Đại số tuyến tính Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng số 1:Ma trận và hệ phương trình tuyến tính CBGD: Lê Văn Chánh Khoa Toán Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hồ Chí Minh Ngày 22 tháng 6 năm 2016... 2 các phép to

Trang 1

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng số 1:

Ma trận và hệ phương trình tuyến

tính

CBGD: Lê Văn Chánh

Khoa Toán Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hồ Chí Minh

Ngày 22 tháng 6 năm 2016

Trang 2

Mục tiêu bài giảng I

Qua bài giảng về Ma trận và hệ phương trình , sinh viên cần

nắm được:

QQQQQ· · · Buổi 1 · · · SSSSS

1 khái niệm ma trận, một số ma trận đặc biệt.

2 các phép toán trên ma trận: chuyển vị, cộng, trừ, nhân ma

trận, lũy thừa ma trận vuông với số mũ không âm.

3 ma trận xuất hiện ở đâu và dùng để làm gì.

4 phương pháp chứng minh bằng qui nap toán học (nhắc

lại).

5 sự liên hệ giữa hệ phương trình và dạng ma trận hóa của

nó.

Trang 3

Mục tiêu bài giảng II

6 hệ phương trình tuyến tính xuất hiện trong những lĩnh vực

ứng dụng nào.

7 các biến đổi sơ cấp và vận dụng để đưa ma trận về

dạng bậc thang (rút gọn).

8 thuật toán Gauss, Gauss Jordan và ứng dụng giải

và biện luận hệ phương trình.

9 khái niệm ma trận khả nghịch và xác định ma trận nghịch

đảo bằng phương pháp Gauss Jordan.

10 giải hệ phương trình, phương trình ma trận bằng phương

pháp nghịch đảo ma trận.

Trang 4

Mục tiêu bài giảng III

11 khái niệm hạng ma trận và xác định hạng ma trận.

12 Định lý Kronecker Capélli và ứng dụng vào bài toán biện

luận số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.

® ® ® · · · · KK K

13 các kỹ năng tính toán cho các mục tiêu 4, 7, 8, 9, 11, 12

và thường xuyên luyện tập các kỹ năng tính toán này để

tìm những kỹ thuật hoặc phương pháp tính toán hiệu quả.

Trang 5

Nội dung trình bày I

Phương pháp chứng minh bằng qui nạp toán học

Chỉ dẫn lịch sử

Trang 6

Nội dung trình bày II

Trang 7

Nội dung trình bày III

Danh sách bài tập về nhà

Một số liên kết hữu ích

Review

Khảo sát tính khả nghịch của ma trận vuông cấp 2

Xác định ma trận nghịch đảo bằng Thuật toán Gauss

Trang 8

Nội dung trình bày IV

Trang 9

(một bảng chữ nhật gồm m × n phần tử trong R được viết

thành m dòng và n cột) trong đó a ij ∈ R là phần tử ở vị trí

dòng i, cột j của A, m × n được gọi là cấp của ma trận A Đôi

khi A được viết ngắn gọn là A = (a ij ) hay A = [a ij ].

Trang 10

• Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C,

• Tập hợp tất cả các ma trận loại m × n trên R được ký hiệu

bởi M m×n (R) Khi m = n, ta dùng M n (R) thay cho

Trang 11

Thí dụ 1.2

Cho ma trận A có các phần tử thỏa

a ij = i 2 − j 2 , ∀i = 1, , 3, j = 1, , 4 Viết tường minh (dạng

bảng) cho ma trận A

Trang 12

Ma trận: where & what I

• Các bảng số liệu thống kê (lĩnh vực xác suất thống kê)

• Trong kinh tế, ma trận giúp việc mô hình tính toán trở nên

rõ ràng hơn (xem Bài tập 5.1 ).

• Trong lý thuyết đồ thị, ma trận kề, ma trận liên kết, ma

trận khoảng cách (trọng lượng) đại diện cho một đồ thị.

Thí dụ về các bài toán thực tế sử dụng đến lý thuyết đồ

thị như bài toán đường đi ngắn nhất, bài toán người đi du

lịch, bài toán giao thông, những bài toán này có nhiều

ứng dụng trong kinh tế và đời sống xã hội nhằm tối ưu chi

phí (xem [ dbPVTvnHT07 ] Kenneth H Rosen (dịch bởi

Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thịnh) Toán học rời rạc

Trang 13

Ma trận: where & what II

Ứng dụng trong tin học Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội,

2007.)

• Trong ngành điện tử, ma trận có thể đại diện cho các

chips (xem sách Lay, David C Linear Algebra and its

Applications Pearson, 2012 [ Lay12 ].)

•

Trang 14

Một số ma trận đặc biệt I

• Ma trận “chữ nhật” (Rectangular matrix):

• Ma trận (vectơ) dòng (Row vector).

• Ma trận (vectơ) cột (Column vector).

• Ma trận không, 0 m×n

• Ma trận vuông (Square matrix):

1 Ma trận tam giác trên(Upper triangular).

2 Ma trận tam giác dưới (Lower triangular matrix).

3 Ma trận tam giác (Triangular matrix).

4 Ma trận đường chéo, diag(a 1 , a 2 , , a n ) (Diagonal

matrix).

5 Ma trận đơn vị, I n , (Identity matrix).

Trang 15

Một số ma trận đặc biệt II

6 (+)Ma trận đối xứng (Symmetric matrix), Ma trận phản

xứng (Skew symmetric matrix).

Định nghĩa 3.1 (Ma trận đối xứng, ma trận phản

Trang 17

Quan hệ bằng I

Định nghĩa 4.1 (Sự bằng nhau của hai ma trận)

Cho hai ma trận A, B Ta nói A bằng B, a ký hiệu A = B, nếu A

Trang 18

Quan hệ bằng cho phép ta: xác định một đối tượng trong tập

hợp (hoặc xác định một đối tượng trong một lớp tương đương,

đồng nhất các đối tượng cùng đặc tính Thí dụ khái niệm

vector là một lớp tương đương, một số thực là một lớp tương

đương, ) Từ quan hệ “=”, ta có thể xây dựng được các đẳng

thức, đồng nhất thức.

Đọc thêm:

Trang 19

Quan hệ bằng III

1 Wikipedia, Equality (mathematics) https://en.

wikipedia.org/wiki/Equality_(mathematics)

Other Thing? Proof and other dilemmas: Mathematics

and philosophy (2008): 221 http://www.math.

harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf

3 Math As Language: Understanding the

Equals Sign: http://betterexplained.com/articles/

math-as-language-understanding-the-equals-sign/

Trang 20

Các phép toán trên ma trận I

• Chuyển vị.

• Cộng, trừ, nhân (hằng số với ma trận, ma trận với ma

trận).

• Lũy thừa ma trận vuông với số mũ nguyên không âm.

Lưu ý: đối với mỗi phép toán cần chú ý các điều sau:

• Điều kiện xác định.

• Kết quả: cấp ma trận kết quả, công thức xác định kết quả.

Cho thí dụ cho mỗi phép toán.

Trang 24

1 1

a A = 1 2 1

4 0 3

b A = 1 2 1

4 1 2

c A = 1 3 0

3 1 3

d A không tồn tại.

Trang 25

f Với α = −1, ma trận (−1)A được ký hiệu là −A.

Định nghĩa 5.4 (Hiệu của ma trận A và B)

Hiệu của ma trận A và B được định nghĩa A − B := A + (−B).

Trang 29

Ma trận đối xứng và ma trận phản xứng (nhắc lại) I

Định nghĩa ma trận đối xứng và phản xứng có thể viết lại dạng

như sau:

Định nghĩa 5.5 (Ma trận đối xứng)

Cho ma trận A ∈ M n (R) Nếu A T = A thì ta nói A là ma trận

đối xứng.

Định nghĩa 5.6 (Ma trận phản xứng)

Cho ma trận A ∈ M n (R) Nếu A T = −A thì ta nói A là ma trận

phản đối xứng (phản xứng).

Trang 31

Tích hai ma trận

Định nghĩa 5.7 (Tích hai ma trận)

Cho A ∈ M m×r (R), B ∈ M r×n (R) Ta gọi tích của A và B, ký

hiệu AB, là một ma trận C = (c ij ) ∈ M m×n (R) được xác định

c ij là tổng của tích tương ứng các thành phần dòng i của A và

cột j của B (tích vô hướng tổng quát).

Trang 32

Hình ảnh minh họa nhân ma trận

C = A × B ∈ Mm×n(R)

31/264

Trang 33

Hình ảnh minh họa nhân ma trận (Tính c i,j )

Trang 35

Ví dụ về nhân hai ma trận II

Bài toán 5.1 (Ứng dụng trong kinh tế)

Một nhà máy chuyển đến ba cửa hàng (A, B và C), mỗi cửa

hàng nhận một bưu kiện, mỗi bưu kiện gồm 4 loại sản phẩm

(air conditioner, ice box, 29"color TV và 25"color TV) với

trọng lượng và đơn giá cho mỗi sản phẩm và số lượng sản

phẩm gửi cho từng của hàng như Bảng 5.1 ([ Den14 ] Deng,

Jixia Application of linear algebra in real life Applied

Mechanics & Materials (2014).

http: // www scientific net/ AMM 556-562 3392 ).

Trang 36

Ví dụ về nhân hai ma trận III

air conditioner ice box 29"color TV 25"color TV

Trang 37

Ví dụ về nhân hai ma trận IV

Khi đó, công ty chuyển đến các cửa hàng 4 sản phẩm trên với

số lượng của thể diễn tả như ma trận

Trang 38

Tính chất phép cộng, nhân và chuyển vị ma trận I

Tính chất 5.4

Cho A, A 0 ∈ M m×n (R), B, B 0 ∈ M n×p (R),

C ∈ M p×q (R), D ∈ M n (R) và α ∈ R Khi đó

(i) (Luật kết hợp) (AB)C = A(BC);

(ii) (Luật phân phối) A (B ± B 0 ) = AB ± AB 0 ;

Trang 39

Tính chất phép cộng, nhân và chuyển vị ma trận II

Tính chất 5.5

Tổng (hiệu, tích) hai ma trận tam giác trên (dưới) cùng cấp là

ma trận tam giác trên (dưới).

Trang 40

Nhân theo thứ tự nào? I

Ta có

(AB)C = A(BC).

Ta có nên quan tâm thứ tự thực hiện phép nhân ma trận?

Trang 41

Nhân theo thứ tự nào? II

Tính (AB)C và A(BC) Chú ý thời gian tính toán và đưa ra

nhận xét nên tính theo thứ tự nào? Giải thích.

Trang 42

Nhân theo thứ tự nào? III

Bài tập 5.4

Cho m, n, p, r là các số nguyên dương, và

A ∈ M m×n (R), B ∈ M n×p (R), C ∈ M p×r (R) Đưa ra điều kiện

chọn thứ tự nhân ma trận (dựa vào số lượng phép nhân cần

dùng).

Bài tập 5.5

Câu hỏi tương tự Bài tập 5.4 cho thứ tự thực hiện phép toán

cộng và nhân nếu tính A(B + C) = AB + AC theo hai cách.

Trang 43

Tích nhiều ma trận

Định nghĩa 5.8

Tích các ma trận P 1 , P 2 , , P k (theo thứ tự đó) với điều kiện số

cột ma trận liền trước bằng số dòng ma trận liền sau là

Trang 44

Những lưu ý khi nhân hai ma trận

1 Phép nhân ma trận không giao hoán, nghĩa là tồn tại hai

ma trận A, B sao cho AB 6= BA Khi AB tồn tại mà BA

không tồn tại Trong trường hợp cả hai tồn tại cũng không

chắc bằng nhau (xem Bài tập 5.2 ).

Hãy cho ví dụ.

2 Với A, B 6= 0, vẫn có thể xảy ra trường hợp AB = 0.

Hãy cho ví dụ hai ma trận A, B như vậy.

Trang 45

Những lưu ý khi nhân hai ma trận

1 Phép nhân ma trận không giao hoán, nghĩa là tồn tại hai

ma trận A, B sao cho AB 6= BA Khi AB tồn tại mà BA

không tồn tại Trong trường hợp cả hai tồn tại cũng không

chắc bằng nhau (xem Bài tập 5.2 ).

Trang 47

Lũy thừa ma trận

Định nghĩa 6.1

Cho A là ma trận vuông cấp n, k là số nguyên không âm Khi

đó lũy thừa bậc k của A là một ma trận cấp n (ký hiệu A k )

được xác định một cách quy nạp như sau

A 0 = I n , A 1 = A, A 2 = AA, , A k = A k− 1 A.

Định nghĩa 6.2 (Lũy thừa ma trận )

Lũy thừa ma trận A có thể định nghĩa bằng cách dùng Định

nghĩa 5.8 với P 1 = P 2 = = P k = A.

Trang 48

c B = 3 3

0 3

d Tất cả các KQ trên đều sai.

Trang 51

Đa thức ma trận (+) I

Định nghĩa 6.3

Cho A ∈ M n (R) và đa thức bậc có hệ số thực

f (x) = a m x m + a m− 1 x m− 1 + + a 1 x + a 0 Khi đó

f (A) := a m A m + a m− 1 A m− 1 + + a 1 A + a 0 I n

được gọi là thức ma trận theo ma trận A.

Trang 53

Hướng dẫn:

Trang 54

Ví dụ về tính lũy thừa ma trận II

Chuyện cười 6.1

Truyện cười về không gian 13 chiều a Một nhà toán học và

một anh kỹ sư tham gia một buổi nói chuyện về hình học trong

không gian 13 chiều Sau buổi nói chuyện, nhà toán học hỏi

anh kỹ sư: “Anh cảm thấy thế nào ?” Anh kỹ sư trả lời:“Tôi

không thể hiểu nổi làm sao anh có thể cảm nhận được hình ảnh

trong không gian 13 chiều” Nhà toán học trả lời:“Không khó

lắm đâu Tôi chỉ cần hình dung nó trong không gian N chiều

bất kỳ rồi cho N = 13”.

ahttp://www.mathvn.com/2009/01/7-mau-chuyen- vui-ve- dan-toan.html,

http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/5267-tuy%E1%BB%83n-t%E1%BA%ADp-chuy%E1%BB%

87n-c%C6%B0%E1%BB%9Di-toan-h%E1%BB%8Dc/

Trang 55

Ví dụ về tính lũy thừa ma trận III

Ý tưởng toán học

Tổng quát hóa để giải quyết các vấn đề cụ thể Các vấn đề cụ

thể có thể không đơn giản bằng trường hợp tổng quát Điểm

đặc biệt bị yếu tố cụ thể “làm mờ”.

Trang 56

Hướng dẫn giải

• Cách 1: Bắt chước nhà toán học: Tính A n với n là số

nguyên dương tùy ý và sau cùng lấy n = 2014.

Trang 57

Phương Pháp qui nạp toán học I

Trang 58

Phương Pháp qui nạp toán học II

Khi đó P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n.

Trang 59

Phương Pháp qui nạp toán học III

Thí dụ 6.3 (Phương pháp qui nạp trong sinh học)

Nhà sinh vật học mong muốn kiểm tra một quần thể ruồi giấm

có mắt đỏ hay không Tuy nhiên, vì quần thể ruồi giấm rất lớn

nên nhà sinh vật học này không thể kiểm tra cho mọi cá thể.

Nhà sinh vật học đưa ra một vài nhận định ban đầu về ruồi

giấm: ở thế hệ đầu tiên có tính trạng mắt đó; từ đó, ông kết

luận rằng tất cả các ruồi giấm trong quần thể đó đều có mắt

Kết luận: mọi ruồi giấm trong quần thể trên đều có mắt đỏ.

Bài viết: ĐỂ HIỂU HƠN VỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

TOÁN HỌC (Hoàng Ngọc Thế - Đông Anh - Hà Nội) đăng

trên VMF Nguồn http://diendantoanhoc.net/topic/

69099-%C4%91%E1%BB%83-hi%E1%BB%83u-h%C6%A1n-v%E1%

BB%81-ph%C6%B0%C6%A1ng-ph%C3%A1p-quy-n%E1%BA%

CBGD: Lê Văn Chánh Đại số C

Trang 60

Hướng dẫn giải bằng qui nạp toán học

1 Dự đoán công thức bằng cách tính A 2 , A 3 ,

2 Chứng minh công thức vừa dự đoán bằng qui nạp.

Trang 61

Chỉ dẫn lịch sử I

Người đầu tiên đề nghị dùng các ký tự để biểu thị ma trận là

Laguerre (1934-1886) vào năm 1867 Có thể xem ông là cha đẻ

của việc tính toán trên ký hiệu (symbolic) thay vì các con số

hoặc các yếu tố hình học Đây là một bước nhảy vọt về tư duy

toán học.

Tên gọi ma trận được đưa ra bởi nhà toán học người Anh,

Sylvester (1814-1897) vào năm 1850 Ông cũng đưa ra nhận

xét khá thú vị về Toán học [ V01 ]:

Trang 62

Chỉ dẫn lịch sử II

Toán học không phải là một quyển sách chỉ gói gọn

giữa các tờ bìa mà người ta chỉ cần kiên nhẫn đọc hết nội

dung, toán học cũng không phải là một vùng mỏ quý mà

người ta chỉ cần có thời gian để khai thác; toán học cũng

không phải là một cánh đồng sẽ bị bạc màu vì những vụ

thu hoạch; toán học cũng không phải là lục địa hay đại

dương mà ta có thể vẽ chúng lại được Toán học không có

những giới hạn như không gian mà trong đó nó cảm thấy

quá chật chội cho những khát vọng của nó; khả năng của

toán học là vô hạn như bầu trời đầy các vì sao; ta không

thể giới hạn toán học trong những quy tắc hay định nghĩa

vì nó cũng giống như cuộc sống luôn luôn tiến hóa.

Trang 63

Chỉ dẫn lịch sử III

Phép nhân hai ma trận vuông cấp 3 được đưa ra bởi Gauss

(một nhà toán học người Đức) vào năm 1801.

Người bạn của Sylvester, cũng là nhà toán học người Anh,

Caylley (1821-1895), là người đầu tiên mô tả các phép toán

trên ma trận tổng quát và ma trận khả nghịch (kết quả này

được công bố trong một bài báo vào năm 1858).

Trang 66

Danh sách bài tập về nhà I

Bài tập “Ma trận- hệ phương trình tuyến tính” bao gồm:

1 Tính toán trên ma trận;

2 Lũy thừa bậc cao;

3 Tìm ma trận nghịch đảo (ứng dụng thuật toán

Gauss-Jordan);

4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp nghịch đảo ma

trận;

5 Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss;

6 Giải và biện luận hệ phương trình (ứng dụng thuật toán

khử Gauss và Định lý Kronecker-Carpéli);

7 Tìm hạng ma trận (ứng dụng thuật toán khử Gauss).

® Các dạng bài tập-bài tập (trong Slide):

Trang 67

Danh sách bài tập về nhà II

• Giải (+biện luận) hệ phương trình bằng phương

pháp khử Gauss: 8.5 , 8.12 , 8.10 , 8.11

•

[Bài tập trong sách tham khảo] Sinh viên chọn một trong hai

gói bài tập sau:

• Gói 1 [ T ]:

1 Tính toán ma trận cơ bản: 1.2-1.3, 1.12(a,c)

2 Tính lũy thừa ma trận: 1.8 (a,c).

3 Ma trận nghịch đảo: 1.19 (a, b, d), 1.20 (a, c).

4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp nghịch đảo: 1.31

(a-c).

5 Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss: 1.31

(a-c).

Trang 68

Danh sách bài tập về nhà III

4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp nghịch đảo: 81.

5 Giải (+biện luận) hệ phương trình bằng phương

pháp khử Gauss: 86, 88, 90.

6 Tìm hạng ma trận: 102, 104, 107 (trang 118).

7 Giải và biện luận hệ phương trình: 118, 119.

KBài tập có thưởng điểm:

Trang 69

Danh sách bài tập về nhà IV

• Bài tập trong Slides: 3.1 , 5.3 , 5.4 , 5.6 , 5.5 , 6.2 , 6.3 , 6.4

• Tìm hiểu tính chất phép toán nhân ma trận: 1.5, 1.10,

1.11 [ T ].

• Lũy thừa ma trận: 1.8(g), 1.9 [ T ].

• Vấn đề nghiệm của hệ tuyến tính: 8.2

Trang 72

Danh sách bài tập về nhà VII

Trang 73

Danh sách bài tập về nhà VIII

Bài tập 6.8 (Bài tập 108 (Chương 2) [ T.01 ])

Trang 75

Danh sách bài tập về nhà X

Bài tập 6.10 (Bài tập 1.16 (a,d) [ T ])

Tìm và biện luận hạng theo tham số m của ma trận sau

Trang 76

Review 6.1

Hãy trình bày ngắn gọn và minh họa các lý thuyết, phương

pháp, kỹ thuật tính toán đã được trình bài trong buổi này.

Trang 77

Kết thúc buổi 1

Trang 78

Bài tập kiểm tra 20 phút đầu giờ

Trang 79