http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Bài giảng số PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO I Tóm lược lý thuyết Định nghĩa 4.1: Ánh xạ tuyến tính : E F không gian véc tơ Euclide E F gọi trực giao bảo tồn tích vô hướng, nghĩa là: ( x), ( y ) x, y với x, y E Tính chất 4.2: Một ánh xạ tuyến tính : E F từ không gian véc tơ Euclide thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F ánh xạ tuyến tính trực giao ( x) x , x E Tính chất 4.3: Một ánh xạ tuyến tính : E F từ không gian véc tơ Euclide thực E vào không gian véc tơ Euclide thực F ánh xạ tuyến tính trực giao ảnh sở trực chuẩn E qua ánh xạ tuyến tính sơ trực chuẩn F Tính chất 4.4: Ánh xạ tuyến tính trực giao : E F đơn cấu Tính chất 4.5: Tích phép biến đổi trực giao phép biến đổi trực giao Định nghĩa 4.6: Một phép biến đổi tuyến tính không gian véc tơ Euclide thực E gọi phép biến đổi trực giao ( x), ( y ) x, y với x, y E Nhận xét 4.7: a) Một phép biến đổi tuyến tính không gian véc tơ Euclide thực E phép biến đổi trực giao ( x) x , x E b) Một phép biến đổi tuyến tính không gian véc tơ Euclide thực E phép biến đổi trực giao ảnh sở trực chuẩn E qua phép biến đổi sở trực chuẩn E Tính chất 4.8: Mọi phép biến đổi trực giao đẳng cấu (song ánh tuyến tính) Tính chất 4.9: Nếu A ma trận phép biến đổi trực giao sở trực chuẩn E A ma trận trực giao Tính chất 4.10: Tập phép biến đổi trực giao không gian véc tơ Euclide E làm thành nhóm gọi nhóm biến đổi trực giao E Định nghĩa 4.11: Cho F không gian không gian véc tơ Euclide E Phép biến đổi tuyến tính p E gọi phép chiếu trực giao lên không gian F dọc F Im p = F ker p F Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Nhận xét 4.12: Nếu p phép chiếu trực giao lên F ta có p2 = p với x F Định nghĩa 4.13: Phép biến đổi tuyến tính không gian véc tơ Euclide thực E phép biến đổi đối xứng ( x), y x, ( y ) , x, y E Tính chất 4.14: Ma trận phép biến đổi đối xứng E sở trực chuẩn ma trận đối xứng Tính chất 4.15: Nếu , hai giá trị riêng phân biệt phép biến đổi đối xứng E giá trị riêng tương ứng , trực giao với Tính chất 4.16: Mỗi phép biến đổi đối xứng không gian véc tơ Euclide thực E có véc tơ riêng II Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: 5 1 4 Cho : ánh xạ xác định : , 1 5 1 Hỏi ánh xạ có phép biến đổi trực giao không? Tìm ma trận sở chuẩn tắc Hãy mô tả dạng hình học ánh xạ Giải: Gọi sở chuẩn tắc {e1, e2 }, ta có: 5 8 5 (e1 ) (e2 ), 8 (e1 ) (e2 ) Theo giả thiết ta có: 1 1 5 (e1 ) (e2 ) e1 5e2 8 (e1 ) (e2 ) 4e1 7e2 Giải hệ phương trình ta có: 12 (e1 ) 13 e1 13 e2 (e ) 12 e e 13 13 Vậy ma trận sở trực chuẩn {e1, e2} có dạng: 13 A 12 13 12 13 13 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Dễ thấy véc tơ cột A tạo thành sở trực chuẩn nên A ma trận trực giao Vậy phép biến đổi trực giao Ví dụ 2: Cho E không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều Giả sử a E véc tơ đơn vị Xét ánh xạ : E E xác định ( x) x a, x a 1) Chứng minh phép biến đổi trực giao 2) Chứng minh Id E 3) Thử lại (a) a ( x ) x với x a v E : v, a 0 4) Hãy tìm ma trận E = a ( 1 , , ) với tích vô 3 hướng chuẩn tắc Giải 1) Dễ thấy phép biến đổi tuyến tính với x, y E , , , ta có: ( x y ) x y a, x y a x y 2 a, x a a, y a ( x a, x a ) ( y a, y a ( x ) ( y ) Với x, y E , xét tích vô hướng: ( x), ( y ) x a, x a, y a, y a x, y a , y x, a a, x a, y a, x a, y a, a Vì a véc tơ đơn vị nên a, a 1, ta có: ( x), ( y ) x, y a, x a, y a, x a, y x, y Vậy phép biến đổi trực giao 2) Với x E , ta có: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide ( x ) ( ( x)) ( x ) a, ( x ) a x a, x a a, x a, x a a x a, x a a, x a a, x a, a a x a , x a a, x a x id E ( x ) Vậy Id E 3) (a) a a, a a a 2a a Với x a ta có: ( x) x a, x a x (Vì = 0) 4) Khi E , ta xét sở trực chuẩn {e1, e2, e3} E Ta có: (e1 ) e1 a, e1 a (1, 0, 0) 1 1 2 ( , , )( , , ) 3 `3 3 3 2 e1 e2 e3 3 2 2 Tương tự, ta có: (e2 ) e1 e2 e3 (e3 ) e1 e2 e3 3 3 3 Vậy ma trận phép biến đổi trực giao có dạng: A 3 2 2 3 Ví dụ 3: Cho phép biến đổi tuyến tính f xác định bởi: f ( x ) 1e1 2e2 3e3 4e4 , x 1e1 2e2 3e3 4e4 véc tơ tuỳ ý e1 , e2 , e3 , e4 sở chuẩn tắc , f có phép biến đổi trực giao không? Giải: Xét độ dài véc tơ f ( x ), ta có: f ( x) f ( x ), f ( x) 1e1 2e2 3e3 4e4 , 1e1 2 e2 3e3 4e4 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide = 12 22 32 42 x f ( x) x Vậy f phép biến đổi trực giao Ví dụ 4: Chứng minh phép biến đổi trực giao phép đồng phép đối xứng tâm O phép đối xứng trục phép quay Chỉ phép biến đổi trực giao tích nhiều hai phép đối xứng trục Giải: Xét phép biến đổi tuyến tính , f : , xác định f(x, y) = (ax +by, cx +dy) (với a, b, c, d số thực) Khi ma trận f sở chuẩn tắc {e1, e2 } có dạng: a b A c d phép biến đổi f trực giao A ma trận trực giao, tức là: ab cd 2 a c b d (I) Đặt: a cos , c sin b cos , d sin , hệ (I) tương đương với cos cos sin sin cos( ) k k 2 Với k 2n 1, ta có cos sin , sin cos Khi ma trận A có dạng cos sin A sin cos Với k 2n, ta có cos sin , sin cos Khi ma trận A có dạng: cos A sin sin cos Biện luận: 1 0 1 , phép biến +) Nếu k 2 , ta có A A 1 0 1 đổi trực giao tương ứng phép đồng phép đối xứng qua trục Ox Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 1 1 +) Nếu k 2 , ta có A A , 1 phép biến đổi trực giao tương ứng phép đối xứng tâm phép đối xứng qua trục Oy +) Với trường hợp khác phép biến đổi trực giao tương ứng với ma cos sin phép quay tâm O góc quay , phép biến đổi trực trận A sin cos cos sin cos sin giao với ma trận tương ứng A = sin cos 1 sin cos tích phép đối xứng qua trục Ox phép quay tâm O góc quay Ví dụ 5: Trong không gian véc tơ Euclide 3 với sở tắc e1 , e2 , e3 , cho phép biến đổi tuyến tính đối xứng T : 3 , kí hiệu T (u ) Au, A ma trận vuông cấp ba với hệ số thực T thoả mãn điều kiện: i) T (ei ), ei với i = 1, 2, 3; ii) Ba véc tơ T (ei ) có độ dài nhau; iii) thành phần toạ độ T (ei ) không âm 1) Chứng minh ma trận A có dạng 0 a a a a ( a 0) a a 0 2) Hãy tìm điều kiện thành phần toạ độ x, y, z véc tơ u để T(u) trực giao với u Khi chứng minh u tạo với véc tơ riêng ứng với trị riêng đơn A góc không đổi Giải 1) Vì T phép biến đổi tuyến tính đối xứng sở tắc nên ma trận T sở có dạng: b a c A a d e c e f Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Vì T (ei ), ei (i 1, 2, 3) nên ta có Aei , ei (i 1, 2, 3) Ae1 , e1 b =0 , Ae2 , e2 d =0 Ae3 , e3 f Theo (ii), ta có a c a e2 c e2 a c e2 Theo (iii) ta có: a c e Vậy ma trận T có dạng: 0 a a A a a (a 0) a a 0 a a x a ( y z ) 2) Giả sử u ( x, y, z ) , ta có T (u ) Au a a y a ( x z ) a a z a ( x y ) T (u ) u T (u), u ax( y z ) ay ( x z ) az ( x y ) xy yz zx Đa thức đặc trưng ma trận A có dạng: a A I a a a a a 0 a a a a a a a a a a 0 ( a ) a ( a ) a ( a ) ( a )( a 2a ) ( a) ( 2a ) a 2a 2a nghiệm đơn đa thức đặc trưng Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 2a nghiệm hệ: 2ax1 ax2 ax3 ax1 ax2 ax3 x1 x2 x3 ax ax 2ax Nghiệm riêng hệ v(1, 1, 1) Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Góc u , v thoả mãn: cos(u , v ) u, v u v x yz x2 y2 z2 x yz ( x y z )2 x yz x yz 3 ( xy yz zx ( x y z ) x y z ) Vậy góc u v không đổi Ví dụ 6: Cho p phép chiếu E , tính chất sau tương đương: i) p phép chiếu trực giao ii) ( x, y ) E , p ( x), y x, p ( y ) Giải: (i) (ii) Giả sử p phép chiếu trực giao nghĩa p p p Ker ( p ) (Im( p )) Giả sử ( x, y ) E , ta có: p( x ), y p( x), y p( y ) p( x), p( y ) p( x ), p( y ) (vì p( x ) Im( p) y p( y ) ker( p) ) Tương tự: x, p( y ) x p( x), p( y ) p( x), p( y ) p( x), p( y ) , x, p( y ) p( x), y đó: (ii ) (i) Giả sử ( x, y ) E , x, p ( y ) p ( x ), y Khi với ( x, y) Ker ( p) Im( p), ta có: x, y x, p( y ) p( x), y 0, y Vậy p phép chiếu trực giao III Bài tập tự giải Bài 1: Trong không gian véc tơ Euclide , xét phép biến đổi tuyến tính 3 xác định bởi: ( x1 , x2 , x3 ) ( 1 1 1 1 x2 x3 , x1 x2 x3 , x1 x2 x3 ) 2 2 2 2 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Chứng minh phép biến đổi trực giao Tìm ma trận sở tắc 3 chéo hoá ma trận Bài 2: Giả sử {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } sở trực chuẩn không gian véc tơ Euclide E Chứng minh A phép biến đổi tuyến tính trực giao E nếu: Ae1 e1 , Ae2 e2 , Ae3 e3 cos e4 sin , Ae4 e3 sin e4 cos , Ae5 e5 cos e6 sin , Ae6 e5 sin e6 cos Bài 3: Cho không gian véc tơ Euclide ba chiều E với sở trực chuẩn {e1 , e2 , e3} Xét phép biến đổi tuyến tính f thoả mãn điều kiện: 1 1 e1 e2 e3 f (e1 ) 3 1 1 e1 e2 e3 f (e2 ) 3 e1 e2 e3 f (e3 ) Tìm , , để f phép biến đổi trực giao Bài 4: Cho tự đồng cấu không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều E Chứng minh tương đương mệnh đề sau: i) phép chiếu trực giao ii) Ker ( ) Im( ) iii) v (v) (v) với v E iv) v (v) Im( ), v E Bài 5: Chứng minh phép biến đổi tuyến tính f : , xác định biểu thức: f ( x, y , z ) ( x cos y sin , x sin y cos , z ) phép biến đổi trực giao Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục ... x Vậy f phép biến đổi trực giao Ví dụ 4: Chứng minh phép biến đổi trực giao phép đồng phép đối xứng tâm O phép đối xứng trục phép quay Chỉ phép biến đổi trực giao tích nhiều hai phép đối... tơ Euclide Nhận xét 4. 12: Nếu p phép chiếu trực giao lên F ta có p2 = p với x F Định nghĩa 4. 13: Phép biến đổi tuyến tính không gian véc tơ Euclide thực E phép biến đổi đối xứng ( x),... , 1 phép biến đổi trực giao tương ứng phép đối xứng tâm phép đối xứng qua trục Oy +) Với trường hợp khác phép biến đổi trực giao tương ứng với ma cos sin phép quay tâm