PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x∈X với duy nhất một phần tử y = f(x)∈Y. Ta đã gặp những ánh xạ đặc biệt. Trong Hình học sơ cấp: phép chiếu, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm, phép vị tự. Trong Giải tích: phép lấy đạo hàm, phép lấy tích phân xác định... Những ánh xạ này đều có một tính chất chung, đó là tính tuyến tính.

Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH _ 7.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Ánh xạ f từ tập X vào tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x∈X với phần tử y = f(x)∈Y Ta gặp ánh xạ đặc biệt Trong Hình học sơ cấp: phép chiếu, phép quay, phép đối xứng trục phép đối xứng tâm, phép vị tự Trong Giải tích: phép lấy đạo hàm, phép lấy tích phân xác định Những ánh xạ có tính chất chung, tính tuyến tính Định nghĩa Một ánh xạ T từ không gian vectơ V vào không gian vectơ W gọi phép biến đổi tuyến tính với v, w∈V với vô hướng x: (a) T(v + w) = T(v) + T(w) (b) T(xv)= xT(v) Chú ý Hai điều kiện (a) (b) tương đương với điều kiện (gọi tính tuyến tính): (c) T(xv + yw) = xT(v) + yT(w) với v, w∈V với vô hướng x y Thật vậy, T thỏa hai điều kiện (a) (b), T(xv + yw) = T(xv) + T(yw) = xT(v) + yT(w) Ngược lại, T thỏa hai điều kiện (c) T(v + w) = T(v) + T(w) (x = y = 1) T(xv)= xT(v) (y = 0) Quy ước Trong giảng này, ánh xạ từ không gian vectơ V vào không gian vectơ W ký hiệu T:V→W Khi ký hiệu mũi tên dùng ta hiểu V W khơng gian vectơ Tính chất 7.1.1 Nếu T phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ V vào không gian vectơ W, (i) T(0V) = 0W (trong 0V 0W vectơ-không V W tương ứng) (ii) T(-v) = -T(v) v∈V (iii) Nếu v1, , phần tử V x1, , xn vơ hướng, T(x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn) = x1T(v1) + x2T(v2) + ⋅⋅⋅ + xnT(vn) Chứng minh Từ điều kiện T(xv)= xT(v) ta suy (i) (khi cho x = 0) (ii) (khi cho x = -1) Khẳng định (iii) dễ dàng chứng minh phép quy nạp tốn học ☺ Những ví dụ phép biến đổi (hầu hết tuyến tính) Ví dụ phép biến đổi R2 1) Cho T ánh xạ xác định T(v) = 3v với v∈R2 Từ T(xv + yw) = 3(xv + yw) = x(3v) + y(3w) = xT(v) + yT(w) suy T phép biến đổi tuyến tính Ta xem T phép dãn vectơ lần 2) Xét ánh xạ T xác định T(v) = x1e1 với v = (x1, x2)∈R2 Như T(v) = (x1, 0) Nếu w = (y1, y2),  xx + yy1  xv + yw =    xx + yy  nên T(xv + yw) = (xx1 + yy1)e1 = x(x1e1) + y(y1e1) = xT(v) + yT(w) Như T phép biến đổi tuyến tính Ta xem T phép chiếu lên trục Ox 3) Cho T ánh xạ xác định T(v) = (x1, -x2) với v = (x1, x2)∈R2 Từ  xx + yy1  T(xv + yw) =   − ( xx2 + yy ) x  y  = x   + y   = xT(v) + yT(w) − x  − y  suy T phép biến đổi tuyến tính Ta xem T phép lấy đối xứng vectơ qua trục Ox 4) Ánh xạ T xác định T(v) = (-x2, x1) tuyến tính, − ( xx2 + yy ) T(xv + yw) =    xx1 + yy1  − x  − y  = x   + y   = xT(v) + yT(w)  x1   y1  Ta xem T phép quay vectơ R2 góc 900 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ 5) Xét ánh xạ T xác định ( T(v) = x12 + x 22 1/ ) với v = (x1, x2)∈R2 Vì 1/ T(xv) = (x x12 + x x 22 ) = |x|T(v) nên xT(v) ≠ T(xv) x < v ≠ Do đó, T khơng phải phép biến đổi tuyến tính Ví dụ phép biến đổi từ Rn vào Rm 6) Ánh xạ T : R2 → R1 xác định T(v) = x1 + x2 với v = (x1, x2)∈R2, phép biến đổi tuyến tính T(xv + yw) = (xx1 + yy1) + (xx2 + yy2) = x(x1 + x2) + y(y1 + y2) = xT(v) + yT(w) 7) Ánh xạ T : R2 → R3 xác định T(v) = (x2, x1, x1 + x2) với v = (x1, x2)∈R2, phép biến đổi tuyến tính tuyến tính T(xv) = (xx2, xx1, xx1 + xx2) = xT(v) T(v + w) = (x2 + y2, x1 + y1, x1 + y1 + x2 + y2) = (x2, x1, x1 + x2) + (y2, y1, y1 + y2) = T(v) + T(w) Chú ý ta cho ma trận 0 1 A = 1 0 1 1 v∈R2  x2  Av =  x1  =T(v)  x1 + x  Nói chung, cho A ma trận m×n, ta định nghĩa phép biến đổi tuyến tính T từ Rn vào Rm sau T(v) = Av v∈Rn Ánh xạ T tuyến tính T(xv + yw) = A(xv + yw) = xAv + yAw = xT(v) + yT(w) Như ta xem ma trận A cỡ m×n ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm Ví dụ phép biến đổi từ V vào W 8) Nếu V không gian vectơ, ánh xạ I xác định I (v) = v v∈V, gọi ánh xạ đồng Rõ ràng I phép biến đổi tuyến tính từ V vào I (xv + yw) = xv + yw = xI (v) + yI (w) 9) Ánh xạ T từ C[a, b] (không gian vectơ gồm tất hàm liên tục [a, b]) vào R1 xác định b T(f) = ∫ f (t )dt a Nếu f g vectơ C[a, b], b T(xf + yg) = ∫ ( xf + yg )(t )dt a b b a a = x ∫ f (t )dt + y ∫ g (t )dt = xT(f ) + yT(g) Vì vậy, T phép biến đổi tuyến tính 10) Cho D ánh xạ từ C1[a, b] (khơng gian vectơ gồm tất hàm có đạo hàm hàm liên tục [a, b]) vào C[a, b] xác định D(f) = f ' (đạo hàm f) D phép biến đổi tuyến tính D(xf + yg) = xf ' + yg' = xD(f) + yD(g) Ảnh Hạt nhân Với A ma trận m×n, ta xác định phép biến đổi tuyến tính T : Rn → Rm T(v) = Av v∈Rn Ta có C(A) = {Av | v∈Rn} = {T(v) | v∈Rn} không gian Rm, N(A) = {v∈Rn | Av = 0} = {v∈Rn | T(v) = 0} không gian Rn, số chiều C(A) + số chiều N(A) = r(A) + n - r(A) = n Nhưng T : V → W phép biến đổi tuyến tính, mà khơng cho ma trận, mở rộng khái niệm C(A) N(A) ta có khái niệm "ảnh" "hạt nhân" Định nghĩa Cho T : V → W phép biến đổi tuyến tính Ảnh T tập {T(v) | v∈V} Hạt nhân T tập {v∈V | T(v) = 0W} Định lý 7.1.2 Nếu T : V → W phép biến đổi tuyến tính, (i) Hạt nhân T không gian V (ii) Ảnh T không gian W (iii) (số chiều hạt nhân T) + (số chiều ảnh T) = số chiều V Chứng minh Với v w thuộc hạt nhân T, với vô hướng x y, T(xv + yw) = xT(v) + yT(w) = x0W + y0W = 0W, nên xv + yw thuộc hạt nhân Vì (i) Với u1 u2 thuộc ảnh T, tồn v1 v2 thuộc V cho T(v1) = u1, T(v2) = u2 Đối với vô hướng x y T(xv1 + yv2) = xT(v1) + yT(v2) = xu1 + yu2, nên xu1 + yu2 thuộc ảnh Vì (ii) Ta thừa nhận (iii) ☺ Ví dụ 11 Cho T phép biến đổi tuyến tính từ R2 → R2 xác định x  T(v) =   với v = 0  x1  x   2 Một vectơ v thuộc nhân T x1 = Như hạt nhân T {x2e2 = (0, x2) | x2 ∈R} Đây không gian R2 sinh e2 Do T(v) = x1e1 nên ảnh T không gian R2 sinh e1 Ví dụ 12 Cho T phép biến đổi tuyến tính từ R3 → R2 xác định  x + x2  T(v) =   với v =  x + x3   x1   x  ∈R3  2  x3  Nếu v thuộc nhân T x1 + x2 = x2 + x3 = Cho biến tự x3 = a, ta x2 = -a, x1 = a hạt nhân T khơng gian R3 gồm tất vectơ có dạng (a, -a, a) Với (b, c)∈R2 v = (b, 0, c) ∈R3, ta có b  T(v) =   c  Do đó, ảnh T R2 Ví dụ 13 Cho D : P3 → P3 ánh xạ đạo hàm xác định D(p(x)) = p'(x) Hạt nhân D gồm tất đa thức có dạng p(x) = c (đa thức hằng) Như hạt nhân P0 Đạo hàm đa thức P3 đa thức có bậc bé Như vậy, ảnh D P2 7.2 MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Ta thấy có nhiều phép biến đổi tuyến tính khác Vấn đề đặt liệu biểu diễn chúng dạng chung? Ví dụ mục trước gợi ý cho ta biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dạng phép nhân ma trận với vectơ Trước hết, xét phép biến đổi tuyến tính T : Rn→ Rm Ta ma trận A cỡ m×n cho T(v) = Av Đối với j = 1, , n ta xác định vectơ aj = T(ej) = (a1j, a2j, , amj) Cho A = (aij) = [a1 a2 an] Với vectơ v = (x1, x2, , xn) ∈ Rn v = x1e1 + x2e2 + ⋅⋅⋅ + xnen nên T(v) = x1T(e1) + x2T(e2) + ⋅⋅⋅ + xnT(en) = x1a1 + x2a2 + ⋅⋅⋅ + xnan = Av (xem 1.2) A gọi ma trận tắc T Ví dụ Cho phép biến đổi tuyến tính T : R3 → R2 xác định  x + x2  T(v) =   với v =  x + x3   x1  x   2  x3  Để tìm ma trận tắc T ta phải xác định T(e1), T(e2), T(e3) 1  T(e1) = T((1, 0, 0)) =   0 1 T(e2) = T((0, 1, 0)) =   1 0 T(e3) = T((0, 0, 1)) =   1  Ta lấy vectơ làm cột ma trận tắc 1 0 A=   0 1 Để kiểm tra kết quả, tính Av 1 0 Av =   0 1  x1   x  =  x1 + x2    x + x  3  x3   Ví dụ Cho T : R2 → R2 phép biến đổi tuyến tính mà quay vectơ góc θ theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Trong hình vẽ ta thấy e1 chuyển thành vectơ (cosθ, sinθ), e2 chuyển thành vectơ (-sinθ, cosθ) Ma trận tắc A T có vectơ cột thứ (cosθ, sinθ) vectơ cột thứ hai (-sinθ, cosθ) cos θ A=   sin θ − sin θ  cos θ  Nếu v vectơ R2, để quay v ngược chiều kim đồng hồ góc θ cần nhân với A Bây ta xét trường hợp tổng quát T : V → W phép biến đổi tuyến tính, V W hai khơng gian có chiều tương ứng n m Ta dùng ma trận để biểu diễn T Để làm việc này, ta cho E = {v1, v2, , vn} sở V F = {w1, w2, , wm} sở W Nếu v vectơ V, v biểu diễn qua vectơ sở E: v = x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn T(v) vectơ W, T(v) biểu diễn qua vectơ sở F: T(v) = y1w1 + y2w2 + ⋅⋅⋅ + ymwm Ký hiệu [v]E = (x1, x2, , xn), gọi tọa độ v theo sở E Ký hiệu [T(v)]F = (y1, y2, , ym), gọi tọa độ T(v) theo sở F Ta tìm mối quan hệ [v]E [T(v)]F Đối với j = 1, , n vectơ T(vj) biểu diễn theo vectơ sở F sau T(vj) = a1jw1 + a2jw2 + ⋅⋅⋅ + amjwm Ký hiệu aj = (a1j, a2j, , amj), rõ ràng aj = [T(vj)]F (tọa độ T(vj) theo sở F) Cho A = (aij) = [a1 a2 an] Nếu v = x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn T(v) = x1T(v1) + x2T(v2) + ⋅⋅⋅ + xnT(vn) = x1(a11w1 + a21w2 + ⋅⋅⋅ + am1wm) + x2(a12w1 + a22w2 + ⋅⋅⋅ + am2wm) + xn(a1nw1 + a2nw2 + ⋅⋅⋅ + amnwm) = (a11x1w1 + a21x1w2 + ⋅⋅⋅ + am1x1wm) + (a12x2w1 + a22x2w2 + ⋅⋅⋅ + am2x2wm) + (a1nxnw1 + a2nxnw2 + ⋅⋅⋅ + amnxnwm) = (a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn)w1 + (a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn)w2 + (am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn)wm So sánh biểu thức vừa tính T(v) với T(v) = y1w1 + y2w2 + ⋅⋅⋅ + ymwm ta có yj = aj1x1 + aj2x2 + ⋅⋅⋅ + ajnxn = (hàng j A)⋅⋅[v]E Như vậy, theo quy tắc nhân ma trận ta có [T(v)]F = (y1, y2, , ym) = A[v]E Đây mối quan hệ [v]E [T(v)]F Vậy là, ta thiết lập định lý sau Định lý 7.2.1 Nếu E = {v1, v2, , vn} F = {w1, w2, , wm} sở khơng gian vectơ V W , ứng với phép biến đổi tuyến tính T : V → W có ma trận A cho [T(v)]F = A[v]E v∈V A ma trận T theo sở E F, có cột thứ j aj = [T(vj)]F j = 1, 2, , n Định lý minh họa sơ đồ sau Nếu A ma trận T theo sở E F x = [v]E (tọa độ v theo sở E) y = [w]F (tọa độ w theo sở F) T chuyển v thành w A chuyển x thành y Ví dụ Cho T : R3 → R2 phép biến đổi tuyến tính xác định T(v) = x1w1 + (x2 + x3)w2 v = (x1, x2, x3)∈R , 1 − 1 w1 =   w2 =   1 1 Hãy tìm ma trận A T theo sở {e1, e2, e3} {w1, w2} Giải T(e1) = 1w1 + 0w2 T(e2) = 0w1 + 1w2 T(e3) = 0w1 + 1w2 Cột j A tọa độ T(ej) theo sở {w1, w2} Như 1 0 A=   ☺ 0 1  Ví dụ Cho T : R2 → R2 phép biến đổi tuyến tính xác định T(xw1 + yw2) = (x + y)w1 + 2yw2 {w1, w2} sở Ví dụ Hãy tìm ma trận A biểu diễn T theo sở {w1, w2} Giải T(e1) = 1w1 + 0w2 T(e2) = 1w1 + 2w2 Như 1  A=   0 2 ☺ Ví dụ Cho phép biến đổi tuyến tính D : P2 → P1, xác định D(p) = p' (đạo hàm p) Cho {x2, x, 1} {x, 1} sở P2 P1 tương ứng Hãy tìm ma trận biểu diễn D Giải D(x2) = 2x + 0⋅1 D(x) = 0x + 1⋅1 D(1) = 0x + 0⋅1 Như ma trận D theo sở {x , x, 1} {x, 1}  0 A=   0  Nếu p(x) = ax2 + bx + c, tọa độ p theo sở {x2, x, 1} (a, b, c) Để tìm tọa độ vectơ D(p) sở {x, 1}, ta cần nhân a   0    a  0  b  =  b    c      Như vậy, D(ax2 + bx + c) = 2ax + b ☺ Nhận xét 1) Ma trận tắc A T : Rn → Rm ma trận theo sở tắc Ngồi ra, với v∈Rn, [v]Rn = v, [T(v)]Rm = T(v), nên [T(v)]Rm = A[v]Rn T(v) = Av 2) Mặc dù có nhiều phép biến đổi tuyến tính khác từ không gian hữu hạn chiều vào không gian hữu hạn chiều khác, chúng giống chỗ: biểu diễn dạng ma trận nhân với vectơ NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN Khái niệm phép biến đổi tuyến tính Ảnh hạt nhân phép biến đổi tuyến tính Ma trận biểu diễn phép biến đổi tuyến tính  ... CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Ta thấy có nhiều phép biến đổi tuyến tính khác Vấn đề đặt liệu biểu diễn chúng dạng chung? Ví dụ mục trước gợi ý cho ta biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dạng phép. .. NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN Khái niệm phép biến đổi tuyến tính Ảnh hạt nhân phép biến đổi tuyến tính Ma trận biểu diễn phép biến đổi tuyến tính ... v ≠ Do đó, T khơng phải phép biến đổi tuyến tính Ví dụ phép biến đổi từ Rn vào Rm 6) Ánh xạ T : R2 → R1 xác định T(v) = x1 + x2 với v = (x1, x2)∈R2, phép biến đổi tuyến tính T(xv + yw) = (xx1