ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỊNH THỨC

Chương ĐỊNH THỨC _ Ta muốn tìm tiêu chuẩn thuận tiện để biết ma trận vuông khả nghịch Xét ma trận a b  A=   c d  Ta thấy   d − b  a b  ad − bc = (ad - bc)I − c a   c d  =  ad − bc      Từ suy ra: Nếu ad - bc ≠ 0, A khả nghịch Ta biết ad - bc định thức cấp (của ma trận A) Ta muốn mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n để tìm tiêu chuẩn khả nghịch cho ma trận n×n 3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ Ơ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC Để mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n bất kỳ, ta nghiên cứu xem định thức cấp xác định tính chất Ký hiệu định thức ma trận A có cỡ 2×2 detA, |A|, det(c1, c2) (cj cột thứ j A) Tính chất 3.1.1 detI = detI = = 1⋅1 - 0⋅0 = 1 Tính chất 3.1.2 Định thức đổi dấu đổi chỗ hai cột det(c1, c2) = a b b = ad - bc, det(c2, c1) = c d d a = bc -ad Suy det(c1, c2) = -det(c2, c1) c Định nghĩa Ta nói hàm số f : Rn→R hàm tuyến tính, với v1, v2 ∈Rn x1, x2 ∈R f(x1v1 + x2v2) = x1f(v1)+ x2f(v2) Tính chất 3.1.3 Định thức hàm tuyến tính cột cố định cột lại Ta xem det(c1, c2) hàm biến, biến thuộc R2 a ' Giả sử c'1 =   , c"1 = b'  a" b" c1 = x1c'1+x2c"1 =   det(x1c'1+x2c"1, c2) =  x1 a '+ x a"  x b'+ x b" ,   x1a '+ x2 a" b = (x1a'+x2a")d - b(x1c'+x2c") x1c'+ x2 c" d = x1(a'd - bc') + x2(a"d - bc") = x1 a' b a" b + x2 = x1det(c'1, c2) + x2det(c"1, c2) c' d c" d Tương tự, det(c1, x1c'2+x2c"2) = x1det(c1, c'2) + x2det(c1, c"2) Nhận xét quan trọng Nếu hàm g: A a g(A) có tính chất trên: g(I) =1 g(c2, c1) = -g(c1, c2) g(x1c'1+x2c"1, c2) = x1g(c'1, c2) + x2g(c"1, c2); g(c1, x1c'2+x2c"2) = x1g(c1, c'2) + x2g(c1, c"2) g(A) ≡ detA với ma trận A cỡ 2×2 Thật vậy, ký hiệu e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) hai cột I, ma trận a b  A=   c d  có biểu diễn hai cột qua e1, e2 c1 = ae1+ce2, c2 = be1+de2 Theo Tính chất g(A) = g(c1, c2) = g(ae1+ce2, be1+de2) = ag(e1, be1+de2) + cg(e2, be1+de2) = a[bg(e1, e1) + dg(e1, e2)]+ c[bg(e2, e1) + dg(e2, e2)] Do Tính chất 1, g(e1, e2) = Do Tính chất 2, đổi chỗ e1 với e1, ta có g(e1, e1) = -g(e1, e1) Suy g(e1, e1) = Tương tự, g(e2, e2) = 0, g(e2, e1) = -g(e1, e2) = -1 Từ ta có g(A) = ad - bc = detA Như Tính chất 1, 2, xác định hoàn toàn định thức cấp Hồn tồn tương tự, ta chứng minh được: Có hàm số từ tập ma trận n×n vào R mà thỏa Tính chất 1, 2, Ta ký hiệu hàm số det Khẳng định quan trọng cho phép tổng quát hóa khái niệm định thức cấp Định nghĩa Hàm số det từ tập ma trận n×n vào R, thỏa mãn Tính chất 1, 2, 3, gọi định thức cấp n Với A ma trận n×n ta gọi detA định thức A Định thức ma trận A ký hiệu |A| det(c1, c2, , cn) với cj cột thứ j A Từ ba tính chất nói ta suy tính chất sau Tính chất 3.1.4 Nếu hai cột A giống nhau, detA = Ví dụ Giả sử det(c1, c2, c3) có c1 = c3 Do Tính chất det(c1, c2, c3) = - det(c3, c2, c1) = - det(c1, c2, c3), nên det(c1, c2, c3) = Tính chất 3.1.5 detA không đổi trừ cột A bội cột khác A Ví dụ Đối với det(c1, c2, c3) ta thay c2 c2 - xc1, Tính chất det(c1, c2 - xc1, c3) = det(c1, c2, c3) - xdet(c1, c1, c3) = det(c1, c2, c3) - x0 = det(c1, c2, c3) Tính chất 3.1.6 Ma trận vng có cột tồn định thức Ví dụ Giả sử det(c1, c2, c3) có c2 = = (0, 0, , 0), det(c1, 0, c3) = det(c1, 00, c3) = 0det(c1, 0, c3) = Tính chất 3.1.7 Nếu A ma trận tam giác detA = tích phần tử đường chéo = a11 a 22 L a nn Ví dụ a11 a12 a 22 0 a13 a 23 = a11a22a33 a33 Tính chất 3.1.8 Ma trận A khả nghịch detA ≠ Tính chất 3.1.9 Nếu A B hai ma trận vuông cấp, det(AB)= detAdetB Tính chất 3.1.10 detAT= detA Ví dụ a b a c = c d b d Nhận xét 1) Tính chất 10 thực chất nhân đơi liệt kê tính chất định thức Mọi tính chất định thức phát biểu với cột phát biểu cho hàng, chẳng hạn như: Định thức đổi dấu hai hàng đổi chỗ Nếu ma trận vng có hàng tồn hai hàng giống định thức Định thức hàm tuyến tính hàng cố định hàng lại 2) Từ Tính chất suy ma trận vng có hai cột (hàng) tỷ lệ, định thức 3) Từ Tính chất suy det(cA) = cndetA (với n cấp A) 4) AA-1=I nên từ Tính chất suy detA-1 = 1/detA Sử dụng tính chất trên, ta biến đổi ma trận vng A để đơn giản hóa việc tính detA Chẳng hạn ta đưa việc tính detA việc tính định thức ma trận tam giác Ví dụ Ta ký hiệu Pαβω ma trận hoán vị nhận xếp hàng 1, 2, ma trận đơn vị 3×3 thành hàng α, β, ω 1   P123 =   P231 =  1    1 P312=  1  1  1      1   1 P213 = P132 =      1  P =   321  1 1      1  Tính định thức ma trận hoán vị Giải Mỗi cách xếp số 1, 2, theo thứ tự có dạng (α, β,ω) hốn vị chúng Có tất 3! hoán vị (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) Trừ hoán vị (1, 2, 3), hốn vị nhận từ hoán vị (1, 2, 3) thực liên tiếp số phép đổi chỗ hai số (1, 2, 3): (1, 2, 3)→(2, 1, 3)→(2, 3, 1) (1, 2, 3)→(1, 3, 2) (1, 2, 3)→(1, 3, 2)→(3, 1, 2) (1, 2, 3)→(2, 1, 3) (1, 2, 3)→(3, 2, 1) Mặt khác, ma trận nhận xếp lại hàng 1, 2, I theo hoán vị tương ứng liệt kê trên, nên theo Tính chất |P123| = |P231|=|P312| = 1, |P132| = |P213|=|P321| = -1 Nói chung, có n! ma trận hốn vị cấp n nửa có định thức 1, nửa lại có định thức -1 Ma trận hốn vị có định thức 1(tương ứng -1) nhận từ I nhờ thực liên tiếp số chẵn (lẻ) phép đổi chỗ hàng Ví dụ Tính định thức + 2a + 2b − + 2c + 2d a b c d x x x x Giải Theo Tính chất Nhận xét 2) −5 Ví dụ a x 2a a b x 2b − b + c x 2c c d x 2d d x x = + = x x Tính định thức D= 3 −3 Giải Đổi chỗ cột với cột 1 D=- −3 Lấy hàng trừ (-3) lần hàng 1, ta có D=-0 0 3 10 Lấy hàng trừ lần hàng 2, ta cã D=-0 0 = -1 3.2 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH ĐỊNH THỨC Ta muốn tìm cơng thức tính trực tiếp detA theo phần tử ma trận A Công thức quan trọng Ta ký hiệu Pαβ ω ma trận hoán vị nhận xếp hàng 1, 2, , n I thành hàng α, β, , ω Ví dụ a 0 a12 a11 a12 a a11 0 a12 a12 + = 11 = 11 + + + a21 a22 a21 a22 a21 a22 a 21 0 a22 a21 0 a 22 detA = = 0 a11a22 + a12a21= (detP12)a11a22 + (detP21)a12a21 1 Ta thấy hoán vị (α, β) 1, tương ứng với số hạng (detPαβ)a1αa2β detA Ví dụ Tương tự Ví dụ a11 a12 a13 detA = a 21 a 22 a23 = a31 a32 a33 a11 a12 + a 22 a33 a13 a 23 + a 21 a31 a11 a12 + a32 a13 a 23 + a 21 a32 + a33 a 22 a31 = (detP123)a11a22a33 + (detP231)a12a23a31 +(detP312)a13a21a32 + (detP132)a11a23a32 + (detP213)a12a21a33 + (detP321)a13a22a31 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31 Ta thấy hoán vị (α, β, ω) 1, 2, tương ứng với số hạng (detPαβω)a1αa2βa3ω detA Nói chung ta có Cơng thức quan trọng Giả sử A ma trận n×n có phần tử aij Với hốn vị (α, β, , ω) 1, 2, , n ta thành lập (detPαβ ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω Ta có detA = tổng tất số hạng dạng (detPαβ ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω =Σ(detPαβ ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω Đối với định thức cấp ta có Quy tắc Sarrus để tìm nhanh số hạng: Viết thêm hai cột vào bên phải ma trận A = (aij) a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Những số hạng a11a22a33, a12a23a31, a13a21a32 tương ứng với "đường chéo xuống", số hạng - a11a23a32, - a12a21a33, - a13a22a31 tương ứng với "đường chéo lên" Công thức phần phụ đại số Định nghĩa Giả sử A ma trận n×n có phần tử aij Bỏ hàng i cột j A, ma trận (n-1)×(n-1), ký hiệu Mij Ta gọi số (-1)i+jdetMij phần phụ đại số aij, ký hiệu Cij Ví dụ Cho A ma trận 3×3 Phần phụ đại số a12 a 21 a 23 1+2 C12 = (-1) a a = -a21a33 + a23a31 31 33 Ví dụ Theo Ví dụ det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31 = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33- a23a31) + a13(a21a33 - a22a31) a 21 a 22 a a 23 a a 23 = a11(-1)1+1 22 + a12(-1)1+2 21 + a13(-1)1+3 a a33 31 a 32 a 33 a 31 a33 = a11C11 + a12C12 + a13C13 Nói chung ta có Cơng thức Phần phụ đại số Cho A ma trận n×n với n ≥ Ta có: detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin (Khai triển định thức theo hàng i), detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj (Khai triển định thức theo cột j) Những cơng thức gọi Khai triển Laplace theo hàng hay cột Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) Ví dụ Tính định thức D= 3 −3 Giải Khai triển theo hàng 1, ta có D=- +2 = -4 + + 2(-3) = -1 −3 Chú ý Khi sử dụng Công thức phần phụ đại số, ta nên khai triển định thức theo hàng (hay cột) có nhiều 3.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC Giải hệ phươ ương ươ trình tuyến tính Định lí 3.3.1 (Quy tắc Cramer) Giả sử Ax = b hệ n×n Nếu detA≠ 0, Ax = b có nghiệm x1 = det B1 det B2 det Bn , x2 = , , xn = det A det A det A Trong ma trận Bj nhận từ A thay vectơ b vào cột thứ j Ta tìm hiểu chứng minh định lý thông qua trường hợp Ax = b hệ 3×3 Ký hiệu cj cột j A, hệ có dạng phương trình vectơ x1c1 + x2c2 + x3c3 = b Do detB1 = det(b, c2, c3) = det(x1c1 + x2c2 + x3c3, c2, c3) = x1det(c1, c2, c3)+x2det(c2, c2, c3)+x3det(c3, c2, c3) det(c2, c2, c3) det(c3, c2, c3) có cột giống Suy detB1 = x1detA hay x1 = det B1 det A Trong A thay b vào vị trí cột 3, làm tương tự ta tính x2 x3 ☺ Ví dụ Giải hệ phương trình x1 + x2 + x3 = -2x1 + x2 =0 + x3 = -4x1 Giải 1 1 1 1 detA = 7, detB1= =1, detB2 = − 0 = 2, detB3 = − = 0 −4 −4 0 Theo Quy tắc Cramer x1 = , x2 = , x3 = 7 Công thức tìm A-1 Định nghĩa Giả sử A ma trận n×n có phần tử aij Cij phần phụ đại số aij Ma trận phần phụ đại số A C11 C12 C C 22 C =  21  M M  C n1 C n L C1n  L C n  O M   L C nn  Định lí 3.3.2 Nếu A khả nghịch A-1 = CT/detA Ta tìm hiểu cách chứng minh định lý thơng qua trường hợp A ma trận 3×3 Ta tính  a11 a12 a13  C11 C 21 C31  T AC = a 21 a 22 a 23  C12 C 22 C 32   a31 a 32 a 33  C13 C 23 C 33  Theo quy tắc nhân ma trận, phần tử hàng i, cột j ACT a i1C j1 + C j + 3C j Khi i = j, theo Khai triển Laplace theo hàng i a i1Ci1 + a i C i + a i 3C i = detA Do tất phần tử nằm đường chéo ACT detA Khi i = 1, j = 2, từ khai triển Laplace theo hàng suy a11C 21 + a12 C 22 + a13C 23 a11 = a11 a 31 a12 a12 a 32 a13 a13 = 0, a 33 tức phần tử nằm hàng 1, cột ACT Tương tự, i ≠ j a i1C j1 + C j + 3C j = 0, phần tử bên đường chéo ACT Như 0  det A  T AC =  det A  = (detA)I  0 det A Từ suy A(CT/detA) = I , hay A-1 = CT/detA ☺ Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo 0 3 A= 1  2 0 Giải Khai triển Laplace theo hàng 1, ta có |A| = 5, C11 = (-1)1+1 1 1 =-1, C12 = (-1)1+2 = 2, C13 = (-1)1+3 = 1, 2 C21 = (-1)2+1 3 = 3, C22 =(-1)2+2 = -6, C23 = (-1)2+3 = 2, 2 C31= (-1)3+1 3 =1, C32 = (-1)3+2 = 3, C33= (-1)3+3 = -1 1 1 Theo định lý 1 − 1 A =  −   − 1 -1 Ứng dụng vào mã hóa tin báo Phương pháp chung gửi tin mật mã gán số nguyên cho chữ bảng gửi tin dãy số nguyên Chẳng hạn, tin báo SEND MONEY mã hóa thành 5, 8, 10, 21, 7, 2, 10, 8, Trong S biểu diễn 5, E 8,v.v Đáng tiếc kiểu mã nói chung dễ bị phá Trong tin báo dài đốn số nguyên biểu diễn chữ dựa vào tần số xuất số Chẳng hạn, số có tần số xuất lớn tin báo mật mã, dường biểu thị chữ E, chữ mà tần số xuất lớn tiếng Anh Ta dấu tin báo sử dụng thêm phép nhân ma trận Nếu A ma trận mà phần tử nguyên định thức ±1, A-1 = ±CT, phần tử A-1 nguyên Ta sử dụng ma trận để biến đổi tin báo Tin báo biến đổi khó giải Để minh họa kỹ thuật ta cho 1  A = 2 3 2 2 Tin báo mật mã đặt vào cột ma trận B  21 10 B =  8  10  Tích  31 37 29 AB = 80 83 69  54 67 50  cho tin báo mật mã để gửi đi: 31, 80, 54, 37, 83, 67, 29, 69, 50 Người nhận tin giải cách nhân với A-1  − 1   31 37 29  21 10 2 − 1 80 83 69  =  8   − 1  54 67 50  10  Để xây dựng ma trận mã hóa A, ta bắt đầu với ma trận I áp dụng liên tiếp phép trừ hàng bội nguyên hàng khác, phép đổi chỗ hai hàng Ma trận nhận A có phần tử nguyên detA = ±detI = ±1 nên A-1 có phần tử ngun Ứng dụng Hình học 1) Tích có hướng u × v u = (u1, u2, u3) v = (v1, v2, v3) i j u1 u v1 v2 k u3 = (u2v3-u3v2) i +(u3v1-u1v3) j +(u1v2-u2v1) k v3 2) Tích hỗn tạp ( u × v )⋅ w ba vectơ u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3), u1 det( u , v , w ) = v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 3) Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' |det( AB, AD, AA' )| 4) Diện tích tam giác ABC với A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) trị tuyệt đối x1 x2 x3 y1 y2 y3 NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN Định nghĩa định thức cấp n Các tính chất định thức Công thức phần phụ đại số Công thức quan trọng Một số ứng dụng định thức: giải hệ tuyến tính, tìm A-1, tính tích có hướng tích hỗn tạp, tính diện tích tam giác thể tích hình hộp  ... TUẦN Định nghĩa định thức cấp n Các tính chất định thức Công thức phần phụ đại số Công thức quan trọng Một số ứng dụng định thức: giải hệ tuyến tính, tìm A-1, tính tích có hướng tích hỗn tạp, tính. .. tính chất định thức Mọi tính chất định thức phát biểu với cột phát biểu cho hàng, chẳng hạn như: Định thức đổi dấu hai hàng đổi chỗ Nếu ma trận vng có hàng tồn hai hàng giống định thức Định thức. .. Chú ý Khi sử dụng Công thức phần phụ đại số, ta nên khai triển định thức theo hàng (hay cột) có nhiều 3.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC Giải hệ phươ ương ươ trình tuyến tính Định lí 3.3.1 (Quy tắc