Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 13 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
13
Dung lượng
280,34 KB
Nội dung
GV : LÊ VĂN HỢP CHƯƠNG I MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH N tập hợp số nguyên không âm N* = N \ {0} Z tập hợp số nguyên Z* = Z \ {0} Q tập hợp số hữu tỉ Q* = Q \ {0} R tập hợp số thực R* = R \ {0} I MA TRẬN: 1.1/ ĐỊNH NGHĨA: Cho m, n N* Một ma trận thực A có kích thước (m x n) bảng số thực hình chữ nhật có m dòng n cột sau: a11 a A = 21 am1 a12 a1n a22 a2 n hay A = aij 1i m với aij R (1 i m, j n) 1 j n am amn Khi m = n A = aij ma trận vuông thực cấp n 1 i , j n Ký hiệu : Mm x n(R) tập hợp ma trận thực (m x n) Mn(R) tập hợp ma trận vuông thực cấp n Ví dụ: 3 A = aij 1i 3 = 1 1 j 2 ln 1/ B = bij 1i , j 3 = 5 / 8 5 cos M3 x 4(R) a14 = 5, a33 = a21 = 9 M3(Q) b13 = 0, b22 = b32 = / 6 4 D = M4 x 1(N) 1 9 C = 9 1 M1 x 5(Z) 1.2/ ĐỊNH NGHĨA: Ma trận không ma trận có tất hệ số Ký hiệu ma trận không O (hiểu ngầm kích thước) hay Om x n hay On Ví dụ: 0 0 0 O3 x = 0 0 M3 x 4(R) O3 = 0 0 0 0 0 0 M3(R) 0 0 1.3/ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÒNG CHO MA TRẬN: Cho A Mm x n(R) Xét i j m Có hình thức biến đổi sơ cấp dòng cho ma trận: a) Hoán vị dòng (i) với dòng (j) Ta ghi (i) (j) b) Nhân dòng (i) với số c R* Ta ghi (i) c(i) c) Thế dòng (i) [ dòng (i) + c.dòng (j) ] với số c R Ta ghi (i) [(i) + c(j)] Các phép biến đổi đảo ngược phép biến đổi sơ cấp dòng (i) (j), (i) c1(i) (i) [(i) c(j)] Ví dụ: 3 A = 2 3 A = 2 3 A = 2 1 6 1 6 1 6 5 2 A1 = 3 4 5 3 A2 = 21/ 2 4 5 3 A3 = 12 4 6 4 1 qua phép biến đổi (1) (3) 5 3 / 6 qua phép biến đổi (2) (2) 6 4 5 1 qua phép biến đổi (3) [(3) + 2(2)] 8 12 Các phép biến đổi đảo ngược phép biến đổi sơ cấp dòng nói (1) (3), (2) 4 (2) (3) [(3) 2(2)] 1.4/ SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG DÒNG: Cho A, B Mm x n(R) Ta nói A B tương đương dòng với A biến đổi thành B (và ngược lại) số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng Ký hiệu A B để A B tương đương dòng với Quan hệ tương đương dòng quan hệ tương đương Mm x n(R) Ví dụ: 1 1 4 7 / 3 / 2 A = 5 3 1 3 24 1 3 24 1 3 24 4 4 1 1 7 / 3 / 2 1 3 24 = B Để ý A biến thành B qua phép biến đổi sơ cấp 16 16 1 dòng liên tiếp (2) [(2) + 2(1)], (1) (3), (1) (1) (3) [(3) 8(1)] Như B lại biến thành A qua phép biến đổi sơ cấp dòng liên tiếp (3) [(3) + 8(1)], (1) 4(1), (1) (3) (2) [(2) 2(1)] Vậy A B II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 2.1/ ĐỊNH NGHĨA: Cho m, n N* Một hệ phương trình tuyến tính thực với m phương trình n ẩn số hệ phương trình có dạng sau: a11 x a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 2n n (*) 21 21 với aij, bi số thực cho trước (1 i m, j n) am1 x1 am x2 amn xn bm x1, x2, … , xn (đều xuất dạng bậc nhất) n ẩn số thực cần tìm Đặt A = aij 1i m Mm x n(R), B = bi 1i m Mm x 1(R) X = x j 1 j n Mn x 1(R) 1 j n hệ (*) viết gọn thành dạng AX = B (A | B) (ma trận X hiểu ngầm) Ví dụ: x1 x2 x3 x4 Xét hệ x3 x4 x1 Hệ viết gọn thành AX = B (A | B) với 9 x x x x 4 2 4 A = 3 7 , B = 6 7 X = 4 x1 x2 x3 x4 2.2/ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THỰC: Xét hệ phương trình tuyến tính thực AX = B (*) nêu (2.1) Ta nói (c1, c2, …, cn) Rn nghiệm (*) tất phương trình (*) thỏa x1 = c1, x2 = c2, … xn = cn Ví dụ: 2 x1 x2 x3 3x4 22 Xét hệ x1 x3 x4 12 Ta có (2,0,3,1) nghiệm hệ cho x x x 15 2.3/ MỆNH ĐỀ: (số lượng nghiệm hệ phương trình tuyến tính thực) Xét hệ phương trình tuyến tính thực AX = B Có trường hợp sau xảy : a) Hệ vô nghiệm b) Hệ có nghiệm c) Hệ có vô số nghiệm Ví dụ: a) Phương trình 0x = vô nghiệm Phương trình 2x = 6 có nghiệm x = 3 Phương trình 0x = có vô số nghiệm (x thực tùy ý) b) Hệ (3x + 7y = 15 & 9x 21y = 4) vô nghiệm Hệ (3x + 7y = 15 & 4x 5y = 7) có nghiệm (x = 2, y = 3) Hệ (3x + 7y = 15 & 6x 14y = 30) có vô số nghiệm với ẩn tự x y Ghi kết quả: [ x thực tùy ý, y = (3x + 15)/7 ] [ y thực tùy ý, x = (7y 15)/3 ] 2.4/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ( hay HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ĐẲNG CẤP ): Xét hệ phương trình tuyến tính AX = O (có vế phải triệt tiêu) Hệ có nghiệm tầm thường (x1 = 0, x2 = 0, … , xn = 0) Do có trường hợp sau xảy : a) Hệ có nghiệm (chính nghiệm tầm thường) b) Hệ có vô số nghiệm Ví dụ: a) Hệ (9x + 7y = & 4x 5y = & 3x + 8y = 0) có nghiệm (x = 0, y = 0) b) Hệ (5x + 8y 4z = 0) có vô số nghiệm với hai ẩn tự (x,y) (x,z) (y,z) Ta ghi kết theo dạng sau : [ x, y R, z =(5x + 84)/4 ] [ x, z R, y = (4z 5x)/8 ] [ y, z R , x = (4z 8y)/5 ] III PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 3.1/ MỆNH ĐỀ: a) Nếu hai hệ phương trình tuyến tính AX = B CX = D có ma trận (A | B) (C | D) tương đương dòng với hai hệ tương đương (nghĩa hai hệ có tập hợp nghiệm) b) Suy trình giải hệ phương trình tuyến tính, ta sử dụng tùy ý phép biến đổi sơ cấp dòng mà không làm thay đổi tập hợp nghiệm 3.2/ VÍ DỤ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT: Xét hệ phương trình tuyến tính với ẩn số x, y, z t : x y z t 2 2 1 3 6 1* 8 0 4 8 0 x y * 1 0 * 0 1* 0 0 2 2 18 * z 2 1 4 10 7 4 1* * 0 14 20 0 16 2 18 36 18 54 26 10 54 90 t 1 0 4 1* 0 0 1* 36 0 1* 1 2 : nghiệm (x = 1, y = 2, z = 1, t = 2) 1 2 Bảng 1: (2) (2) + 2(1), (3) (3) 3(1), (4) (4) 2(1) Bảng 2: (2) (2) + (3), (1) (1) 2(2), (3) (3) + 4(2), (4) (4) + 7(2) Bảng 3: (4) (4) (3), (3) 181(3), (1) (1) 7(3), (2) (2) + 2(3) Bảng 4: (4) 181(4), (1) (1) + 2(4), (2) (2) 3(4), (3) (3) + 2(4) 3.3/ VÍ DỤ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÔ NGHIỆM: Xét hệ phương trình tuyến tính với ẩn số x, y, z, t u: x y z t u 3 1 1 2 1* 0 0 2 3 2 5 23 * 60 30 1 1* 9 2 7 11 13 0 7 3 3 6 4 9 1 0 0 6 12 24 3 14 1 6 19 1 1 1* 4 2 0 9 6 1 7 11 13 19 3 6 1 4 4 4 : vô nghiệm Bảng 1: (4) (4) (1), (1) (1) (2), (2) (2) 2(3), (3) (3) (1) Bảng 2: (2) (3) Bảng 3: (1) (1) 2(2), (3) (3) + 7(2), (4) (4) + 3(2) Bảng 4: (3) (3) 2(4) 3.4/ VÍ DỤ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CÓ VÔ SỐ NGHIỆM: Xét hệ phương trình tuyến tính với ẩn số x1, x2, x3, x4 x5: x1 x2 x3 x4 x5 2 1* 0 0 1 3 1 1 1 2 4 2 7 x1 x2 x3 x4 * 1 * 0 0 1 3 1 2 2 6 15 2 10 5 2 1* * 3 0 15 5 0 2 1/ 1 1 1/ 3 12 4 1/ 3 / x5 7 / 1 5 / * 1/ 0 5/ 5 / : cột (3) (5) không biến đổi 2/3 Hệ có vô số nghiệm với ẩn tự do: x3 = a, x5 = b (a, b R), x1 = (7b 6a + 5)/6, x2 = (6a 5b 5)/6, x4 = (b + 2)/3 Bảng 1: (2) (2) (1), (3) (3) 4(1), (4) (4) 2(1) Bảng 2: (3) (3) 3(2), (4) (4) + (2) (2) 21(2) , (1) (1) (2) Bảng 3: (3) 91(3), (4) (4) 12(3), (1) (1) + 2(3), (2) (2) + (3) 3.5/ CÁC CỘT CHUẨN (có m DÒNG): 1* 0 1* 0 0 0 E1 = , E2 = , E3 = 0 0 0 0 0 0 1* , … , Em = 0 0 0 0 0 0 0 0 Em = * 1 0 * 0 1 3.6/ PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN: (GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH): Xét hệ phương trình tuyến tính thực (A | B) có m phương trình n ẩn số Ta thực bước sau đây: * Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng thích hợp để xây dựng cột chuẩn E1, E2, E3, … A (từ trái qua phải) Việc chuẩn hóa cột phải tuân thủ qui định sau : - Khi xây dựng Ek , không làm thay đổi cột E1, E2, … , Ek có trước - Nếu cột xét chuẩn hóa thành Ek xét qua cột kế cận bên phải - Sau xây dựng xong Ek , phải tiến hành việc xây dựng Ek + * Quá trình chuẩn hóa cột kết thúc gặp mâu thuẫn chuẩn hóa xong cột cuối A mà không gặp mâu thuẫn * Khi kết thúc trình chuẩn hóa cột A, có trường hợp sau xảy ra: a) Trường hợp 1: Ta gặp mâu thuẫn chuẩn hóa [ nghĩa gặp dòng có dạng 0 a với a Dòng hệ hai dòng có tỉ lệ không tương thích vế trái vế phải ] Khi hệ vô nghiệm b) Trường hợp 2: Ta xây dựng n cột chuẩn liên tiếp E1, E2, … , En A mà không gặp mâu thuẫn Khi hệ có nghiệm cách dùng phương trình không tầm thường theo thứ tự từ xuống hệ cuối trình chuẩn hóa để tính ẩn từ trái qua phải c) Trường hợp 3: Ta xây dựng k cột chuẩn E1, E2, … , Ek (k < n) A xen kẽ với (n k) cột khác không chuẩn hóa mà không gặp mâu thuẫn Khi hệ có vô số nghiệm với (n k) ẩn tự sau : * Các ẩn ứng với cột không chuẩn hóa ẩn tự lấy giá trị thực tùy ý * Các ẩn lại (ứng với cột chuẩn hóa được) tính theo ẩn tự dựa theo phương trình không tầm thường theo thứ tự từ xuống hệ cuối trình chuẩn hóa 3.7/ ĐIỀU KIỆN CHUẨN HÓA CỦA MỘT CỘT: u1 0 0 u2 uk 1 Ta muốn chuẩn hóa cột U = thành Ek = * (số 1* vị trí dòng k ) u k uk 1 0 u m 0 a) Nếu uk = uk+1 = … = um = U chuẩn hóa thành Ek (không sử dụng u1 , u2 , … , uk1 để tạo 1* cho Ek cần bảo toàn E1, E2, … , Ek có trước Còn uk , uk + , … , um để tạo 1* cho Ek được) b) Nếu có hệ số số uk , uk+1 , … , um U chuẩn hóa thành Ek (hệ số tự chia cho để tạo 1* cho Ek Dùng 1* để tạo hệ số cho Ek Nếu 1* nằm dòng thứ j với j k ta hoán vị dòng (j) (k) với nhau) Ví dụ: 4 2 5 0 9 8 a) Ta muốn chuẩn hóa cột U = V = thành E4 0 0 0 7 0 3 U chuẩn hóa thành E4 (vì u4 = u5 = u6 = 0) V chuẩn hóa thành E4 (vì có v5 = 0) phép biến đổi (5) (5) + 2(6), (1) (1) 2(5), (3) (3) + 8(5), (6) (6) + 3(5) (4) (5) b) Trường hợp hệ phương trình tuyến tính (4 ẩn x, y, z, t) vô nghiệm: 1* (A | B) 0 0 5 1 2 6 12 3 2 0 0 1 : mâu thuẫn hệ vô nghiệm 4 5 E1 Dòng (3) (4) có tỉ lệ không tương thích vế trái vế phải : (4) (4) + (3) c) Trường hợp hệ phương trình tuyến tính (3 ẩn x, y, z) có nghiệm nhất: x y z 1* 0 1* (A | B) 0 1* 0 0 ln : nghiệm ( x = 4/9 , y = ln3, z = 4/ ) d) Trường hợp hệ phương trình tuyến tính (9 ẩn x1, x2, … , x9) có vô số nghiệm: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 1* * 0 0 (A | B) 0 0 0 0 E1 E2 5 3 0 1* 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 1* 0 1* 0 0 0 E3 1 0 sin 3 4 / E4 E5 Các cột (3), (4), (6), (9) không chuẩn hóa hệ có vô số nghiệm với ẩn tự do: x3 = a, x4 = b, x6 = c, x9 = d, (a, b, c, d R, x1 = 5a 8b 7d, x2 = 2a + 3b 9c + sin8, x5 = 4c + d , x7 = x8 = 6d 3.8/ VÍ DỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THỰC CÓ THAM SỐ: Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính với ẩn số x, y, z theo tham số thực m x y z 1 1 1 m 1 m m 1 m 1* 1 m 1 1 m m 1 (*) m 1 1 1 m 1 m 1 m 1 m E1 Bảng 1: (2) (2) (3), (3) (3) (1), (4) (4) m(1) a) Nếu m = hệ tương đương với phương trình x + y + z = Hệ có vô số nghiệm với ẩn tự (y, z R, x = y z) b) Nếu m 1, ta tiếp tục biến đổi hệ (*) : x y z 1* 1 m 1* * 1 m m 1 m 1 0 0 1 m 1 m 1 m 1 m 0 E1 E1 E2 m 1* 0 * 1 0 1* m 1 1 m 2(1 m) m 0 0 m2 1 1 (1 m)(m 3) E1 E2 E3 Khi m 3 hệ vô nghiệm Khi m = 3 hệ có nghiệm (x = y = z = 1) Bảng 1: (3) (3) + (2), (4) (4) (2), (2) (1 m)1(2), (1) (1) (2) Bảng 2: (4) (4) + 2(3), (3) (m 1)1(3), (1) (1) 2(3), (2) (2) + (3) 3.9/ CÁC CỘT BÁN CHUẨN (có m DÒNG): Dạng tổng quát cột bán chuẩn có m dòng a* b d c* e 0 0 0 f* F1 = , F2 = , F3 = , … , Fm = 0 0 0 0 v1 u1 u v2 u3 v3 Fm = vm 1 um* 1 * vm a*, c*, f*, … , um* 1 , vm* số thực tùy ý b, d, e, … , u1, u2, … , um , v1, v2, … , vm số thực tùy ý Các cột chuẩn (có m dòng) cột bán chuẩn (có m dòng) đặc biệt Ví dụ: Một số cột bán chuẩn có dòng : ln 2* * * F1 = , F2 = , F3 = 1 , F4 = * 4 / e F5 = / sin * 3.10/ PHƯƠNG PHÁP GAUSS (GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH): Xét hệ phương trình tuyến tính thực (A | B) có m phương trình n ẩn số Phương pháp Gauss có tương tự định với phương pháp Gauss – Jordan ta xây dựng cột bán chuẩn (thay cột chuẩn) Điều kiện để cột bán chuẩn hóa y hệt điều kiện chuẩn hóa (xem 3.7) Phương pháp Gauss thực cụ thể sau : * Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng thích hợp để xây dựng cột bán chuẩn F1, F2, F3, … A (từ trái qua phải) Việc bán chuẩn hóa cột phải tuân thủ qui định sau : - Khi xây dựng Fk , không làm thay đổi cột F1, F2, … , Fk có trước - Nếu cột xét bán chuẩn hóa thành Fk xét qua cột kế cận bên phải - Sau xây dựng xong Fk , phải tiến hành việc xây dựng Fk + * Quá trình chuẩn hóa cột kết thúc gặp mâu thuẫn bán chuẩn hóa xong cột cuối A mà không gặp mâu thuẫn * Khi kết thúc trình bán chuẩn hóa cột A, có trường hợp sau xảy ra: a) Trường hợp 1: Ta gặp mâu thuẫn[ nghĩa gặp dòng có dạng 0 a với a Dòng hệ hai dòng có tỉ lệ không tương thích vế trái vế phải ] Khi hệ vô nghiệm b) Trường hợp 2: Ta xây dựng n cột bán chuẩn liên tiếp F1, F2, … , Fn A mà không gặp mâu thuẫn Khi hệ có nghiệm xác định sau: dùng phương trình không tầm thường theo thứ tự từ lên hệ cuối trình bán chuẩn hóa để tính ẩn từ phải qua trái (dùng ẩn biết để tính ẩn chưa biết) c) Trường hợp 3: Ta xây dựng k cột bán chuẩn F1, F2, … , Fk (k < n) A xen kẽ với (n k) cột khác không bán chuẩn hóa mà không gặp mâu thuẫn Khi hệ có vô số nghiệm với (n k) ẩn tự xác định sau: * Các ẩn ứng với cột không bán chuẩn hóa ẩn tự lấy giá trị thực tùy ý * Các ẩn lại (ứng với cột bán chuẩn hóa được) tính theo ẩn tự cách dùng phương trình không tầm thường theo thứ tự từ lên hệ cuối trình bán chuẩn hóa để tính ẩn từ phải qua trái (dùng ẩn biết để tính ẩn chưa biết) Ví dụ: a) Trường hợp hệ phương trình tuyến tính có nghiệm (các ẩn x, y, z, t): x y z t 1 4 1 12 2 5 6 3 20 2* 18 0 38 14 0 F1 x * 2 0 0 y z 3 2 6 1 3 2* 24 0 41 23 0 1 * 3 2 3 24 5 F1 F2 t 1 * 3 2 * 0 6* F1 1 F2 F3 3 24 : hệ có nghiệm sau: 5 F4 t = [6/(6)] = 1, z = 9t = 4, y = [(4z 2t 24)/3] = 2, x = [(y 5t + 3)/2 = 3] Bảng 1: (2) (2) + 2(1), (3) (3) + (1), (4) (4) 3(1) Bảng 2: (3) (3) + 2(4), (4) (4) + (2) Bảng : (4) (4) (3) 10 b) Trường hợp hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm (các ẩn x, y, z, t): x y z t 16 1* 0 0 19 12 15 5 2 8 7 15 17 4 3 1 1 1 18 6 3 11 2 1* 0 16 14 0 F1 0 0 3 : hệ vô nghiệm 3 1 1 2 6 * 2 3 4 5 F1 F2 Bảng 1: (3) (3) + 2(2), (1) (1) + 2(2), (2) (2) + 2(1), (4) (4) + 7(1) Bảng 2: (3) (3) 4(2), (4) (4) + 3(2) Bảng : (4) (4) + 2(3) c) Trường hợp hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm (các ẩn x1, x2, x3, x4, x5): x1 x2 x3 x4 x5 1* 1 2 1 10 4 12 11 20 2 1 2 1 6 6 2 5 F1 1* 7 0 31 12 0 1 2 * 1 0 4 2 4 7 4 F1 F2 x1 x2 x3 x4 x5 1* 0 0 1 2 * 1 0 * 2 0 4 7 : cột (4) (5) không bán chuẩn hóa 2 F1 F2 F3 Hệ có vô số nghiệm với ẩn tự : x4 = a, x5 = b (a, b R), x3 = (2a b + 2)/3, x2 = (x3 2b 7)/2 = (2a 7b 19)/6, x1 = x2 3x3 + 2a + = (2a b 7)/6 Bảng 1: (2) (2) 3(1), (3) (3) + (4), (4) (4) + 2(1) Bảng 2: (3) (3) 5(2), (4) (4) 2(2) Bảng : (3) 21(3), (4) (4) (3) IV HẠNG CỦA MA TRẬN: 4.1/ DẠNG BẬC THANG VÀ DẠNG BẬC THANG RÚT GỌN CỦA MA TRẬN: Cho A Mm x n(R) a) Bán chuẩn hóa tối đa cột A, ta ma trận SA Mm x n(R) (biến đổi Gauss) Trong SA, dòng không tầm thường (dòng O) nằm phía dòng O số hạng dòng số hạng có đánh dấu * cột bán chuẩn Ta nói SA dạng bậc thang A hay ma trận rút gọn theo dòng A Dạng bậc thang SA A không 11 b) Chuẩn hóa tối đa cột A, ta ma trận RA Mm x n(R) (biến đổi Gauss - Jordan) Trong RA, dòng không tầm thường (dòng O) nằm phía dòng O số hạng dòng số 1* cột chuẩn Ta nói RA dạng bậc thang rút gọn A hay ma trận rút gọn theo dòng bậc A Dạng bậc thang RA A RA dạng đặc biệt SA 4.2/ HẠNG CỦA MA TRẬN: Cho A Mm x n(R) dạng SA RA A Đặt r(A) = (hạng A) = số dòng không tầm thường (dòng O) SA(hay RA) hay r(A) = (hạng A) = số cột (bán) chuẩn diện RA (hay SA) Ta có r(A) min{ m, n } Khi A = Om x n r(A) = Khi A Om x n r(A) Ví dụ: Xét A M4 x 5(R) sau: 7 1 3 2 1 1 A= 3 16 32 1 4 13 24 1* 1* 3 2 7 5 5 15 1 3 10 10 16 45 F1 * 1 3 2 1* 1 0 2 * 0 7 3 = SA F1 * 1 * 0 0 0 1 0 * 1 2 1 1* 0 2 0 0 3 2 * 1 0 0 7 1 2 15 F2 1 0 1* 0 1/ = RA 5 / F1 F2 F3 E1 E2 E1 E2 E3 Ta có r(A) = SA (hay RA) có dòng không tầm thường (3 dòng O) Ta có r(A) = RA (hay SA) có cột (bán) chuẩn r(A) = min{ m = 4, n = } = Bảng 1: (2) (2) + 2(1), (3) (3) + (4), (4) (4) + 3(1) Bảng 2: (4) (4) 2(2), (2) 51(2), (3) (3) (2) Bảng : (4) (4) + 3(3) Bảng : (1) (1) + 3(2), (1) (1) Bảng : (1) (1) + (3), (3) 21(3), (2) (2) + (3) 4.3/ ĐỊNH LÝ KRONECKER – CAPELLI: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B có m phương trình n ẩn số Đặt A = (A | B) Mm x (n + 1)(R) Ta gọi A ma trận bổ sung hệ (A | B) Ta có r(A) = k n [ r( A ) = r(A) hay r( A ) = r(A) + ] a) Nếu r( A ) = r(A) + hệ (A | B) vô nghiệm b) Nếu r( A ) = r(A) = n hệ có nghiệm c) Nếu r( A ) = r(A) = k < n hệ có vô số nghiệm với số ẩn tự (n k) 12 Ví dụ: a) Hệ AX = B (3.2) có r( A ) = r(A) = n = nên hệ có nghiệm b) Hệ AX =|B (3.3) có r( A ) = = = + = r(A) + nên hệ vô nghiệm c) Hệ AX = B (3.4) có r( A ) = r(A) = k = < n = nên hệ có vô số nghiệm với số ẩn tự (n k) = (5 3) = d) Hệ AX = B (3.8) : * Khi m = r( A ) = r(A) = k = < n = nên hệ có vô số nghiệm với số ẩn tự (n k) = (3 1) = * Khi m = 3 r( A ) = r(A) = n = nên hệ có nghiệm * Khi 3 m r( A ) = = + = r(A) + nên hệ vô nghiệm e) Các hệ AX = B Ví dụ (3.10) khảo sát cách tương tự - 13 ... lấy giá trị thực tùy ý * Các ẩn lại (ứng với cột chuẩn hóa được) tính theo ẩn tự dựa theo phương trình không tầm thường theo thứ tự từ xuống hệ cuối trình chuẩn hóa 3.7/ ĐIỀU KIỆN CHUẨN HÓA CỦA... 21(3), (4) (4) (3) IV HẠNG CỦA MA TRẬN: 4.1/ DẠNG BẬC THANG VÀ DẠNG BẬC THANG RÚT GỌN CỦA MA TRẬN: Cho A Mm x n(R) a) Bán chuẩn hóa tối đa cột A, ta ma trận SA Mm x n(R) (biến đổi Gauss)... đánh dấu * cột bán chuẩn Ta nói SA dạng bậc thang A hay ma trận rút gọn theo dòng A Dạng bậc thang SA A không 11 b) Chuẩn hóa tối đa cột A, ta ma trận RA Mm x n(R) (biến đổi Gauss - Jordan) Trong