bài giảng đại số tuyến tính định thức

SLIDES BÀI GIẢNG MÔN ĐẠI SỐ B1 Slides Chương 2: Đònh thức Giảng viên: Trònh Thanh Đèo Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NĂM HỌC 2010-2011 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 NOÄI DUNG Determinants Sarrus' rule Expansion of a determinant in a row or column Determinants and Elementary operations Adjoint of a matrix Using determinants to find inverse of matrices Using determinants to solve systems of linear equations Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Đònh thức   a11 a12 a1n a21 a22 a2n   Cho A =    ∈ Mn (R) an1 an2 ann Ta gọi đònh thức A, ký hiệu |A| det(A), a11 a12 a1n a a22 a2n , hoaëc 21 an1 an2 ann laø số thực, xác đònh quy nạp theo n sau: + Nếu n = 1, nghóa A = ( a11 ), det(A) = a11 a11 a12 + Nếu n = 2, nghóa A = , a21 a22 det(A) = a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Đònh thức + Nếu n > 2, ta đặt cij = (−1)i+j det(A(i|j) ), với A(i|j) ma trận có từ A cách ‘xóa' dòng i cột j A Khi det(A) = a11 c11 + a12 c12 + · · · + a1n c1n , Các phần tử cij xác đònh gọi đồng thừa, hay phần bù đại số hệ số aij Ví dụ Tính ∆ = −3 −2 −4 Giaûi Ta có đồng thừa dòng là: −2 −2 = 10; c13 = = c11 = = 6; c12 = − −4 1 −4 Do ∆ = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 = 2.6 + 3.10 + (−3).7 = 21 Đònh thức ma trận vuông cấp n gọi đònh thức cấp n Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Quy tắc Sarrus Nếu A ma trận vuông cấp ta tính det(A) cách: Ghi lại cột thứ thứ hai (theo thứ tự) bên phải cột thứ ba tạo thành ma trận dòng, cột Khi det(A) = tổng tính `đường chéo chính' trừ tổng tích `đường chéo phụ' sơ đồ sau: cột1 cột2 coät3 coät1 coät2  ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ a❜11 a❜ a❜ a11 ✧ a✧12 ❜ ❜ ❜ 12 ✧ 13 ✧ ❜ ✧ ❜ ❜✧ ✧ ❜ ❜✧ ✧ ✧ ✧ ✧  a21❜ ❜ ❜ ❜ a❜ a✧22 ❜ a✧ ✧ ✧ ❜ ✧ ✧ a22  ❜✧ ❜ ❜✧ ❜ ✧ ✧ ❜ ✧ 23 ✧ 21❜ ❜a33 ❜a31 ❜ ❜32 ✧ ✧ a✧ ✧❜ ✧❜ ❜ ❜✧ ❜ ❜ a❜ ❜ ✧ ✧a31 ✧ ✧32 ✧ ✧ − − − + + + Quy taéc tính đònh thức gọi Quy tắc Sarrus Ví dụ = 1.2.5 + 2.1.3 + 3.4.1 − 3.2.3 − 1.1.1 − 2.4.5 = −31 Chú ý Quy tắc Sarrus áp dụng đònh thức cấp ba Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Công thức khai triển đònh thức theo dòng cột Đònh lý Cho A = (aij ) ∈ Mn (R) đặt cij = (−1)i+j det(A(i|j) ) đồng thừa aij Khi đó: (i) det(A) = ai1 ci1 + ai2 ci2 + · · · + ain cin (1) (ii) det(A) = a1j c1j + a2j c2j + · · · + anj cnj (2) Công thức (1) gọi công thức khai triển det(A) theo dòng i Công thức (2) gọi công thức khai triển det(A) theo cột j Ví dụ dòng === −4 cột === 3 = −28 − + = −31 +2 − 5 2 − +5 = −6 + − 30 = −31 3 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Công thức khai triển đònh thức theo dòng cột Nhận xét Từ công thức khai triển đònh thức theo dòng cột, ta được: i) Nếu A có dòng cột det(A) = 0; ii) Nếu A ma trận tam giác det(A) tích phần tử thuộc đường chéo iii) Nếu aij = aij cij = nên, để đơn giản cho trình tính toán, ta khai triển theo dòng cột có nhiều hệ số nhất, ta cần xác đònh đồng thừa tương ứng với hệ số khác Ví duï 0 0 3 coät coät === −4 === −12 = −12 1 1 1 Đònh lý Cho A ∈ Mn (R) Khi det(A ) = det(A); Đònh lý Cho A, B ∈ Mn (R) Khi det(AB) = det(A).det(B) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Đònh thức phép biến đổi sơ cấp Đònh lý Cho A, A ∈ Mn (R) Khi đó: di ↔dj i) Nếu A −−−→ A det(A ) = −det(A), i=j αd i ii) Nếu A −−→ A det(A ) = αdet(A), di +αdj iii) Neáu A −−−−→ A det(A ) = det(A) i=j Do det(A ) = det(A) nên cách trang bò thêm khái niệm biến đổi sơ cấp cột đònh thức, ta kết sau: Hệ Cho A, A ∈ Mn (R) Khi đó: ci ↔cj i) Nếu A −−−→ A det(A ) = −det(A), i=j αci ii) Nếu A −−→ A det(A ) = αdet(A), ci +αcj iii) Nếu A −−−−→ A det(A ) = det(A) i=j Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Đònh thức phép biến đổi sơ cấp Ví dụ 1 1 1 d4 −d1 d3 −4d2 −2 −2 = −8 ===== −4 d2 −d1 0 −8 0 −2 Ví dụ 1 −1 1 −1 d2 −d1 −1 d3 −d1 −1 coät −3 −1 === ===== −2 d4 −d1 −3 −1 −2 −1 −2 −1 −4 −3 coät d2 −d1 === − = 14 ===== −4 −3 −2 −2 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Đònh thức phép biến đổi sơ cấp Nhận xét Dựa vào mối liên hệ đònh thức phép biến đổi sơ cấp ta có nhận xét sau cho trình biến đổi đònh thức: i) Nếu đổi hai dòng hai cột ma trận phải đổi dấu đònh thức; ii) Nếu dòng cột chia hết cho số α ta đem α dấu đònh thức làm nhân tử chung; iii) Nếu ta dùng phép biến đổi loại dòng cột không làm thay đổi giá trò đònh thức Ví dụ a b c d e f f e d f αe d αa αb αc d e f = α d e f = −α a b c = α c b a = c αb a g h i g h i i h g i αh g g h i Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) 10 / 18 Ma trận phó Cho A = (aij ) ∈ Mn (R) Đặt cij = (−1)i+j det(A(i|j) ),   c11 c21 cn1  c12 c22 cn2   adj(A) =    c1n c2n cnn Ta gọi adj(A) ma trận phó hay ma trận phụ hợp A x y z t Ta có đồng thừa A laø: c11 = t; c12 = −z; c21 = −y;c22 = x Ví dụ Xét A = t −y −z a Như vậy, ma trận phó ma trận cấp có từ ma trận gốc cách đổi chỗ hai phần tử đường chéo đổi dấu hai phần tử đường chéo phụ Do ma trận phó A adj(A) = Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) 11 / 18 Ma trận phó   1 Ví dụ Tìm ma trận phó A =  −1  −2 Giải Ta có phần bù đại số A là: c11 = 1 c21 = − c31 = −1 −2 2 −2 −1 = −3, c12 = − = 4, c22 = = −5, c32 = − 2 = −6, c23 = − = 0, c13 = −2 1 −1 −2 −1 = 3, c33 =  Do ma trận phó A laø adj(A) =  Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants 1 = −3, 1 = 1, =  −3 −5 −6  −3 1 (Algebra B1) 12 / 18 Ứng dụng đònh thức để tìm ma trận nghòch đảo Đònh lý Cho A ma trận vuông cấp n Khi đó: A khả nghòch det(A) = Nếu A khả nghòch nghòch đảo A A−1 = adj(A) det(A) Phương pháp xác đònh tính khả nghòch tìm nghòch đảo Để xét tính khả nghòch tìm nghòch đảo ma trận A ∈ Mn (R), ta thực sau: Tính det(A) suy tính khả nghòch A Nếu A khả nghòch ta xác đònh tất phần bù đại số A Xây dựng ma trận phó adj(A) A Áp dụng công thức A−1 = adj(A) ta xác đònh A−1 det(A) Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) 13 / 18 Ứng dụng đònh thức để tìm ma trận đảo   1 Ví dụ Tìm nghòch đảo ma traän A =  −1  −2 Giải Ta có |A| = (−4 − + 2) − (8 − − 1) = −9 = 0, nên A khả nghòch Các phần bù đại số A là: c11 = −3, c12 = 0, c13 = −3, c21 = 4, c22 = −6, c23 = 1, c31 = −5, c32 = 3, c33 =   −3 −5  Ma trận phó A adj(A) =  −6 −3 1   −3 −5 1  Do A−1 = adj(A) = −  −6 det(A) −3 1 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) 14 / 18 Ứng dụng đònh thức để giải hệ phương trình tuyến tính Quy tắc Cramer Xét hệ PTTT gồm n phương trình n ẩn có dạng AX = B Đặt Aj ma trận có từ A cách thay cột j A cột B Khi i) Nếu det(A) = hệ có nghiệm xác đònh det(A1 ) det(A2 ) det(An ) x1 = , x2 = , , xn = det(A) det(A) det(A) ii) Neáu det(A) = tồn j cho det(Aj ) = hệ vô nghiệm iii) Nếu det(A) = det(Aj ) = 0, ∀j hệ có vô số nghiệm vô nghiệm Trong trường hợp này, để giải tìm nghiệm, ta dùng biến đổi sơ cấp dòng Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) 15 / 18 Ứng dụng đònh thức để giải hệ phương trình tuyến tính Ví  dụ x1  −2x1  4x1 Giải hệ phương trình sau quy taéc Cramer: − 2x2 + 2x3 = 3; + 2x2 − x3 = 1; (1) + x2 + 5x3 = −2     −2    1 −2 −1 ; B = Giải (1) ⇔ AX = B, với A = −2 −2 −2 2 −1 = 49; −1 = −21; det(A1 ) = Ta coù det(A) = −2 −2 5 1 −2 3 −1 = 21; det(A3 ) = −2 = −35 det(A2 ) = −2 −2 −2 Do hệ có nghiệm det(A1 ) det(A2 ) det(A3 ) (x1 , x2 , x3 ) = , , = − , −1, det(A) det(A) det(A) 3 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) 16 / 18 Ứng dụng đònh thức để giải hệ phương trình tuyến tính Ví  dụ x1  −2x1  mx1 Giải biện luận hệ phương trình: + 2x2 + 2x3 = 0; + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2; (1) + x2 + (m + 1)x3 = −2     2 Giaûi (1) ⇔ AX = B, với A =  −2 m − m −  ; B =  2 −2 m m+1 Ta coù det(A) = (m − 1)(m − 3); 2 det(A1 ) = m − m − = −4(m − 3); −2 m+1 2 m − = 0; det(A3 ) = −2 m − 2 = 2(m − 3) det(A2 ) = −2 m −2 m + m −2 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) 17 / 18 Ứng dụng đònh thức để giải hệ phương trình tuyến tính Do đó: Nếu |A| = (nghóa m = m = 3) hệ có nghiệm det(A1 ) det(A2 ) det(A3 ) −4 (x1 , x2 , x3 ) = , , = , 0, det(A) det(A) det(A) m−1 m−1 Nếu det(A) = (nghóa m = m = 3) thì: Với m = ta có det(A1 ) = = nên hệ vô nghiệm Với m = ta có det(A) = det(A1 ) = det(A2 ) = det(A3 ) = Khi hệ có dạng ma trận hóa     65 − 45 2  chuẩn hóa  2   −2 −2 −−−−−→   −2 0 0 Do (1) có vô số nghiệm xác đònh bởi: 6t 2t (x1 , x2 , x3 ) = − − , − , t , t ∈ R 5 5 Trinh Thanh DEO (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) 18 / 18 ... bù đại số hệ số aij Ví dụ Tính ∆ = −3 −2 −4 Giaûi Ta có đồng thừa dòng là: −2 −2 = 10; c13 = = c11 = = 6; c12 = − −4 1 −4 Do ∆ = a11 c11 + a12 c12 + a13 c13 = 2.6 + 3.10 + (−3).7 = 21 Đònh thức. .. nghòch tìm nghòch đảo Để xét tính khả nghòch tìm nghòch đảo ma trận A ∈ Mn (R), ta thực sau: Tính det(A) suy tính khả nghòch A Nếu A khả nghòch ta xác đònh tất phần bù đại số A Xây dựng ma trận phó... (ttdeo@yahoo.com) Ch Determinants (Algebra B1) / 18 Công thức khai triển đònh thức theo dòng cột Nhận xét Từ công thức khai triển đònh thức theo dòng cột, ta được: i) Nếu A có dòng cột det(A)