Trong mục này ta định nghĩa những phép toán số học với ma trận và xét một số tính chất đại số của chúng. Ma trận là một trong những công cụ mạnh nhất trong toán học. Để sử dụng ma trận có hiệu quả, ta phải thành thạo số học ma trận.
Chương MA TRẬN Trong mục ta định nghĩa phép toán số học với ma trận xét số tính chất đại số chúng Ma trận công cụ mạnh toán học Để sử dụng ma trận có hiệu quả, ta phải thành thạo số học ma trận 2.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN ĐỊNH NGHĨA Một bảng số gồm m⋅n số thực xếp thành m hàng n cột gọi ma trận m× ×n: a11 a 21 M am1 a12 a 22 M am L a1n L a2 n M L a mn Dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho ma trận Ta nói aij phần tử nằm hàng i cột j ma trận Với ma trận A, ta ký hiệu phần tử nằm hàng i cột j (A)ij A(i, j) (ai1 ai2 ain) hàng thứ i, a1 j a j cột thứ j M amj Đôi ta viết tắt ma trận (aij) Ma trận n×n gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử aii (i = 1, , n) lập nên đường chéo Ma trận tam giác ma trận vng có tất phần tử phía đường chéo a11 0 M 0 a12 L a1n a22 L a2 n M O M L ann Ma trận tam giác ma trận vuông có tất phần tử phía đường chéo a11 a 21 M an1 L a22 L M an 0 O M L ann Ma trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử đường chéo a11 0 M 0 L a22 L O M L ann M Ma trận đơn vị I ma trận đường chéo có tất phần tử đường chéo 1 0 I= M 0 M L 0 L 0 O M L 1 Ma trận-không O ma trận có tất phần tử Cho A = (aij) B = (bij) hai ma trận m×n Ta nói chúng aij = bij với cặp i j Nhận xét Ma trận n×1 vectơ cột 2.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN Phép nhân ma trận với số ĐỊNH NGHĨA Nếu A = (aij) ma trận m×n c số, tích cA ma trận m×n mà phần tử hàng i, cột j caij Ma trận đối A ma trận (-1)A, ký hiệu -A Ví dụ 1 2 2 4 3 4 = 6 0 0 0 Nhận xét Nhân vectơ Rn với vơ hướng nhân ma trận n×1 với số Phép cộng ma trận ĐỊNH NGHĨA Nếu A = (aij) B = (bij) hai ma trận m×n, tổng A + B ma trận m×n mà phần tử hàng i, cột j aij + bij với cặp i j Ví dụ 1 2 2 2 3 4 3 4 + 4 4 = 7 0 9 9 Nhận xét Cộng hai vectơ Rn cộng hai ma trận n×1 Phép nhân ma trận ĐỊNH NGHĨA Giả sử A ma trận m×n, B ma trận n×p Ký hiệu cột B b1, , bp (thuộc Rn) Tích AB ma trận m×p có cột j Abj (thuộc Rm) với j = 1, , p Ví dụ Nếu − 3 A= ,B= 6 − 2 2 1 − 3 3 AB = A2 1 − 2 − ⋅ + ⋅ + ⋅1 − ⋅ (−2) + ⋅ + ⋅ (−3) − − = A = ⋅ + ⋅ + ⋅1 ⋅ (−2) + ⋅ + ⋅ (−3) 20 − 22 − 3 − 2 BA = B 4 Ví dụ 1 B 1 −3 − 14 3 30 B = 12 6 − 14 − − 15 Nếu 3 4 A= ,B= 1 2 1 2 4 5 3 6 khơng thể nhân A với B số cột A khơng số hàng B Trong 1 2 5 3 4 BA = 4 5 = 17 26 15 24 3 6 Ví dụ Nếu 1 2 A= , B = 0 0 0 3 0 1 0 5 AB = BA = 0 0 0 0 0 0 Nhận xét 1) Phần tử nằm hàng i cột j AB (hàng i A) nhân (cột j B) Chẳng hạn * a i1 * * L A cỡ 4×5 * * b1 j b2 j M b5 j * * * = * * B cỡ 5×6 * ( AB )ij * * * * * AB cỡ 4×6 2) (hàng i A) nhân B = hàng i AB 3) Hai ma trận vuông nhân với chúng có cỡ 3) Nói chung AB ≠ BA 4) Nói chung từ AB = O khơng suy A = O B = O Ứng dụng Một công ty sản xuất loại sản phẩm Chi phí sản xuất chia thành phần Bảng thứ nêu chi phí (tính dollar) để có đơn vị sản phẩm Sản phẩm A B C Nguyên liệu thô 0.01 0.30 0.15 Nhân cơng 0.30 0.40 0.25 Chi phí hành 0.10 0.20 0.15 Chi phí Bảng thứ hai nêu sản lượng quý Mùa Hè Thu Đông Xuân A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000 Sản phẩm Công ty muốn trình bày gặp gỡ cổ đơng họ bảng kê khai loại chi phí quý Hai bảng biểu diễn ma trận tương ứng 0.10 0.30 0.15 M = 0.30 0.40 0.25 N = 0.10 0.20 0.15 4000 4500 4500 4000 2000 2600 2400 2200 5800 6200 6000 6000 Lấy hàng M nhân với cột N ta có chi phí ngun liệu thơ mùa hè 1870 dollar Tính 1870 2160 2070 1960 MN = 3450 3940 3810 3580 , 1670 1900 1830 1740 ta suy bảng kê khai loại chi phí q Mùa Hè Thu Đơng Xn Ngun liệu thô 1870 2160 2070 1960 Nhân công 3450 3940 3810 3580 Chi phí Chi phí 1670 1900 1830 1740 hành Những tính chất phép tốn ma trận Định lý 2.2.1 Các khẳng định sau ma trận A, B, C số thực x, y mà phép toán xác định A+B=B+A A + (B + C) = (A + B) + C A+O=A A + (-A) = O x(A + B) = xA + xB (x + y)A = xA + yA (xy)A = x(yA) 1A = A A(BC) = (AB)C 10 A(B + C) = AB + AC 11 (A+B)C = AC + BC 12 AI = A, IA = A 13 AO = O, OA = O Ghi Do tính chất ta bỏ dấu ngoặc viết A + B + C, ABC Điều với tổng tích nhiều ma trận Với A ma trận vuông p số nguyên dương, ta ký hiệu AA⋅⋅⋅A (p lần) Ap 2.3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa Ma trận vuông A gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B cho AB = BA = I Ta gọi B ma trận nghịch đảo A Một ma trận khả nghịch gọi ma trận không suy biến Một ma trận vuông không khả nghịch gọi ma trận suy biến Nếu B C là nghịch đảo A, B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Như vậy, A khả nghịch ma trận nghịch đảo Điều cho phép ta ký hiệu ma trận nghịch đảo A A-1 Ví dụ 2 − 1 A= có A-1 = 3 2 − Tổng quát hơn, ma trận a b c d khả nghịch ad - bc khác không Khi −1 a b d − b c d = ad − bc − c a Ví dụ Một ma trận đường chéo A khả nghịch tất phần tử đường chéo khác không Khi a11 A= O a nn có 1 / a11 A = O / a nn -1 Định lý 2.3.1 Nếu A B hai ma trận n×n khả nghịch, c số khác 0, (AB)-1 = B-1A-1 (cA)-1 = c-1A-1 Chú ý 1) Khi A khả nghịch, Ax = b có nghiệm x = A-1b 2) Giả sử tồn x khác vectơ-không cho Ax = Khi A không khả nghịch 3) Nếu A B ma trận vng, A khả nghịch AB = I BA = I (tức B = A-1) 4) Khi A khả nghịch, ta quy ước A0 = I Ví dụ 1 2 A= khơng khả nghịch Ax = có nghiệm x = (-2, 1) khác (0, 0) 1 2 Tìm A-1 phương pháp Gauss-Jordan Ý tưởng phương pháp Gauss-Jordan giải AA-1 = I để tìm cột A-1 Minh họa ý tưởng Cho A ma trận 3×3 khả nghịch Ký hiệu cột thứ j A-1 xj Ký hiệu cột thứ j I ej AA-1 = A[x1 x2 x3] = [Ax1 Ax2 Ax3] = [e1 e2 e3] = I Để tìm nghịch đảo A ta phải giải ba hệ phương trình Axj = ej (j=1, 2, 3) Các hệ có ma trận mở rộng tương ứng [A ej] (j=1, 2, 3) Khi giải hệ ta làm việc đồng thời với ma trận mở rộng chúng thông qua [A e1 e2 e3] (chính [A I]), thực phép toán hàng để đưa ma trận dạng bậc thang thu gọn Chẳng hạn, tìm nghịch đảo 2 3 A = − 0 − 1 2 0 1 − 0 1 − 0 [A e1 e2 e3]= − 0 → − 0 1 → 1 1 − 0 1 2 0 − 1 − 0 1 →0 1 1 →0 0 −1 − − 0 1 1 − − →0 − 1 − − −1 0 Từ rút Axj = ej (j=1, 2, 3) có nghiệm tương ứng 1 x1 = , x2 = −1 − 4 − 5 , x = Do − − 3 A = − − 3 − -1 Tóm lại, sau phép khử Gauss-Jordan [A I] → [I A-1] − 3 − 3 0 − − 3 − − 3 −1 2.4 PHÉP KHỬ DÙNG MA TRẬN Trong mục ta nhìn nhận trình giải Ax = b theo phép nhân ma trận, thay cho thực phép toán hàng ma trận mở rộng Ta nhân ma trận mở rộng [A b] với dãy ma trận đặc biệt để ma trận bậc thang, ma trận hệ tương đương với Ax = b Định nghĩa Ma trận sơ cấp hay ma trận khử Eij (i ≠j) ma trận nhận từ ma trận I cách thay - l vào vị trí (i, j) I Ma trận hốn vị P ma trận nhận từ ma trận đơn vị I hốn vị hàng I Ví dụ 0 E21 = − 0 nhận từ I thay -2 vào vị trí (2, 1) I 0 1 Ví dụ Có tất sáu ma trận hốn vị 3×3 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 Nhận xét Có n! ma trận hoán vị cấp n Định lý 2.4.1 Nếu A ma trận cho tích sau tồn tại, thì: EijA ma trận nhận từ A trừ hàng i l lần hàng j A PA nhận từ A nhờ phép hoán vị hàng giống phép hoán vị hàng I để có P Ví dụ 0 a11 a12 E21A= − 0 a21 a22 0 1 a31 a32 a13 a11 a23 = a 21 − 2a11 a33 a31 1 0 a11 a12 PA= 0 1 a21 a22 0 0 a31 a32 a12 a 22 − 2a12 a32 a13 a11 a12 a23 = a31 a32 a33 a21 a22 a13 a33 a23 a13 a 23 − 2a13 a33 Ví dụ 2x + 4y - 2z = 4x + 9y - 3z = -2x - 3y + 7z =10 có ma trận mở rộng 2 −2 2 [A b] = − − − 10 −2 2 −2 2 0 E21[A b]= − 0 −3 = 1 0 1 − − 10 − − 10 Đây ma trận mở rộng hệ mà có từ hệ trừ phương trình 2×phương trình −2 2 −2 2 1 0 P[A b]= 0 1 − = − − 10 0 0 − − 10 − Đây ma trận mở rộng hệ mà có từ hệ đổi chỗ hàng hàng với − 2 0 2 − 2 2 4 − 3 = 0 0 1 − − − 1 1 0 2.5 MA TRẬN CHUYỂN VỊ Định nghĩa Cho A ma trận m×n Ma trận chuyển vị A, ký hiệu AT, ma trận có cột thứ j hàng thứ j A (j = 1, , m) Ví dụ 1 Nế u A = AT = 0 4 Nhận xét 1 0 2 0 3 4 Nếu A ma trận m×n, AT ma trận n×m (AT)ij = Aji Tính chất 2.5.1 (AT)T = A (cA)T = cAT (A + B)T = AT + BT (AB)T = BTAT (A-1)T = (AT)-1 Định nghĩa Ma trận A gọi ma trận đối xứng AT= A Ví dụ Hai ma trận đối xứng 1 2 1 2 0 10 Rõ ràng, A ma trận n×n đối xứng (A)ij = (A)ji với i j thuộc {1, , n} Ứng dụng Quan sát hệ thống điện sau điện x3 nút mạch 23 dòng điện y2 nút điện x2 mạch 12 dòng điện y1 điện x1 nút Vectơ x = (x1, x2, x3) biểu thị điện áp nút, hiệu điện hai đầu đoạn mạch biểu thị vec tơ (x1 - x2, x2 - x3) Với ma trận 1 − A= , 0 − 1 ta có x1 1 − x1 − x2 Ax = x2 = 0 − 1 x x2 − x3 3 Vectơ y = (y1, y2) biểu thị dòng điện đoạn mạch (từ nút đến nút 2, từ nút đến nút 3) ATy cho biết tổng dòng điện nút 0 1 A y = − 1 − 1 T y1 y1 y = y − y1 2 − y NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN Khái niệm ma trận Các phép toán ma trận tính chất Ma trận nghịch đảo Phương pháp Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo Ma trận khử, ma trận hoán vị Ma trận chuyển vị ... xét Ma trận n×1 vectơ cột 2.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN Phép nhân ma trận với số ĐỊNH NGHĨA Nếu A = (aij) ma trận m×n c số, tích cA ma trận m×n mà phần tử hàng i, cột j caij Ma trận đối A ma trận. .. thang, ma trận hệ tương đương với Ax = b Định nghĩa Ma trận sơ cấp hay ma trận khử Eij (i ≠j) ma trận nhận từ ma trận I cách thay - l vào vị trí (i, j) I Ma trận hoán vị P ma trận nhận từ ma trận. .. BÀI GIẢNG TUẦN Khái niệm ma trận Các phép tốn ma trận tính chất Ma trận nghịch đảo Phương pháp Gauss-Jordan để tìm ma trận nghịch đảo Ma trận khử, ma trận hoán vị Ma trận chuyển vị