bài giảng đại số tuyến tính định thức

Quy tắc SarrusNếu A là ma trận vuông cấp 3 thì ta có thể tính detA bằng cách: Ghi lại cột thứ nhất và thứ hai theo thứ tự bên phải cột thứ ba tạo thành ma trận 3 dòng, 5 cột... Công thức

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1

Slides Chương 2:

Định thức

Giảng viên: Trịnh Thanh Đèo

Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011

NỘI DUNG

Định thức

Cho A =







a11 a12 a 1n

a21 a22 a 2n

an1 an2 ann







∈ Mn(R).

Ta gọi định thức của A, ký hiệu bởi |A| hoặcdet(A),

hoặc

a11 a12 a 1n

a21 a22 a 2n

an1 an2 ann

,

là một số thực, được xác định bằng quy nạp theo n như sau:

+ Nếu n = 1, nghĩa là A = ( a11 ), thì det(A) = a11

+ Nếu n = 2, nghĩa là A = a11 a12

a21 a22

 , thì

det(A) =

a11 a12

a21 a22

=a11a22− a12a21

Định thức

+ Nếu n > 2, ta đặt c ij= (−1)i+j det(A(i|j)), với A(i|j) là ma trận có được

từ A bằng cách ‘xóa' dòng i và cột j của A.

Khi đó det(A) = a11c11+a12c12+ · · · +a 1n c 1n,

Các phần tử cij xác định như trên được gọi làđồng thừa, hayphần bù đại số của hệ số aij

Ví dụ. Tính ∆ =

Giải.

Ta có các đồng thừa của dòng 1 là:

c11=

1 −4

= 6;c12 = −

3 −4

= 10;c13=

1 −2

= 7

Do đó ∆ = a11c11+a12c12+a13c13= 2.6 + 3.10 + (−3).7 = 21

Định thức của ma trận vuông cấp n còn được gọi là định thức cấp n

Quy tắc Sarrus

Nếu A là ma trận vuông cấp 3 thì ta có thể tính det(A) bằng cách:

Ghi lại cột thứ nhất và thứ hai (theo thứ tự) bên phải cột thứ ba tạo thành ma trận 3 dòng, 5 cột

Khi đó det(A) = tổng các tính trên `đường chéo chính'trừ đi tổng các tích trên `đường chéo phụ'như sơ đồ sau:





a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32





? cột1

? cột2

? cột3

? cột1

? cột2

b b b b b b

b b b b b b

b b b b b b

b b b b b b

b b b b b b

b b b b b b

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

Quy tắc tính định thức như trên được gọi làQuy tắc Sarrus.

Ví dụ.

1 2 3

4 2 1

3 1 5

= 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31

Công thức khai triển định thức theo dòng và cột

Định lý. Cho A = (aij) ∈ Mn(R) và đặt cij= (−1)i+j det(A(i|j)) là đồng thừa

của aij Khi đó:

(i) det(A) = ai1ci1+ai2ci2+ · · · +aincin. (1) (ii) det(A) = a 1j c 1j+a 2j c 2j+ · · · +anjcnj. (2)

Công thức (1) được gọi là công thức khai triển det(A) theo dòng i Công thức (2) được gọi là công thức khai triển det(A) theo cột j

Ví dụ.

1 2 3

4 2 1

3 1 5

dòng 2

=== −4

2 3

1 5

+ 2

1 3

3 5

−

1 2

3 1

= −28 − 8 + 5 = −31

cột 3

=== 3

4 2

3 1

−

1 2

3 1

+ 5

1 2

4 2

= −6 + 5 − 30 = −31

Công thức khai triển định thức theo dòng và cột

Nhận xét. Từ công thức khai triển định thức theo dòng và cột, ta được: i) Nếu A có một dòng hoặc một cột bằng 0 thì det(A) = 0;

ii) Nếu A là ma trận tam giác thì det(A) bằng tích các phần tử thuộc

đường chéo của nó

iii) Nếu aij = 0 thìaijcij= 0 nên, để đơn giản cho quá trình tính toán, ta có thể khai triển theo dòng hoặc cột nào đó có nhiều hệ số 0 nhất, khi đó ta chỉ cần xác định các đồng thừa tương ứng với các hệ số khác 0

Ví dụ.

3 1 0 3

5 7 4 6

0 2 0 1

0 1 0 1

cột 3

=== −4

3 1 3

0 2 1

0 1 1

cột 1

=== −12

2 1

1 1

= −12

Định lý 1. Cho A ∈ Mn(R) Khi đó det(A>) = det(A);

Định lý 2. Cho A, B ∈ Mn(R) Khi đó det(AB) = det(A).det(B).

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

Định lý. Cho A, A0∈ Mn(R) Khi đó:

i) Nếu A−−−→d i ↔d j

i6=j A0 thì det(A0) = −det(A),

ii) Nếu A αd i

−−→ A0 thì det(A0) = αdet(A),

iii) Nếu A−−−−→d i+αd j

i6=j A0 thì det(A0) = det(A)

Do det(A>) = det(A) nên bằng cách trang bị thêm khái niệm biến đổi sơ cấp trên cột đối với định thức, ta được kết quả sau:

Hệ quả. Cho A, A0∈ Mn(R) Khi đó:

i) Nếu A−−−→c i ↔c j

i6=j A0 thì det(A0) = −det(A),

ii) Nếu A αc i

−→ A0 thì det(A0) = αdet(A),

iii) Nếu A−c−−−i+α→c j

i6=j A0 thì det(A0) = det(A)

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

Ví dụ 1.

4 8 4 −4

d4−d1 d3 −4d2

=====

d2 −d1

0 1 −2 −2

= −8

Ví dụ 2.

d2−d1 d3 −d1

=====

d4 −d1

cột 1

===

1 4 −1

−3 1 −1

d2 −d1

=====

cột 3

=== −

−4 −3

= 14

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

Nhận xét. Dựa vào mối liên hệ giữa định thức và các phép biến đổi sơ cấp

ta có các nhận xét sau cho quá trình biến đổi định thức:

i) Nếu đổi hai dòng hoặc hai cột của ma trận thì phải đổi dấu định thức; ii) Nếu một dòng hoặc một cột nào đó chia hết cho một số α thì ta có thể đem α ra ngoài dấu định thức làm nhân tử chung;

iii) Nếu ta dùng phép biến đổi loại 3 đối với dòng hoặc cột thì không làm thay đổi giá trị định thức

Ví dụ.

αa αb αc

= α

a b c

= −α

a b c

= α

c b a

=

f αe d

c αb a

i αh g

Ma trận phó

Cho A = (aij) ∈ Mn(R) Đặt cij = (−1)i+j det(A(i|j)), và

adj(A) =







c11 c21 cn1

c12 c22 cn2

c 1n c 2n cnn







Ta gọi adj(A) là ma trận phóhayma trận phụ hợp của A.

Ví dụ. Xét A = x y

z t



Ta có các đồng thừa của A là:

c11=t; c12 = −z; c21= −y;c22=x.

Do đó ma trận phó của A là adj(A) =



t −y

 Như vậy, ma trận phó của ma trận cấp 2 có được từ ma trận gốc bằng cách đổi chỗ hai phần tử trên đường chéo chính và đổi dấu hai phần tử trên đường chéo phụ

Ma trận phó

Ví dụ. Tìm ma trận phó của A =





1 2 −1

2 1 −2





Giải.

Ta có các phần bù đại số của A là:

c11=





2 −1

1 −2

= −3 ,c12= −

1 −1

2 −2

= 0 ,c13 =

1 2

2 1

= −3 ,

c21 = −





1 −2

= 4 ,c22 =

2 −2

= −6 , c23 = −

1 1

2 1

= 1 ,

c31 =





2 −1

= −5 ,c32 = −

1 −1

= 3 , c33 =

1 1

1 2

= 1

Do đó ma trận phó của A là adj(A) =









Ứng dụng định thức để tìm ma trận nghịch đảo

Định lý. Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó:

A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 6= 0.

Nếu A khả nghịch thì nghịch đảo của A là A−1= 1

det(A) adj(A).

Phương pháp xác định tính khả nghịch và tìm nghịch đảo

Để xét tính khả nghịch và tìm nghịch đảo của ma trận A ∈ Mn(R), ta thực

hiện như sau:

Tính det(A) và suy ra tính khả nghịch của A.

Nếu A khả nghịch thì ta xác định tất cả các phần bù đại số của A Xây dựng ma trận phó adj(A) của A.

Áp dụng công thứcA−1= 1

det(A) adj(A) ta xác định được A

−1

Ứng dụng định thức để tìm ma trận đảo

Ví dụ. Tìm nghịch đảo của ma trận A =





1 2 −1

2 1 −2





Giải.

Ta có |A| = (−4 − 2 + 2) − (8 − 2 − 1) = −9 6= 0, nên A khả nghịch Các phần bù đại số của A là:

c11= −3, c12= 0,c13 = −3,

c21= 4, c22= −6,c23 = 1,

c31= −5, c32= 3,c33 = 1

Ma trận phó của A là adj(A) =









Do đó A−1 = 1

det(A) adj(A) = −

1 9









Ứng dụng định thức để giải hệ phương trình tuyến tính

Quy tắc Cramer

Xét hệ PTTT gồm n phương trình và n ẩn có dạng AX = B.

Đặt Aj là ma trận có được từ A bằng cách thay cột j của A bởi cột B.

Khi đó

i) Nếu det(A) 6= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi

x1= det(A1)

det(A),x2=

det(A2)

det(A), ,xn=

det(A n)

det(A).

ii) Nếu det(A) = 0 và tồn tại j sao cho det(Aj) 6= 0 thì hệ vô nghiệm.

iii) Nếu det(A) = 0 và det(A j) = 0, ∀j thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

Trong trường hợp này, để giải tìm nghiệm, ta có thể dùng biến đổi sơ cấp trên dòng

Ứng dụng định thức để giải hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer:







x1 − 2x2 + 2x3 = 3;

−2x1 + 2x2 − x3 = 1;

4x1 + x2 + 5x3 = −2

(1)

Giải. (1) ⇔AX = B, với A =







;B =





3 1

−2





Ta có det(A) =

= −21; det(A1) =

= 49;

det(A2) =

= 21; det(A3) =

= −35

Do đó hệ có nghiệm duy nhất

(x1,x2,x3) =

det(A1)

det(A),

det(A2)

det(A),

det(A3)

det(A)



=



− 7

3, −1,

5 3



Ứng dụng định thức để giải hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 2. Giải và biện luận hệ phương trình:







−2x1 + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2;

mx1 + x2 + (m + 1)x3 = −2

(1)

Giải. (1) ⇔AX = B, với A =





−2 m − 2 m − 5



;B =





0 2

−2





Ta có det(A) = (m − 1)(m − 3);

det(A1) =

2 m − 2 m − 5

= −4(m − 3);

det(A2) =

= 0; det(A3) =

−2 m − 2 2

= 2(m − 3)

Ứng dụng định thức để giải hệ phương trình tuyến tính

Do đó:

Nếu |A| 6= 0 (nghĩa là m 6= 1 và m 6= 3)

thì hệ có nghiệm duy nhất

(x1,x2,x3) =

det(A1)

det(A),

det(A2)

det(A),

det(A3)

det(A)



=

 −4

m − 1, 0,

2

m − 1



Nếu det(A) = 0 (nghĩa là m = 1 hoặc m = 3) thì:

Với m = 1 ta có det(A1) = 8 6= 0 nên hệ vô nghiệm.

Với m = 3 ta có det(A) = det(A1) = det(A2) = det(A3) = 0.

Khi đó hệ có dạng ma trận hóa





3 1 4 −2



 chuẩn hóa

−−−−−→







1 0 6

5 −45

0 1 25 25







Do đó (1) có vô số nghiệm xác định bởi:

(x1,x2,x3) =−4

5 −

6t

5,

2

5 −

2t

5, t

 , t ∈ R.

... 1n,

Các phần tử cij xác định gọi làđồng thừa, hayphần bù đại số hệ số aij

Ví dụ. Tính ∆ =

Giải.... a11c11+a12c12+a13c13= 2.6 + 3.10 + (−3).7 = 21

Định thức ma trận vng cấp n cịn gọi định thức cấp n