ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỊNH THỨC

3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CƠ Ơ BẢN CỦA Đ Đ ĐỊNH THỨC Để mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n bất kỳ, ta nghiên cứu xem định thức cấp 2 được xác định bởi các tính chất gì... Tí

C hương 3

Đ Ị NH THỨC

_

Ta muốn tìm một tiêu chuẩn thuận tiện để biết khi nào một ma trận vuông khả nghịch Xét ma trận











d c

b a

Ta thấy













−

−

a c

b d













d c

b a











−

−

bc ad

bc ad

0

0

= (ad - bc)I

Từ đây suy ra: Nếu ad - bc ≠ 0, thì A khả nghịch Ta đã biết ad - bc là định thức cấp 2 (của ma trận A) Ta muốn mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n bất kỳ để tìm được tiêu chuẩn khả nghịch cho ma trận n×n

3.1



ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

CƠ Ơ BẢN CỦA Đ Đ ĐỊNH THỨC

Để mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n bất kỳ, ta nghiên cứu xem định thức cấp 2 được xác định bởi các tính chất gì Ký hiệu định thức của ma trận A có cỡ 2×2 là detA, hoặc |A|, hoặc

det(c1, c2) (cj là cột thứ j của A)

Tính chất 3.1.1 detI = 1

detI =

1 0

0 1 = 1⋅1 - 0⋅0 = 1

Tính chất 3.1.2 Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột

det(c1, c2) =

d c

b a

= ad - bc, det(c2, c1) =

c d

a b

= bc -ad Suy ra det(c1, c2) = -det(c2, c1)

Định nghĩa Ta nói hàm số f : R n

thì f(x1v1 + x2v2) = x1f(v1)+ x2f(v2)

Tính chất 3.1.3 Định thức là hàm tuyến tính đối với một cột khi cố định những cột còn lại

Ta xem det(c1, c2) như một hàm 2 biến, mỗi biến thuộc R2

Giả sử c'1 = 











'

'

b

a

, c"1 = 











"

"

b

a

và c1 = x1c'1+x2c"1 = 









 +

+

"

'

"

'

2 1

2 1

b x b x

a x a x

, thì

det(x1c'1+x2c"1, c2) =

d c x c x

b a x a x

"

'

"

'

2 1

2 1

+

+

= (x1a'+x2a")d - b(x1c'+x2c")

= x1(a'd - bc') + x2(a"d - bc") = x1

d c

b a

'

'

+ x2

d c

b a

"

"

= x1det(c'1, c2) + x2det(c"1, c2)

Tương tự, det(c1, x1c'2+x2c"2) = x1det(c1, c'2) + x2det(c1, c"2)

Nhận xét quan trọng

Nếu hàm g: A a g(A) có 3 tính chất như trên:

1 g(I) =1

2 g(c2, c1) = -g(c1, c2)

3 g(x1c'1+x2c"1, c2) = x1g(c'1, c2) + x2g(c"1, c2); g(c1, x1c'2+x2c"2) = x1g(c1, c'2) + x2g(c1, c"2)

thì g(A) ≡ detA với mọi ma trận A cỡ 2×2

Thật vậy, ký hiệu e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) là hai cột của I, thì mọi ma trận











d c

b a

có biểu diễn của hai cột qua e1, e2 là c1 = ae1+ce2, c2 = be1+de2

Theo Tính chất 3

g(A) = g(c1, c2) = g(ae1+ce2, be1+de2) = ag(e1, be1+de2) + cg(e2, be1+de2)

= a[bg(e1, e1) + dg(e1, e2)]+ c[bg(e2, e1) + dg(e2, e2)]

Do Tính chất 1, g(e1, e2) = 1

Do Tính chất 2, đổi chỗ e1 với e1, ta có g(e1, e1) = -g(e1, e1) Suy ra g(e1, e1) = 0 Tương tự, g(e2, e2)

= 0, còn g(e2, e1) = -g(e1, e2) = -1

Từ đó ta có g(A) = ad - bc = detA Như vậy

Tính chất 1, 2, 3 xác định hoàn toàn định thức cấp 2

Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được:

Có duy nhất một hàm số từ tập các ma trận n ×n vào R mà thỏa các Tính chất 1, 2, 3

Ta ký hiệu hàm số này là det Khẳng định quan trọng cho phép tổng quát hóa khái niệm định thức cấp 2

Định nghĩa Hàm số det từ tập các ma trận n×n vào R, thỏa mãn các Tính chất 1, 2, 3, được gọi là

định thức cấp n Với A là ma trận n×n ta gọi detA là định thức của A

Định thức của ma trận A còn được ký hiệu là |A| hoặc det(c1, c2, , cn) với cj là cột thứ j của A

Từ ba tính chất cơ bản nói trên ta suy ra những tính chất sau đây

Tính chất 3.1.4 Nếu hai cột của A giống nhau, thì detA = 0

Ví dụ 1 Giả sử det(c1, c2, c3) có c1 = c3 Do Tính chất 2

det(c1, c2, c3) = - det(c3, c2, c1) = - det(c1, c2, c3),

nên det(c1, c2, c3) = 0

Tính chất 3.1.5 detA không đổi khi trừ một cột của A đi một bội của cột khác của A

Ví dụ 2 Đối với det(c1, c2, c3) ta thay c2 bởi c2 - xc1, thì do Tính chất 3

det(c1, c2 - xc1, c3) = det(c1, c2, c3) - xdet(c1, c1, c3) = det(c1, c2, c3) - x0 = det(c1, c2, c3)

Tính chất 3.1.6 Ma trận vuông có cột toàn 0 thì định thức của nó bằng 0

Ví dụ 3 Giả sử det(c1, c2, c3) có c2 = 0 = (0, 0, , 0), thì

det(c1, 0, c3) = det(c1, 00, c3) = 0det(c1, 0, c3) = 0

Tính chất 3.1.7 Nếu A là ma trận tam giác thì detA = tích các phần tử trên đường chéo =

nn

a

a

22

11

Ví dụ 4

33

23

22

13

12

11

0

0

0

a

a

a

a

a

a

= a11a22a33

Tính chất 3.1.8 Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi detA ≠ 0

Tính chất 3.1.9 Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp, thì det(AB)= detAdetB

Tính chất 3.1.10 detA = detA

Ví dụ 5

d c

b a

=

d b

c a

Nhận xét

1) Tính chất 10 thực chất đã nhân đôi bản liệt kê các tính chất của định thức Mọi tính chất của định

thức đã phát biểu với cột cũng có thể phát biểu cho hàng, chẳng hạn như: Định thức đổi dấu khi hai hàng đổi chỗ Nếu ma trận vuông có hàng toàn 0 hoặc hai hàng giống nhau thì định thức của

nó bằng 0 Định thức là một hàm tuyến tính đối với mỗi hàng khi cố định các hàng còn lại

2) Từ Tính chất 3 và 4 suy ra nếu ma trận vuông có hai cột (hàng) tỷ lệ, thì định thức của nó bằng 0

3) Từ Tính chất 3 suy ra det(cA) = c n detA (với n là cấp của A)

4) AA-1=I nên từ Tính chất 9 suy ra detA-1 = 1/detA

Sử dụng những tính chất trên, ta có thể biến đổi ma trận vuông A để đơn giản hóa việc tính detA Chẳng hạn ta có thể đưa việc tính detA về việc tính định thức của một ma trận tam giác

Ví dụ 6 Ta ký hiệu Pαβω là ma trận hoán vị nhận được khi sắp xếp các hàng 1, 2, 3 của ma trận đơn

vị 3×3 thành các hàng α, β, ω

P123 =





















1 1

1

P231 =





















1 1

1

P312=





















1 1 1

P132 =





















1 1

1

P213 =





















1 1

1

P321=





















1 1

1

Tính định thức của các ma trận hoán vị này

Giải Mỗi cách sắp xếp 3 số 1, 2, 3 theo một thứ tự nào đó có dạng (α, β,ω) là một hoán vị của

chúng Có tất cả 3! hoán vị của như vậy

(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)

Trừ hoán vị (1, 2, 3), mỗi hoán vị này có thể nhận được từ hoán vị (1, 2, 3) khi thực hiện liên tiếp một số phép đổi chỗ hai số trong (1, 2, 3):

(1, 2, 3)→(2, 1, 3)→(2, 3, 1) (1, 2, 3)→(1, 3, 2)→(3, 1, 2) (1, 2, 3)→(1, 3, 2) (1, 2, 3)→(2, 1, 3) (1, 2, 3)→(3, 2, 1)

Mặt khác, những ma trận trên nhận được khi sắp xếp lại các hàng 1, 2, 3 của I theo hoán vị tương

ứng như đã liệt kê ở trên, nên theo Tính chất 2

|P123| = |P231|=|P312| = 1, |P132| = |P213|=|P321| = -1

Nói chung, có n! ma trận hoán vị cấp n và một nửa có định thức bằng 1, nửa còn lại có định thức bằng -1 Ma trận hoán vị có định thức bằng 1(tương ứng -1) khi và chỉ khi nó nhận được từ I

nhờ thực hiện liên tiếp một số chẵn (lẻ) phép đổi chỗ các hàng

Ví dụ 7 Tính định thức

x d d

x c c

x b b

x a a

2 2 1

6 2 1

5 2 1

4 2 1

+ +

− + +

Giải Theo Tính chất 3 và Nhận xét 2)

x d

x c

x b

x a

2 1

6 1

5 1

4 1

−

+

x d d

x c c

x b b

x a a

2 2

6 2

5 2

4 2

−

= 0 + 0 = 0

Ví dụ 8 Tính định thức

D =

4 3 3

3 0 1

2 1 0

−

Giải Đổi chỗ cột 2 với cột 1

D =

-4 3 3

3 1 0

2 0 1

− Lấy hàng 3 trừ đi (-3) lần hàng 1, ta có

D =

-10 3 0

3 1 0

2 0 1

LÊy hµng 3 trõ ®i 3 lÇn hµng 2, ta cã

D =

-1 0 0

3 1 0

2 0 1

= -1

3.2



MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐỊNH THỨC

Ta muốn tìm những công thức tính trực tiếp detA theo các phần tử của ma trận A

Công thức quan trọng

Ta ký hiệu Pαβ ω là ma trận hoán vị nhận được khi sắp xếp các hàng 1, 2, , n của I thành các hàng

α, β, , ω

Ví dụ 1

detA =

22 21

12 11

a a

a a

=

22 21

11 0

a a

a

+

22 21 12

0

a a

a

=

0

0

21

11

a

a

+

22

11

0

0

a

a

+

0

0

21

12

a

a

+

22

12

0

0

a a

= 1 0

0 1

a11a22 +

0 1

1 0

a12a21= (detP12)a11a22 + (detP21)a12a21

Ta thấy mỗi hoán vị (α, β) của 1, 2 tương ứng với một số hạng (detPαβ)a1αa2β của detA

Ví dụ 2 Tương tự Ví dụ 1

detA =

33 32

31

23 22 21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

=

33

22

11

a

a

a

+

31

23 12

a

a

a

+

32 21

13

a a

a

+

32 23 11

a a

a

+

33 21

12

a a

a

+

31 22 13

a a

a

= (detP123)a11a22a33 + (detP231)a12a23a31 +(detP312)a13a21a32

+ (detP132)a11a23a32 + (detP213)a12a21a33 + (detP321)a13a22a31

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31

Ta thấy mỗi hoán vị (α, β, ω) của 1, 2, 3 tương ứng với một số hạng (detPαβω)a1αa2βa3ω của detA

Nói chung ta có

Công thức quan trọng

Giả sử A là ma trận n×n có các phần tử là aij Với mỗi hoán vị (α, β, , ω) của 1, 2, , n ta thành lập (detPαβ ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω Ta có

detA = tổng tất cả các số hạng dạng (detPαβ ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω =Σ(detPαβ ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω

Đối với định thức cấp 3 ta có Quy tắc Sarrus để tìm nhanh các số hạng: Viết thêm hai cột 1

và 2 vào bên phải ma trận A = (a ij)

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a a a a a

Những số hạng a11a22a33, a12a23a31, a13a21a32 tương ứng với các "đường chéo đi xuống", còn những

số hạng - a11a23a32, - a12a21a33, - a13a22a31 tương ứng với các "đường chéo đi lên"

Công thức phần phụ đại số

Định nghĩa Giả sử A là ma trận n×n có các phần tử là a ij Bỏ đi hàng i và cột j của A, được ma trận (n-1)×(n-1), ký hiệu là Mij Ta gọi số (-1) i+j detMij là phần phụ đại số của a ij , ký hiệu là C ij

Ví dụ 3 Cho A là ma trận 3×3 Phần phụ đại số của a12 là

C12 = (-1)1+2

33 31

23 21

a a

a a

= -a21a33 + a23a31

Ví dụ 4 Theo Ví dụ 2

det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31

= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33- a23a31) + a13(a21a33 - a22a31)

= a11(-1)1+1

33 32

23 22

a a

a a

+ a12(-1)1+2

33 31

23 21

a a

a a

+ a13(-1)1+3

33 31

22 21

a a

a a

= a11C11 + a12C12 + a13C13 Nói chung ta có

Công thức Phần phụ đại số Cho A là ma trận n ×n với n ≥ 2 Ta có:

detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin (Khai triển định thức theo hàng i), detA = a 1j C 1j + a 2j C 2j + … + anjCnj (Khai triển định thức theo cột j)

Những công thức này còn được gọi là Khai triển Laplace theo hàng hay cột

Pierre Simon Laplace (1749 - 1827)

Ví dụ 5 Tính định thức

D =

4 3 3

3 0 1

2 1 0

−

Giải Khai triển theo hàng 1, ta có

D = -

4 3

3 1 +2

3 3

0 1

− = -4 + 9 + 2(-3) = -1

Chú ý Khi sử dụng Công thức phần phụ đại số, ta nên khai triển định thức theo hàng (hay cột) có nhiều 0 nhất

3.3



MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC

Giải hệ ph ươ ương trình tuyến tính

Định lí 3.3.1 (Quy tắc Cramer) Giả sử Ax = b là hệ n×n Nếu detA≠ 0, thì Ax = b có nghiệm duy

nhất

x1 =

A

B

det

det 1

, x2 =

A

B

det

det 2

, , xn =

A

B n

det

det

Trong đó ma trận Bj nhận được từ A khi thay vectơ b vào cột thứ j của nó

Ta tìm hiểu chứng minh của định lý này thông qua trường hợp Ax = b là hệ 3×3 Ký hiệu cj là cột j

của A, thì hệ này có dạng phương trình vectơ là x1c1 + x2c2 + x3c3 = b Do đó

detB = det(b, c , c ) = det(x c + x c + x c , c , c )

= x1det(c1, c2, c3)+x2det(c2, c2, c3)+x3det(c3, c2, c3)

det(c2, c2, c3) và det(c3, c2, c3) bằng 0 vì có 2 cột giống nhau Suy ra detB1 = x1detA hay x1 =

A

B

det

det 1

Trong A lần lượt thay b vào vị trí của cột 2 và 3, rồi làm tương tự ta tính được x2 và x3 ☺

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

x1 + x2 + x3 = 1

-2x1 + x2 = 0

-4x1 + x3 = 0

Giải

detA = 7, detB1=

1 0 0

0 1 0

1 1 1

=1, detB2 =

1 0 4

0 0 2

1 1 1

−

− = 2, detB3 =

0 0 4

0 1 2

1 1 1

−

Theo Quy tắc Cramer

x1 = 7

1

, x2 = 7

2

, x3 = 7

4

Công thức tìm A-1

Định nghĩa Giả sử A là ma trận n×n có các phần tử là a ij Cij là phần phụ đại số của aij Ma trận

C =

























nn n

n

n n

C C

C

C C

C

C C

C

L

M O M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

Định lí 3.3.2 Nếu A khả nghịch thì

A-1 = CT/detA

Ta tìm hiểu cách chứng minh định lý này thông qua trường hợp A là ma trận 3×3 Ta tính

ACT =





















33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a





















33 23 13

32 22 12

31 21 11

C C C

C C C

C C C

Theo quy tắc nhân ma trận, phần tử hàng i, cột j của ACT bằng a i1C j1+a i2C j2 +a i3C j3

Khi i = j, theo Khai triển Laplace theo hàng i

3 3 2 2 1

1 i i i i i

i C a C a C

Do đó tất cả các phần tử nằm trên đường chéo của ACT bằng detA

Khi i = 1, j = 2, từ khai triển Laplace theo hàng 2 suy ra

23 13 22 12 21

11C a C a C

33 32 31

13 12 11

13 12 11

a a a

a a a

a a a

= 0,

tức là phần tử nằm ở hàng 1, cột 2 của ACT bằng 0 Tương tự, khi i ≠ j thì

3 3 2 2 1

1 j i j i j

i C a C a C

hay là mọi phần tử bên ngoài đường chéo của ACT bằng 0

Như vậy

ACT =





















A A

A

det 0

0

0 det

0

0 0

det

= (detA)I

Từ đây suy ra A(CT/detA) = I , hay A-1 = CT/detA ☺

Ví dụ 2 Tìm ma trận nghịch đảo của

A=





















0 1 2

1 0 1

3 1 0

Giải Khai triển Laplace theo hàng 1, ta có |A| = 5,

C11 = (-1)1+1

0 1

1 0

=-1, C12 = (-1)1+2

0 2

1 1

= 2, C13 = (-1)1+3

1 2

0 1 = 1,

C21 = (-1)2+1

0 1

3 1

= 3, C22 =(-1)2+2

0 2

3 0

= -6, C23 = (-1)2+3

1 2

1 0 = 2,

C31= (-1)3+1

1 0

3 1

=1, C32 = (-1)3+2

1 1

3 0

= 3, C33= (-1)3+3

0 1

1 0 = -1

Theo định lý trên

A-1= 5

1





















−

−

−

1 2 1

3 6 2

1 3 1

Ứng dụng vào mã hóa tin báo

Phương pháp chung của gửi tin bằng mật mã là gán một số nguyên cho mỗi chữ cái trong bảng và gửi tin như một dãy số nguyên Chẳng hạn, tin báo

SEND MONEY

có thể mã hóa thành

5, 8, 10, 21, 7, 2, 10, 8, 3 Trong đó S được biểu diễn bởi 5, E bởi 8,v.v Đáng tiếc là kiểu mã này nói chung dễ bị phá Trong một tin báo dài có thể đoán một số nguyên biểu diễn chữ cái nào dựa vào tần số xuất hiện số này

Chẳng hạn, nếu 8 là số có tần số xuất hiện lớn nhất trong tin báo bằng mật mã, thì nó dường như biểu thị chữ E, một chữ cái mà tần số xuất hiện lớn nhất trong tiếng Anh

Ta có thể dấu tin báo khi sử dụng thêm phép nhân ma trận Nếu A là một ma trận mà các phần

tử đều nguyên và định thức bằng ±1, thì do A-1 = ±CT, những phần tử của A-1 cũng nguyên Ta có thể sử dụng một ma trận để biến đổi tin báo Tin báo đã biến đổi sẽ khó giải hơn Để minh họa kỹ thuật này ta cho

A =





















2 3 2

3 5 2

1 2 1

Tin báo bằng mật mã được đặt vào các cột của một ma trận B

B =





















3 2 10

8 7 8

10 21 5

Tích

AB =





















50 67 54

69 83 80

29 37 31

cho tin báo bằng mật mã để gửi đi:

31, 80, 54, 37, 83, 67, 29, 69, 50

Người nhận tin có thể giải nó bằng cách nhân với A-1





















−

−

−

1 1 4

1 0 2

1 1 1





















50 67 54

69 83 80

29 37 31

=





















3 2 10

8 7 8

10 21 5

Để xây dựng ma trận mã hóa A, ta có thể bắt đầu với ma trận I và áp dụng liên tiếp phép trừ một hàng đi một bội nguyên của hàng khác, phép đổi chỗ hai hàng Ma trận nhận được A sẽ có các phần tử nguyên và do detA = ±detI = ±1 nên A-1 cũng sẽ có các phần tử nguyên

Ứng dụng trong Hình học 1) Tích có hướng u × v của u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3) bằng

3 2 1

3 2 1

v v v

u u u

k j i

= (u2v3-u3v2)i +(u3v1-u1v3)j +(u1v2-u2v1)k

2) Tích hỗn tạp ( u× v )⋅ w của ba vectơ u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3), bằng

det(u , v , w ) =

3 2 1

3 2 1

3 2 1

w w w

v v v

u u u

3) Thể tích của hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng

|det(AB,AD,AA')|

4) Diện tích của tam giác ABC với A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) bằng trị tuyệt đối của

2 1

1 1 1

3 3

2 2

1 1

y x

y x

y x

NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 3

1 Định nghĩa định thức cấp n

2 Các tính chất cơ bản của định thức

3 Công thức phần phụ đại số và Công thức quan trọng

4 Một số ứng dụng của định thức: giải hệ tuyến tính, tìm A-1, tính tích có hướng và tích hỗn tạp, tính diện tích tam giác và thể tích hình hộp