bài giảng giới hạn của hàm số

Ví dụ 1/ x lim e x → 0− =0 1/ x lim e x →0 + = +∞ Ví dụ sin x lim = x →0 x sin x Khơng tồn lim x →0 | x| Vì sin x sin x lim = lim =1 x →0 | x | x →0 x + + sin x sin x lim = lim = −1 x →0 | x | x →0 −x − − Định lý Hàm số y = f(x) có giới hạn x0 có giới hạn trái giới hạn phải x0 chúng Chú ý Dùng định lý để chứng tỏ hàm khơng có giới hạn Chú ý Giới hạn phía thường ñược dùng trường hợp hàm chứa bậc chẵn, chứa trị tuyệt ñối, hàm ghép  x + 3, x ≥  Ví dụ Cho f ( x) =  Tìm lim f ( x) x →0 x sin , x <  x lim f ( x) = lim (2 x + 3) = x → 0+ x → 0+ lim− f ( x) = lim− x sin = x →0 x →0 x Vậy không tồn giới hạn Định nghĩa Hàm số y = f(x) gọi vơ bé (VCB) x → x0 lim f ( x) = x → x0 Ví dụ f ( x) = x + 3sin x vô bé x → 0, ( ) lim x3 + 3sin x = x →0 Tính chất VCB 1) Tổng hữu hạn VCB VCB 2) Tích hai VCB VCB 3) Tích VCB hàm bị chặn VCB 4) Thương hai VCB khơng VCB Định nghĩa Cho f(x) g(x) hai vô bé x → x0 f ( x) = k Giả sử xlim → x0 g ( x ) 1) Nếu k = , f(x) gọi VCB bậc cao g(x) f ( x) = ο ( g ( x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, f(x) g(x) hai VCB cấp 3) Nếu k = , f(x) g(x) hai VCB tương ñương f ( x) ≈ g ( x) Ví dụ f ( x) = x + tan x; g ( x) = sin x + x3 Khi f(x) g(x) hai VCB tương ñương x → f ( x) x + tan x = lim = Vì lim x →0 g ( x ) x →0 sin x + x Ví dụ f ( x) = sin x + x ; g ( x) = x + tan x 2 Khi f(x) VCB bậc cao g(x) x → f ( x) x + sin x = lim = Vì lim x →0 g ( x ) x →0 x + tan x Ví dụ f ( x) = sin x + x ; g ( x) = tan x Khi f(x) g(x) hai VCB bậc x → f ( x) sin x + x = lim = Vì lim x →0 g ( x ) x →0 tan 3x Ví dụ f ( x) = e x −1 − 1; g ( x) = − x − Khi f(x) g(x) hai VCB bậc x → f ( x) e 1− x − 1 = Vì lim− = lim− x →1 g ( x ) x →1 − x2 Các vô bé thường gặp x → ∼ x 1) sin x 2) e -1 ∼ x x 3) 1- cos x ∼ 4) ln(1 + x) α 5) (1 + x) -1 x2 ∼ x ∼ αx 6) arcsin x ∼ x 7) arctan x ∼ x 8) tan x 9) sinh x ∼ x ∼ x 10) cosh x − ∼ Chú ý: Đây vô bé x→0 x2 Các vô bé suy trực tiếp từ ñịnh nghĩa giới hạn + 10 x − + x 16) lim x →0 arcsin(3 x + x ) − sinh(2 x + x )   x x 17) lim x  ln 1 +  − ln  x →+∞ 2   2 cos x − cos5 x 18) lim x →0 − cos3 x 3 + tan x − + sin x 19) lim x →0 sin x 1/ tan x − 3arcsin x 20) lim x → sin x − 6arctan x 10 / 37 ... − Định lý Hàm số y = f(x) có giới hạn x0 có giới hạn trái giới hạn phải x0 chúng Chú ý Dùng ñịnh lý ñể chứng tỏ hàm khơng có giới hạn Chú ý Giới hạn phía thường ñược dùng trường hợp hàm chứa... u x → x0 Ví dụ ln(1 + x tan x ) Tính giới hạn I = lim x → x + sin x ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x ln(1 + x tan x) ⇒ I = lim x →0 x + sin x Ví dụ Tính giới hạn x + sin x ∼ x x2 = lim = x →0 x ln(cos... Ví dụ Tính giới hạn I = lim x →0 e x2 − cos x sin x x e x − ∼ x2 − cos x ∼ sin x ∼ x 2 x2 x + x /2 e − + − cos x = lim = ⇒ I = lim 2 x →0 x →0 x sin x Ví dụ esin x − esin x Tính giới hạn I = lim