao  phép đồng phép đối xứng tâm O phép đối xứng trục phép quay Chỉ phép biến đổi trực giao  tích nhiều hai phép đối... tơ Euclide Nhận xét 4. 12: Nếu p phép chiếu trực giao lên F ta có p2 = p với x  F Định nghĩa 4. 13: Phép biến đổi tuyến tính  không gian véc tơ Euclide thực E phép biến đổi đối xứng   ( x),... ,  1     phép biến đổi trực giao tương ứng phép đối xứng tâm phép đối xứng qua trục Oy +) Với trường hợp khác phép biến đổi trực giao tương ứng với ma  cos   sin    phép quay tâm