Đại số tuyến tính Định thức

Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng số 2: Định thức CBGD: Lê Văn Chánh Khoa Toán Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hồ Chí Minh Ngày 31 tháng năm 2016 1/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Mục tiêu giảng Qua giảng Định thức, sinh viên cần nắm được: · · · · · · Buổi · · · · · · Cách tính định thức cấp 1, 2, định nghĩa Dùng qui tắc Sarrus để tính định thức cấp Một số tính chất định thức biến đổi dòng/ cột Sử dụng Định lý Laplace biến đổi sơ cấp dòng, cột để tính định thức Một số kỹ thuật tính định thức cấp n · · · · · · Buổi · · · · · · Dùng định thức để tìm ma trận nghịch đảo Ứng dụng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình 1/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Nội dung trình bày I Định thức Giới thiệu định thức Định nghĩa định thức Định lý Laplace Định thức số ma trận đặc biệt Dùng biến đổi sơ cấp để tính định thức Một số tính chất định thức Phương pháp tính định thức cấp n Bài tập Chỉ dẫn lịch sử Review Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức 2/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Nội dung trình bày II Giải biện luận hệ phương trình php Cramer Phương pháp Cramer So sánh phương pháp Cramer phương pháp khử Gauss Bài tập Review Các đề tài Danh sách tập nhà 3/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Định thức Định thức công cụ để: Xác định tính khả nghịch ma trận vuông Xác định ma trận nghịch đảo ma trận khả nghịch Cho biết số (trong số trường hợp) nghiệm hệ n phương trình n ẩn Và biểu diễn nghiệm trường hợp ma trận hệ số khả nghịch Chứng hệ vectơ độc lập tuyến tính Tìm trị riêng ma trận vng 4/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Gợi nhớ số công thức liên quan định thức I Những “gợi nhớ” liên quan định thức: Cơng thức tính đạo hàm hàm hữu tỉ ax + b cx + d = ( a1 x2 + b1 x + c1 a2 x2 + b2 x + c2 ) = ( ) 5/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Gợi nhớ số công thức liên quan định thức II Công thức xác định ma trận nghịch đảo cho ma trận a b vuông cấp 2, A = , c d A−1 = d −b −c a The area of the parallelogram generated by these two vectors can be be obtained using as a determinant Diện tích hình bình hành tạo hai vectơ a, b a × b , ta tính tích hữu hướng i j k a × b = a1 a2 a3 , b1 b2 b3 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C (1.1) 6/88 Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Gợi nhớ số công thức liên quan định thức III |x| độ lớn vectơ x The volume of the parallelepiped formed by any three nonzero vectors in R3 , also can be find using determinant Thể tích hình hộp sinh ba vectơ a, b, c |a.(b × c)| = det([a; b; c]) Determinant is used in change of variable of integrals in calculus One may also use substitution when integrating functions of several variables Here the substitution function (v1 , , ) = φ (u1 , , un ) needs to be injective and continuously differentiable, and the differentials transform as dv1 · · · dvn = | det(D ϕ)(u1 , , un )| du1 · · · dun CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C 7/88 Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Gợi nhớ số công thức liên quan định thức IV where det(Dφ )(u1 , , un ) denotes the determinant of the Jacobian matrix containing the partial derivatives of φ Định lý 1.1 Let U be an open set in Rn and φ : U → Rn an injective differentiable function with continuous partial derivatives, the Jacobian of which is nonzero for every x ∈ U Then for any real-valued, compactly supported, continuous function f , with support contained in φ (U), f (v) dv = U ϕ(U) f (ϕ(u)) |det(D ϕ)(u)| du 8/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Gợi nhớ số công thức liên quan định thức V https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_ substitution It can be used in finding eigenvalues of matrix https://www.math.ucdavis.edu/~daddel/linear_ algebra_appl/Applications/Determinant/ Determinant/node1.html 9/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện 4/5 Câu đề kiểm tra lần lớp HOH2 HK2 năm học 2014-2015 II (b) (4.5 đ)Với giá trị m xác định (a), giải hệ phương trình tất cách mà bạn biết (c) (1đ) So sánh, bình luận phương pháp sử dụng (b) Câu (2đ) Cho A, B ∈ Mn (R) ma trận khả nghịch Chứng minh A, B giao hoán (AB)−1 = A−1 B−1 Câu (2đ) Xét khẳng định: det(A + In ) = det A + với A ∈ Mn (R) Hãy chứng minh bác bỏ (bác bỏ cách thí dụ cụ thể đưa lập luận để rõ điều khẳng định đúng) Câu (1đ) 74/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện 4/5 Câu đề kiểm tra lần lớp HOH2 HK2 năm học 2014-2015 III Tính giá trị định thức sau ··· 3 ··· · · · 3 ··· n Dn := (Lưu ý: phần tử thứ i đường chéo ma trận tương ứng Dn i.) 75/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Trích Đề thi HK2 năm học 2014-2015 Bài toán 4.8 Cho A, P ∈ M2 (R) với P khả nghịch D = P−1 AP = D Tính det(A2015 ) 0 −2 thỏa Bài toán 4.9 Cho A ∈ Mn (R) thỏa A2 = 0n ∈ Mn (R) Chứng minh hệ phương trình AX = ∈ Mn×1 (R) có vơ số nghiệm 76/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Review 77/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Các đề tài Đề tài 4.1 (Chọn phương pháp giải hệ phương trình) Dựa vào số lượng phép nhân chọn thuật toán khử Gauss hay phương pháp Cramer Đề tài 4.2 Đưa số thí dụ để làm “cơ sở” so sánh tính hiệu phương pháp tính định thức cách khai triển dòng (cột) với cách khai triển nhiều dòng (cột) Chứng minh det(AB) = det(A) det(B) Một số kỹ thuật tính định thức ma trận cấp n Định thức ứng dụng vào hình học Ứng dụng định thức Vandermonde (Vandermonde CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C 78/88 Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Danh sách tập nhà I Bài tập “Định thức” bao gồm: Tính định thức; Tìm ma trận nghịch đảo định thức; Giải hệ phương pháp Cramer Bài tập tham khảo: Sinh viên chọn hai gói tập sau: • Gói [T.]: Tính định thức: 2.2 (a, c), 2.3 (a-c), 2.6 (a-c) Tìm ma trận nghịch đảo định thức: 2.10 Giải hệ phương pháp Cramer: 2.12, 2.13 (b,c) • Gói [T.01]: Tính định thức: 4, 6, 12, 15, 17 79/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Danh sách tập nhà II Tìm ma trận nghịch đảo định thức: 65, 67, 68 Giải hệ phương pháp Cramer: 73, 76, 79 Bài tập có thưởng điểm: • Tính định thức ma trận “tổng qt”: 28-61 [T.01] • Tính định thức ma trận “tổng quát”: 2.4 [T.] 80/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Danh sách tập nhà III Đê tập bổ sung Bài tập 4.2 (Bài 2.2(a, d) [T.]) Bài tập 4.3 (Bài 34 [T.01]) Tính định thức 1+x 1 1 1−x 1 1 1+x 1 1 1−x 81/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Danh sách tập nhà IV Bài tập 4.4 (Bài 38 [T.01]) Tính định thức −x a b c a −x c b b c −x a c b a −x 82/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Danh sách tập nhà V Bài tập 4.5 (Bài 40 [T.01]) Tính định thức 0 0 0 0 83/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Danh sách tập nhà VI Bài tập 4.6 (Bài 41 [T.01]) Tính định thức x 1 0 −1 x−1 x −1 −1 −1 1 x 0 x 84/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Danh sách tập nhà VII Bài tập 4.7 (Bài 2.8 [T.]) Cho A, B ∈ Mn (R) Chứng minh (a) det(AB) = det(BA) (b) Nếu B khả nghịch det(BAB−1 ) = det(A) Bài tập 4.8 (Bài 2.6(d) [T.]) Biện luận tính khả nghịch sau x+2 D = 2x + 3x + ma trận nghịch đảo ma trận 2x + 3x + 3x + 4x + 5x + 8x + 13 85/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Danh sách tập nhà VIII Bài tập 4.9 (Bài 2.11(a, c) [T.]) Biện luận tính khả nghịch ma trận nghịch đảo ma trận sau (a) m A= m (c)   1 C =  m m 86/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Kết thúc buổi 87/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện [Str06] Gilbert Strang Linear Algebra and its Applications Brooks 2006 [T.] Deo T T Đại số B1 Tủ sách trường ĐHKHTN [T.01] Phong N T Đại số tuyến tính Quy hoạch tuyến tính NXB ĐHKHTN, 2001 [V01] Trung N V Giáo trình Đại số tuyến tính NXB ĐHQGHN, 2001 88/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C ... Lê Văn Chánh Đại số C Định thức Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Phương pháp tính định thức cấp n(tt) Ví dụ 1.2: Tính định thức cấp n ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH D= Tài liệu... Xác định ma trận nghịch đảo định thức Giải biện Nội dung trình bày I Định thức Giới thiệu định thức Định nghĩa định thức Định lý Laplace Định thức số ma trận đặc biệt Dùng biến đổi sơ cấp để tính. .. tính định thức Một số tính chất định thức Phương pháp tính định thức cấp n Bài tập Chỉ dẫn lịch sử Review Bài tập kiểm tra Xác định ma trận nghịch đảo định thức 2/88 CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C Định